LA ENSEÑANZA DEL CÁLCULO EN EL CURRÍCULO DE SECUNDARIA EN UN AMBIENTE DE CALCULADORA GRAFICADORA, PAPEL Y LÁPIZ

En Gómez, P., y Rico, L. (Eds.). Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro. Granada: Editorial Universidad de Granada.

CAPÍTULO 15

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Los desarrollos que se han dado en los últimos tres lustros en la investigación en Didáctica de la Matemática y en las nuevas tecnologías de la informática, están produciendo transformaciones importantes en los Currículo de Matemática de la Educación Secundaria. Sin embargo, las concreciones de estas transformaciones en las prácticas educativas son todavía escasas. Nuestra tesis es que falta facili-tar el acceso a la infraestructura básica al respecto, la cual se ha venido desarro-llando en la investigación en Didáctica de la Matemática. En este artículo hacemos una propuesta de planificación curricular y análisis didáctico basada en un modelo particular de los organizadores del currículo, que tiene en cuenta la utilización de las modernas calculadoras graficadoras equipadas con sistemas de representación múltiple y cálculo simbólico. Está dirigido especialmente a profe-sores de matemáticas de Educación Secundaria, e interesados en su formación profesional, sobre enseñanza de los conceptos fundamentales del Cálculo.

I

Antes de presentar algunos ejemplos modélicos sobre actividades para el desarrollo de unidades didácticas para la enseñanza de los conceptos básicos del Cálculo, basada en la utilización de las modernas calculadoras graficadoras, concebidas como tecnologías facilitadoras de representaciones múltiples y equipadas con sistemas de cálculo simbólico, creemos necesario hacer una contextualización sobre el ámbito curricular e investigativo en los cuales nos ubicamos. La directriz metodológica y teórica de nuestras estrategias de planificación curricular y análisis didáctico, intrín-secas al desarrollo de una propuesta de unidad didáctica (Coll, 1988; Rico 1998), recaba sus fundamentos en los desarrollos teóricos y prácticos de dicho ámbito.

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Nos ubicamos en el plan de formación inicial de profesores de matemáticas de educación secundaria del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Univer-sidad de Granada. Y nuestro campo corresponde al del Grupo de Investigación sobre Pensamiento Numérico, adscrito al mismo Departamento. De acuerdo con este marco, en esta propuesta subyace una concepción sobre el profesor de matemáticas, como una persona con un dominio básico del conocimiento profesional, relativo al currículo y didáctica de la matemática.

N

En términos generales, el concepto de currículo1 con el que suscribimos se refiere al conjunto de actividades que estructuran y se estructuran en un plan integral de forma-ción, el cual contempla, explícita o implícitamente, los siguientes elementos: 1) El conjunto de personas a formar: profesores y alumnos.

2) El tipo de formación que se quiere proporcionar.

3) La institución social en la que se lleva a cabo la formación: Centro Educativo. 4) Las necesidades que se quieren cubrir.

5) Los mecanismos de control y valoración.

En particular, y de acuerdo con esto, las intenciones del currículo de la educación se-cundaria obligatoria según Rico (1998) consisten en ofrecer propuestas concretas y sistemáticas sobre:

• Modos de entender, caracterizar y relacionarse con el conocimiento mate-mático.

• Concepciones sobre el aprendizaje. ¿Cómo se produce? ¿Cómo aprenden los profesores y alumnos?

• La enseñanza de las matemáticas. ¿En qué consiste la enseñanza? • Maneras de valorar la utilidad y dominio de los aprendizajes realizados. Para concretar en la práctica estas directrices teóricas-curriculares, es decir, para dise-ñar y desarrollar un conjunto de actividades, estructuradas en una unidad didáctica, para un grupo concreto de alumnos, sobre un contenido matemático específico y en un contexto determinado, el profesor necesita conocer y dominar ciertas técnicas e ins-trumentos fundamentales y útiles para poder realizar el análisis didáctico relativo a este contenido (Coll, 1988; Rico 1998) y de los procesos asociados de enseñanza, aprendizaje y evaluación. Dicho análisis se refiere a la selección y organización de los contenidos; al desarrollo y control de los procesos de enseñanza; a la observación y

1. La noción de currículo y las subsiguientes nociones sobre organizadores curriculares, análisis didáctico del contenido, etc., con las cuales suscribimos en este artículo, son las desarrolladas por el Grupo de Investigación sobre Pensamiento Numérico del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Uni-versidad de Granada (Rico, Castro y Coriat, 1996; Rico, 1997a, b).

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seguimiento de los procesos de construcción y adquisición del conocimiento, de mo-dificación y evolución de los esquemas o estructuras cognitivas, y de asignación y comprensión de significados por parte de los alumnos; y se refiere también, al análisis, valoración y evaluación de todos los procesos anteriores, logros y resultados, y al tra-tamiento de los errores y dificultades relacionados con todo ello.

U

Para realizar el análisis didáctico relativo a una propuesta de trabajo o a un contenido determinado, con miras tanto al diseño de actividades o unidades de enseñanza y aprendizaje, como al desarrollo de proyectos curriculares e incluso de investigación, Coll y Rico, independientemente, proponen como elementos teóricos mediadores y facilitadores de este análisis, dos concepciones de “organizadores” diferenciadas y complementarias.

Por una parte, Coll (1988), basándose en resultados de la teoría de la elaboración, propone, grosso modo, considerar cuatro “organizadores fundamentales de conte-nido” (hechos, conceptos, procedimientos y principios); y cinco categorías relaciona-les, que pueden darse entre los elementos de estas tipologías de contenidos, y que son pertinentes con las decisiones instruccionales, o sea, para la organización y secuen-ciación de la enseñanza (relaciones de requisitos de aprendizaje, relaciones de proce-dimiento, relaciones de organización y coordinación, relaciones de principios y relaciones de atributos).

Por su parte, Rico (1992,1997a,b, 1998), basándose en una amplia revisión crítica de documentos relacionados con el desarrollo del currículo y la enseñanza de la matemática, y en múltiples experiencias de investigación e intervención educativa desarrollada en el marco del Grupo de Investigación sobre Pensamiento Numérico, concluye la necesidad de una reformulación local de la noción de currículo de mate-máticas y de considerar nuevos elementos organizadores para sus diferentes fases de concreción.

Podría derivarse de todas estas argumentaciones que el concepto de currículo no es útil para la planificación y diseño de unidades didácticas [...] Los docu-mentos para el currículo de matemáticas no proporcionan información suficien-te para utilizar de manera efectiva los componensuficien-tes mencionados para la planificación de temas y unidades. Esto es así puesto que no ofrecen criterios para la selección, secuenciación y organización de los contenidos, criterios para la organización, desarrollo y control del trabajo en el aula, criterios sobre prio-ridades en el proceso de construcción del conocimiento y en la asignación de significados por parte de los alumnos, y criterios para valorar los logros en el aprendizaje y para el tratamiento adecuado de los errores, para cada una de las unidades del currículo de matemáticas. (Rico, 1998)

Como respuesta a las propuestas generales de organización disciplinar y cognitiva, ca-racterísticas de las concepciones tradicionales del currículo, esta nueva concepción de

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currículo, de carácter sistémico y funcional, propone considerar nuevos organizadores y nuevas maneras de procesamiento y significación del conocimiento matemático. Es así como surge la propuesta de los organizadores para el currículo de matemáticas, los cuales proporcionan a la comunidad de educadores marcos teórico y metodológico más amplios en su generalidad, pero específicos en los aspectos profesionales relacio-nados con la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de las matemáticas. Veamos cómo el mismo Rico (1997) resume las principales características de la propuesta de los organizadores, desarrollada en el marco de trabajos realizados en esta última déca-da por el Grupo de Investigación sobre Pensamiento Numérico del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada.

Vamos a llamar organizadores a aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación del currículo. Hablamos así de organizadores del currículo. Una condición exi-gida para aceptar un tipo de conocimientos como organizador del currículo de matemáticas debe ser su carácter objetivo y la diversidad de opciones que gene-re. Un organizador debe ofrecer un marco conceptual para la enseñanza de las matemáticas, un espacio de reflexión que muestre la complejidad de los proce-sos de transmisión y comprensión del conocimiento matemático y unos crite-rios para abordar y controlar esa complejidad. Los organizadores deben mostrar su potencialidad para establecer distintos marcos de estructuración de las uni-dades didácticas, con una base objetiva de interpretación y discusión, para pro-ducir nuevos significados. Los organizadores han de ubicar las distintas opciones de los profesores para la planificación, gestión y evaluación de unida-des didácticas y han de situar estas opciones en unas referencias comunes que permitan precisar las coincidencias y las discrepancias. Los organizadores de-ben tener una base disciplinar adecuada que permita su tratamiento objetivo. El conocimiento didáctico sobre cada uno de los contenidos del currículo de mate-máticas ha de quedar estructurado mediante la aportación que hacen cada uno de los organizadores a dicho contenido. (Rico, 1997b)

Sin embargo, a pesar de la especificidad de esta nueva concepción local o específica del currículo de matemáticas de educación secundaria y de sus organizadores, los re-querimientos al profesorado, a sus formadores y a los investigadores en educación matemática, se ven incrementados en complejidad, debido al carácter teórico-práctico, multidimensional, sistémico y funcional. Además, y como una justificación más de la necesidad de la profesionalización del profesor contemporáneo de matemáticas, estas nuevas concepciones del currículo de matemáticas y de organizadores, proponen nue-vos problemas al profesorado, por la complejidad derivada de su consideración con-junta, la falta de experiencia para diseñar unidades didácticas basadas en estos nuevos modos de significar el conocimiento matemático, la inexistencia de bibliografía espe-cífica y de modelos que ejemplifiquen estas propuestas, en fin, la carencia de medios eficientes y permanentes de información y de lo que hemos llamados la infraestructura básica al respecto.

Esto nos ha llevado, en nuestro seminario de tesis y por razones prácticas, a foca-lizar toda esta complejidad analítica y curricular, en una propuesta de un modelo

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local y restringido de los organizadores del currículo. Cada modelo parcial o restrin-gido de los organizadores impone una estructura e incluso un tipo de funcionamiento del currículo. Además, creemos que, de este modo, resultará más factible un desarro-llo gradual de propuestas curriculares y didácticas por parte de los profesores, valida-das empíricamente mediante el análisis didáctico, la práctica sistemática y reflexiva y la investigación educativa.

No obstante, el hecho que consideremos un modelo restrictivo de los organizado-res, no implica que tengamos que prescindir necesariamente de los demás organiza-dores, y menos de aquellos que son constitutivos de la heterogeneidad sistémica del modelo global. La metáfora de la focalización en unas (cuatro) partes del todo es ilus-trativa: enfocamos en estas partes, hacemos zoom en ellas para observarlas mejor y poder así comprender mejor sus relaciones con el todo. De este modo, podemos com-prender gradualmente mejor, la estructura y el funcionamiento de todo el sistema.

La propuesta general de los organizadores del currículo de matemáticas considera como fundamentales los siguientes elementos:

• El contexto o ubicación y el tratamiento institucional (Diseño Curricular nacional, regional y/o de la institución o centro) de cada tema o bloque de contenido matemático.

• Las diferentes perspectivas (disciplinares) de análisis conceptual del tópico en cuestión.

• Las perspectivas de análisis cognitivo del conocimiento matemático en tér-minos de conceptos, procedimientos y actitudes.

• La pluralidad de tipologías de representación convencionales referidas a los tópicos en cuestión.

• Las opciones matemáticas y didácticas de modelización usadas para cada tópico.

• La fenomenología de los conocimientos considerados, así como sus apli-caciones prácticas.

• Los errores, dificultades y obstáculos típicos detectados en el aprendizaje de los conocimientos matemáticos.

• Los materiales, recursos y tecnologías que puedan utilizarse coherente-mente para la enseñanza de cada tópico.

• El desarrollo histórico y epistemológico de cada tópico o campo de cono-cimiento.

Esta lista de organizadores curriculares no tiene por que ser considerada exhaustiva. Opcionalmente, podría reducirse o aumentarse. Por ejemplo, un elemento organizador puede quedar subsumido en otro. O, por razones prácticas, al diseñador (profesor) de una propuesta curricular o didáctica, podría interesarle mantener un desglose más am-plio de determinados elementos organizadores. En la anterior cita de Rico se presentan las condiciones que caracterizan a los organizadores del currículo.

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Nuestra propuesta de modelo local, restringido y de carácter sistémico, dirigido al establecimiento de estrategias de planificación curricular y análisis didáctico, consi-dera principalmente los cuatro elementos organizadores siguiente:

• Análisis conceptual (estructura formal) del contenido matemático, desde la perspectiva del Análisis Matemático y de la Didáctica del Análisis Matemático (Apostol, 1967; Leinhardt, et al, 1990; NCTM; 1991; Dubinsky, Harel, 1992; Vinográdov, 1994; Eisenberg, 1994). En términos generales, el contenido matemático se refiere a los conceptos básicos del Cálculo —función, gráfica, continuidad, límite y derivada— en el currí-culo de secundaria.

• Análisis cognitivo, basado en los desarrollos teóricos que conciben el conocimiento matemático en términos de tres dimensiones principales: conceptual, procedimental y actitudinal (Hiebert, Lefevre, 1986; Coll, 1988, 1994; MEC-DCB, 1989; MEC, 1991; Rico, 1992; MEN-LGE, 1995a; MEN, 1995b).

• Los sistemas de representación convencionales utilizados en el estudio de los conceptos básicos del Análisis, considerados desde las perspectivas didácticas y psico-semiológicas actuales (Janvier, 1987; Romberg, 1993; Duval, 1995; Hitt, 1995, 1998; Rico, 2000).

• Las modernas calculadoras graficadoras, concebidas como tecnologías de representación múltiple y cálculo simbólico, dedicadas a la enseñanza de las matemáticas (Demana, Waits et al., 1994; Waits, Demana, 1995; Hitt, 1995, 1998; Bedoya, 1996; Bedoya, Rico, 1998).

La figura 1 nos muestra esquemáticamente la estructura de nuestra propuesta del mo-delo local y restringido (tetrádico) de los organizadores curriculares.

E

:

C

Por razones de espacio no incluimos en este artículo los resultados totales del análisis didáctico. El contenido matemático general es el dominio conceptual referido a los tópicos fundamentales del Cálculo (función, gráfica, continuidad, límite y derivada).

El análisis, así como la planificación curricular en torno a este contenido, se rea-liza desde la perspectiva de los organizadores del currículo, con un mayor énfasis en el modelo tetrádico y sistémico que acabamos de describir2. En los ejemplos de acti-vidades didácticas que presentamos a continuación se ven reflejados los efectos de este tipo de análisis y, por consiguiente, de los organizadores, especialmente de los que son constitutivos principales de nuestro modelo tetrádico. Estas actividades no están preparadas para ser llevadas directamente al aula, sino que son ejemplos

modé-2. Para realizar el diseño y desarrollo de este análisis nos hemos basado en Rico (1992), Bedoya (1996) y Bedoya y Rico (1998).

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licos, a partir de los cuales se pueden pensar, diseñar y concretar otras actividades para tal fin.

Para la ubicación y tratamiento institucionaldel contenido nos hemos basado, independientemente, en los diseños curriculares de los ministerios de educación de España (MEC) y Colombia (MEN), respectivamente. Con respecto al MEC los tópi-cos relativos al contenido matemático que nos ocupa –conceptos fundamentales del Cálculo- están parcialmente distribuidos en el Bloque # 4 de los contenidos de la ESO (15/16 años), bajo el título de “Interpretación, representación y tratamiento de la información” y en las especialidades de la Educación Secundaria Post-obligatoria (Bachillerato, 16/17 años), “Ciencias de la Naturaleza, de la Salud y Tecnología”. Con respecto al MEN, estos tópicos están totalmente distribuidos en décimo (16/17 años) y undécimo (17/18 años) grados de la Educación Media.

Algunas componentes de las dimensiones del análisis cognitivo, relativos a los tópicos fundamentales del contenido matemático, son los referidos a los conceptos y procedimientos.

Conceptos. Relaciones funcionales. Relaciones funcionales expresadas mediante variables. Representaciones gráficas y numéricas. Características y propiedades loca-les y globaloca-les de las gráficas de funciones. Ejemplos de funciones elementaloca-les. Lími-tes de una función. Continuidad. Tasa de variación media. Derivada de una función. Función derivada. Ejemplos de derivadas. Derivación. Aplicaciones de las derivadas.

Figura 1. Esquema de la propuesta de los organizadores (O.n) del currículo, consis-tente de tres niveles de reflexión y análisis. El segundo nivel corresponde con la

selección adecuada de los organizadores (O.si) del modelo restringido.

O.3 Signif.3 O.n Signif.n O.1 Signif.1 O.2 Signif.2

Selección adecuada de organizadores (O.s_i) para el modelo local

O.s3 O.s4

O.s2

O.s1

Nuevos significados del contenido matemático ( Análisis y diseño de propuestas didá cticas)

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Procedimientos. Utilización e interpretación de distintos tipos de representación

(ver-bal, gráfico, numérico y simbólico algebraico). Determinar las características y pro-piedades fundamentales de una función. Obtener un modelo funcional para un fenómeno o situación determinada e interpretarlos a partir del modelo construido. Distinguir distintos tipos de funciones de acuerdo con su ley y sus representaciones. Obtención de la tasa de variación media de un fenómeno. Obtención de la función derivada de una función elemental sencilla dada. Determinación de las propiedades principales de una función mediante el análisis de sus derivadas.

Y como cuarto organizador de nuestro modelo tenemos los materiales, tecnologías y

recursos, propios de lo que hemos denominado ambiente didáctico de tecnología, pa-pel y lápiz. Aparte de los materiales bibliográficos, manuales etc., en particular,

em-plearemos nuevas tecnologías informáticas equipadas con sistemas de representación múltiple y de cálculo simbólico, como las modernas calculadoras graficadoras TI-83, TI-89 y TI-92.

Los siguientes ejemplos nos pueden servir como referentes de actividades para ilustrar de manera concreta la integración sistemática de las diferentes componentes del modelo de los organizadores del currículo que proponemos.

E

1. D

La enseñanza clásica de las matemáticas, tradicionalmente ha privilegiado el trata-miento simbólico-algebraico sobre el numérico e incluso el gráfico. En este tipo de ejemplos, no sólo se invierte esto sino que se enriquecen las posibilidades de com-prensión de las ideas y la motivación actitudinal hacia las matemáticas, ya que se establecen diferentes e interesantes conexiones entre nociones conceptuales y proce-dimentales del Cálculo (funciones y gráficas), geometría elemental y álgebra. Ade-más, permiten interrelacionar diferentes tipos de representación y visualizar significados de los conceptos y procedimientos, gracias a las diversas utilidades didácticas de las nuevas tecnologías, tales como, pluralidad de opciones de represen-tación, sistemas de cálculo simbólico, opciones dinámicas, etc.

El siguiente ejemplo es una adaptación de una actividad propuesta por Waits y Demana. La adaptación la hemos hecho para un ambiente de calculadora graficadora TI-92, papel y lápiz, mediante el análisis didáctico basado en nuestro modelo de los organizadores del currículo.

El problema consiste en inferir la función determinada por el área “bajo” la

grá-fica de la recta (o ) y limitada por las rectas verticales y , y el eje Ox.

La idea consiste en motivar a los estudiantes y generar un ambiente en el que ellos puedan visualizar y comprender intuitivamente la relación entre la longitud de la base del triángulo y su área. Y, de esta manera, introducirlos en la noción de función de segundo grado. También, con este tipo de situaciones-problemas, se puede motivar la introducción del concepto de área bajo una curva ( ) entre y ,

y = x y = 2x x = 0

x = a

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que en el lenguaje formal de la integral definida, corresponde con la integral definida por

.

Las dos figuras siguientes las hemos obtenido mediante una calculadora TI-92. La de la izquierda (Figura E.1.a) nos muestra la construcción de un triángulo rectángulo (OAB) utilizando la aplicación (O) Geometry (una versión adaptada del conocido

software educativo Cabri. Los vértices de este triángulo son: O (origen de

coordena-das), A (intersección de una recta perpendicular con el eje Ox) y B (intersección de la perpendicular con la bisectriz por el origen del primer cuadrante). También, hemos ob-tenido la longitud de la base (OA) y el área respectiva.

La figura de la derecha (Figura E.1.b) nos muestra la pantalla de la calculadora en modo “pantalla dividida” o doble ventana. En la ventana de la izquierda tenemos la misma construcción de la figura de la izquierda, y en la ventana de la derecha tenemos una tabla de datos con valores de la base (columna c1) y el área (columna c2), respec-tivamente. Usando apropiadamente las múltiples opciones de estas modernas tecnolo-gías, podemos, no sólo hacer variar automáticamente los valores de las dimensiones del triángulo, sino también, enviar directamente estos datos a la tabla, después de cada variación obtenida (mediante el comando •D), tal y como se muestra en la Figura

E.1.c.

Luego, podemos usar las diversas utilidades de análisis y representación gráfica de datos que traen integradas las calculadoras graficadoras TI-92, tales como:

O→6:Data/Matriz Editor→F2:Plot Setup→F1:Define→Plot Type – Scatter, etc.

Es importante recordar nuestra recomendación sobre la conveniencia de ir regis-trando en la pizarra (por parte del profesor) y en el papel (por parte del estudiante) la información que se va obteniendo en la pantalla de la calculadora. Entre otras razo-nes, para tenerla siempre visible, aun en los casos en que como éste, la información de la tabla permanezca en la memoria de la calculadora.

Figura E.1.a Figura E.1.b

t td 0 x

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Observemos ahora las dos figuras siguientes. La figura de la izquierda (Figura E.1.d) nos muestra la ventana de definición del tipo de representación gráfica que utilizare-mos (Plot Type… Scatter), y de la relación entre la variable independiente x correspon-diente a la longitud de la base (c1), y la variable depencorrespon-diente y, corresponcorrespon-diente al área del triángulo (c2). En la figura de la derecha (Figura E.1.e) vemos la correspondiente representación gráfica de los pares de valores de la tabla, mediante puntos (pixeles) en un sistema de coordenadas cartesianas x-y.

Como podemos observar, los puntos obtenidos no están sobre una línea recta. Esta po-dría constituir una buena situación didáctica, en la que el profesor puede proponer a sus alumnos una discusión sobre el tipo de gráficas que podría contener este conjunto de puntos y para que los alumnos realicen exploraciones con sus calculadoras grafica-doras con el propósito de encontrar las representaciones gráfica y simbólica-algebrai-ca de la función que contiene (aproximadamente) a este conjunto de puntos. Ahora bien, si elegimos (o si los alumnos eligen) como es de esperarse, la gráfica de la rela-ción dada por , rápidamente podemos darnos cuenta que esta gráfica no con-tiene al conjunto de puntos dados, como lo podemos observar en las dos figuras siguientes (Figuras E.1.f y E.2.g).

Figura E.1.c

Figura E.1.d Figura E.1.e

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Sin embargo, es claro que al aplicar una dilatación geométrica a la gráfica de , por el factor de dilatación , obtenemos la gráfica de , la cual, en efecto, contiene los puntos dados, como podemos comprobarlo en las dos fi-guras siguientes (Fifi-guras E.1.h y E.1.i).

E

2. R

El estudio de las ecuaciones y de los métodos de aproximación son dos de los temas más trabajados en la enseñanza secundaria y primeros años de la universidad. Con mucha frecuencia tenemos que resolver ecuaciones de todo tipo para encontrar ceros de funciones y de sus respectivas derivadas, intersecciones entre dos o más curvas, determinar propiedades, etc.; y en la mayoría de las ocasiones, estas soluciones debe-mos obtenerlas mediante aproximaciones. Pero, la mayoría de las técnicas de resolu-ción de ecuaciones y aproximaresolu-ción que se enseñan en la educaresolu-ción secundaria resultan ser mecánicas y tediosas, tanto para los estudiantes como para los profeso-res. Además, buena parte de estos conocimientos resultan ser de carácter exclusiva-mente procedimental y constituyen un verdadero obstáculo y lastre para el desarrollo eficiente y la comprensión significativa de contenidos conceptuales que son más rele-vantes. En estos tiempos de las nuevas tecnologías informáticas, debieran revisarse críticamente algunas de estas técnicas, especialmente las técnicas tradicionales basa-das exclusivamente en el uso del papel y el lápiz, y promover nuevos desarrollos

Figura E.1.f Figura E.1.g

Figura E.1.h Figura E.1.i

y1 = x2 a 1 2 ---= y2 1 2 ---x2 =

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curriculares y nuevas metodologías didácticas basadas en estas modernas tecnologías dedicadas a la educación matemática.

Una utilización apropiada de las nuevas tecnologías de representación múltiple, con sistemas de cálculo simbólico-algebraico integrados, nos pueden ayudar a supe-rar algunas de las dificultades y obstáculos relacionados con la enseñanza y el apren-dizaje de la resolución de ecuaciones y métodos de aproximaciones, asociados con las limitaciones de las tecnologías tradicionales. Además, por sus características inte-ractivas y dinámicas, y sus utilidades didácticas de representación múltiple, visuali-zación, simulación y modelivisuali-zación, nos pueden ayudar en la comprensión y resolución significativa de problemas interesantes, así como a introducir conceptos más avanzados.

Ejemplo 2.1. Los primeros métodos de resolución de ecuaciones

Los primeros métodos de resolución de ecuaciones fueron de carácter numérico. En una lápida de la antigua Babilonia (alrededor de 1700 a. C.) se proponía construir una tabla de valores de , con n tomando valores desde 1 hasta 30, probable-mente con el propósito de resolver ecuaciones del tipo . Utilizando una calculadora graficadora, vamos a construir una tabla semejante para encontrar las raí-ces de la ecuación .

Solución

Las dos figuras siguientes (Figuras E.2.1.a y b) permiten observar cómo hemos utili-zado la calculadora graficadora (TI-83) para resolver este problema. Nos muestran fragmentos de la tabla de valores que hemos construido utilizando el comando

TABLE (ys) para encontrar la solución de la ecuación dada.

Ejemplo 2.2. Resolución gráfica de ecuaciones con ayuda

tecnológica

Obtener una “gráfica completa” (una gráfica que permita visualizar las principales propiedades) del gráfico definido mediante la ecuación . Lue-go, utilizar el comando r y las opciones del menú q para hallar la mejor aproximación (dependiendo de la tecnología utilizada) de las soluciones reales de la ecuación . Obtener todas las soluciones de la ecuación dada. Explique por escrito los pasos más importantes que ha seguido.

Figura E.2.1.a Figura E.2.1.b

n3+n2 n3+n2 = a n3+n2–2016 = 0 n = 12 y = 2x3+x2–5x+7 2x3+x2–5x+7 = 0

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Solución

La Figura E.2.2.a nos muestra los valores asignados a las variables de la ventana de visualización para obtener una gráfica completa de la curva dada. Y la Figura E.2.2.b permite visualizar dicha gráfica. Nótese que la gráfica cruza el eje de las abscisas solamente una vez. Por lo tanto, la ecuación tiene una única solución real.

Las siguientes figuras nos muestran diferentes aproximaciones de la solución real. La figura de la izquierda (Figura E.2.2.c) nos suministra una primera aproximación (x≈ -2.234043), obtenida mediante exploración gráfica y numérica con el comando r. La fi-gura del centro (Fifi-gura E.2.2.d) nos muestra una mejor aproximación de la solución (x≈-2.281575), obtenida mediante las opciones (1:Zbox) del menú q, en un entor-no del punto (-2.2340, 0.86118683) obtenido previamente. Y la figura de la derecha (Figura E.2.2.e) nos muestra otra aproximación todavía mejor que la anterior ( , obtenida aplicando 2:Zoom In (menú q), alrededor del punto dado por .

Además, dependiendo de las necesidades e intereses didácticos, también se puede pro-poner resolver la ecuación utilizando la opción 2:zero del menú CALCULATE (Figura E.2.2.f). La Figura E.2.2.g nos permite visualizar una “aproximación exacta” obtenida mediante esta opción.

Figura E.2.2.a Figura E.2.2.b

Figura E.2.2.c Figura E.2.2.d Figura E.2.2.e

Figura E.2.2.f Figura E.2.2.g

x≈–2.260638

2.281575,–0.1404114

( )

–

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Finalmente, la figura siguiente (Figura E.2.2.h) nos muestra todas las soluciones reales y complejas, obtenidas mediante una TI-92. Ahora bien, si de todas maneras, se pre-fieren las técnicas clásicas basadas en el uso exclusivo de las tecnologías tradicionales de papel y lápiz, se recomienda a estos lectores que intenten encontrar las soluciones exactas de la ecuación en cuestión, utilizando los conocimientos que se trabajan al ni-vel de secundaria.

A

Reflexiones y ejemplos como los anteriores permiten reafirmarnos en que una de las principales dificultades de la enseñanza de las matemáticas en general, y de los con-ceptos básicos del cálculo en particular, es la gran complejidad que estos procesos suponen. Complejidad que, como hemos dicho, no depende solamente de los concep-tos y procedimienconcep-tos disciplinares, sino también del propio proceso didáctico. Com-plejidad que afortunadamente es progresivamente creciente en los últimos años (afortunadamente), debido a los continuos desarrollos de la propia disciplina, espe-cialmente, de la Didáctica de la Matemática y de las nuevas tecnologías informáticas, con sistemas de representación múltiple y cálculo simbólico integrados. Todo esto se pone en evidencia cuando enfocamos diferentes aspectos locales pero de forma siste-mática, integrada y con conocimientos profesionales fundamentales de base, los pro-cesos y estructuras didácticas prácticas y teóricas.

La propuesta que hacemos sobre estrategias de planificación curricular (y didác-tica) basada en el modelo particular de los organizadores del currículo, puede ayudar-nos significativamente a abordar con rigor profesional y científico esta gran complejidad de los procesos y estructuras de la didáctica de la matemática de ense-ñanza secundaria. Los ejemplos modélicos que hemos propuesto y el marco teórico que hemos presentado ponen en evidencia estos supuestos, pero, también, la gran dificultad que supone abordar esta problemática.

La experiencia propia y de otros profesores de nuestro ámbito curricular e investi-gativo nos ha venido mostrando que esta complejidad curricular no puede ser abor-dada eficientemente desde un marco que no sea al menos gradualmente sistémico y colectivo. Por esta razón, consideramos que, por una parte, la propuesta de los mode-los locales y restringidos de organizadores del currículo, diseñados e implementados de una manera gradual, constituye una opción teórica-práctica, fundamentada con-ceptual y empíricamente, para abordar esta problemática curricular.

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Por otra parte, coherentemente con nuestra concepción particular sobre el currí-culo, como plan de formación permanente, consideramos que para que el profesor de matemáticas (en formación o en ejercicio) pueda acceder a la infraestructura básica y necesaria que le permita abordar profesionalmente las distintas situaciones y deman-das curriculares, didácticas y tecnológicas actuales, es necesario desarrollar progra-mas de formación que contemplen mínimamente sisteprogra-mas de conocimientos (práctico-teóricos) como el que hemos estructurado en esta propuesta de un modelo particular de los organizadores del currículo.

R

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