OPCIÓN A. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva yy = llll (xx 11) que sea paralela a la. Solución:

1

Nota sobre la puntuación de las preguntas: Los puntos asignados a las distintas preguntas son orientativos. En muchos casos, las preguntas pueden contestarse de varias formas distintas y el corrector debe utilizar la puntuación asignada en las soluciones que aquí se presentan, como guía para la asignación de la puntuación definitiva.

OPCIÓN A

1.- Consideremos la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) definida en el intervalo [𝟐𝟐 , 𝒆𝒆 + 𝟏𝟏] .

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝒚𝒚 = 𝐥𝐥𝐥𝐥 (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) que sea paralela a la recta que pasa por los puntos 𝑷𝑷(𝟐𝟐 , 𝟎𝟎) y 𝑸𝑸(𝒆𝒆 + 𝟏𝟏 , 𝟏𝟏). (2,5 puntos) Solución:

- La pendiente de la recta que pasa por 𝑃𝑃 y 𝑄𝑄 es 𝑚𝑚 =_{𝑒𝑒+1−2}1−0 =_𝑒𝑒−11 0,5 puntos

- La pendiente de la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) en un punto de abscisa 𝑥𝑥 es 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) =} 1

𝑥𝑥−1 0,5 puntos - Si la recta tangente a 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y la recta 𝑃𝑃𝑄𝑄 son paralelas, sus pendientes deben ser iguales por lo que _𝑥𝑥−11 =_𝑒𝑒−11 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 0,5 puntos

- Como 𝑓𝑓(𝑒𝑒) = ln (𝑒𝑒 − 1) , el punto de la curva es (𝑒𝑒, ln(𝑒𝑒 − 1)) 0,5 puntos

- Con el punto (𝑒𝑒, ln(𝑒𝑒 − 1)) y la pendiente _𝑒𝑒−11 escribimos la ecuación de la recta que nos piden → 𝑦𝑦 − ln(𝑒𝑒 − 1) =_𝑒𝑒−11 (𝑥𝑥 − 𝑒𝑒) 0,5 puntos

2.- Calcular las integrales indefinidas siguientes

a) ∫_{(𝟐𝟐𝒙𝒙+𝟏𝟏)}𝒅𝒅𝒙𝒙𝟐𝟐_+𝟒𝟒 b) ∫ 𝒙𝒙𝟐𝟐(𝒙𝒙𝟑𝟑+ 𝟏𝟏)−𝟕𝟕𝒅𝒅𝒙𝒙 (2,5 puntos) Solución: a) ∫_{(2𝑥𝑥+1)}𝑑𝑑𝑥𝑥2₊₄= ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 4 (2𝑑𝑑+1)2 4 +44 =1₄∫₍2𝑑𝑑+1𝑑𝑑𝑥𝑥 2 )2+1= 1 4∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝑥𝑥+1₂)2₊₁=

hacemos el cambio de variables 𝑥𝑥+12=𝑡𝑡

𝑑𝑑𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑡𝑡 y resulta =1₄∫_𝑡𝑡2𝑑𝑑𝑡𝑡₊₁= 1 4arctan (t) + C = 1 4arctan (𝑥𝑥 + 1 2) + 𝐶𝐶 1,5 puntos b) ∫ 𝑥𝑥2_(𝑥𝑥3_{+ 1)}−7_{𝑑𝑑𝑥𝑥 =}

hacemos el cambio de variables _{3𝑥𝑥2𝑑𝑑𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑡𝑡 → 𝑥𝑥}𝑥𝑥3+1=𝑡𝑡_{2𝑑𝑑𝑥𝑥=}𝑑𝑑𝑑𝑑

3 y resulta =1₃∫ 𝑡𝑡−7_{𝑑𝑑𝑡𝑡 =}1 3 𝑡𝑡−6 −6 + 𝐶𝐶 = 1 3 (𝑥𝑥3₊₁₎−6 −6 = −1 18(𝑥𝑥3₊₁₎6+ 𝐶𝐶 1 punto

2 3.- Dado el sistema de ecuaciones

�𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒚𝒚 − 𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝒂𝒂𝒚𝒚 = −𝟑𝟑 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝟐𝟐𝟓𝟓 = 𝟓𝟓

a) Estudiar su compatibilidad para los distintos valores del parámetro 𝒂𝒂 . (1,5 puntos) b) Resolverlo para 𝒂𝒂 = 𝟑𝟑 . ( 1 punto) Solución:

a) Sistema de ecuaciones lineal no homogéneo. Llamemos 𝐴𝐴 a la matriz de coeficientes y 𝑀𝑀 a la matriz ampliada. Se tiene:

𝐴𝐴 = �3 −𝑎𝑎2 𝑎𝑎 −50 1 3 −2� 𝑀𝑀 = � 3 −𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 1 3 0 −3 −5 13 −2 5 � |𝐴𝐴| = −5𝑎𝑎 + 45 = 0 → 𝑎𝑎 =45₅ = 9 0,25 puntos

--- Si 𝑎𝑎 ≠ 9 , 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 3 = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑀𝑀) → Sistema compatible determinado (solución única). 0,5 puntos --- Si 𝑎𝑎 = 9 , entonces 𝐴𝐴 = �3 −92 9 −50 1 3 −2� y 𝑀𝑀 = � 3 −9 2 9 1 3 0 −3 −5 13 −2 5 �

En 𝐴𝐴 está el menor �−9 0_{9 −5� = 45 ≠ 0 → 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 2} 0,25 puntos

En 𝑀𝑀 debe considerarse el menor �−99 −5 130 −3

3 −2 5 � = 225 + 54 − 45 − 234 = 0 por lo que el 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑀𝑀) = 2. 0,25 puntos

Luego 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 2 = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑀𝑀) < 3 = 𝑟𝑟º 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖ó𝑟𝑟𝑟𝑟𝑖𝑖𝑡𝑡𝑎𝑎𝑔𝑔 → Sistema compatible indeterminado (∞ soluciones). 0,25 puntos

b) Para 𝑎𝑎 = 3 el sistema, que tiene solución única, es �2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 5𝑧𝑧 = 133𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = −3

𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 5 y el determinante de la matriz de coeficientes �

3 −3 0

2 3 −5

1 3 −2� = 30 Resolviendo por Cramer 0,25 puntos (planteamiento de resolución correcto)

𝑥𝑥 =� −3 −3 0 13 3 −5 5 3 −2� 30 = −30 30 = −1 ; 𝑦𝑦 = �3 −3 02 13 −5 1 5 −2� 30 = 0 30= 0 ; 𝑧𝑧 = �3 −3 −32 3 13 1 3 5� 30 = −90 30 = −3 0,25 puntos 0,25 puntos 0,25 puntos

3 4.- Dadas las rectas 𝒓𝒓 ≡ �𝒚𝒚 = −𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝝀𝝀𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 + 𝝀𝝀

𝟓𝟓 = 𝟐𝟐 + 𝝀𝝀 y 𝒔𝒔 ≡ � 𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝟑𝟑𝒚𝒚 − 𝟓𝟓 + (𝟐𝟐 + 𝒎𝒎) = 𝟎𝟎 , se pide: a) Determinar si 𝒓𝒓 y 𝒔𝒔 son rectas paralelas. (1 punto)

b) Hallar el valor del parámetro 𝒎𝒎 para que las rectas 𝒓𝒓 y 𝒔𝒔 estén contenidas en un mismo plano. (1,5 puntos)

Solución:

a) Si las rectas 𝑟𝑟 y 𝑔𝑔 fuesen paralelas, sus vectores directores serían proporcionales -- vector director de la recta 𝑟𝑟 → 𝑢𝑢�⃗ = (1, 2, 1) 0,25 puntos

-- vector director de la recta 𝑔𝑔 → 𝑣𝑣⃗ = �1 2𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑘𝑘0

0 3 −1� = −2𝑖𝑖 + 𝑗𝑗 + 3𝑘𝑘 = (−2, 1, 3) 0,25 puntos Como −2₁ ≠1₂≠3₁ → los vectores no son proporcionales → las rectas no son paralelas.0,5 puntos

b) Como las rectas 𝑟𝑟 y 𝑔𝑔 no son paralelas, para estar contenidas en un plano deberían ser secantes, así que el sistema que forman sus ecuaciones tendría que ser compatible determinado.

-- en 𝑟𝑟 → 𝜆𝜆 = 𝑥𝑥 − 3 =𝑦𝑦+1₂ = 𝑧𝑧 − 2 → �2𝑥𝑥 − 6 = 𝑦𝑦 + 1_{𝑥𝑥 − 3 = 𝑧𝑧 − 2 → 𝑟𝑟 ≡ �}2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 7_{𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 = 1} 0,25 puntos

por lo que el sistema que se forma con las ecuaciones de las dos rectas es

�

2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 7 𝑥𝑥 − 𝑧𝑧 = 1 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 1 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −2 − 𝑚𝑚

. Si 𝐴𝐴 es la matriz de coeficientes y 𝑀𝑀 la matriz ampliada del sistema,

𝐴𝐴 = � 2 −1 0 1 0 −1 1 2 0 0 3 −1 � y 𝑀𝑀 = � 2 −1 0 7 1 0 −1 1 1 2 0 1 0 3 −1 −2 − 2𝑚𝑚 � En 𝐴𝐴 el menor �2 −11 0 −10 1 2 0 � = 5 ≠ 0 → 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 3 0,5 puntos

Luego, para que el sistema sea compatible, el 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟(𝑀𝑀) no puede ser 4 así que

|𝑀𝑀| = 0 → � 2 −1 0 7 1 0 −1 1 1 2 0 1 0 3 −1 −2 − 𝑚𝑚 � 2ª 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑎𝑎 − 4ª 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑓𝑓𝑎𝑎₌ � 2 −1 0 7 1 −3 0 3 + 𝑚𝑚 1 2 0 1 0 3 −1 −2 − 𝑚𝑚 � = =−(−1) �2 −11 −3 3 + 𝑚𝑚7 1 2 1 � = −5𝑚𝑚 + 15 = 0 → 𝑚𝑚 = 15 5 = 3 0,75 puntos

4

OPCIÓN B

1.- Se considera la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = �𝟐𝟐 𝒙𝒙_{+ 𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 ≤ −𝟏𝟏} 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃 𝒔𝒔𝒔𝒔 − 𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 ≤ 𝟎𝟎 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐_{+ 𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 > 𝟎𝟎}

Determinar si existen valores de los parámetros 𝒂𝒂 y 𝒃𝒃 para los que 𝒇𝒇(𝒙𝒙) sea derivable en todo ℝ . Justificar la respuesta. (2,5 puntos) Solución:

i) Para que la función sea derivable en todo ℝ, debe ser continua en todo



. Ya lo es en ℝ − {−1, 0} porque las expresiones que definen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) son polinomios y funciones

exponenciales que son continuas, por lo que solo es preciso analizar la continuidad en los puntos x= −1 y x=0. 0,25 puntos

--- Analizando la continuidad para

x

= −

1

1 1 ( 1) 2 2 f − = − + = +a a lim_{𝑥𝑥→−1−}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→−1−}(2𝑥𝑥_{+ 𝑎𝑎) = 2}−1_{+ 𝑎𝑎 =}1 2+ 𝑎𝑎 (1) lim_{𝑥𝑥→−1+}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim 𝑥𝑥→−1+(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎(−1) + 𝑏𝑏 = −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 (2)

Para que exista lim_{𝑥𝑥→−1}𝑓𝑓(𝑥𝑥) debe ser (1)=(2) → 1₂+ 𝑎𝑎 = −𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 → 2𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = −1₂ (*) 0,5 puntos

--- Analizando la continuidad para

x

=

0

𝑓𝑓(0) = 𝑎𝑎. 0 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏

lim_{𝑥𝑥→0−}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→0−}(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎. 0 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 (3) lim_{𝑥𝑥→0+}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→0+}(3𝑥𝑥2_{+ 2) = 2 (4)}

Para que exista lim_𝑥𝑥→0𝑓𝑓(𝑥𝑥) debe ser (3)=(4) → 𝑏𝑏 = 2 0,5 puntos

--- Sustituyendo el valor 𝑏𝑏 = 2 en (*) resulta 2𝑎𝑎 − 2 = −1₂→ 2𝑎𝑎 = 2 −1₂=3₂→ 𝑎𝑎 =3₄ 0,25 puntos

--- Para 𝑎𝑎 =3₄ y 𝑏𝑏 = 2 la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) queda

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 2𝑥𝑥₊3 4 𝑔𝑔𝑖𝑖 𝑥𝑥 ≤ −1 3 4𝑥𝑥 + 2 𝑔𝑔𝑖𝑖 − 1 < 𝑥𝑥 ≤ 0 3𝑥𝑥2_{+ 2 𝑔𝑔𝑖𝑖 𝑥𝑥 > 0}

que es continua en todo ℝ pues

- en 𝑥𝑥 = −1 → lim_{𝑥𝑥→−1}𝑓𝑓(𝑥𝑥) =5₄= 𝑓𝑓(−1) y - en 𝑥𝑥 = 0 → lim_𝑥𝑥→0𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 = 𝑓𝑓(2)

5

ii) Derivabilidad.- En ℝ − {−1, 0 } la función es derivable y su derivada es

𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) = �}2 𝑥𝑥_{𝑓𝑓𝑟𝑟2 𝑔𝑔𝑖𝑖 𝑥𝑥 < −1} 3 4 𝑔𝑔𝑖𝑖 −1 < 𝑥𝑥 < 0 6𝑥𝑥 𝑔𝑔𝑖𝑖 𝑥𝑥 > 0 0,5 puntos Se tiene: → �𝑓𝑓−′(−1) = 2_𝑓𝑓 −1𝑓𝑓𝑟𝑟2

+′(−1) = 3₄ como no son iguales 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no es derivable para 𝑥𝑥 = −1 0,25 puntos → �𝑓𝑓−′(0) =3₄

𝑓𝑓+′(0) = 0 como no son iguales 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no es derivable para 𝑥𝑥 = 0

0,25 puntos

Luego, no existen valores de 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 para los que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sea derivable en todo ℝ.

2.- La boca de un túnel tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo como se muestra en la figura. Encontrar las medidas del túnel que deje pasar más luz si el perímetro de la figura mide 5 metros. (2,5 puntos)

Solución:

Sea x el radio del semicírculo e 𝑦𝑦 la altura de lado recto lateral del túnel. Entonces

El área total de la sección transversal del túnel es

2 1 2 1 2 2 T A = A +A =

π

x + xy 0,5 puntos El perímetro es 12 2 2 2 2 5 5 ( 2) 2 2 x P=

π

x+ x+ y=

π

x+ x+ y= ⇒ =y −

π

+ (*) 0,5 puntos

Sustituyendo en la ecuación del área

1

2

5 (

2)

1

2

2

2

5

2

2

2

T

x

A

=

π

x

+

x

−

π

+

= − −



_

π



_

x

+

x





0,5 puntos

6

1

5

'

2

2

5

0

;

2

4

T

A

π

x

x

π





=

_

− −

_

+ = ⇒ =

+





0,5 puntos

Llevando este valor de 𝑥𝑥 a (*) obtenemos las dimensiones del lado 𝑦𝑦 (*) → 𝑦𝑦 =5−(𝜋𝜋+2)𝜋𝜋+45 2 = 5(1−𝜋𝜋+2_𝜋𝜋+4) 2 = 5(𝜋𝜋+4−𝜋𝜋−2_𝜋𝜋+4 ) 2 = 5_𝜋𝜋+42 2 = 5 𝜋𝜋+4 0,5 puntos 3.- Dada la matriz 𝑨𝑨 = �𝟐𝟐 −𝒌𝒌 𝟒𝟒𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟕𝟕 𝟏𝟏 −𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟐𝟐�

a) ¿Para qué valores del parámetro 𝒌𝒌 la matriz 𝑨𝑨 tiene matriz inversa? (1 punto) b) Hallar la matriz 𝑨𝑨−𝟏𝟏 _{cuando 𝒌𝒌 toma el valor 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏 . (1,5 puntos)} Solución:

a) Debe ser |𝐴𝐴| ≠ 0 para que la matriz 𝐴𝐴 tenga matriz inversa |𝐴𝐴| = �2 −𝑘𝑘 41 1 7 1 −1 12� = 24 − 7𝑘𝑘 − 4 − 4 + 14 + 12𝑘𝑘 = 5𝑘𝑘 + 30 ≠ 0 ⇒ 𝑘𝑘 ≠ −30 5 = −6 1 punto b) Para 𝑘𝑘 = 1 𝐴𝐴 = �2 −1 41 1 7 1 −1 12� → |𝐴𝐴| = 35 → 𝐴𝐴 𝑡𝑡 _{= �−1 1 −1}2 1 1 4 7 12� → 𝐴𝐴𝑑𝑑𝑗𝑗(𝐴𝐴𝑡𝑡_{) = �−5 20 −10}19 8 −11 −2 1 3 � → 𝐴𝐴 −1₌ 1 |𝐴𝐴|𝐴𝐴𝑑𝑑𝑗𝑗(𝐴𝐴𝑡𝑡) = ⎝ ⎜ ⎛ 19 35 8 35 −11 35 −1 7 4 7 −2 7 −2 35 1 35 3 35_⎠ ⎟ ⎞ 1,5 puntos

4.- Sean 𝒓𝒓 y 𝒔𝒔 las rectas 𝒓𝒓 ≡ �𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 − 𝝀𝝀𝒙𝒙 = 𝝀𝝀

𝟓𝟓 = 𝟑𝟑 y 𝒔𝒔 ≡ 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝒚𝒚 = 𝟓𝟓 − 𝟑𝟑 . Calcular: a) La ecuación del plano perpendicular a la recta 𝒓𝒓 que pasa por el punto (𝟎𝟎, 𝟏𝟏, 𝟑𝟑) . (0,75 puntos)

b) Las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas. (1 punto) c) La ecuación del plano 𝝅𝝅 que contiene a las rectas 𝒓𝒓 y 𝒔𝒔 . (0,75 puntos) Solución:

7

a) El vector dirección de la recta 𝑟𝑟 es 𝑢𝑢�⃗ = (1, −1, 0). 0,25 puntos

Como el plano buscado es perpendicular a la recta 𝑟𝑟 , un vector normal al plano sería el vector 𝑢𝑢�⃗ . Como además el plano pasa por el punto 𝑃𝑃(0, 1, 3) , su ecuación será

1(𝑥𝑥 − 0) − 1(𝑦𝑦 − 1) + 0(𝑧𝑧 − 3) = 0 → 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 1 = 0 0,5 puntos

b)-- Expresamos la recta 𝑟𝑟 como intersección de dos planos 𝑟𝑟 ≡ �𝜆𝜆 = 𝑥𝑥 = 1 − 𝑦𝑦_{𝑧𝑧 = 3} → 𝑟𝑟 ≡ �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1_{𝑧𝑧 = 3} 0,25 puntos

-- Expresamos la recta 𝑔𝑔 como intersección de dos planos 𝑔𝑔 ≡ �𝑥𝑥 − 1 = 𝑦𝑦_{𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 − 3 → 𝑔𝑔 ≡ �𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −3} 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1 0,25 puntos

Las coordenadas del punto de intersección de 𝑟𝑟 y 𝑔𝑔 se obtienen resolviendo el sistema que forman las ecuaciones de ambas rectas

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1 𝑧𝑧 = 3 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −3

� → Solución: punto (1, 0, 3) 0,5 puntos

c) El producto vectorial de los vectores directores de 𝑟𝑟 y 𝑔𝑔 nos da la dirección normal al plano 𝜋𝜋 que contiene a ambas rectas. Esos vectores directores son 𝑢𝑢�⃗(1, −1, 0) y 𝑣𝑣⃗(1, 1, 1).

→ 𝑢𝑢�⃗ × 𝑣𝑣⃗ = �1 −1 0𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑘𝑘

1 1 1� = −𝑖𝑖 − 𝑗𝑗 + 2𝑘𝑘 = (−1, −1, 2) 0,25 puntos

Como además, un punto del plano que se pide es el punto (1, 0, 3), la ecuación del plano que buscamos es −1(𝑥𝑥 − 1) − 1(𝑦𝑦 − 0) + 2(𝑧𝑧 − 3) = 0 → −𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 − 5 = 0 0,5 puntos