Derivada de Funciones Reales de una Variable Real

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Derivada de Funciones

Reales de una Variable

Real

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Índice

1 Introducción ... 3

2 Límite de una Función Real de una Variable Real. ... 3

2.1 Reglas para Calcular Límites ... 4

2.2 Ejemplos ... 4

3 Resumen ... 5

4 Referencias Bibliográficas ... 5

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Objetivos

 Estudiar el concepto de derivada de una función real de una variable real.

1 Introducción

La derivada de una función real de una variable real permite conocer el cambio de ésta en término del cambio de la variable independiente.

2 Límite de una Función Real de una Variable Real.

El límite de una función real de una variable real es el valor al cual tiende la función, cuando la variable independiente tiende a un valor dado.

Ejemplo: Si f(x) = 2x+1, el valor de esta función cuando x se acerca a 0, se obtiene reemplazando a x por su valor en la fórmula anterior, es decir, que el límite de f(x) = f(0) = 2*0 + 1 = 1.

lim

𝑥→0

𝑓(𝑥) = lim

𝑥→0

(2𝑥 + 1) = 1

La idea de límite de una función f(x), cuando x se aproxima a un valor a se desarrolla asignando valores a x cada vez más pequeños en tanto ésta se aproxima al número a.

Para el caso anterior, se procedería de la siguiente forma, consignando en una tabla los valores y representando gráficamente tal situación.

Fig. 1. Tabla de datos y gráfico del límite de una función real de una variable real La forma general de expresar la situación anterior es por medio de la notación:

L

x

f

a x Lim

)

(

, que se lee: límite de f(x) cuando x tiende al valor a, es igual a L. Ejemplo:

“El límite es el valor al cual tiende la función cuando la variable independiente tiende a un valor dado”

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Para el caso anterior (2 1) 1 0    x Lim x

, lo que quiere decir, que cuando x tiende a 0, la función f(x) = 2x+1, se aproxima o tiende a 1.

2.1 Reglas para Calcular Límites

 Límite de una constante:

C

C

Lim

a x

  Límite de un polinomio:

)

(

)

(

x

f

a

f

a x Lim

 Límite de una suma:

)

(

)

(

)] ( ) ( [

f

x

g

x

a x a x a x Lim Lim x g x f Lim        Límite de un producto: a x x g x f Lim  )] ( * ) ( [ =

f

( x

)

a x Lim  *

g

( x

)

a x Lim   Límite de un cociente: a x x g x f Lim  )] ( / ) ( [ =

f

( x

)

a x Lim  /

g

( x

)

a x Lim  , g(x) ≠ 0

 Límite de una raíz: n a x x f Lim ( )  =n a x

x

f

Lim

(

)

 Límite de una potencia:

n Lim

f

x

a x

)]

(

[

 = n a x

x

f

Lim ] [

(

)

2.2 Ejemplos 1) 20 20 2   x Lim 2) f(x) = x3 + 5x2 + 3x – 7 entonces

)

(

2

x

f

x Lim  =23 + 5* 22 + 3*2-7= 27 3) (2 3 5 10) 16 2     x x Lim x y ( 2 4) 8 2    x Lim x , entonces: 2 2 3 )] 4 ( ) 10 5 2 [(      x x x x Lim = 16+8= 24

(5)

4) (2 3 5 10) 16 2     x x Lim x y ( 2 4) 8 2    x Lim x , entonces: 2 2 3 )] 4 ( * ) 10 ) 5 2 [(     x x x x Lim = 16*8= 144 5) (2 3 5 10) 16 2     x x Lim x y ( 2 4) 8 2    x Lim x , entonces: 2 2 3 )] 4 /( ) 10 ) 5 2 [(     x x x x Lim = 16/8= 2 6) (2 3 5 10) 16 2     x x Lim x 7) [( 2 4)]2 82 64 2     x Lim x

3 Resumen

 La derivada de una función real de una variable real permite conocer el cambio de ésta en término del cambio de la variable independiente.

 El límite de una función real de una variable real es el valor al cual tiende la función, cuando la variable independiente tiende a un valor dado.

 La idea de límite de una función f(x), cuando x se aproxima a un valor a se desarrolla asignando valores a x cada vez más pequeños en tanto ésta se aproxima al número a.

4 Referencias Bibliográficas

 ARYA, J. (1992). Matemáticas aplicadas a la administración, economía, ciencias biológicas y sociales. México, Prentice- Hall.

 ZILL, D. (1.996). Cálculo con Geometría analítica. México. Grupo editorial Iberoamérica.

 LARSON, R. (1.990). Cálculo y geometría analítica, tercera edición. México, editorial McGraw-Hill.

 MOCHON, S (1.994). Quiero aprender el Cálculo. México, grupo editorial Iberoamérica.

 BARRIOA, J. (2.005). Análisis de funciones en economía y empresa. Madrid, editorial Díaz de Santos.

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5 Webgrafía

 Trujillo F., Balague F., Educ@conTics El uso de TICs en las aulas. Página web: http://www.educacontic.es/

 De Nápoli, P. (2011) Software Libre para Matemática. Buenos Aires. Publicación electrónica http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/mathsoft.html

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