aletos CAPÍTULO 8.07 DIPOLO ELÉCTRICO Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas iguales de signo opuesto ±q, separadas por una pequeña distancia

Texto completo

(1)

8.07-1 Dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas iguales de signo opuesto ±q, separadas por una pequeña distan-cia l.

Supongamos que las cargas –q y +q están situadas en los puntos cuyos vectores de posición son r’ y r’ + l, respectivamente, como muestra la figura.

El vector l es el vector de posición de la carga +q respecto de la carga –q. Por consiguiente se toma siempre en el sentido que va de la carga negativa hacia la positiva.

El campo eléctrico en un punto arbitrario r se puede calcular

directamente como la superposición de los campos creados por cada una de las cargas puntuales –q y +q:

Esta es la expresión correcta del campo eléctrico para cualquier valor de q y de la separación l entre las cargas. Sin embargo nos interesa calcular el campo eléctrico creado por el dipolo cuando la separación entre las cargas es muy pequeña comparada con |r - r’|.

Por consiguiente desarrollaremos la expresión [7.1] conservando únicamente los términos de primer orden en l. La inversa del denominador del primer término de la expresión entre corchetes del segundo miembro se puede expresar en la forma: r− r '  −l  −3 = r− r '  −l  2       −3 2 = (r− r '  )−l 2       −3 2 = (r− r '  )2 − 2(r− r '  )⋅l+l 2       −3 2

y sacando factor común en todos los términos a (r−r '  )2, o lo que es igual, a r−r '  2 , r−r '  −l  −3 = r−r '  2 1−2(r−r '  )⋅lr−r '  2 +  l2 r−r '  2                         −3 2 = r−r '  −3 1−2(r−r '  )⋅lr−r '  2 +  l2 r−r '  2             −3 2

y teniendo en cuenta que el término en l2 es despreciable frente a r

−r '  2 , queda r−r '  −l  −3 = r−r '  −3 1−2(r−r '  )⋅lr−r '  2             −3 2

que se puede desarrollar como un binomio de Newton: r−r '  −l  −3 = r−r '  −3 1−32− −3 2      ⋅1− 5 22(r−r '  )⋅lr−r '  2 +…             = r−r '  −3 1+3(r−r '  )⋅lr−r '  2 +…             = 1 r−r '  3+ 3(r−r '  )⋅lr−r '  5

donde se han despreciado los términos en l2 y las potencias de orden superior.

Sustituyendo en [1] [2] E(r) = q 4πε0 r− r '  −lr− r '  −l  3 − r− r '  r− r '  3             = q 4πε0 (r− r '  −l)⋅ r− r '  −l  −3 − r− r '  r− r '  3             = E  (r) = q 4πε0 r−r '  −lr−r '  −l  3 − r−r '  r−r '  3             [1] l r’+l r r’ r–r’ +q –q O X Y Z

(2)

E(r) = q 4πε0 3(r−r '  )⋅lr−r '  5 ⋅(r−r '  )− lr−r '  3             = q 4πε0 (r−r '  −l  ) 1 r−r '  3+ 3 (r−r '  )⋅lr−r '  5             − r−r '  r−r '  3             = = q 4πε0 r−r '  r−r '  3− lr−r '  3 + 3(r−r '  )⋅lr−r '  5 ⋅(r−r '  )−3 (r−r '  )⋅lr−r '  5 ⋅l  − r−r '  r−r '  3             = q 4πε0lr−r '  3+ 3(r−r '  )⋅lr−r '  5 ⋅(r−r '  )            

queda como expresión del campo eléctrico,

[4] [5] [3] p  = ql

El campo eléctrico se puede expresar ahora en función del momento dipolar:

E(r) = 1 4πε0 3 (r−r '  )⋅ p r−r '  5 ⋅(r−r '  )− p  r−r '  3            

8.07-3 Potencial electrostático creado por un dipolo eléctrico puntual

Es importante obtener la expresión del potencial eléctrico creado por un dipolo puntual. Recordando que: E

 = −∇V

El potencial en un punto del espacio es la superposición de los potenciales creados por cada una de las cargas del dipolo:

8.07-2 Momento dipolar

Un dipolo puntual no tiene carga neta, no tiene dimensiones y se caracteriza por su momento dipolar p, que es el límite de ql cuando l tiende a cero.

Por definición: [6] [7] V(r) = 1 4πε0 q r− r '  −l  − rq − r '              = q 4πε0 1 r− r '  −l  − r 1 − r '             

Desarrollando el primer término de la expresión entre corchetes de la misma forma que en [1]:

1 r−r '  −l  = r−r '  −l  −1 = r−r '  −l  2       −1 2 = (r−r '  )−l 2       −1 2 = (r−r '  )2 − 2 (r−r '  )⋅l+l 2       −1 2

y sacando factor común en todos los términos a (r−r '  )2, o lo que es igual, a r−r '  2 , 1 r−r '  −l  = r−r '  −l  −1 = r−r '  2 1−2 (r−r '  )⋅lr−r '  2 + l 2 r−r '  2                         −1 2 = r−r '  −1 1−2(r−r '  )⋅lr−r '  2 + l 2 r−r '  2             −1 2

(3)

y teniendo en cuenta que el término en l2 es despreciable frente a r

−r '  2 , queda r−r '  −1 1−2(r−r '  )⋅lr−r '  2             −1 2

que se puede desarrollar como un binomio de Newton: 1 r−r '  −l  = r−r '  −l  −1 = r−r '  −1 1−12− −1 2      ⋅1−32(r−r '  )⋅lr−r '  2 +…             = r−r '  −1 1+(r−r '  )⋅lr−r '  2+…             = 1 r−r '  +(r−r '  )⋅lr−r '  3+…

donde se han despreciado los términos en l2y las potencias de orden superior.

Sustituyendo en [7] [8] V(r) = q 4πε0 1 r− r '  −l  − 1 r− r '              = q 4πε0 1 r− r '  +(r− r '  )⋅lr− r '  3 +… − 1 r− r '              = q 4πε0 (r− r '  )⋅lr− r '  3+…

y teniendo en cuenta que p  = ql  , queda finalmente, V(r) = 1 4πε0 (r− r '  )⋅ p r− r '  3 +…

Se puede comprobar que sustituyendo [8] en [6] se obtiene la expresión [3] del campo eléctrico.

8.07-4 Líneas de fuerza del campo eléctrico y superficies equipotenciales creadas por un dipolo eléctrico

FIG. 9-2

La dirección del dipolo es eje de simetría de toda la figura en tres dimensiones.

Las líneas de trazos corresponden a las líneas de fuerza del campo eléctrico y las líneas de trazo continuo repre-sentan las intersecciones de las superficies equipotenciales con el plano del dibujo.

(4)

8.07-5 Energía potencial de un dipolo eléctrico puntual situado en un campo electrostático externo

Es asimismo interesante calcular la energía potencial de un dipolo puntual situado en un campo eléctrico exter-no, es decir, un campo creado por otras cargas diferentes de las que forman el dipolo.

[9] Supongamos, pues, que situamos un dipolo en un campo exterior Eext(r

 )

A este campo le corresponde una función potencial Vext(r) La energía del dipolo es, en consecuencia,

W = −qVext(r)+qVext(r+l  ) [10] Si l

es muy pequeño comparado con r, se puede desarrollar Vext(r+l

) en series de potencias en l conservando solamente los primeros términos. El desarrollo es:

Vext(r+l) =Vext(r)+l∇Vext(r  ) que, sutituido en [8] da W = −qVext(r)+qVext(r+l

) = −qVext(r)+q Vext(r)+l∇Vext(r  )    = ql∇Vext(r) = p∇Vext(r  ) [11]

y teniendo en cuenta que, E  ext(r) = −∇Vext(r) W = −pEext(r  )

Existe una discrepancia en la expresión de la energía de un dipolo eléctrico situado en un campo electrostático externo, es decir en un campo ajeno al creado por el propio dipolo, que dan diferentes autores.

En el problema número 43 de la sección 3.8, página 248, de la obra

Teoría electromagnética, 1ª edición en español, Markus Zahn, Méjico, Nueva Editorial Interamericana, 1983, se pregunta:

“¿Cuánto trabajo se requiere para traer un dipolo puntual desde el infinito hasta una posición en que el campo eléctrico es E?”

Evidentemente, el trabajo que se requiere para traer un dipolo puntual desde el infinito hasta una posición deter-minada es la energía potencial del dipolo en dicho punto, ya que el campo eléctrico es conservativo.

La respuesta, sin la explicación y desarrollo correspondiente, que aparece en la página 702, del mencionado texto, es:

ADVERTENCIA

Véanse, por ejemplo:

Foundations of electromagnetic theory, 1ª edición, John R. Reitz y Frederick J. Milford, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1962., página 39, (2-44).

Campos electromagnéticos, Roald K. Wangsness, Méjico, Editorial Limusa, 4ª reimpresión, 1990, página 165, (8-73).

Hay una diferencia en el factor 1/2 que debe tener una explicación.

En el texto de M. Zahn, en el epígrafe 381 de la sección 3.8, página 204, que lleva como título Trabajo nece -sario para establecer una distribución de cargas puntuales, se considera que el trabajo nece-sario para formar un sis-tema de tres cargas en una determinada región, en la que previamente no existe campo alguno, es la suma de los

trabajos realizados para traer las cargas que van a formar dicho sistema, de una en una, desde el infinito hasta sus

posiciones finales respectivas. De esta forma se obtiene:

W = 1 2q1V1+q2V2+q3V3 [12] W = − 1 2p  Eext(r  ) En cambio, la expresión de la energía que figura en otros textos es

W = −pEext(r

 )

(5)

[13] y generalizando para n cargas puntuales,

W = 1 2 qnVn 1 n

Hay dos graves errores en este razonamiento, ya que, como se ha hecho notar anteriormente, lo que se pide en el problema número 43, es el trabajo que se requiere para traer un dipolo puntual desde el infinito hasta un punto en que el campo eléctrico es E.

Es decir, suponiendo que se plantea el problema de igual forma, hay dos diferencias fundamentales:

1ª- No se pude imaginar que traemos las cargas de una en una, porque el dipolo es un todo, es decir, hay que considerar el dipolo como un conjunto indivisible formado por dos cargas iguales y de distinto signo.

2ª.- En el problema número 43, citado anteriormente, existe un campo previo, situación que no se da en la cues-tión desarrollada en el epígrafe 3-8-1. Por consiguiente las condiciones físicas iniciales no son las mismas y, por tanto, no tiene sentido dar como solución a dicho problema el mismo tipo de expresión, por una supuesta analogía entre ambos casos.

Lo que sí representa la expresión

Conviene insistir en que estas expresiones hacen referencia a un sistema de cargas sometidas, cada una de ellas, al campo creado por las demás, en ausencia de cualquier otro campo eléctrico externo.

A partir de aquí debe establecer este autor, al parecer por simple analogía, que la energía de un dipolo eléctrico situado en un campo eléctrico externo, es decir, ajeno al dipolo, es

W = − 1 2pi  Ei W = − 1 2 pi  Ei 1 n

es la energía de un sistema de dipolos situados en el vacío sin otra influencia eléctrica que la debida a los propios dipolos, es decir, sin que exista previamente un campo eléctrico en dicha región, lo que se puede comprobar a par-tir de la expresión de la energía de un dipolo situado en un campo eléctrico externo:

[14] Puesto que dicho campo es conservativo, por ser un campo electrostático, el trabajo realizado es igual a la ener-gía potencial del dipolo p2 en presencia del campo E1:

Supongamos que deseamos formar el sistema de los dos dipolos de la figura, situa-dos en el vacío, en una región del espacio en la que no existe previamente ningún campo electrostático.

Cuando traemos el primer dipolo p1 al punto cuyo vector de posición es r1, no

hay que realizar ningún trabajo puesto que no existe campo eléctrico en dicha región. Por tanto:

W1 = 0

Cuando traemos el segundo dipolo p2al punto cuyo vector de posición es r2,

tene-mos que realizar un trabajo contra las fuerzas del campo E1creado por el dipolo p1

Fig. 9-3 W2= −p  2E1   = − p2  4πε0 3(r2−r1  )⋅ p1 r2−r1  5 ⋅(r2  −r1  )− p1  r2−r1  3             = − 1 4πε0 3(r2−r1  )⋅ p1 r2−r1  5 ⋅ p2  ⋅(r2  −r1  )− p2  p1  r2−r1  3             = = − 1 4πε0 3(r2−r1  )⋅ p1cosα1 r2−r1  5 ⋅ p2⋅(r2  −r1  )⋅cosα2p2  p1  r2−r1  3             = − 1 4πε0 3 r2−r1  3⋅ p1p2⋅ cosα1cosα2− p2  p1  r2−r1  3             = = − 1 4πε0 1 r2−r1  3 3 p1p2⋅ cosα1cosα2− p2  p1     

Por consiguiente el trabajo total realizado es:

W =W1+W2= − 1 4πε0 1 r2− r1  3 3p1p2⋅ cosα1cosα2− p2  p1      r1 r2 p1 p2 α1 α2 β2 β1 r2–r1 O X Y Z

(6)

Se puede comprobar que se obtiene la misma expresión a partir de

donde Ei hace referencia al campo creado, en el punto ocupado por el dipolo pi, por los restantes dipolos del

siste-ma. En efecto: W = − 1 2 pi  Ei 1 n

W = − 1 2 pi  Ei 1 n

= −1 2 p1  E1+ p2  E2    = = −1 2 p1  4πε0 3(r1−r2  )⋅ p2 r1−r2  5 ⋅(r1  −r2  )− p2  r1−r2  3                         −1 2 p2  4πε0 3(r2−r1  )⋅ p1 r2−r1  5 ⋅(r2  −r1  )− p1  r2−r1  3                         = = − 1 8πε0 3 r1−r2  ⋅ p2cosβ2 r1−r2  5 ⋅ p1r1  −r2  ⋅ cosβ1p1p2   r1−r2  3+ 3 r2−r1  ⋅ p1cosα1 r2−r1  5 ⋅ p2 r2  −r1  ⋅ cosα2p1p2   r1−r2  3             y teniendo en cuenta que los ángulos α11, así como los α2y β2 son suplementarios, se verifica que

cos β1= –cos α1

cos β2= –cos α2

Sustituyendo en la expresión de la energía,

W = − 1 8πε0 3 r1−r2  ⋅ p2(−cosα2) r1−r2  5 ⋅ p1⋅(−cosα1)− p1  ⋅ p2  r1−r2  3+ 3 r2−r1  ⋅ p1cosα1 r2−r1  5 ⋅ p2r2  −r1  ⋅ cosα2p1  ⋅ p2  r2−r1  3             = = − 1 8πε0 3⋅ p2(−cosα2) r1−r2  3 ⋅ p1⋅(−cosα1)− p1  ⋅ p2  r1−r2  3+ 3⋅ p1cosα1 r2−r1  3 ⋅ p2⋅ cosα2− p1  ⋅ p2  r1−r2  3             = = − 1 8πε0 3⋅ p2p1⋅ cosα2⋅ cosα1 r1−r2  3 − p1  ⋅ p2  r1−r2  3+ 3⋅ p1p2⋅ cosα1⋅ cosα2 r2−r1  3 − p1  ⋅ p2  r1−r2  3             = = − 1 4πε0 1 r1−r2  3 3 p1p2cosα1cosα2− p1  ⋅ p2     

que es la misma expresión que la [14] obtenida anteriormente. En resumen:

La energía de un dipolo p situado en un campo electrostático externo Eext es:

Y la energía de un sistema de n dipolos situados en el vacío, en ausencia de campo electrostático externo, es:

W = −pEext(r  ) [15] [16] W = − 1 2 pi  Ei 1 n

8.07-6 Fuerza sobre un dipolo eléctrico puntual situado en un campo electrostático externo

Las fuerzas debidas al campo electrostático son fuerzas conservativas.

En consecuencia, el trabajo realizado por cualquier fuerza electrostática en un sistema de cargas es igual y de signo contrario a la variación de energía potencial electrostática del sistema.

(7)

[17] dWE = −dWP

Si el punto de aplicación de dicha fuerza efectúa un desplazamiento infinitesimal dr, la fuerza electrostática rea-liza un trabajo: dWE = F  ⋅dr  = Fxdx + Fydy + Fzdz

y la energía potencial, WE(r), que, en general es una función de punto, experimentará una variación:

dWP =∂WP ∂x dx + ∂WP ∂y dy + ∂WP ∂z dz Sustituyendo, ahora, [18] y [19] en [17]: Fxdx + Fydy + Fzdz = − ∂WP ∂x dx + ∂WP ∂y dy + ∂WP ∂z dz         e igualando los coeficientes de dx, dy y dz, se obtiene:

[18] [19] [20] [21] Fx = −∂WP ∂x , Fy= − ∂WP ∂y , Fz= − ∂WP ∂z [24] [22] de modo que la expresión vectorial de la fuerza electrostática es:

F= Fxux  + Fyuy  + Fzuz  = −∂WP ∂x ux  −∂WP ∂y uy  −∂WP ∂y uz  = − ∂ ∂xux  − ∂ ∂yuy  − ∂ ∂yuz       WP y teniendo en cuenta el significado del operador nabla, se puede expresar

F 

= −∇WP [23]

y sustituyendo la expresión [11] de la energía de un dipolo en un campo electrostático F  = −∇(−p  E) = ∇(pE) [26] que, teniendo en cuenta la relación [1.25] del álgebra vectorial(*), se puede escribir en la forma

F  = ∇(p  E) = (p∇)E  +(E  ∇)p  + p  ×(∇ × E  )+ E×(∇ × p  )

Los términos segundo y cuarto del segundo miembro de la expresión anterior son nulos porque p es constante, y el tercero es igualmente nulo porque el campo electrostático es un campo conservativo. Con lo cual queda:

F  = (p  ∇)E  [25]

8.07-7 Momento sobre un dipolo situado en un campo electrostático externo

Supongamos un dipolo caracterizado por su momento dipolar p, situado en una región del espacio donde existe un campo eléctrico externo no uniforme.

Si denominamos por r el vector de posición de la carga negativa, el momento resultante que actúa sobre el dipo-lo respecto del punto O, es:

FIG. 9-4 τ  = r× −qE  (r)    +(r+l)×qE(r+l  )

y teniendo en cuenta que

E(r) = −∇V(r) E(r+l) = −∇V(r+l  )     [27] [28] sustituyendo [25] en [24] τ  = r× q∇V(r  )    −(r+l)×q∇V(r+l) = q r× ∇V (r)−(r+l)× ∇V(r+l  )     

es muy pequeño comparado con r, V(r+l

) se puede desarrollar en series de potencias de l y conservando

O X Y Z r l r+l +q –q E(r+l) E(r)

(8)

solamente los dos primero términos del desarrollo, [29] V(r+l) =V(r)+l⋅ ∇V (r  ) Sustituyendo [8.27] en [8.26] τ  = q r× ∇V (r)−(r+l)× ∇ V(r)+l⋅ ∇V (r  )    

{

}

= = q r× ∇V (r)−r× ∇ V (r)+l⋅ ∇V (r  )    −l× ∇ V (r)+l⋅ ∇V (r  )    

{

}

= = q r× ∇V (r)−r× ∇V(r)−r× ∇ l⋅ ∇V(r  )    −l× ∇V (r)−l× ∇ l⋅ ∇V (r  )    

{

}

= = q −r× ∇ l⋅ ∇V (r  )    −l× ∇V (r)−l× ∇ l⋅ ∇V(r  )    

{

}

[30] [32] [33] [31] En el primer y tercer término de la expresión que figura entre llaves de la relación anterior aparece

∇ l⋅ ∇V(r  )     cuyo significado es el gradiente del producto escalar de los vectores l y ∇V(r)

Teniendo en cuenta la relación [1.25] del álgebra vectorial(*) se puede sustituir

∇ l⋅ ∇V (r  )    = (l⋅ ∇)∇V (r)+ ∇V(r )∇   l+l× ∇ × ∇V (r  )    + ∇V(r)×(∇ ×l)

donde los términos segundo y cuarto son nulos, puesto que se supone que l es fijo en el espacio.

Y el tercer término es nulo, porque representa el rotacional del gradiente de una magnitud escalar, con lo cual,

∇ l⋅ ∇V (r  )    = (l⋅ ∇)∇V (r  ) Sustituyendo en [30] τ  = q −r× ∇ l⋅ ∇V (r  )    −l× ∇V (r)−l× ∇ l⋅ ∇V (r  )    

{

}

= q −r×(l⋅ ∇)∇V (r)−l× ∇V(r)−l×(l⋅ ∇)∇V (r  )

{

}

[36] [34] [35] Considerando que E(r) = −∇V(r) y que el término l×(l

⋅ ∇)∇V (r

) es despreciable por contener términos en l2

τ  = q r×(l⋅ ∇)E  (r)+l× E  (r))

{

}

= r×(p  ⋅ ∇)E  (r)+ p× E  (r) τ  = r×(p  ⋅ ∇)E  (r)+ p× E  (r)

De la relación [34] se deduce que si el campo exterior es uniforme, el primer término del segundo miembro es nulo, y la relación queda en la forma:

τ  = p  × E  (r)

Nuevamente vuelve a surgir una discrepancia con el texto Teoría electromagnética de M. Zahn en relación con un dipolo eléctrico.

En la página 215, epígrafe 3-9-2, se da como expresión del momento (torque) por unidad de volumen T que actúa sobre un medio polarizado con N dipolos por unidad de volumen:

T = Nτ= Np × E = P × E

que, si bien es cierta, no se puede aplicar al caso más general, ya que la expresión anterior solamente es válida en el caso particular de que el campo E sea uniforme, como en realidad advierte el texto al comienzo del apartado (a) del mencionado epígrafe.

Asimismo, en el texto Campos electromagnéticos de R.K. Wangsness, en la páginas 166 y 168 del epígrafe La energía dipolar se da como expresión del momento de torsión resultante en un campo uniforme

τ= p × Eo

Sin embargo, en el texto de Reitz-Milford, Foundations of electromagnetic theory, se plantea el caso más general en el problema 2-17, apartado (b), en el que se pide demostrar que el momento que actúa sobre un dipolo eléctrico situado en un campo eléctrico externo, que, en general, puede ser variable, es:

τ  = r×(p  ⋅ ∇)E  ext)+ p  × E  ext

(9)

que es la misma relación que la [33] obtenida anteriormente.

Se debe tener, pues, buen cuidado a la hora de aplicar unas fórmulas u otras, analizando previamente las condi-ciones iniciales establecidas en el problema.

[37] A partir de la definición del momento dipolar de un dipolo puntual se puede definir el momento dipolar de una distribución arbitraria de carga de una forma razonada.

Para ello, consideremos una distribución volumínica de carga en la proximidad del origen de coordenadas, de tal forma que toda la distribución de carga pueda encerrarse totalmente dentro de una esfera de radio a muy pequeño comparado con la distancia r desde el origen al punto en el que se desea calcular el potencial.

Cualquier punto dentro de la distribución de carga se designará por su vector de posición r’, y la densidad

volu-mínica de carga existente en dicho punto, por ρ(r’).

En estas condiciones el potencial en el punto r tiene por expresión:

8.07-8 Desarrollo multipolar del potencial eléctrico creado por una distribución de carga

V(r) = 1 4πε0 ρ(r '  ) r −r ' v '

dv '

donde dv’ representa un elemento de volumen de la distribución de carga y v’ el volumen total ocupado por la dis-tribución de carga.

Teniendo en cuenta las restricciones impuestas anteriormente, los puntos en los que nos interesa calcular el poten-cial se encuentran muy alejados del origen y en consecuencia el denominador de la integral se puede desarrollar de la forma siguiente: r  −r '  −1 = r  −r '  2       −1 2 = (r  −r '  )2     −1 2 = r2− 2 r⋅r '  +r '2     −1 2 = r2 1−2 r⋅r '  r2 + r '2 r2                 −1 2 =1 r 1− 2 r⋅r '  r2 + r '2 r2         −1 2

y considerando la expresión entre corchetes como un binomio de Newton, y desarrollando

r  −r '  −1 =1 r 1− 2 r⋅r '  r2 + r '2 r2         −1 2 =1 r 1+ − 2 r⋅r '  r2 + r '2 r2         −1 2             = =1 r (1) −1 21 2(1) −3 2 2 r⋅r '  r2 + r '2 r2        +(− 1 2)(− 3 2)12(1) −5 2 2 r⋅r '  r2 + r '2 r2         2 +…          = =1 r 1+ r⋅r '  r2 − r '2 2r2+ 3 8 − 2 r⋅r '  r2 + r '2 r2         2 +…          = =1 r 1+ r⋅r '  r2 − r '2 2r2+ 3 8 4 (r⋅r '  )2 r4 − 4 (r⋅r '  )r '2 r4 + r '4 r4        +…         = =1 r 1+ r⋅r '  r2 − r '2 2r2+ 3 2 (r⋅r '  )2 r4 − 3 2 (r⋅r '  )r '2 r4 + 3 2 r '4 r4 +…         =

y teniendo en cuenta que r’ es muy pequeño comparado con r, conservaremos solamente los términos de segundo orden en r’/r, con lo cual queda,

r  − r '  −1 =1 r 1+ r⋅ r '  r2 − r '2 2r2 + 3 r⋅ r '  2r4 +…         =1 r + r⋅ r '  r3 + 1 2 3 r⋅ r '  r5 − r '2 r3 +        +… Sustituyendo ahora en [35] V(r) = 1 4πε0 ρ(r '  ) r −r ' v '

dv ' = 14πε 0 1 r + r⋅ r '  r3 + 1 2 3 r⋅ r '  r5 − r '2 r3 +        +…         ρ(r '  )dv ' v '

(10)

y puesto que la integral afecta únicamente a la variable r’, todos los términos que dependen solamente de r pueden salir fuera de la integral

V(r) = 1 4πε0 1 r ρ(r '  )dv '+ rr3 r '  ρ(r '  )dv '+ 1 2r5 3(r⋅r '  )2 − r2r '2    ρ(r '  )dv ' v '

v '

v '

        [38] que se puede escribir en la forma

V(r) = 1 4πε0 1 r ρ(r '  )dv '+ rr3 r '  ρ(r '  )dv '+ 1 2r5 xixj j=1 3

i=1 3

3x 'ix 'j−δijr '2ρ(r '  )dv '+… v '

v '

v '

       

donde xi, xjson las componentes cartesianas de r y x’i, x’j son las componentes cartesianas de r’, y δij se define

como δij = 0 si i ≠ j 1 si i = j    

La interpretación de los diferentes términos de la ecuación [38] es la siguiente:

La primera integral del segundo miembro es la carga total de la distribución y el primer término representa, por tanto, el potencial creado en r como si toda la carga de la distribución estuviese concentrada en el origen en forma de carga puntual.

La segunda integral tiene la misma estructura dimensional que el momento dipolar de un dipolo, por lo que se define como momento dipolar de la distribución de carga.

Esto representa una generalización de la definición dada para dos cargas puntuales iguales y de signo contra-rio. Se puede comprobar fácilmente que ambas definiciones conducen al mismo resultado para dos cargas pun-tuales iguales y de signo contrario.

El segundo término representa, por tanto, el potencial que produciría en r un dipolo puntual, de momento dipolar igual al de la distribución de carga, situado en el origen de coordenadas.

Es interesante observar que

El momento dipolar de la distribución de carga es independiente del origen de coordenadas, si la carga total es nula.

Para comprobarlo, consideremos un nuevo sistema de coordenadas con origen en un punto cuyo vector de posi-ción respecto al sistema primitivo es r0.

Si designamos por r’ el vector de posición de un punto respecto del sistema primitivo, y por r” el vector de posición del mismo punto respecto del nuevo sistema, se verifica que:

r '  = r0  + r "  El momento dipolar respecto del sistema primitivo es

p  = r '  ρ(r '  )dv ' v '

= (r0  + r "  )ρ(r ')dv ' v '

= r0  v '

ρ(r '  )dv '+ r " v '

ρ(r '  )dv ' = r0Q '+ r " v '

ρ(r '  )dv '

lo que demuestra el enunciado anterior.

La tercera integral se denomina momento cuadripolar de la distribución de carga, y se puede expresar de la forma siguiente: 3x 'ix 'j−δijr '2   ρ(r '  )dv ' =Qij v '

[39]

Hay nueve componentes de Qijcorrespondientes a i, j iguales a 1, 2, 3.

De estas nueve componentes, seis son iguales por parejas, quedando seis componentes diferentes. Este con-junto de cantidades constituyen el momento cuadripolar tensorial y representa una extensión del concep-to de momenconcep-to dipolar.

Existen momentos de orden superior que se obtienen conservando los términos de órdenes superiores en el desa-rrollo de la ecuación [37]. Estos multipolos de orden superior son importantes en física nuclear.

La ecuación [38] del desarrollo multipolar se utiliza para calcular, aproximadamente, el potencial creado por una distribución de carga, y a partir de ella, se puede hallar el campo eléctrico, por medio de

E 

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :