Ecuación de Laplace.

(1)

CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA

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Introducción.

Las ecuaciones elípticas se obtienen, en general, cuando se estudian procesos estacionarios. La ecuación de este tipo que aparece más frecuentemente es la ecuación de Laplace, cuya expresión general es:

0 u = ∆

donde ∆ representa el operador Laplaciano.

Por ejemplo, si se considera un campo térmico estacionario, puesto que, como la ecuación de conducción del calor es

u u_t = ∆

y, en este caso, la distribución de temperatura no varía con el tiempo, ésta satisface la ecuación de Laplace.

Si se considera la presencia de fuentes de calor externas, se obtiene la ecuación

A u= ∆

donde A representa la densidad de las fuentes térmicas. La ecuación no homogénea de Laplace se suele llamar ecuación de Poisson.

Otra clase de problemas en los que la ecuación de Laplace juega un papel importante es el relacionado con los campos vectoriales que derivan de un potencial (electro-magnético, gravitatorio, etc.). En estos casos, si en la región donde se quiere obtener el potencial no hay fuentes de campo, éste verifica la ecuación de Laplace. Si por el contrario, existe una cierta densidad de éstas, el potencial verifica la correspondiente ecuación de Poisson.

Así pués la ecuación de Laplace describe siempre procesos estacionarios en los que el tiempo no es una de las variables independientes. Esto significa, que el tipo de problemas que se considera para esta ecuación no va a incluir condiciones iniciales, lo que provocará que la estructura de las soluciones que encontraremos sea distinta a la que presentan las ecuaciones de ondas y difusión tratadas en los dos temas precedentes. Consideraremos solamente problemas definidos en un cierto dominio Ω con ciertas condiciones de contorno dadas sobre su frontera que podemos agrupar en tres clases:

Condiciones de Dirichlet: El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un recinto, consiste en encontrar las soluciones que toman un valor prefijado en la frontera:

f u_∂_Ω =

Condiciones de Neumann: El problema de Neumann para la ecuación de Laplace en un recinto, es el de encontrar las soluciones tales que su derivada según la normal exterior a la frontera toma un valor prefijado:

f n u ₌ ∂ ∂ Ω ∂

(2)

El problema de Robin para la ecuación de Laplace en un recinto, es de carácter mixto, pues consiste en encontrar las soluciones que en la frontera verifican: R h donde , f n u h u  = ∈      ∂ ∂ ⋅ + Ω ∂

En este capítulo nos centraremos, esencialmente, en los problemas de Dirichlet para las ecuaciones de Laplace y Poisson, aunque los métodos que se utilizarán para su resolución serán también válidos para otras ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que de nuevo el operador Laplaciano juega un papel importante, como son, por ejemplo la ecuación de Schrödinger:

Vu u m 8 h u • 2 ih 2 2 t ∆ + π − = π

que es esencial en la descripción mecanocuántica de diferentes sistemas físicos y en la ecuación de Helmotz:

0 u u+λ = ∆

que aparece al separar variables en la ecuación de ondas y de difusión, cuando se consideran dominios bidimensionales.

FUNCIONES ARMÓNICAS: PRINCIPIO DE MAXIMO.UNICIDAD Y ESTABILIDAD DEL PROBLEMA DE DIRICHLET.

Definición. Una función u se dice armónica en una región Ω si u∈C(2)(Ω) y, además verifica: ∆u = 0

Empezamos este apartado enunciando una propiedad de las funciones armónicas que nos permitirá, posteriormente, establecer la unicidad y estabilidad de la solución para el problema de Dirichlet:

0 u= ∆

f u_∂_Ω =

Definición. Principio de máximo.

Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que, además, es continua en Ω = Ω∪∂Ω. Entonces, u alcanza su valor máximo en ∂Ω. Principio de mínimo.

Sea u una función armónica en un dominio bidimensional acotado Ω que además es continua en Ω Ω= ∪ ∂Ω. Entonces, u alcanza su valor mínimo en ∂Ω. Proposición. La solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un recinto bidimensional Ω, si existe, es única.

DEMOSTRACIÓN. Sean u₁yu₂ dos soluciones del problema de Dirichlet. Se tendrá entonces:

∆u₁=∆u₂ =0

f u

u₁_∂_Ω = ₂_∂_Ω =

Ahora bien, si u₁yu₂ son armónicas en Ω también lo es la función w =u₁ −u₂ puesto que el operador Laplaciano es lineal. En estas condiciones, obviamente se

(3)

tiene w_∂_Ω =0, lo que nos permite afirmar, en virtud del principio del máximo y del mínimo que w=0 en Ω y, por tanto:

2

1 u

u =

lo que establece la unicidad.

Proposición. La solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un recinto acotado bidimensional Ω, si existe, es estable.

DEMOSTRACIÓN: Sean v y v₁ ₂ funciones armónicas en un recinto Ω y tales que:

1 1 f v _∂_Ω = 2 2 f v _∂_Ω =

Consideremos la función w v= −1 v2 que es también armónica en Ω y además

verifica:

2 1 f

f

w_∂_Ω = −

Entonces, si consideramos la norma del supremo

( )

máx f (x,y) f (x,y) f

f₁− ₂ = _x_,_y _∈_∂_Ω ₁ − ₂

según el principio del máximo y del mínimo se tendrá:

( )

_xmáx_,_y _∈_Ωw(x,y) ≤ f1 −f2;

( )

_xmín_,_y _∈_Ωw(x,y)≥ −f1−f2 es decir: Ω ∈ − ≤ f f ,(x,y) ) y , x ( w ₁ ₂ Por tanto: Ω ∈ − ≤ − v (x,y) f f ,(x,y) ) y , x ( v₁ ₂ ₁ ₂

de donde sigue la estabilidad, pues ha quedado demostrado que pequeñas variaciones en las condiciones, producen variaciones también pequeñas en la solución.

Establecidos estos resultados sobre la unicidad y estabilidad de solución al problema de Dirichlet, daremos a continuación una propiedad de las funciones armónicas que se deduce de la proposición anterior y que nos será de gran utilidad cuando en los apartados posteriores, se aborden cuestiones de convergencia encaminadas a demostrar la existencia de esta solución.

Propiedad. Sea

( )

u_n _n_∈_N una sucesión de funciones armónicas en un recinto Ω y continuas en Ω. Sean f_n

(

n∈N

)

, funciones tales que:

n n f u _∂_Ω = En estas condiciones, si f f_n → uniformemente en ∂Ω entonces u u_n → uniformemente en ∂Ω

DEMOSTRACIÓN. Por hipótesis f_n →f uniformemente en ∂Ω. Por definición, esto significa que:

Dado ε ∈R+,∃N ∈Ntalquesin,m> N, fn − fm < ε

De la proposición de estabilidad, deducimos entonces que para n,m > N,

ε < − m

n u

(4)

luego la sucesión

( )

u_n _n_∈_N es una sucesión de Cauchy y, por tanto, convergente. ECUACIÓN DE LAPLACE EN UN CÍRCULO

Resolución mediante separación de variables.

Consideremos el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un círculo de centro el origen (lo que no resta generalidad a los resultado que se obtengan) y radio a.La formulación matemática de este problema es:

π ⋅ < θ ≤ < ≤ = ∆u 0;0 r a;0 2 ) ( f ) , ( u a θ = θ

donde es necesario añadir una condición de regularidad en el origen que está contenido en el dominio que se considera; así pues:

∞ < θ → u(r, ) lim 0 r

Por otra parte, para utilizar el procedimiento de separación de variables es necesario utilizar coordenadas polares, en las que el Laplaciano tiene por expresión: θθ ⋅ + ⋅ + = ∆ u r 1 u r 1 u u _rr _r ₂

Además, el uso de estas coordenadas exige que la solución verifique las condiciones adicionales: ) , r ( u ) 0 , r ( u = 2π ) , r ( u ) 0 , r ( u_θ = _θ 2π

pues los valores θ = 0 y θ = 2·π corresponden a la misma parte del dominio que estamos considerando (el intervalo [0,a] del eje de abscisas) y la solución debe ser de clase C2_{en el círculo. Estas condiciones se denominan condiciones de}

periodicidad.

Con todos estos datos, la formulación completa del problema de Dirichlet en un círculo de radio a y centro el origen es:

π < θ < < ≤ = ∆u 0;0 r a;0 2

( )

,θ = f(θ);lim_→ u(r,θ) <∞ u 0 r a

( ) ( )

( )

=

(

π

)

_ ≤ < a π = θ θr,0 u r,2 0 r u 2 , r u 0 , r u

Para resolver este problema utilizamos el procedimiento de separación de variables. Suponiendo como solución u ,

( )

r θ = M

( ) ( )

r ⋅Nθ , sustituyendo en ∆u=0 se obtiene

0 N M r 1 N M r 1 N M′′⋅ + ⋅ ′⋅ + ₂ ⋅ ⋅ ′′ =

si dividimos por ella

0 N N r 1 M M r 1 M M 2 = ′′ ⋅ + ′ ⋅ + ′′ en definitiva λ − = ′′ − = ′ ⋅ + ′′ ⋅ N N M M r M M r2

(5)

0 ) r ( M ) r ( M r ) r ( M r2 ⋅ ′′ + ⋅ ′ + λ ⋅ = ) ( N ) ( N′′ θ = λ⋅ θ

Como las condiciones de frontera para la variable r no son homogéneas, utilizamos la función N(θ) para definir el problema de autovalores necesario. Se tiene:

( ) ( )

r,0 ur,2 M(r)

[

N(0) N(2 )

]

0 N(0) N(2 )

u = π ⇒ ⋅ − π = ⇒ = π

( )

r,0 u

( )

r,2 M(r)

[

N(0) N(2 )

]

0 N(0) N(2 )

u_θ = _θ π ⇒ ⋅ ′ − ′ π = ⇒ ′ = ′ π

y por tanto, N(θ) debe ser solución del problema de autovalores:

     π ′ = ′ π = θ ⋅ λ = θ ′′ ) 2 ( N ) 0 ( N ) 2 ( N ) 0 ( N ) ( N ) ( N

que es un problema regular periódico. Las soluciones de este problema son:

( )

n n ,n N

{ }

0 sin ) ( N n cos ) ( N 1 ) ( N 2 n ) 2 ( n ) 1 ( n 0 + ∈ − = λ      θ ⋅ = θ θ ⋅ = θ = θ

Nótese que en este caso, solamente el autovalor nulo tiene asociada una única autofunción, mientras que para los restantes existen dos. Esta es una de las características que diferencian los problemas regulares de Sturm-Liouville de los periódicos.

Encontrados los autovalores y las autofunciones, proseguimos con el método de separación de variables. Sustituyendo los valores de λn = −n

2_{en la ecuación}

satisfecha por M(r) se obtiene la colección de ecuaciones ordinarias:

{ }

0,r M (r) rM (r) n M (r) 0 N

n∈ + 2 _n′′ + _n′ − 2 _n = ∀

La solución general de la ecuación correspondiente a n=0 se obtiene de forma inmediata integrando dos veces consecutivas y es:

r ln D C ) r ( M₀ = ₀ + ₀

mientras que las restantes para n∈N son ecuaciones de Euler que tiene por solució: n n n n n(r) C r D r M , N n∈ = + − ∀

donde se ha escrito M_n indicando que hay una solución para cada uno de los valores de n∈N.

Entonces es claro que cada uno de los productos:

(

C₀ +D₀lnr

)

,

(

E_nrn +F_nr−n

)

⋅sin

(

n⋅θ

)

,

(

C_nrn +D_nr−n

)

⋅cos

( )

n⋅θ

es solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales y además verifica las condiciones de periodicidad. Construimos ahora la solución mediante la serie formal:

(

)

(

)

( )

(

)

( )

∑

∞ = − ∞ = − θ ⋅ ⋅ + + + θ ⋅ ⋅ + + + ⋅ = θ 1 n n n n n 1 n n n n n 0 0 n sin r F r E n cos r D r C r ln D C 2 1 ) , r ( u

donde las constantes arbitrarias C_n,D_n,E_n,F_n

(

n∈N

)

se determinan a partir de las condiciones de contorno de la siguiente forma:

     ∈ = ∈ = = ⇒ ∞ < θ → N n , 0 F N n , 0 D 0 D ) , r ( u lim n n 0 0 r

(6)

( )

⋅θ + ⋅

( )

⋅θ ⇒ ⋅ + = θ = θ

∑

∞ = ∞ = n 1 n n 1 n n n 0 _C _cos_n _E _sin_n 2 C ) ( f ) , ( u a a a

( )

         = π = = π = π = ⇒ − π − − π − π

∫

n n 2 0 n n n n 2 0 n n 2 0 0 d ds ns sin ) s ( f E c ds ns cos ) s ( f C ds ) s ( f 1 C a a a a

Sustituyendo estos valores en la solución se obtiene finalmente la representación formal de la solución al problema de que proporciona el método de separación de variables:

( )

[

]

∑

∞ = θ + θ ⋅       + = θ 1 n n n n 0 r _c _cos_n _d _sin_n 2 C ) , r ( u a

ECUACIÓN DE LAPLACE EN UN RECTÁNGULO.

El problema de Dirichlet para las funciones armónicas en un recángulo se puede formular matemáticamente en la forma:

b a < < < < = ∆u 0,0 x ;0 y

( )

0,y =f (y);u

( )

a,y = f (y);0 <y < b u ₁ ₂

( )

x,0 = f (x);u

( )

x,b = f (x);0 < x <a u ₃ ₄

Como en este problema ninguna de las condiciones de frontera es homogénea, para abordar su resolución separando variables lo descomponemos en dos de modo que cada uno de ellos posea condiciones homogéneas en una de las variables.

1.- Condiciones de forntera homogéneas en la variable x:

b a < < < < = ∆uI 0,0 x ;0 y

( )

0,y =0;u

( )

a,y =0;0< y < b uI I

( )

x,0 = f (x);u

( )

x,b = f (x);0 < x <a uI ₃ I ₄

2.- Condiciones de frontera homogéneas en la variable y:

b a < < < < = ∆uII 0,0 x ;0 y

( )

0,y = f (y);u

( )

a,y = f (y);0 < y <b uII ₁ II ₂

( )

x,0 = 0;u

( )

x,b =0;0 < x < a uII II

Estos problemas se resuelven mediante separación de variables y, obtenida la solución de ambos es claro que la suma es la solución del problema de partida.

Describiremos el procedimiento para uno de los casos. El otro se trata de forma absolutamente equivalente.

Consideramos el problema 1. Suponiendo la solución en la forma ) y ( N • ) x ( M ) y , x ( uI =

para M(x) y N(y) se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales: ) x ( M ) x ( M′′ = −λ 0 ) y ( N ) y ( N′′ −λ =

Exigiendo que M(x) verifique las condiciones de frontera homogéneas, esta función debe ser solución del problema de Sturm-Liouville:

) x ( M ) x ( M′′ = −λ

(7)

0 ) ( M ) 0 ( M = a = Es decir: N n , n ; x n sin ) x ( M_n  λ_n = 2₂π2 ∈      π _⋅ = a a

Sustituyendo los valores de λn en la ecuación que satisface N(y), resulta:

0 ) y ( N n ) y ( N′′ − 2₂π2 = a

cuyas soluciones son:

      π ⋅ +       π ⋅ = a a y n sinh D y n cosh C ) y ( N_n _n _n

Los productos u_n(x,y)= M_n(x)•N_n(y),n∈N, son entonces soluciones de la ecuación diferencial en derivadas parciales y además verifican las condiciones de contorno. Suponemos entonces como solución formal:

( )

      π_⋅ ⋅     _      π ⋅ +       π ⋅ = =

∑

∞ = ∞ = x n sin y n sinh D y n cosh C ) y , x ( u y , x u 1 n n n 1 n n I a a a

Para determinar las constantes C_n y D_n, n N∈ , imponemos las condiciones de contorno en y:

( )

1 n 3 n 1 n n 3 I _x_,₀ _f ₍_x₎ _C _sin n _x _C 2 _f ₍_s₎ _sinn s _ds u a a a a a 0 ⋅ = π ⋅ = ⇒       π _⋅ ⋅ = =

∑

∫

∞ =

( )

 ⇒      π _⋅ ⋅           π ⋅ +       π ⋅ = =

∑

∞ = x n sin n sinh D n cosh C ) x ( f , x u 1 n n n 4 I a a b a b b

( )

_⇒ = ⋅ π ⋅ =       π ⋅ +       π ⋅ _n

∫

₄ _n2

n cosh n D sinh n 2 f (s) sinn s ds

C a a a a b a b a 0

( )

      π       π ⋅ − = a b a b a a n sinh n cosh D 1 n 2 n n

Finalmente, sustituyendo estos coeficientes en la serie, se obtiene la solución formal que el método de separación de variables proporciona para el problema 1, cuya expresión es:

( )

      π _⋅ ⋅                   π ⋅       π       π ⋅ − +       π ⋅ =

∑

∞ = x n sin y n sinh n sinh n cosh y n cosh y , x u 1 n 1 n 2 n 1 n I a a a b a b a a a a (V) donde:

( )

₌

_∫

a _⋅ π _⋅ 0 a a a_n1 2 f₃(s) sinn s ds ;

( )

=

∫

a ⋅ π ⋅ 0 a a a_n2 2 f₄(s) sinn s ds

Las soluciones del problema en la variable y se han expresado en términos de los senos y cosenos hiperbólicos en lugar de utilizar las correspondientes exponenciales reales. Esto facilita, en general, la determinación de las constantes Cn y Dn como se acaba de comprobar.

(8)

ECUACIÓN DE POISSON EN UN RECTÁNGULO. Ahora, se considera el problema:

b a < < < < = ∆u A(x,y),0 x ;0 y

( )

x,0 = f (x);u

( )

x,b = f (x);0 < x < a u ₁ ₂

( )

0,y = f (y);u

( )

a,y = f (y);0 < y< b u ₃ ₄

Para resolverlo por separación de variables procedemos como en el apartado anterior, considerando dos problemas:

1. Ecuación diferencial en derivadas parciales homogénea y condiciones homogéneas en la variable y b a < < < < = ∆uI 0,0 x ;0 y

( )

x,0 =u

( )

x,b = 0;0 < x < a uI I

( )

0,y =f (y);u

( )

a,y = f (y);0< y < b uI ₃ I ₄

Este problema es del tipo del tratado en el apartado anterior.

2.- Ecuación diferencial en derivadas parciales no homogénea y condiciones homogéneas en la variable x b a < < < < = ∆uII A(x,y),0 x ;0 y

( )

x,0 = f (x);u

( )

x,b = f (x);0 < x <a uII ₁ II ₂

( )

0,y =u

( )

a,y = 0;0 < y < b uII II

Obviamente, una vez resueltos estos dos problemas, la solución del problema [18.20] de partida es: u x y_{( , )}₌u x yI_{( , )}₊u x yII_{( , )}

Como ha quedado dicho, el problema 1 ya ha sido estudiado en el apartado anterior. Consideramos, pues, el 2 que resolveremos en términos de las autofunciones del correspondiente problema homogéneo:

N n x n sin ∈             π a

Empezamos por representar uII(x,y) mediante la serie formal:

∑

∞ =       π ⋅ = 1 n n II₍_x_,_y₎ _u ₍_y₎ _sin n x u a

A continuación desarrollamos en serie las funciones A(x,y),f₁(x),f₂(x):

∑

∞ =       π ⋅ = 1 n n(y) sin n x ) y , x ( A a a

∑

∞ =       π ⋅ = 1 n n 1(x) sin n x f a b

∑

∞ =       π ⋅ = 1 n n 2(x) sin n x f a c donde

(9)

∫

⋅      π ⋅ ⋅ = ∈ ∀ a a a a 0 n(y) 2 A(s,y) sin n s ds , N n

∫

⋅      π ⋅ = ∈ ∀ a a a b 0 1 n 2• f (s) sin n s ds , N n

∫

⋅      π ⋅ ⋅ = ∈ ∀ a a a c 0 2 n 2 f (s) sin n s ds , N n

Sustituyendo en la ecuación diferencial en derivadas parciales las funciones uII_{y A}

por sus correspondientes series, se deduce que las funciones u_n(y)

(

n∈N

)

, verifican la colección de ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas:

) y ( ) y ( u n ) y ( u , N n _n 2₂2 _n a_n a ⋅ = π − ′′ ∈ ∀

Imponiendo ahora que uII_{satisfaga las condiciones de frontera en y, se tiene:} n n 1 n n 1 II₍_x_,₀₎ _f ₍_x₎ _u ₍₀₎ _sin n x _n _N_,_u ₍₀₎ u b a _⇒ ∀ ∈ =     π ⋅ = =

∑

∞ = n n 1 n n 2 II₍_x_, ₎ _f ₍_x₎ _u ₍ ₎ _sin n x _n _N_,_u ₍ ₎ u b c a b b  ⇒∀ ∈ =      π ⋅ = =

∑

∞ =

Puesto que las ecuaciones son de coeficientes constantes, obtendremos su solución general mediante cualquiera de los procedimientos expuestos en el tema 7. De esta solución general podremos extraer la solución particular que nos interesa, imponiendo las condiciones de contorno. Sustituyendo éstas en la serie encontraremos la solución buscada.

PROBLEMA DE NEUMANN EN UN CÍRCULO Recuérdese que la expresión

n T ∂ ∂ significa T • nr ∇v

Sea un círculo de radio unidad en cuyo interior está definida una función armónica (

∆T = 0) y que cumple la condición de contorno ) ( f r T θ = ∂ ∂

para r = 1, siendo la función f(θ) uniforme.

La ecuación de Laplace en coordenadas polares es: 0 T r 1 r T r 1 r T 2 2 2 2 2 = ∂θ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂

que se verifica para 0 ≤ r < 1. Aplicando la técnica de separación de variables, se define que T = h(r)·g(θ) Por tanto 0 g g r 1 h h r 1 h h 2 = ′′ ⋅ + ′ ⋅ + ′′ o lo que es lo mismo

(10)

λ = ′′ − = ′ ⋅ + ′′ ⋅ g g h h r h h r2 Como T(r,θ) = T(r,θ + 2·π), entonces g(0) = g(2·π) y también se verificará que

g'(0) = g'(2·π) Por tanto

g" + λ·g = 0

y con las condiciones expuestas se ha de cumplir que

2 n = λ con n ∈ N + 0 por consiguiente g(θ) = A cos(n·θ) + B sin(n·θ) Por otro lado,

0 h n h r h r2 ⋅ ′′+ ⋅ ′− 2 ⋅ =

que es una ecuación de Euler. Convenientemente integrada n n _D _r r C ) r ( h = ⋅ + ⋅ −

como en r→ 0 debe estar acotada, entonces D = 0. Así, n r C ) r ( h = ⋅ Luego

( )

{

}

0 1 n n n n n r cosn B r sinn A A ) , r ( T θ =

∑

∞ ⋅ ⋅ ⋅θ + ⋅ ⋅ ⋅θ + =

imponiendo la condición de Neumann

( )

{

}

∑

∞ = − _⋅ _⋅ _⋅_θ ₊ _⋅ _⋅_θ ⋅ = ∂ ∂ 1 n n n 1 n _A _cos_n _B _sin_n r n r T cuando r = 1

( )

{

}

∑

∞ = θ ⋅ ⋅ + θ ⋅ ⋅ = θ 1 n n n cosn B sinn A n ) ( f

que es el desarrollo en serie de Fourier de la función f(θ). Sin embargo ha de observarse que esta función ha de ser tal que su desarrollo en serie de Fourier no debe tener término de la forma

2 A₀

o lo que es lo mismo ha de verificar que