NECESIDAD DEL CONCEPTO DE SUMA INFINITA PARA LA COMPRENSIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

NECESIDAD DEL CONCEPTO DE SUMA

INFINITA PARA LA COMPRENSIÓN DE LA

INTEGRAL DEFINIDA

Resumen. El presente trabajo reporta el inicio de una

investigación que tiene como objetivo determinar si es o no conveniente desde el punto de vista didáctico realizar un breve estudio de las series numéricas antes de presentar a los estudiantes el concepto de integral definida, ya que en el trabajo metodológico con este concepto se aproxima el área bajo la curva mediante la suma de las infinitésimas áreas de un número infinito de rectángulos, sin que los estudiantes estén al tanto del comportamiento de las sumas con infinitos sumandos.

Hasta el momento se ha podido constatar que desde el punto de vista del ordenamiento conceptual de la matemática es posible el tratamiento de las series numéricas antes de la integral definida; que las sumas con infinitos sumandos tienen un comportamiento que no corresponde a lo que se infiere del comportamiento de las sumas con un número finito de sumandos y por último, que a nivel internacional existen problemas con la apropiación o interiorización del concepto de integral definida, por parte de los estudiantes.

Luego los argumentos anteriores muestran que es apropiado realizar los estudios correspondientes sobre el proceso de asimilación para llegar a una propuesta con fundamentos teóricos sobre la conveniencia o no del ordenamiento planteado. Palabras Claves. Integral definida, series numéricas.

I. INTRODUCCIÓN

Como es conocido el concepto de serie fue uno de los últimos que se incorporó a la rama de la matemática clásica que hoy conocemos con el nombre de Cálculo Diferencial e Integral o simplemente Cálculo, lo cual parece influir en que la series numéricas, siempre aparezcan al final de los programas de estudio que incluyen la mencionada rama de la matemática, incluso cuando por las características del curso y por razones de tiempo se necesita suprimir algún contenido, es el correspondiente a las series numéricas el que resulta suprimido, sin tener en cuenta que este contenido tiene virtudes notables en lo que respecta por un lado a la comprensión sistémica de la matemática en el estudio de las funciones, si tenemos en cuenta que las sucesiones no son más que funciones de N en R y que las series son sucesiones de sumas parciales de una sucesión dada, y por otra parte las

series son las herramientas matemáticas que permiten comprender las sumas con un número infinito de sumandos, lo cual puede contribuir de manera notable a que los estudiantes logren una mejor comprensión del infinito matemático después del estudio del límite.

Otra razón por la que el contenido de series es colocado al final de los programas de Cálculo Diferencial e Integral se debe a que la integral se usa, de modo directo, en uno de los criterios de convergencia, el criterio de la integral; y también para determinar el carácter de las series hiperarmónicas, o sea las series de la forma:

1

1

p n

n

∞ =

∑

(1) Este problema puede ser resuelto sin mayores dificultades, pues en un primer estudio de las series numéricas, en la transposición didáctica que siempre se hace al transferir un contenido de la ciencia a una asignatura, podemos prescindir del criterio de la integral y la clasificación de las series hiperarmónicas se puede hacer sin mayores complicaciones, como se mostrará mas adelante, sin el uso del criterio de la integral.

II. MATERIALES Y MÉTODOS

El Concepto de Límite como prerrequisito.

No hay dudas que el concepto de límite, y demás conceptos que dependen de este, caracterizan la matemática superior y los estudiantes presentan dificultades para comprenderlos racionalmente, esto último no es sorprendente si tenemos en cuenta que la física y las ciencias técnicas tuvieron que esperar por esta matemática para continuar sus respectivos desarrollos, pues la complejidad intrínseca de estos conceptos hizo que la comunidad científica tardara en comprender los mismos, pues aunque los grandes pensadores pudieron percatarse de la existencia de proceso infinitos desde antes de Dr. Ramón Blanco Sánchez y Lic. Yosbel Morales Olivera

nuestra era, Zenón de Citio, y Platón, siglos IV y III antes de nuestra era, discutieron como era posible llegar desde un punto A, a un punto B, situados en línea recta a pesar de tener que cruzar las infinitas mitades de mitades que resultan de dividir la longitud entre A y B sucesivamente y de manera infinita. No obstante la presencia histórica temprana de procesos de límite, como sabemos solo fue hasta el siglo XVII que los procesos infinitos pudieron ser usados matemáticamente, gracias a los trabajos de Newton y Leibnitz y fue necesario esperar dos siglos más para que la matemática del límite fuera adecuadamente formalizada, en lo cual fue fundamental los aportes de Luís Agustín Cauchy.

Resulta evidente, que si el propio concepto de límite resulta elusivo a los estudiantes, los conceptos que dependen del primero, serán igual o aun más complicados para ellos, lo cual implica la necesidad de lograr que los estudiantes tengan la mayor comprensión posible de este concepto antes de enfrentarlos a nuevos conceptos que requieren del precedente apenas comprendido. Por otra parte no podemos asegurar que un estudiante se ha apropiado del concepto de límite porque sea capaz de reproducir su definición o porque pueda calcular límites complejos, sabemos que muchos estudiantes pueden calcular límites como:

3 3 3 0

8 2

lim

x

x

x

→

+ −

(2) a partir de las propiedades de los límites, sin embargo muchos no pueden probar que el límite

2 1

lim(

2 ) 3

x→

x

+

x

=

(3)

cuando se les pide que lo hagan mediante la definición, es decir encontrar la relación ε-δ, que garantiza que para todo ε existe un δ.

El trabajo mecánico que realizan los estudiantes con este concepto genera una parte considerable de las dificultades que posteriormente encuentran en sus estudios del Cálculo Diferencial e Integral, por lo tanto se requiere buscar alternativas para que el estudiante tenga una mejor interiorización de dicho concepto, y precisamente en las series numéricas el concepto de límite está más al descubierto, es más inmediato, que en el caso de la integral, dado que en este último el concepto de límite está muy interrelacionado, tanto desde el punto de vista estructural como funcional, con el resto de los elementos componentes del concepto de integral, por lo que se necesita más un conocimiento del límite, para poder comprender su funcionamiento e influencia en el nuevo concepto, en el cual es imprescindible pero no deja de ser un elemento más del mismo, no obstante en el caso de las series numéricas, el límite no es parte del nuevo concepto, sino que se usa tal y como es, para clasificar miembros del nuevo concepto, a través de lo cual se llega a comprender y fundamentar el trabajo con las sumas con un número infinito de sumandos, o sea en el caso de las series numéricas, el límite funciona más como herramienta de trabajo que como parte del

concepto, lo cual simplifica tanto la apropiación del nuevo concepto, como la consolidación del anterior.

Como se puede apreciar, acercar el estudio de las series numéricas al estudio del concepto de límite, contribuye a consolidar este último y además al tener más fresco el concepto de límite, puede trabajar de una forma más eficiente con las series numéricas, con lo que logrará una mejor comprensión del comportamiento de las sumas con un número infinito de sumandos.

De las consideraciones realizadas hasta el momento se puede apreciar que existen ventajas, desde el punto de vista del aprovechamiento de los estudiantes, en realizar el estudio de las series numéricas en etapas más tempranas de los cursos de Cálculo, con el doble propósito por una parte de consolidar el concepto de límite y por otra, que el estudiante logre una mejor comprensión de las series numéricas, como las herramientas matemáticas para estudiar y comprender las sumas con un número infinito de sumandos.

Las Sumas Infinitas en la Integral.

Está claro que el concepto de serie numérica, como la sucesión de sumas parciales de una sucesión dada, no se emplea de forma directa en el concepto de integral definida, no obstante sí resulta claro en la definición, que se efectúa la suma de un número infinito de sumandos, todos positivos, por lo que se requiere algo mas que la intuición si queremos que los estudiantes, aunque futuros profesionales no matemáticos, tengan una adecuada formación matemática, y puedan compatibilizar la intuición con los resultados teóricos. Actualmente en la definición de la Integral Definida se hace abuso de la intuición, al igual que con el caso del teorema de Bolzano, referido a que si una función es continua en un intervalo [a,b] y cumple que f(a)f(b) < 0, entonces existe al menos un punto c entre a y b tal que f(c) = 0, el cual no se demuestra en los cursos de matemática para ingenieros a causa de su veracidad intuitiva. Pero es importante que todo profesional que use la matemática en alguna forma, sea consciente de que la intuición es necesaria para inducir un resultado, pero que en matemática ningún resultado inducido se puede incorporar a la teoría matemática si no es validado por la deducción.

En modo alguno proponemos aquí que la matemática para ingeniero requiera de la demostración de todos los resultados que se usan, lo cual consideramos por una parte innecesario y por otra no factible, pero sí consideramos que se requiere un balance que permita al estudiante comprender el funcionamiento intrínseco de la matemática, donde el par dialéctico inducción – deducción está siempre presente en la construcción del conocimiento matemático. Las series numéricas resultan una herramienta importante al respecto, ya que precisamente las sumas con un número infinito de sumandos tienen un comportamiento engañoso a la intuición, como en el caso que nos ocupa las sumas con un número infinito de sumandos que en unos casos tienen suma y en otros no, lo cual induce a considerar los problemas de existencia de la integral, como es el caso de la integral:

∫

1 0

x

dx

(4) donde se puede lograr que los rectángulos cuyas áreas se suman, se peguen al eje “y” tanto como sea necesario, pero no se puede lograr que sus áreas sean suficientemente pequeñas para que la suma de estas infinitas áreas sea finita y consecuentemente exista la integral, por supuesto cuando se introduce el concepto de integral definida en los cursos de matemática para ingenieros, sólo se plantean ejemplos donde la suma de las áreas de los rectángulos que resultan de las particiones del intervalo de integración, sea finita, pero si el estudiante usando asistentes matemáticos como el Maple, el cual trae implementado el cálculo de la integral definida a partir de la definición, nos pregunta por qué en el ejemplo anterior al aumentar el número de particiones la suma no tiende a un valor específico, no tenemos los medios para dar una respuesta clara y precisa, pues no disponemos de la herramienta matemática para poder argumentar por que unas sumas si convergen y otras no, como es el caso de las particiones que se muestran a continuación para las integrales:

∫

2 0

x

dx

(5)

∫

π 0

)

( dx

x

sen

(6)

Figura 1. Partición obtenida en el asistente matemático Maple para la integral “(5)”.

Figura 2. Partición obtenida en el asistente matemático Maple para la integral “(6)”.

donde el primer caso no tiene una suma finita, cuando el número de sumandos tiende a infinito y en el segundo caso sí. Es una cosa cierta que la suma integral, la cual representa el área bajo la curva, no se define como una serie, pues como se puede ver en [8]: 1 2

lim[ ( )

( )

...

( )

_n

]

n

A

f x

x

f x

x

f x

x

→∞

=

Δ +

Δ + +

Δ

(7)

no es la sucesión de sumas parciales de una sucesión dada, pero sí es una suma con un número infinito de sumandos y el estudio de las series se requiere para comprender el comportamiento de este tipo de sumas, por ejemplo en la bibliografía anteriormente citada, se propone el siguiente ejemplo: Sea A el área de la región que está debajo de la gráfica de:

x

e

x

f

(

)

=

− (8) entre x = 0 y x = 2. A partir de la suma “(7)” se obtiene que:

2 4 6 2

2

lim (

...

)

n n n n n n

A

e

e

e

e

n

− − − − →∞

=

+

+

+ +

(9)

y entonces plantea que es un límite muy difícil para calcularlo manualmente y no puede dar otra información al respecto que no sea calcularlo con asistentes matemáticos y hablar de un nuevo método para más adelante. El estudio de las series numéricas que proponemos anteponer a la integral definida no supone llegar hasta el cálculo de la suma, pero permite a los estudiantes comprender lo que significa una suma con un número infinito de sumandos y el comportamiento que se puede esperar de las mismas y pueden estar en mejor condición para comprender en que radica la complejidad del límite “(9)”.

Requerimientos para anteponer las series numéricas a la integral definida.

Al considerar la posibilidad de impartir las series numéricas antes que las integrales en las carreras de ciencias técnicas surge el inconveniente de que no se puede usar el criterio de la integral. Este criterio se utiliza para analizar el carácter de algunas series numéricas, pero esto se hace con el uso de otros criterios de convergencia o simplemente no se consideran en este momento las series numéricas tales que la determinación de su carácter dependa exclusivamente del criterio de la integral, de igual manera que no se consideran aquellas series tales que para determinar su carácter dependen exclusivamente de criterios como el de Raave.

Consideramos que la única dificultad didáctica al no poder usar el criterio de la integral consiste en no poder usarlo para analizar el carácter de las series hiperarmónicas, tal como aparece en la bibliografía básica de dichas carreras, pero este es un problema soluble, tal como se ilustra a continuación donde se analiza el carácter de la serie hiperarmónica “(1)”, sin utilizar el criterio de la integral. El análisis se dividirá en dos casos.

Caso1: , tomemos , entonces la serie que se

obtiene es:

1

≤

p

p

=

1

∑

∞ =1

1

n

n

(10) Para analizar el carácter de “(1)”, tomemos la serie:

…

+

+

+

+

+

+

+

+

1/2

(1/4

1/4)

(1/8

1/8

1/8

1/8)

1

(11)

Ahora si se suman los términos que están entre paréntesis tenemos que la serie “(11)” se transforma en:

1/2

1/2

1/2

1

+

+

+

+

…

(12) Por lo que la serie “(11)” es divergente. Además,

... 8 / 1 7 / 1 6 / 1 5 / 1 4 / 1 3 / 1 2 / 1 1 1 1 + + + + + + + + =

∑

∞ = n n (13) Por lo tanto se puede ver que todos los términos de la serie “(10)” son mayores o iguales a los términos correspondientes de la serie “(11)” y como se vio anteriormente esta última es divergente, por lo que, según el criterio de comparación, podemos afirmar que la serie “(10)” también es divergente. Ahora tenemos que para

p

<

1

:

∑

∑

∞ = ∞ =

≥

1 1

1

1

n n p

n

n

(14)

De donde podemos afirmar, según el criterio de comparación, que si

p

<

1

, la serie “(1)” es divergente.

Caso2: , tomemos , en este caso la serie que se

obtiene es:

1

>

p

p

=

2

∑

∞ = 1 2

1

n

n

(15) Para analizar el carácter de “(15)” utilizaremos la serie:

∑

∞ =2 2

−

1

n

n

n

(16) Esta serie se transforma en:

∑

∞ =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

−

2

1

1

1

n

n

n

(17) Ahora, si obtenemos varias sumas parciales ( ) de “(17)”, nos daremos cuenta de que es una suma telescópica, o lo que es lo mismo, que en ( ), se eliminarán todos los términos, excepto el primero y el último, o sea:

n

S

n

S

n

S

_n

=

1

−

1

(18) De aquí:

1

)

/

1

1

(

lim

−

=

∞ →

n

n (19)

por lo que podemos afirmar que la serie “(16)” es convergente. Pero además tenemos:

∑

∞

∑

= ∞ =

−

≤

2 2 2 2

1

1

n

n

n

n

n

(20)

Es de notar que la diferencia entre la serie del miembro izquierdo de la desigualdad “(20)” y la serie “(15)”, es uno, por lo que ambas tienen el mismo carácter. Ahora, según el criterio de comparación, la serie del miembro izquierdo de “(20)” es convergente y por tanto, también lo es la serie “(15)”. Además tenemos que para

p

>

2

:

∑

∑

∞ = ∞ =

≤

1 2 1

1

1

n n p

n

n

(21)

Por lo que en virtud del criterio de comparación para la serie “(1)” también es convergente.

2

>

p

Finalmente podemos concluir que la serie hiperarmónica “(1)” es convergente cuando

p

>

1

y divergente cuando

1

≤

Luego, dado que es posible probar el carácter de las series hiperarmónicas sin usar la integral se muestra que es posible estudiar las series, antes que las integrales, lo cual conduce a que el estudiante en primer lugar tenga las herramientas para trabajar con las sumas infinitas y además este trabajo con las sumas infinitas contribuye a que el estudiante madure el concepto de límite antes de usarlo en la definición de la integral.

III. CONCLUSIONES

El presente trabajo es un estudio investigativo teórico con el objetivo de perfeccionar el ordenamiento conceptual del cálculo diferencial e integral como disciplina docente, se ha probado la posibilidad teórica de anteponer el estudio de las series al de la integral definida, pero además se plantean consideraciones didácticas que argumentan a favor del reordenamiento planteado, como es la necesidad de que el alumno madure el concepto de límite antes de emplearlo en un nuevo concepto como es el de la integral definida.

BIBLIOGRAFÍA

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