Es una matriz de dimensión 3 4. filas. Tiene. columnas

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque II: Álgebra Lineal Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 5: Matrices

1

Forma abreviada

A

=

( )

a

_ij

UNIDAD 5 MATRICES.

1. CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES.

Matriz A de dimensión m×n: Conjunto de m⋅n números distribuidos en mfilas y n

columnas encerrados entre paréntesis de la forma:

Filasdelamatriz A A matriz la de Columnas mn m m m n n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

2

1

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

...

...

...

...

...

...

...

...

...

3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11

Números que la forman→Elementos de la matriz. En un elemento

⎩

⎨

⎧

→

→

encuentra. se que la en columna la Indica encuentra. se que la en fila la Indica

j

i

a

_ij

→

×n m

M

Conjunto de las matrices de dimensión m×n.

Ejemplo:

Es una matriz de dimensión 3×4. Tiene ⎩ ⎨ ⎧ columnas filas 4 3 Algunos elementos:

a

₁₁

=

2

,

a

₂₁

=

5

,

a

₁₂

=

3

,

a

₂₄

=

10

,

a

₃₃

=

3

a

₃₄

=

8

.

TIPOS DE MATRICES:

Matrices iguales: Tienen la misma dimensión.

Los elementos situados en la misma posición son iguales. Matriz fila: Si tiene una sola fila.

Ejemplo: A=

(

1 3 7 4

)

dim

( )

A =1×4.

Matriz columna: Si tiene una sola columna.

Ejemplo:

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

3

8

4

7

2

B

dim

( )

B =5×1.

Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas (dim

( )

A =n×n). En este caso decimos que es de orden n, y se escribe ord

( )

A =n.

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 6 7 9 4 2 1 0 1 2 A ord

( )

A =3

Si una matriz no es cuadrada, diremos que la matriz es rectangular.

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

3

7

0

1

2

12

B

dim

( )

B =2×3

→

n

M

Conjunto de las matrices cuadradas de orden n. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 8 3 1 1 10 2 2 5 5 1 3 2 A

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2

En una matriz cuadrada distinguimos:

Diagonal principal: formada por los elementos

a

₁₁

,

a

₂₂

,...,

a

_nn

.

Son de la forma

a

_ii

.

Diagonal secundaria: formada por los elementos

a

_1n

,

a

_2n−1

,...,

a

_n1

,

es decir, los que van del elemento superior derecho al elemento inferior izquierdo.

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 6 7 9 4 2 1 0 1 2 A Cumplen que

i

+

j

=

n

+

1

Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos.

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 3 0 0 0 2 C

Matriz escalar: Matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 0 0 0 2 0 0 0 2 D

Matriz unidad o matriz identidad de orden n

( )

I

_n

:

Matriz diagonal (por tanto también cuadrada), en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1 (y por tanto también es escalar). I₁ =

( )

1

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

1

0

0

1

2

I

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I

⎟⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

4

I

Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos (cero).

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 6 0 0 4 2 0 7 1 2 A

Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos (cero).

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 6 7 9 0 2 1 0 0 2 A

Matriz nula: Todos sus elementos son iguales a cero.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0

0

0

0

0

0

O

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 6 7 9 4 2 1 0 1 2 A

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3

Matriz traspuesta de A

( )

A

t : Se obtiene intercambiando en la matriz A las filas por columnas. Consecuentemente, si dim

( )

A =m×n,

dim

( )

A

t

₌

n

_×

m

.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

0

7

1

3

5

2

A

dim

( )

A =2×3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 3 7 5 1 2 t A

dim

( )

_A

t

=

3

×

2

Matriz opuesta de A (-A): Formada por los opuestos de los elementos de la matriz A.

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

0

7

1

3

5

2

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

=

−

0

7

1

3

5

2

A

Matriz simétrica: Matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir,

_A

₌

_A

t

.

Consecuentemente,

a

_ij

=

a

_ji

.

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 6 4 5 4 0 6 5 6 1 A es simétrica ya que ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 6 4 5 4 0 6 5 6 1 t A

Matriz antisimétrica: También llamada hemisimétrica, es una matriz cuadrada en la que su opuesta coincide con su traspuesta, es decir,

A

t

₌

₋

A

.

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0 3 2 3 0 1 2 1 0 A es antisimétrica ya que At ₌₋A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 0 3 2 3 0 1 2 1 0 . Observa que la diagonal principal de una matriz antisimétrica es nula.

2. OPERACIONES CON MATRICES.

2.1. SUMA DE MATRICES.

Dadas las matrices

A

=

( )

a

_ij y

B

=

( )

b

_ij ambas de la misma dimensión

m

×

n

,

definimos la suma de

A

y

B

como:

(

a

ij

b

ij

)

B

A

+

=

+

Es decir, para sumar matrices sumamos los elementos situados en la misma posición. Fíjate, la dimensión de la matriz

A

+

B

sigue siendo m×n.

Ejemplo: 3 2

4

5

6

5

1

2

x

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

3 2

1

9

3

7

0

4

x

B

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

3 2 3 2

3

14

3

2

1

6

1

4

9

5

)

3

(

6

)

7

(

5

0

1

4

2

x x

B

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

−

+

−

+

+

−

+

=

+

Si A y B No tienen la misma dimensión, entonces NO SE PUEDEN SUMAR. Ejemplo: 2 3 7 3 4 1 3 2 x A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 2

9

1

4

0

6

2

1

5

x

B

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

No se pueden sumar.

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4

Propiedades:

• Conmutativa: A+B=B+A.

• Asociativa: A+

(

B+C

) (

= A+B

)

+C

• Existencia de elemento neutro: Si considero la matriz nula O.

A O A O

A+ = = +

• Existencia de elemento opuesto: Dada una matriz

A

existe

−

A

de modo que

La existencia de elemento opuesto nos permite definir la diferencia de dos matrices A y B como:

( )

B A B A− = + − es decir,

A

−

B

=

( ) ( ) (

a

_ij

+

−

b

_ij

=

a

_ij

−

b

_ij

)

Ejemplo:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

1

0

4

1

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

1

4

4

5

B

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

=

−

0

4

0

4

1

1

4

0

4

4

5

1

B

A

2.2. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ.

Dada una matriz

A

=

( )

a

_ij y un número real

k

,

definimos el producto de kpor

A

como:

(

k

a

ij

)

A

k

⋅

=

⋅

Ejemplo: Si k =2 y

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

7

2

4

3

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅

=

⋅

14

4

8

6

7

2

4

3

2

2 A

Propiedades: • k

(

A+B

)

=kA+kB. •

(

k₁+k₂

)

A=k₁A+k₂A. • k₁

( ) ( )

k₂A = k₁k₂ A •

1

⋅

A

=

A

=

A

⋅

1

2.3. PRODUCTO DE MATRICES.

NO SIEMPRE, es posible multiplicar dos matrices. Es necesario que:

⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ MATRIZ SEGUNDA LA DE FILAS DE NÚMERO MATRIZ PRIMERA LA DE COLUMNAS DE NÚMERO

En caso contrario, NO se pueden multiplicar.

Caso particular: Producto de una matriz fila por una matriz columna.

Si

A

=

(

a

₁₁

a

₁₂

...

a

_1n

)

;

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 21 11 ... n b b b B

( )

( )

⎩ ⎨ ⎧ × = × = 1 dim 1 dim : que Observa n B n A Entonces:

(

)

_{11 11 12 21 1 1} 1 21 11 1 12 11 ... ... ... _{n n} n n a b a b a b b b b a a a B A = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⋅

Observa: el resultado es un número real (matriz de orden 1).

( )

A

O

( )

A

A

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5

Columna j de la matriz B Ejemplo:

(

2

3

−

4

)

;

=

A

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 7 5 B

(

)

2 5 3

( ) ( ) ( )

7 4 2 10 21 8 3 2 7 5 4 3 2 1 3 3 1 = ⋅ + ⋅ − + − ⋅ − = − + =− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ − = ⋅ x x B A . Por tanto A⋅ B=−3.

Caso general: Si dim

( )

A =m×n.

dim

( )

B =n×p.

El producto de dos matrices

A

y

B

, es otra matriz

A

⋅

B

=

( )

c

_ij de dimensión

m

×

p

en la que el elemento

c

_ij se obtiene multiplicando la fila

i

de la matriz A por la columna

j

de la matriz B:

(

)

i j i j in nj nj j j A i in i i ij a b a b a b b b b a a a c = ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ... ... ... 2 _{1 1 2 2} 1 matriz la de Fila 2 1 3 2 1 4 4 4 3 4 4 4 2 1 Ejemplo 1: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 1 2 2 1 3 3 2 1 A ; ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 2 1 1 1 2 B

B

⋅ A

→

Nosepuederealizar

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

_{3 2} 2 3 3 3 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 3 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 3 1 3 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 3 3 2 1 x x x B A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⋅ 2 3 1 3 2 4 9 3 x ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = Ejemplo 2: ; 0 1 9 4 1 2 2 3× ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = A 2 2

0

2

3

1

×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

B

B

⋅ A

→

Nosepuederealizar 2 3 2 2 2 3 12 3 6 4 1 20 0 2 3 1 0 1 9 4 1 2 x x x B A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛− − ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ⋅

Ejemplo 3: ¿Qué ocurre si se multiplica una matriz columna por una matriz fila?

; 7 4 3 1 3× ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = A

B

=

(

1

2

5

)

_1×3

(

)

3 3 3 1 1 3 7 14 35 20 8 4 15 6 3 5 2 1 7 4 3 x x x B A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ ⇒

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6

Propiedades:

• Asociativa: A⋅

(

B⋅C

) (

= A⋅B

)

⋅C

Siempre que dim

( )

A =m×n;dim

( )

B =n×p;dim

( )

C = p×q.

Observa que la matriz producto de estas tres tendrá dimensión

m

×

q

.

• Distributiva del producto respecto a la suma de matrices:

(

B C

)

A B A C

A⋅ + = ⋅ + ⋅ siempre que dim

( )

A =m×n;dim

( )

B =dim

( )

C =n×q.

(

A+B

)

⋅C =A⋅C+B⋅C siempre que dim

( )

A =dim

( )

B =m×n;dim

( )

C =n×q.

• Elemento neutro: Sidim

( )

A =m×n, entonces

I

_m

⋅

A

=

A

⋅

I

_n

=

A

EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO, es decir, en general:

A

B

B

A

⋅

≠

⋅

Ejemplo 1:

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

5

4

1

2

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⋅

28

19

14

5

0

3

7

1

5

4

1

2

B

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0

3

7

1

B

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⋅

3

6

36

30

5

4

1

2

0

3

7

1

A

B

Ejemplo 2:

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

1

0

1

2

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⋅

1

11

0

6

3

5

1

5

0

3

3

1

1

0

1

2

B

A

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

1

5

0

3

3

1

B

_⎟⎟

←

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⋅

1

0

1

2

1

5

0

3

3

1

A

B

No se puede realizar

2.4. POTENCIA DE UNA MATRIZ.

Si

A

es una matriz cuadrada, se define:

₁

₄₂

_K

₄₃

veces n n

_A

_A

_A

A

=

⋅

⋅

⋅

Por tanto:

A

1

=

A

A

2

=

A

⋅

A

A

3

=

A

⋅

A

⋅

A

=

A

2

⋅

A

Ejemplo 1: Dada la matriz

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

5

1

3

2

A

, calcula

A

2 y

A

3.

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⋅

=

28

7

21

7

5

1

3

2

5

1

3

2

2

_A

_A

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⋅

=

161

42

126

35

5

1

3

2

28

7

21

7

2 3

_A

_A

A

Ejemplo 2: Dada la matriz

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

0

1

1

0

A

, calcula

_A

200_. 2 2 3 4 2 2 3 2 2

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

I

A

A

A

A

A

A

A

A

I

A

A

A

I

A

=

=

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⇒ par es n si I impar es n si A An , , 2 Por tanto:

A

200

=

I

₂

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7

Observación 1: Dadas dos matrices

A

y

B

, en general se cumple que:

a

)

(

A

+

B

)

2

≠

A

2

+

B

2

+

2

A

⋅

B

b

)

(

A

−

B

)

2

≠

A

2

+

B

2

−

2

A

⋅

B

¡Compruébalo con un ejemplo!

_c

₎

(

_A

₊

_B

) (

_⋅

_A

₋

_B

)

_≠

_A

2

₋

_B

2 _{¿Por qué no se cumple la igualdad?}

Observación 2: Si

A

es una matriz diagonal:

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = p nn p p p nn a a a A a a a A L L L L L L L L L L L L L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 22 11 11

Ejemplo 3: Dada la matriz

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 7 0 0 0 3 0 0 0 2 A , calcula

A

3 y

A

5.

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

343

0

0

0

27

0

0

0

8

7

0

0

0

3

0

0

0

2

3 3 3 3

A

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

16807

0

0

0

243

0

0

0

32

7

0

0

0

3

0

0

0

2

5 5 5 5

A

Ejercicio: Dadas las matrices:

; 3 2 2 1 ; 0 5 4 2 3 1 ; 4 0 1 3 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = B C A D=

(

1 −2 4

)

y ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 3 0 2 0 2 1 2 1 1 E . Calcula, si es posible:

A

B

y

B

A

a

)

⋅

⋅

b

)

A

⋅

C

y

C

⋅

A

c

)

B

⋅

C

y

C

⋅

B

d

)

D

⋅

E

y

E

⋅

D

_e

₎

_E

_⋅

_D

t

_f

₎

_C

2

₋

_B

_⋅

_A

_g

₎

_E

2

₋

_E

_h

₎

_D

_⋅

_D

t

_y

_D

t

_⋅

_D

2.5. INVERSA DE UNA MATRIZ.

Matriz regular o invertible: Es una matriz cuadrada

A

de orden n para la que existe otra matriz

A

−1 tal que:

n

I

A

A

A

A

⋅

−1

=

−1

⋅

=

A la matriz

A

−1 se le llama matriz inversa de

A

. Si una matriz

A

no tiene inversa se llama singular. Propiedades: •

(

_⋅

)

−1

₌

−1

_⋅

−1

A

B

B

A

•

( )

−1

_{= A}

1

−1

k

kA

•

( )

A

−1 −1

=

A

Veamos dos formas de calcular la matriz inversa de una matriz regular. La siguiente unidad aportará un método alternativo basado en el concepto de determinante de una matriz.

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque II: Álgebra Lineal Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 5: Matrices

8

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA:

1ª Forma: A partir de la definición. (Método no adecuado para matrices de orden >2) Ejemplo:

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

3

1

1

2

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

d

c

b

a

A

1 Como

_⎟⎟

⇒

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⇒

=

⋅

−

1

0

0

1

3

1

1

2

2 1

d

c

b

a

I

A

A

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−

−

1

0

0

1

3

3

2

2

d

b

c

a

d

b

c

a

⇒

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

=

⇒

⎭

⎬

⎫

=

+

=

−

=

=

⇒

⎭

⎬

⎫

=

+

=

−

⇒

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

+

=

+

=

−

=

−

⇒

− 7 2 7 1 71 7 3

;

1

3

0

2

;

0

3

1

2

1

3

0

3

0

2

1

2

d

b

d

b

d

b

c

a

c

a

c

a

d

b

c

a

d

b

c

a

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ₋ − 7 2 71 7 1 7 3 1 A Ejercicio:

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

2

1

1

0

0

1

1

2

₁

A

A

¡Compruébalo!

2ª Forma: Método de Gauss-Jordan.

Ejemplo 1: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 4 3 1 1 1 0 1 1 A

ƒ Partimos de

( )

AI y queremos obtener

(

I A−1

)

.

ƒ Si aparece en la transformación de

A

una fila o una columna de ceros, la matriz NO es regular (NO tendrá inversa).

ƒ Se pueden reordenar filas pero NO columnas.

( )

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

=

_↔ − − 3 2 1 3 1 2

1

0

3

0

1

1

0

0

1

3

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

3

4

3

1

1

1

0

1

1

3 3 F F F F F F

I

A

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

→

_{− −} 2 1 3 2

0

1

1

1

3

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

3

0

0

1

1

0

0

3

1

0

0

1

1

3F F F F

(

1

)

3

0

1

1

1

3

0

1

3

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

−

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

→

I

A

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⇒ − 0 1 1 1 3 0 1 3 1 1 A Ejemplo 2: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 1 1 4 4 1 6 0 2 B

( )

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

− + ↔ 1 3 1 2 3 1 2 3

0

0

1

0

1

0

1

0

0

6

0

2

4

4

1

2

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

1

1

4

4

1

6

0

2

F F F F F F

I

B

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

→

₋ ÷ ÷ 3 2 3 2

1

0

0

1

0

0

1

1

0

2

1

0

2

1

1

2

0

1

1

1

0

1

0

0

2

2

0

6

3

0

2

1

1

2 1 3 1 3 1 2 3 F F F F

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque II: Álgebra Lineal Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 5: Matrices

9

( )

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

→

⋅ −+ − − − − − − ++ − − 3 2 1 3 1 3 2 1 34 31 2 1 37 31 35 32 22 34 31 2 1 3 1 3 1

₁

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

2

1

0

2

1

1

F F F F F F F

(

)

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

⇒

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

→

− − − − − − − − 3 4 3 1 21 37 31 1 1 3 3 4 3 1 21 37 31

1

4

1

2

1

4

1

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

B

B

I

Ejemplo 3: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 1 0 0 2 1 1 0 1 2 C

( )

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

_{↔ +} 1 2 2 1 2 3

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

2

2

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

2

1

1

0

1

2

F F F F

I

C

( )

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛−

→

_{− ⋅} − − 1 3 2 3 1 1 4 2

1

0

0

4

2

1

2

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

2

1

0

1

0

1

0

0

4

1

0

2

1

1

F F F F F

(

1

)

3

1

0

0

4

2

1

2

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

4

2

1

2

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

2 1 − +

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

⎯

⎯ →

⎯

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

→

_{F F}

I

C

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⇒ − 1 0 0 4 2 1 2 1 1 1 C

Ejercicio: Comprueba que la matriz

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 1 1 1 2 2 0 1 D no tiene inversa.

Propiedades de la traspuesta de una matriz. •

( )

A

t t

₌

A

•

(

)

t t t

B

A

B

A

+

=

+

•

( )

t t

kA

kA

=

¡Compruébalo con ejemplos! •

(

)

t t t

A

B

B

A

⋅

=

⋅

•

( ) ( )

_A

−1 t

₌

_A

t −1

3. RANGO DE UNA MATRIZ.

Dada una matriz

A

.

Una combinación lineal de filas

F

₁

,

F

₂

,

_L

,

F

_k de

A

es:

a

₁

F

₁

+

a

₂

F

₂

+

_L

+

a

_k

F

_k Una combinación lineal de columnas

C

₁

,

C

₂

,

_L

,

C

_l de

A

es:

b

₁

C

₁

+

b

₂

C

₂

+

_L

+

b

_l

C

_l Ejemplo 1: ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 1 1 1 1 6 3 0 4 1 2 A Observa que

F

1

+

2

F

2

=

F

3.

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque II: Álgebra Lineal Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 5: Matrices

10

Una fila (o columna) depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas. En ese caso decimos que las filas son linealmente dependientes. En caso contrario, serán linealmente independientes. Ejemplo 2: _→ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 1 1 1 1 6 3 0 4 1 2 ) A

a Las tres filas son linealmente dependientes:

→ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 5 4 1 2 3 1 ) B

b F1 y F2 son linealmente independientes.

Rango de una matriz: Número de filas (o columnas) no nulas y linealmente independientes. Se representa por

rang

( )

A

ó

r

( )

A

.

Cálculo del rango de una matriz (Gauss):

ƒ Transformamos

A

en una matriz escalonada.

ƒ Rang(A) es el número de filas no nulas de la matriz escalonada que resulta.

Ejemplo 3: ⎯⎯ →⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = +− ÷ 1 3 1 2 1 2 3 1 1 0 6 0 3 5 1 2 1 3 1 1 1 0 6 0 6 5 1 4 1 3 2 F F F F F A

( )

2 0 1 0 0 9 3 0 7 2 0 0 1 1 1 0 9 9 3 7 7 2 0 0 1 2 3 ⇒ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → _F+F rang A Ejemplo 4: ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = − + − ÷ ÷ ÷ 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 10 2 4 6 5 1 2 3 5 1 2 3 1 4 1 3 1 2 5 2 1 52 3 F F F F F F F F F B ⇒rang

( )

B =1 Ejemplo 5: ⎯⎯ →⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + − ↔ 1 3 1 2 2 1 2 1 1 2 3 3 2 4 1 1 1 2 1 1 2 1 3 2 3 4 1 1 1 1 2 F F F F F F C

( )

3 14 3 2 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 3 2 5 1 2 5 1 1 0 0 1 2 3 5 ⇒ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → _{F+ F} rang C

Ejemplo 6: Calcula el rango, según los valores de k, de la matriz _. 1 5 3 1 1 1 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = k A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎯ ⎯ → ⎯ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ₋ − − 11 0 0 2 3 0 1 2 1 5 9 0 2 3 0 1 2 1 1 5 3 1 1 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 5 k k k A _{F F} F F F F

Por tanto: Si k =11⇒rang

( )

A =2

Si

k ≠11⇒rang

( )

A =3

Propiedad: Una matriz cuadrada

A

es invertible si y sólo si rang

( )

A =Ord

( )

A .

La siguiente unidad nos proporcionará un método alternativo para determinar el rango de una matriz cuadrada.

3 2 1

2

F

F

IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II

Departamento de Matemáticas Bloque II: Álgebra Lineal Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 5: Matrices

11

4. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES.

Ecuación matricial: Ecuación en la que las incógnitas son matrices. Sean

A

y

B

matrices y

A

regular:

Si la ecuación matricial tiene la forma

AX

=

B

entonces:

B

A

X

−1 − − −

_AX

₌

_A

_B

_⇒

_I

_X

₌

_A

_B

_⇒

₌

A

1 1 _n 1

Si la ecuación matricial tiene la forma

XA

=

B

entonces:

1

BA

X

− − − −1

₌

_BA

1

_⇒

_XI

₌

_BA

1

_⇒

₌

XAA

_n

Ejemplo 1: Dadas las matrices

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

4

0

3

1

A

y

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

12

4

10

1

B

.

Hallar

X

tal que

AX

=

B

.

Como _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∃ − 4 1 4 3 1 0 1 A ; _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = − 3 1 1 2 12 4 10 1 0 1 4 1 4 3 1_B A X

Observación: Si

A

no es cuadrada no podemos calcular su inversa, ¿cómo lo hacemos entonces?

Ejemplo 2: Dadas las matrices

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 2 4 1 3 A y ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 8 8 9 2 5 6

B . Hallar

X

tal que

AX

=

B

.

Sea ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 8 8 9 2 5 6 1 4 2 1 2 3 d c b a d c b a X

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

=

=

=

=

⇒

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

+

=

+

−

=

−

=

+

=

+

=

−

⇒

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

+

+

−

−

⇒

4

0

1

2

8

4

9

2

5

2

3

8

4

2

2

6

2

3

8

8

9

2

5

6

4

4

2

2

2

3

2

3

d

c

b

a

d

b

d

b

d

b

c

a

c

a

c

a

d

b

c

a

d

b

c

a

d

b

c

a

Por tanto,

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

4

0

1

2

X

Fíjate: El Ejemplo 1 también se puede hacer de este modo. Ejemplo 3: Resuelve la ecuación matricial AX+B=C, siendo

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

3

1

1

1

1

0

1

2

1

0

1

1

;

1

2

1

1

C

y

B

A

Como

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

∃

−

1

2

1

1

1

A

(calcúlala) despejamos la matriz X:

{ =

[

−

]

⇒X =A 1

[

C−B

]

⇒ − = ⇒ = +_{B C AX C B A}− _{AX A}− _{C B} − AX I 1 1 2

[

]

_⎥= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − = − 1 2 1 0 1 1 3 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 _{C B} A X

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

0

1

2

1

1

1

0

1

2

1

1

1

2

1

0

1

0

1

1

2

1

1

X

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Departamento de Matemáticas Bloque II: Álgebra Lineal Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 5: Matrices

12

Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial

AX

+

X

=

B

, siendo

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

1

2

1

1

4

2

2

0

B

y

A

Solución:

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

3

0

7

1

X

Pista: Sacar factor común X.

Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial AX =BX +C, siendo

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

1

0

2

1

1

3

0

2

2

1

C

B

A

Solución:

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

2

1

X

Sistema de ecuaciones matriciales: Sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son matrices.

Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema matricial:

Y

X

Y

X

Y

X

₀

₃

2

5

2

2

4

3

1

3

2

3

0

5

2

2

⇒

=

⎜⎜

_⎝

⎛

⎟⎟

_⎠

⎞

−

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

+

⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 4 3 1 3 4 6 0 10 4 2 4 3 1 3 2 3 0 5 2 2 Y Y Y Y

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

=

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

−

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

⇒

4

4

13

3

7

1

4

4

13

3

7

6

0

10

4

2

4

3

1

7

Y

Y

Y

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

4

4

13

3

7

1

Y

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

13

8

9

8

7

1

13

8

9

8

7

1

4

4

13

3

7

2

3

0

5

2

X

X

Ejercicio: Resolver, por reducción, el siguiente sistema matricial:

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

+

0

1

1

1

0

2

4

1

2

Y

X

Y

X

Solución: _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − 0 0 2 ; 0 1 1 ₃1 3 2 Y X

Ejercicio: Halla la matriz

X

2

+

Y

2 si

X

e

Y

son dos matrices cuadradas que verifican:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+

15

4

0

2

3

5

X

Y

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

+

9

2

1

1

2

3

X

Y

Solución:

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

+

⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

7

10

17

14

0

2

5

1

;

3

2

3

1

_{2 2}

Y

X

Y

X

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13

5. APLICACIONES DE LAS MATRICES.

Son muchas las aplicaciones de las matrices para representar y analizar situaciones que se plantean en temas tan diversos como redes de transporte y distribución de mercancías, redes de Ingeniería Eléctrica o Telefónica, redes de computadoras, estructuras moleculares en Química, estructuras de datos o de organización de Sociología y Economía, mapas de carreteras, trenes, metro...

El núcleo central de muchos de estos problemas lo constituyen los grafos. GRAFOS:

La teoría de grafos tiene su origen histórico en “El problema de los siete puentes de

Königsberg (Prusia)” propuesto por Euler en 1736:

“En la ciudad de Königsberg hay una isla y el río que la rodea (Pregel) se divide en dos brazos. En la época de Euler al río lo rodeaban siete puentes. ¿Habrá algún camino que nos permita pasar una sola vez por todos los puentes y volver al punto de partida?”

Nota: Königsberg es la actual de Kaliningrado, ciudad rusa a orillas del Báltico situada a 50 km de Polonia. Los siete puentes fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial.

Euler redujo el problema a cuatro puntos A, B, C y D (vértices) unidos por siete rutas (arcos o aristas), es decir, un grafo.

Ahora el problema consiste en recorrer el diagrama, sin levantar el lápiz del papel, pasando por todos los vértices una sola vez y volviendo al punto de partida.

Euler demostró que tal recorrido era imposible.

Grafo: Conjunto finito de puntos llamados vértices o nodos, y unas líneas que unen parejas de esos puntos llamadas aristas o arcos.

Grafo dirigido o digrafo: Es un grafo en el que las aristas o arcos están dirigidos.

Bucle o lazo: arista de un grafo cuyos extremos coinciden en un mismo vértice.

Grafo (o digrafo) simple: grafo (o digrafo) en el que dos vértices cualesquiera están unidos, a lo sumo, por una única arista y que no posee bucles.

En el caso de un digrafo pueden existir dos aristas por cada par de vértices pero con orientación contraria (“ida” y “vuelta”).

Multigrafo: grafo que permite aristas múltiples entre dos vértices. Si además se permiten bucles se llama pseudografo. Estos conceptos se extienden para digrafos

Fíjate: En los siguientes ejemplos los dos últimos casos no son grafos simples.

Nota:

Algunos autores usan

el término

arco para las

aristas dirigidas.

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14

Grafo mixto: grafo que posee aristas dirigidas y no dirigidas.

Grafo (o digrafo) completo: grafo (o digrafo) simple que posee u arco para cada par de vértices.

Fíjate que esta definición implica que, en el caso de un digrafo, éste será completo si cada pareja de vértices está unida por dos aristas dirigidas de forma opuesta.

Los extremos de una arista se dice que son vértices incidentes con la arista. Dos vértices incidentes con una misma arista se dicen adyacentes.

Matriz de adyacencia asociada a un grafo: Matriz cuadrada

M

=

( )

m

_ij de orden el número de vértices del grafo que va a determinar la estructura de éste. Se construye así:

=

ij

m

Número de aristas que unen el vértice correspondiente a la fila

i

de la matriz

M

con el vértice correspondiente a la columna

.j

Ten en cuenta que:

• En el caso de grafos simples existirá, a lo sumo, un arco para una pareja determinada de vértices. Por tanto, colocaremos un

1

o un 0 en la casilla correspondiente de la matriz de adyacencia, dependiendo de si hay o no un arco que conecte los vértices correspondientes a esta casilla. Fíjate que en este caso

ji ij m

m

=

, y por lo tanto la matriz de adyacencia será simétrica.

• En el caso de un digrafo simple habrá que tener en cuenta la orientación del arco para construir la matriz de adyacencia, ya que en este caso m_ij

=

m_ji únicamente cuando existan dos arcos con orientación contraria que conecten los vértices correspondientes (pondremos un

1

en ambas casillas), o bien no exista ningún arco que los una (en ese caso pondremos un 0).

Ejemplo 1: Construye la matriz de adyacencia en cada caso:

Solución: E D C B A E D C B A M ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 E D C B A E D C B A N ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

Ejemplo 2: Dibuja un grafo o digrafo que corresponda a cada matriz de adyacencia:

C B A C B A M a ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) C B A C B A N b ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 0 1 0 0 0 ) a) b)