© 2007 – Ediciones MECANICA
Razón de contacto en engranajes cilíndricos rectos con
socavado.
E. Mirabet Lemos *, L. Martínez Delgado **.
* Especialista en Mtto de la empresa Argelio Reyes (PRODAL)
**Facultad de Ingeniería Mecánica, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría (ISPJAE). E-mail: luiscriscris@yahoo.com.mx, lmartinez@mecanica.cujae.edu.cu
(Publicado por primera vez en Ingeniería Mecánica Vol. 8, No. 1) Resumen.
En el presente trabajo se muestra el desarrollo y la aplicación de una serie de expresiones que permiten evaluar la razón de contacto en transmisiones por engranajes donde el piñón y la rueda o el piñón solo poseen socavado. Además se muestra el procedimiento para la aplicación de dichas expresiones, mediante la solución de cuatro problemas.
Palabras claves: Socavado, trocoide, evolvente, engranajes, razón de contacto.
1- Introducción.
El perfil de los dientes de los engranajes de evolvente esta compuesto por dos curvas fundamentales, una es una evolvente y la otra es una trocoide [1]. En los engranajes, estas curvas pueden ser tangentes o cortarse entre si. La porción de evolvente conforma el perfil de trabajo y la trocoide el de transición entre la evolvente y la raíz del diente. Cuando ambas curvas son tangentes se tiene un diente sin socavado y cuando se cortan se dice que el diente está socavado. Ver Figura 1.
a) b)
Figura 1 - a) Diente sin socavado, b) Diente con socavado.
El socavado en los dientes esta motivado por la interferencia de la herramienta generadora durante la elaboración del engrane. Esta interferencia socava o elimina la parte inferior del perfil de evolvente. El socavado tiene como aspectos negativos la reducción de la longitud del perfil de evolvente, disminuyendo la razón de contacto, y además disminuye la sección crítica para los esfuerzos de flexión.
La interferencia de maquinado o socavado en la base del diente depende de varios factores como el tipo y parámetros de la herramienta de elaboración, el número de dientes del engrane que se elabora y el coeficiente de corrección.
2- Socavado generado por
herramientas tipo fresa madre o tipo
cremallera.
El perfil de estas herramientas esta compuesto de varias partes, cuyas dimensiones se ajustan a perfiles de cremalleras básicas normalizadas. Ver figura 2.
Figura 2 - Parámetros de una cremallera básica.
En la cremallera básica mostrada en la Figura 2, se cumplen las siguientes relaciones a partir de su módulo m, ángulo de presión α , coeficiente de corrección x y los coeficientes h∗a y c∗a de la herramienta.
π ⋅ = m p Paso normal α ⋅ =p cos pb Paso base m h ha = a∗⋅ Altura de cabeza m c ca = a∗ ⋅ Holgura radial m ) c h (
m sin 1 ca fp ⎟⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α − = ρ ∗ Radio de transición. α ⋅ ⋅ ⋅ + π ⋅ = 2 m x tan 2 m Sp - espesor interdental, sobre la línea de referencia. Durante el tallado de un engrane se produce el engranaje entre los dientes de este y los dientes de la herramienta generadora. Durante este engranaje de maquinado, al igual que durante el proceso de engranaje de dos ruedas dentadas, se produce un movimiento relativo de rodadura entre la herramienta y el engranaje que se elabora. Los elementos en rodadura son la línea de referencia de la cremallera y la circunferencia de referencia del engrane. Ver figura 3.
Figura 3 - Engranaje de maquinado.
En la Figura 3 se muestra la disposición relativa de la herramienta y el engrane, durante el proceso de generación de los dientes. Haciendo uso de la misma, se puede determinar la expresión que evalúa la existencia o no del socavado en los dientes. La existencia o no de socavado en el dentado de un engrane puede analizarse mediante la Figura 3.
2
z
m
r
=
⋅
α
⋅
= cos
r
r
b(
h x)
m cos r r− b α≥ a∗ − ⋅(
h x)
m cos r r− 2α≥ a∗ − ⋅(
h x)
m sin 2 z m a 2α≥ − ⋅ ⋅ ⋅ ∗(
)
α ⋅ − ⋅ ≥ ∗ 2 a sin m x h 2 z (1) Para x = 0 se define el valor de:α ⋅ = ∗ 2 a min sin h 2 z (2)
De la formula (1) se deduce que: 2 sin z h x 2 a α ⋅ − ≥ ∗ Donde:
(
)
min min a min h zz z x ≥ ∗⋅ − (3) La expresión (3), es la condición necesaria y suficiente para evitar el socavado en una transmisión por engranajes cilíndricos rectos.Según la cremallera que se emplee, zmintomará valores diferentes, por ejemplo:
Para α=20o y h∗a =1 se tiene que: zmin =17y
además
(
)
17 z 17 xmin − = . De forma semejante se pueden obtener los valores de zminy xminen función de los parámetros de la herramienta empleada.Si xmin < significa que este es el valor máximo de 0 corrección negativa que se puede realizar sin que exista socavado.
3- Razón de contacto.
De la Figura 4 puede apreciarse como, debido a la existencia del socavado de una transmisión por engranajes, la línea práctica de engranaje se reduce de
2 1a
a a s1s2 .
Figura 4 - Zona de contacto S1S2 para dientes con socavado.
En estas condiciones la razón de contacto queda expresada de la forma siguiente:
© 2007 – Ediciones MECANICA b 2 1 p s s = ε (4) Conociendo los radios limites de socavado para ambas ruedas, rs1 y rs2 , se puede obtener el segmento
2 1s
s , muy aproximadamente, de la siguiente forma:
2 2 , 1 f 2 , 1 b 2 2 , 1 b 2 , 1 s cos r r r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − + = (5) Conociendo que el ángulo de engranaje α viene w dado por: ) tan z z x x 2 inv ( arcinv 2 1 2 1 w + ⋅ α + ⋅ + α = α También cos ) a a ( cos w 1 w = ⋅ α α − .Cada expresión se elegirá según los datos.
Ahora se pueden plantear según Figura 4 que la longitud de la línea teórica de engranaje, viene dada por:
w w 2 1A a sin A = ⋅ α (6) Además: 2 2 b 2 2 s 2 1 1 1S A A r r A = − − (7) 2 1 b 2 1 s 2 1 2 2S A A r r A = − − (8) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α − 1 b 1 1 1 1 m r S A tan (9) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α − 2 b 2 2 1 2 m r S A tan (10) w S w S S S1 2 = 1 + 2 (11) Donde:
(
m1 w)
1 b 1w r tan tan S = α − α (12)(
m2 w)
2 b 2w r tan tan S = α − α (13) Sustituyendo (12) y (13) en (11):(
m1 w)
b2(
m2 w)
1 b 21S r tan tan r tan tan
S = α − α + α − α (14): Sustituyendo (14) en (4), se obtiene:
(
)
(
)
b w 2 m 2 b w 1 m 1 b p tan tan r tan tan r α − α + α − α = εSimplificando la expresión anterior:
(
)
(
)
[
z1tan m1 tan w z2 tan m2 tan w]
2 1 α − α + α − α ⋅ π = ε
La razón de contacto es un parámetro que permite evaluar si se garantiza o no el contacto continuo entre los pares de dientes. En teoría este contacto se garantiza si ε≥1, no obstante en la práctica se recomienda, teniendo en cuenta aspectos de precisión y resistencia, que ε=1,05÷1,35 [2] .Luego un valor práctico promedio puede tomarse como: ε≥1,2 [3, 4].
Los radios rm1 y rm2, que definen la longitud de la línea practica de engranaje S1S2, pueden ser expresados en función de α ; m1 αm2 y los radios bases respectivos.
Para todas las ruedas con socavado es valida la expresión (5) y para las ruedas sin socavado puede plantearse que: 2 2 , 1 b 2 1 , 2 2 , 1 2 , 1 s
A
a
r
r
=
+
(16) Donde 2 1 , 2 b 2 1 , 2 a 2 1 1 , 2 2 , 1a
A
A
r
r
A
=
−
+
(17) En (17)r
a2,1 representan los radios exteriores de larueda y el piñón, respectivamente.
Para la situación expresada en (16) el punto S1 se desplaza hasta el punto a1, (ver Figura 4), lo que implica que αm1=αa1, o sea, igual al ángulo del perfil de evolvente en el radio exterior.
4- Ejemplos de aplicación.
1.-Determinar la razón de contacto para una transmisión con engranajes cilíndricos rectos con los siguientes datos: m= ; 5 α=20o ; ha∗ =1 ; 25 , 0 Ca∗ = ;
z
1= 8; z
2= 14 ; x
1= x
2= 0
Solución: o w =α =20 α , ya quex
∑=
x
1+
x
2=
0
mm 55 2 / ) z z ( m aw = ⋅ 1+ 2 = mm 793852 , 18 cos 2 z m rb1 = ⋅ 1⋅ α= mm 889242 , 32 cos 2 z m rb2 2 ⋅ α= ⋅ = mm 20 2 z m r1 = ⋅ 1 = mm 35 2 z m r2 = ⋅ 2 = mm 75 , 13 ) x C h ( m r rf1 = 1− ⋅ ∗a + a∗ − 1 =mm 75 , 28 ) x C h ( m r rf2 = 2 − ⋅ a∗ + a∗ − 2 = mm 249057 , 19 cos r r r r 2 1 f 1 b 2 1 b 1 s ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − + = mm 969156 , 32 cos r r r r 2 2 f 2 b 2 2 b 2 s ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − + = mm 811108 , 18 sin a A A1 2 = w ⋅ αw = mm 516983 , 16 r r A A S A1 1 = 1 2 − s22 − b22 = mm 649699 , 14 r r A A S A2 2 = 1 2 − s21− b21 = o 1 b 1 1 1 1 m 41,310633 r S A tan ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α − o 2 b 2 2 1 2 m 24,009399 r S A tan ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α −
Sustituyendo valores en (15) se obtiene definitivamente:
(
)
(
)
0,8 2 tan tan z tan tan z1 m1 w 2 m2 w = π α − α + α − α = εComo puede apreciarse para la transmisión analizada 1
<
ε . Esto significa que no existe un contacto continuo entre las parejas de dientes.
2.- Analizando el ejemplo anterior pero cambiando sus coeficientes de corrección: m= , 5 α=20o ;
1
h∗a = ; C∗a =0,25 ; z1 = 8; z2 = 14 ; x1 = 0,4 ; x2 =0,1. Las correcciones en ambos engranes han sido dadas de forma tal que tanto x1 como x2 son menores que los xmin respectivos, garantizándose que ambas ruedas tengan socavado. Solución: 0314484 , 0 tan z z x x 2 inv inv 2 1 2 1 w + ⋅ α= + ⋅ + α = α o 38148 , 25 ) ( arcinv w w = α = α mm 205 , 57 cos cos 2 ) z z ( m a w 2 1 w α = α ⋅ + ⋅ = o w =α=20 α mm 793852 , 18 cos 2 z m rb1 = ⋅ 1⋅ α= mm 889242 , 32 cos 2 z m rb2 = ⋅ 2 ⋅ α= mm 20 2 z m r1 = ⋅ 1 = mm 35 2 z m r2 = ⋅ 2 = mm 75 , 15 ) x C h ( m r rf1 = 1− ⋅ a∗ + a∗ − 1 = mm 25 , 29 ) x C h ( m r rf2 = 2 − ⋅ a∗ + a∗ − 2 = mm 903496 , 18 cos r r r r 2 1 f 1 b 2 1 b 1 s ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − + = mm 936409 , 32 cos r r r r 2 2 f 2 b 2 2 b 2 s ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − + = mm 52053 , 24 sin a A A1 2 = w ⋅ αw = mm 758486 , 22 r r A A S A1 1 = 1 2 − s22 − b22 = mm 487481 , 22 r r A A S A2 2 = 1 2 − s21− b21 = o 1 b 1 1 1 1 m 50,450726 r S A tan ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α − o 2 b 2 2 1 2 m 34,362120 r S A tan ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α −
Sustituyendo valores en (15) se obtiene finalmente:
(
)
(
)
4 , 1 2 tan tan z tan tan z1 m1 w 2 m2 w = π α − α + α − α = εComo puede apreciarse en este ejemplo
ε
>
1
, lo cual garantiza que exista un contacto continuo entre los pares de dientes en la zona de engranaje, requisito indispensable para una transmisión por engranaje.3- Analizando el ejemplo 1, pero con el numero de dientes de la rueda igual a 18, es decir: m= ; 5
o 20 = α ; ha∗ =1 ; Ca∗ =0,25 ; z1 = 8 ; z2 = 18 ; x1=x2=0. Solución: o w =α=20 α , ya que
x
∑=
x
1+
x
2=
0
mm
65
2
/
)
z
z
(
m
a
w=
⋅
1+
2=
mm
793852
,
18
cos
2
z
m
r
1 1 b⋅
α
=
⋅
=
mm
286168
,
42
cos
2
z
m
r
2 2 b⋅
α
=
⋅
=
mm 20 2 z m r1 = ⋅ 1 =mm
45
2
z
m
r
2 2=
⋅
=
© 2007 – Ediciones MECANICA
mm
75
,
13
)
x
C
h
(
m
r
r
f1=
1−
⋅
a∗+
a∗−
1=
rf2, no es necesario calcularlo porque la rueda no tiene socavado.
mm
249057
,
19
cos
r
r
r
r
2 1 f 1 b 2 1 b 1 s⎟
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
−
+
=
mm
231309
,
22
sin
a
A
A
1 2=
w⋅
α
w=
mm
25
2
)
2
z
(
m
r
1 1 a=
+
⋅
=
mm
7452201
,
5
r
r
A
A
a
A
2 1 b 2 1 a 2 1 1 2=
−
−
=
mm
674671
,
42
r
a
A
r
2 2 b 2 1 2 2 s=
+
=
mm
470964
,
16
r
r
A
A
S
A
2 2 b 2 2 s 2 1 1 1=
−
−
=
mm
069901
,
18
r
r
A
A
S
A
2 1 b 2 1 s 2 1 2 2=
−
−
=
o 1 b 1 1 1 1 m41
,
231380
r
S
A
tan
⎟⎟
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
α
− o 2 b 2 2 1 2 m23
,
138189
r
S
A
tan
⎟⎟
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
α
−Sustituyendo valores en (15) finalmente se obtiene
(
)
(
)
8 , 0 2 tan tan z tan tan z1 m1 w 2 m2 w = π α − α + α − α = εComo puede apreciarse para la transmisión analizada 1
<
ε . Esto significa que no existe un contacto continuo entre las parejas de dientes.
4- Analizando el ejemplo 3, con cierta corrección en el piñón : m= , 5 α =20o ; h∗a =1 ; Ca∗ =0,25 ; z1=8 ; z2=18 ; x1= 0,45 ; x2=0. Solución:
0275033
,
0
tan
z
z
x
x
2
inv
inv
2 1 2 1 w+
⋅
α
=
+
⋅
+
α
=
α
α
w=
arcinv
(
α
w)
=
24
,
32835
omm
032
,
67
cos
cos
2
)
z
z
(
m
a
w 2 1 wα
=
α
⋅
+
⋅
=
mm
793852
,
18
cos
2
z
m
r
1 1 b⋅
α
=
⋅
=
mm
286168
,
42
cos
2
z
m
r
2 2 b⋅
α
=
⋅
=
mm 20 2 z m r1 = ⋅ 1 =mm
45
2
z
m
r
2 2=
⋅
=
mm
16
)
x
C
h
(
m
r
r
f1=
1−
⋅
a+
a−
1=
∗ ∗rf2, no es necesario calcularlo porque la rueda no tiene socavado.
mm
876737
,
18
cos
r
r
r
r
2 1 f 1 b 2 1 b 1 s⎟
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
α
−
+
=
mm
614856
,
27
sin
a
A
A
1 2=
w⋅
α
w=
mm
25
2
)
2
z
(
m
r
1 1 a=
+
⋅
=
mm
1877609
,
8
r
r
A
A
a
A
2 1 b 2 1 a 2 1 1 2=
−
−
=
mm
071562
,
43
r
a
A
r
2 2 b 2 1 2 2 s=
+
=
mm
427094
,
19
r
r
A
A
S
A
2 2 b 2 2 s 2 1 1 1=
−
−
=
mm
847848
,
25
r
r
A
A
S
A
2 1 b 2 1 s 2 1 2 2=
−
−
=
o 1 b 1 1 1 1 mr
45
,
949185
S
A
tan
⎟⎟
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
α
− o 2 b 2 2 1 2 m31
,
435781
r
S
A
tan
⎟⎟
=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
α
− Sustituyendo valores en (15) finalmente se obtiene:(
)
(
)
1,2 2 tan tan z tan tan z1 m1 w 2 m2 w = π α − α + α − α = εComo puede apreciarse en este ejemplo
ε
>
1
, lo cual garantiza que exista un contacto continuo entre los pares de dientes en la zona de engranaje, requisito indispensable para una transmisión por engranaje.5- Conclusiones.
Del análisis realizado puede apreciarse que la fórmula para el cálculo de la razón de contacto posee una estructura semejante a la empleada en los engranajes sin socavado, solo se sustituyen
2 a 1 a yα
α por αm1yαm2 respectivamente. Lo anterior se debe a que para los engranajes con
socavado el punto limite sobre los dientes no es su
diámetro exterior sino un punto sobre el perfil de evolvente, que depende del rs de cada engrane. Se puede lograr una transmisión con engranes
socavados que garantiza una razón de contacto
ε
≥1,2. El radio
r
s de cada engrane adopta formas particulares en dependencia de si el engrane tiene o no socavado, ver las expresiones (5) y (16). La formula (5) brinda resultados muy aproximados a la realidad. Un procedimiento más exacto para el cálculo de este parámetro exige la solución de un sistema de ecuaciones no lineales, mediante métodos numéricos, lo que haría excesivamente extenso este trabajo. lo que será tratado en otro próximamente.6- Bibliografía.
1- Maag Gear Company Ltd; Maag Gear. Book. Zurich.1990.
2- Y. Golubev; Teoría de Maquinas y Mecanismos. Ediciones R, Instituto Cubano del Libro, Cuba 1967.
3- I.M.Chernin; Manual de Calculo de Elementos de Maquinas. Escuela Superior. Minsk 1964.
4- V. I. Anuriev; Manual del Constructor de Maquinaria, Tomo II. Edit. Machinostroienie, Moscú. 1982.
Contact ration in spur gears with undercut.
Abstract.This paper deals with the development and application of a series of relations that allow evaluating the contact ratio in gear transmissions where the pinion and the wheel have undercut. The procedure is applied in the solution of four problems.
