SOLUCIONES
Este documento es largo porque algunos ejercicios aparecen resueltos de distintas formas. Dando la posibilidad de comprobar qué método resulta más ventajoso en cada caso.
OPCIÓN A: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que
están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas
cuestiones que le resulten más sencillas.
CUESTIÓN A.1: Considere las matrices 2 4 2 1
1 3 2 0
A y B
.
a) [1,5 puntos] Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.
b) [1 punto] Determine la matriz X que cumple la ecuación
AXB
A
B
. a)2
4
6 4
2
0 por lo que la matriz A es invertible
1
3
2
1
0 2
2
0 por lo que la matriz B es invertible
2
0
A
B
Una forma de hallar las inversas:
1 12 1
3
4
3 / 2
2
4
3
1
1
2
1 / 2
1
2
2
2
2
0
1
0
1 / 2
1
0
1
2
2
1
1
2
2
T TAdj
Adj A
A
A
Adj
Adj B
B
B
Otra forma de hallar las inversas es con el método de Gauss-Jordan:
2·Fila 2ª - Fila 1ª Fila 2ª Fila 1ª - 2·Fila 2ª Fila 1ª
Fila 1ª 1 2 Fila 2ª 2
2
4
2
4
1
0
2
4
1
0
1
3
1
3
0
1
0
2
1 2
2
0
3
4
1
0
3 / 2
2
3 / 2
2
0
2
1
2
0
1
1 / 2
1
1 / 2
1
A
A
1 13 / 2
2
2
4
2
1
0
1/ 2
3 / 2
2
0
5
0
1/ 2
·
·
·
·
1/ 2
1
1
3
2
0
1
1
1/ 2
1
1 3
1
1
2
15 / 2 6
0
1/ 2
2
3 / 2
0
1/ 2
3
·
·
1
5 / 2 3
1
1
1 1/ 2
1
1
AXB
A
B
X
A
A B B
X
/ 2
5 / 2
3 / 2
5 / 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2
0
3 / 2
5 / 2
La matriz pedida es
1/ 2
0
X
Otra forma de resolverlo es:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
Asi el cálculo de la matriz X es tan sencillo como sumar las dos matrices inversas: 3 / 2 2 0 1 / 2 3 / 2 5 / 2 1 / 2 1 1 1 1 / 2 0 AXB A B X A A B B X A A A B B Id A B B B A BB B A X 3 / 2 5 / 2 La matriz pedida es 1 / 2 0 X
CUESTIÓN A.2: Considere la recta r que pasa por los puntos A = (1, 1, 1) y B = (3, 3, 4) y la recta s cuyo vector director es v
1, 3, 1
y pasa por el punto C = (4, 0, 3).a) [1 punto] Determine las ecuaciones continuas de las rectas r y s .
b) [1,5 puntos] Estudie la posición relativa de r y s.
a)
La ecuación de la recta r se obtiene:
1, 1, 1 1, 1, 1 1 1 1 2 2 3 3, 3, 4 2, 2, 3 A A x y z B u AB La ecuación de la recta s se obtiene:
C 4, 0, 3 4 0 3 1, 3, 1 1 3 1 x y z v b)Una forma de hacerlo
Los vectores directores de las rectas no son proporcionales:
2 2 3 1 3 1
Para ver si se cortan o se cruzan, consideremos los vectores directores de cada una de las rectas y el vector que va de un punto de r a otro de s. Estudiemos si son independientes o dependientes entre sí.
2
2
3
1, 3, 1
1
3
1
12 6 3
27 4 2
21 21 0
3
1 2
4, 0,3
1,1,1
3
2, 2,
,
3
1, 2
w
A
u
v
C
Los vectores son dependientes entre si, y por tanto son coplanarios. Es decir las rectas se cortan.
Solución Las rectas se cortan.
Otra forma de hacerlo
Las rectas no son paralelas, ya que los vectores directores de las rectas no son proporcionales:
2 2 3 1 3 1
Luego solo pueden cortarse o cruzarse.
¿Se cruzan o se cortan? Resolvamos el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas y averigüemos si tienen o no punto de corte.
1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 3 4 1 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 3 1 2 1 2 4 0 3 3 4 3 1 3 3 2 3 1 3 1 3 3 5 5 1 1 1 2 1 2 1 3 3 x y x y z z x y z x y z
2 1 3
Existe punto de corte y es:
1 2
3
1 2
3
1 3
4
3, 3, 4
4 1 3
3·1 3
3 1
4
x
y
z
P
x
y
z
Las rectas se cortan
Una tercera forma de resolverlo es estudiando los rangos de las ecuaciones de las rectas como
1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 1 1 3 3 2 2 3 2 1 2 3 2 2 3 4 0 4 0 3 3 12 3 12 1 3 1 3 1 3 9 3 9 0 3 3 1
Con estas 4 ecuaciones formamos un sistema
x y x y x y y z x y z y z y z x y x y z x y x y y z y z y z *
cuya matriz de coeficientes es:
1 1 0 1 1 0 0
0 3 2 0 3 2 1
y la ampliada M
3 1 0 3 1 0 12
0 1 3 0 1 3 9
Estudiamos el rango de dichas matrices. Dado que: 1 1 0 0 3 2 0 6 0 (0 0 2) 8 0 tenemos qu 3 1 0 M e rango (M)=3. * *
Para hallar el rango de M , 1 1 0 0 3 2 1 0 2 1 0 3 2 1 1 0 12 3 0 12 24 3 108 18 ( 9 54) 0 3 1 0 12 1 3 9 0 3 9 0 1 3 9
Por tanto el rango(M ) 3 rango(M). Las rectas son pues secantes (siendo su intersección un único punt o)
Las rectas se cortan
CUESTIÓN A.3: Calcule los siguientes límites: a) [1 punto] lim 1 3 x x x x . b) [1 punto] 1 1 1 lim ln 1 x x x . a) 1 1 3 4 4
lim · 1 lim · lim · lim
4 3 3 3 3 1 lim 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e x
b) Una forma de hacerlo
1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 ln 0lim lim Aplico L'Hopital lim
1
ln 1 1 ln 0
1 ln ( 1) · 1
1 0 1
lim lim Aplico L'Hopital lim
ln 1 ln 1 0 1 ln · x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 lim ln 1 1 2 x x
Otra forma de hacerlo
1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 ln 0lim lim Aplico L'Hopital lim
1
ln 1 1 ln 0 1 ln ( 1)·
1 1
0 1
Aplico L'Hopital lim
1 1 1 1 1 1 0 1· ( 1)· 1· (1 1)· 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 2 CUESTIÓN A.4:
a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida
2 2
cos
1
x sen x
dx
sen x
.b) [0’5 puntos] Obtenga una primitiva
F x
de la función2 2
cos
1
x sen x
sen x
que cumpla la condición 1 2 F
. a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2Realicemos el cambio de variable:
cos
cos
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
) C
senx
t
xdx
dt
x sen x
t
t
t
dx
dt
dt
dt
dt
sen x
t
t
t
t
dt
arctgt
t
arctgt
senx arctg senx
b)
(
) C
Como
1
(
) C 1
2
2
2
1
(1)
1
1
1
4
4
y por t
Siendo ( )
( )
anto
(
)
4
senx arctg senx
sen
arctg sen
arctg
C
C
C
senx arctg senx
F x
F
F x
CUESTIÓN A.5: [1 punto]
En un colegio se imparten, como primer idioma, inglés, alemán y francés. El 65% de los alumnos estudian inglés, el 20% alemán y el resto francés. La asignatura de robótica es optativa y la elige el 30% de los alumnos de inglés, el 50% de los que estudian alemán y el 70% de los que cursan francés. Se elige un alumno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que estudie robótica?
Una forma de hacerlo
De 100 alumnos 65 estudian Inglés, 20 estudian Alemán y 100-65-20=15 estudian Francés. Robótica estudian el 30% de 65 alumnos (estudian inglés) 30·65 19 '5
100 alumnos de los 100.
Robótica estudian el 50% de 20 alumnos (estudian alemán) 50·20 10
100 alumnos de los 100
Robótica estudian el 70% de 15 alumnos (estudian francés) 70·15 10 '5
100 alumnos de los 100
Por lo tanto, estudian robótica 19’5 + 10 + 10’5 = 40 alumnos de los 100 iniciales. 40 % es la probabilidad de elegir un alumno de robótica al elegir un alumno al azar.
Otra forma de hacerlo
Llamemos I, A y F a los sucesos estudiar inglés, alemán y francés, respectivamente. R será el suceso estudiar robótica.
De los datos del enunciado obtenemos
P(I) = 0’65 P(A) = 0’2 P(F) = 0’15 Y además P(R/I) = 0’3 P(R/A) = 0’5 P(R/F) = 0’7
Gracias al teorema de la probabilidad total, dado que los sucesos I, A y F son independientes, tenemos:
P(R) = 0’3 · 0’65 + 0’2 · 0’5 + 0’15 · 0’7 P(R) = 0’195 + 0’1 + 0’105
P(R) = 0’4
40 % es la probabilidad de elegir un alumno de robótica al elegir un alumno al azar.
Otra forma de hacerlo
Con diagrama de árbol:
La probabilidad pedida es la suma de las tres probabilidades que favorecen que se elija un alumno de robótica: 0’65 · 0’3 + 0’2 · 0’5 + 0’15 · 0’7 = 0’4
40 % es la probabilidad de elegir un alumno de robótica al elegir un alumno al azar. Inglés Alemán Francés Robótica Robótica Robótica No Robótica No Robótica No Robótica 0’65 0’20 0’15 0’30 0’50 0’70 0’65 · 0’3 0’2 · 0’5 0’15 · 0’7
OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas.
CUESTIÓN B.1: Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:
2
1
2
2
2
3
ax
y
z
x
ay
z
x
y
az
a) [0,75 puntos] Determine para qué valores del parámetro a el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.
b) [1,25 puntos] Determine para qué valor del parámetro a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) [0,5 puntos] Determine para qué valor del parámetro a el sistema no tiene solución.
Vamos a discutir el sistema y luego indicamos la respuesta a cada apartado del ejercicio.
El sistema
2
1
2
2
2
3
ax
y
z
x
ay
z
x
y
az
tiene asociado la matriz de los coeficientes M:
3 3 3 22
1
1
2
1 con determinante
1
2
2
1
1
2
1
2
2 2
2
2
2
2
6
4
1
2
0
2
6
4
0
Como es de tercer grado, lo resolvemos por Ruffini
2
0
6
2
2
4
2
4
1
Y el polinomio 2a
2
4
0, se resuelve
2
4
0
como
a
M
a
a
a
M
a
a
a
a
a
a
a
a
M
a
a
a
2ecuación de grado 2,
2 6
1
2
2
4·2·( 4)
2 6
4
obteniendo la solución a =
2 6
2·2
4
2
4
a
a
A partir de esta información surgen los siguientes casos:Caso 1º
a
1,
a
2
El sistema es compatible determinado (tiene solución única) ya que el rango de la matriz de los coeficientes es 3 al igual que el rango de la matriz ampliada.
La matriz de los coeficientes queda
*
1 2 1
1 2 1 que tiene rango 1, ya que las 3 columnas son proporcionales. 1 2 1
1 2 1 1
Y el rango de la matriz ampliada M 1 2 1 2 es 2 ya que el determinante del menor de 1 2 1 3 orden 2 siguiente M 1 1 es no nulo, 2 1 1 0 1 2
Rango M ≠ Rango M* el sistema es incompatible (sin solución)
Caso 3º a = – 2
La matriz de los coeficientes queda
*
2
2
1
2
2
1
4
1
que tiene rango 2, ya que el determinante
8 2
10
0
1
4
1
2
2
2
2
1
1
Y la matriz ampliada M
1
4
1
2 tiene rango 2 ya que el menor de orden 3
1
2
2
3
2
2
1
1
4
2
24 4 2
4 6
1
2
3
M
*8
18 18
0
Por tanto rango(M) = 2 = rango(M ) y el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones)
a) Para a1,a 2 el sistema tiene una única solución
b) Para a = – 2 el sistema tiene infinitas soluciones. Resolvemos el sistema para este caso. Una forma de resolverlo
Utilizamos el método de Gauss
3ª 2ª
2
2
1
2
2
1
4
2
4
2
2
2
3
6
3
5
2
2
1
2
2
1
Ecuación Ecuaciónx
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
y
z
x
y
z
x
y
z
La solución es
1 6
3
5 6
z =
3
y
x
y
y
y
Otra forma de resolverlo Utilicemos el método de Cramer
2
2
1
4
2
Como es SCI, le quitamos una ecuación que es redundante, la 3ª
2
2
3
2
2
1
pasamos la incógnita y al 2º miembro de las ecuaciones
4
2
2
1 2
2 4
La mat
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
z
y
x
z
y
2 1 1 2
riz asociada al sistema es
1
1 2 4
2 1
2 1
3
1
1
Las soluciones del sistema son:
1 2
1
2 4
1
1 2
2 4
1 6
1 6
3
3
3
3
2
1 2
1
2 4
4 8
1 2
5 6
5 6
6
3
3
3
y
y
y
y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
z
La solución es1 6
3
5 6
z =
3
y
x
y
y
y
c) Para a = 1 el sistema no tiene solución. Comprobado con anterioridad. CUESTIÓN B.2: Considere los puntos A = (1, 1, 1), B = (1, –1, 0) y C = (0, –2, 1).
a) [1,25 puntos] Calcule el área del triángulo ABC.
b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta (en cualquiera de sus formas) contenida en el plano que forman A, B y C que, pasando por A, es perpendicular al lado BC.
a) El área del triángulo de vértices A = ( 1, 1, 1), B = (1, –1, 0) y C = (0, –2, 1) se obtiene con la fórmula:
2
Calculemos el valor de los vectores y de su producto vectorial 1, 1, 1 0, 2, 1 1, –1, 0 0 2 1 1, 3, 0 0, – 2, ( ) ( ) ( 1) 1 3 0 (2 3 ) 3 AB AC Área A i j k AB B AB AC AC C j k i i j 2k
3,1, 2
29 1 4
14
2
2
2
AB AC
Área
u
b)Una forma de hacerlo
La recta pedida tiene una ecuación definida por dos planos: el plano
π
1 que contiene a lospuntos A, B y C, y el plano
π
2que pasa por A y tiene como vector normal al vector
BC. Ecuación deπ
1 1 11, 1, 1
3
2
0
3 1 2
0
Pasa por
1, 1, 1
=
, 1, -2
4
0
4
: 3
(
)
(
)
( 3
2
4
)
0
A
x
y
z
D
D
A
n
AB AC
D
D
x
y
z
Ecuación deπ
2
2 2(
)
(
)
(0, 2,
1, 1, 1
0
1 1 1
0
Pasa por
1, 1, 1
=
1) (1 1, 0
,
1
0
)
1, 1,1
1
:
1 0
A
x
y
z
D
D
A
n
BC
D
D
x
y
z
La recta pedida es la intersección de los planos:
3 2 4 0 : 1 0 x y z r x y z
Otra forma de hacerlo
Como la recta pedida está contenida en el plano ABC, debe ser perpendicular a su vector normal y además es perpendicular al vector BC. El vector director de la recta se puede obtener haciendo el producto vectorial de ambos vectores (BC y
n
).
(1,1,1) 1 1 1 : 1 5 4 1, 5, 4 r A x y z r v Otra forma de hacerlo
Para hallar la ecuación de la recta pedida necesitamos el vector director de la misma (u), que nos dicen está en el plano (es por tanto perpendicular al vector normal del plano) y es perpendicular al vector BC .
Como el producto vectorial hallado antes es un vector normal al plano
3,1, 2
AB AC n Se debe cumplir:
· 0 , , · 3,1, 2 3 2 0 · 0 , , · 1, 1,1 0 u n a b c a b c u BC a b c a b c Resolviendo queda c = a + b
3
2
3
2
2
0
5
0
5
5
, 5 , 4
5
4
a b
a b
a b
a
b
a
a
a b
b
a
b
a
u
a
a
a
c
a b
a
a
a
Asignemos el valor 1 al parámetro y obtenemos el vector director u
1, 5, 4
Por lo tanto la recta pedida tiene como ecuación:
( ) 1 1 1 : 1 5 4 1, 5 1, 1, 1 , 4 x y u A z r CUESTIÓN B.3: Dada la función
f x
( )
xe
x2 se pide: a) [0,5 puntos] Calcular lim ( )x f x
b) [1,5 puntos] Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función.
a)
2
2 2
1
1
lim
( )
lim
·0
lim
'
lim
0
·2
x x x x x x xx
f x
xe
L Hopital
e
e
x
b) Calculemos la derivada de f(x) e igualemos a 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) '( ) · 2 2 1 2 0 , No tiene solución '( ) 0 1 2 0 1 1 1 2 0 2 2 x x x x x x x x f x xe f x e xe x e x e e x e f x e x x x x Veamos que ocurre en cada intervalo de la recta real que surge antes, entre y después de los dos puntos obtenidos.
Si x<
1
2
entonces sustituyendo por ejemplo x= – 2 se obtiene 4
'( 2)
1 8
0
f
e
Si1
2
< x <1
2
entonces sustituyendo por ejemplo x= 0 se obtiene
0
'(0)
1 0
0
Si
1
2
< x entonces sustituyendo por ejemplo x= 2 se obtienef
'(2)
e
4
1 8
0
Por lo tanto, f(x) es decreciente en , 1 1,2 2 y es creciente en el intervalo 1 1 , 2 2 .
De aquí se deduce que f(x) presenta un mínimo relativo en
1
2
x
y un máximo relativo en1
2
x
CUESTIÓN B.4: [2 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida
2
2ln 1 x
dx
x
.Calcularemos la primitiva usando integración por partes.
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 22
ln(1
)
1
1
1
Aplicando la fórmula
ln 1
1
1
2
ln(1
)·
·
1
ln(1
)
1
ln(1
)
2
2
1
x
u
x
du
dx
x
x
dv
x dx
v
x dx
x
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x
dx
arctgx C
x
x
x
CUESTIÓN B.5: [1 punto] Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que:
3 5 P A ,
7 10 P B ,
1 10P AB . Calcule:
P A
B
,
P A
B
,
P B A
/
. (Donde, si C y D son sucesos C denota el suceso complementario de C y P(C/D) denota la probabilidad del suceso C condicionada al suceso D).
Por tanto
1
9
P(
)
1
( )
( )
4
2
1
1
10
10
Como
9
0
3
7
10
5
1
5
0
A
B
A
P
A
B
P
P
P
P
B
P A
P B
A
B
A
B
Despejando
A
B
(
)
2
5
2
1
/
1
B/
1
1
1
3
( )
3
3
5
P A
B
B A
A
P A
P
P
Otra forma de hacerlo
Construyamos la tabla con los datos proporcionados
3 65 10 P A ,
7 10 P B ,
1 10 P AB A A B 7 10 B 1 10 6 10 10 10Completamos la tabla, primero lo de color magenta y luego el resto:
A A B 4 10 3 10 7 10 B 2 10 1 10 3 10 6 10 4 10 10 10
4
2
10
5
Como
6
7
4
9
10
10
10
10
Mirando en la tabla:
( )
( )
A
B
A
P
P
B
P A
P B
P
A
B
P
A
B
2 / 10
2
1
/
6 / 10
6
3
P B A
Otra forma de hacerlo
Como
3 6
45 10 10
P A P A Es decir, que si el TODO tiene 10 elementos 4 pertenecen al conjunto A
Como
7
310 10
P B P B Es decir, que si el TODO tiene 10 elementos 3 pertenecen al conjunto B
Como
110
P AB . Entonces la parte común a A y B es 1 elemento. Entonces hay 1 elemento que no está ni en A ni en B.
Entonces quedan 3 elementos en A que no están en B y que por tanto están en B. Es decir hay 3 elementos que están en B y no en A.
2 elementos de Bque no están en A y que por tanto están en A. Es decir hay 2 elementos que están en A y no en B.
Como el TODO es 10, deben de haber 4 elementos en la intersección de A y B (la parte sombreada).
