PRÁCTICA 2. MANIOBRAS ORBITALES

ARQUITECTURAS EMBARCABLES EN SATÉLITE

PRÁCTICA 2. MANIOBRAS ORBITALES

Nombre: ...

1. INTRODUCCIÓN

En esta práctica se va a trabajar sobre los conceptos básicos de maniobras orbitales, las cuales permiten transferir un satélite de una órbita a otra. Este tipo de maniobras espaciales hacen posible los encuentros espaciales (Rendezvous) y las misiones interplanetarias, entre otros.

1.1 Transferencias de Hohmann

Walter Hohmann (figura 1-1) fue un ingeniero alemán quien en 1925, muchos años antes de que se lanzara el primer satélite, teorizó sobre el mejor modo de hacer transferencias entre órbitas minimizando el gasto de combustible.

Los cambios orbitales se realizan básicamente cambiando la velocidad del satélite. Activando los motores se aplica un impulso en una dirección paralela a su vector de velocidad, es decir, de manera tangencial. Este impulso implica un cambio de velocidad, denominado ΔV. Cada vez, que se suma o se resta velocidad, se cambia la energía mecánica de la órbita, y por tanto, se cambia su tamaño y semieje mayor, a.

Figura 1-1. Walter Hohmann

1.2. Un poquito de Física de Mecánica Orbital

En este apartado se va a explicar a grandes rasgos la base matemática en la que se fundamentan las transferencias de Hohmann.

Si se desea mover un satélite a una órbita más alta, debe aumentarse el semieje mayor (añadiendo más energía a la órbita), lo que se consigue incrementando la velocidad. Por otro lado, para bajar a una órbita inferior, hay que disminuir el semieje mayor, reduciendo la velocidad, es decir, frenando el satélite.

Cuando en una misión se desea pasar un satélite de una órbita inicial o de aparcamiento (órbita 1) a otra órbita final (órbita 2), se utiliza una órbita de transferencia para ello. La órbita de transferencia es la trayectoria que describe el satélite en su viaje de la órbita 1 a la órbita 2 (ver figura 1.2).

DV1 DV2

Órbita inicial o aparcamiento Órbita Transferencia

Órbita final

Figura 1-2. Transferencias de Hohmann

Para pasar de la órbita 1 a la órbita de transferencia se tiene que aplicar un cambio de velocidad que llamaremos ΔV1 (DV1 en la figura 1-2). Del mismo modo, para pasar de

la órbita de transferencia a la órbita 2, deberá aplicarse de nuevo un cambio de velocidad que llamaremos, ΔV2. Si no se aplicase este segundo cambio de velocidad, el

satélite continuaría en su órbita de transferencia. Por lo tanto, este tipo de transferencia requiere dos cambios de velocidad.

Cualquier ΔV representa un cambio de la velocidad actual a una velocidad deseada, que podría representarse como:

actual deseada V V

V = −

Δ

Obsérvese como se toma el valor absoluto, porque se desea conocer la cantidad de cambio de velocidad, de modo que se pueda calcular la energía necesaria, y por tanto, el combustible requerido. El signo no importa, ya que tanto para frenar como para acelerar, se requiere una cantidad de combustible. Si es positivo, el impulso se aplicará en el mismo sentido que el vector velocidad, y si es negativo, se aplica en sentido contrario al vector velocidad, es decir, se produce un frenado. Volviendo a nuestro ejemplo:

1 1

_ _

1 Vtransferencia orbita Vorbita

V = − Δ 2 _ _ 2

2 Vorbita Vtrasferencia orbita

V = −

Δ

donde Vtransferencia_orbita_1 es la velocidad en la órbita de transferencia cuando el radio es el

radio de la órbita 1, y donde Vtransferencia_orbita_2 es la velocidad en la órbita de

2 1 V

V Vtotal =Δ +Δ Δ

Tomando en consideración la siguiente expresión:

) ( 2⋅ μ +ε = orbita orbital R V

donde ε es la energía mecánica específica:

a

2 μ ε =−

ε = energía mecánica específica (km2

/s)

μ= parámetro gravitacional de la Tierra = G.mTierra ≈ 3.986x105 (km3/s2)

a = semieje mayor (km)

Las diferentes velocidades implicadas se calculan resolviendo las siguientes expresiones: ) ( 2 ₁ 1 1 orbita orbita orbita R V = ⋅ μ +ε ) ( 2 ₂ 2 2 orbita orbita orbita R V = ⋅ μ +ε ) ( 2 1 1 _ _ transferencia orbita orbita cia transferen R V = ⋅ μ +ε ) ( 2 2 2 _ _ transferencia orbita orbita cia transferen R V = ⋅ μ +ε

Las transferencias de Hohmann son muy eficientes desde el punto de vista de gasto de energía, pero el paso de la órbita 1 a la órbita 2 puede llevar mucho tiempo. La transferencia requiere exactamente la mitad del periodo de la órbita de transferencia. Recordando la expresión del periodo:

μ π 3

2 a

P=

El tiempo de vuelo o TOF (Time of Flight) sería:

μ π 3 2 cia transferen a P TOF = =

donde:

P = Periodo orbital (s)

a = semieje mayor de la órbita de transferencia (km)

1.3. Veamos un ejemplo

Supongamos que la ESA desea colocar un satélite de comunicaciones en una órbita geoestacionaria, partiendo de una órbita baja de aparcamiento. Los datos de dichas órbitas son los siguientes:

Rorbita1 = 6570 km

Rorbita2 = 42160 km

Calcúlese el ΔVtotal necesario para realizar la maniobra y el tiempo que emplea. Resolución analítica

Lo que hay que calcular es: 2

1 V

V Vtotal =Δ +Δ

Δ y el TOF

Lo mejor es ir por pasos:

1.- Cálculo de ΔV1

Las expresiones implicadas son:

1 1

_ _

1 Vtransferencia orbita Vorbita

V = − Δ donde: ) ( 2 1 1 _ _ transferencia orbita orbita cia transferen R V = ⋅ μ +ε ) ( 2 1 1 1 orbita orbita orbita R V = ⋅ μ +ε y a 2 μ ε =−

Resolviendo las expresiones:

km R R a orbita orbita cia transferen 24365 2 42160 6570 2 2 1+ = + = = 2 2 2 3 5 1798 . 8 24365 2 10 986 . 3 2 s km km s km x a_{transferencia} cia transferen =− ⋅ − = − = μ ε

2 2 2 3 5 1 1 30.33 6570 2 10 986 . 3 2 s km km s km x a_orbita orbita =− =− _⋅ =− μ ε s km s km km s km x R V _orbita orbita orbita 30.33 7.789 6570 10 986 . 3 2 ) ( 2 ₂ 2 2 3 5 1 1 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + ⋅ = μ ε s km s km km s km x R V transferencia orbita orbita cia transferen 8.1798 10.246 6570 10 986 . 3 2 ) ( 2 ₂ 2 2 3 5 1 1 _ _ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + ⋅ = μ ε Ya queda poco… s km V V

V₁ = _{transferencia_orbita_1}− _orbita1 =10.246−7.789 =2.457 Δ

2.- Cálculo de ΔV2

Repetimos los cálculos pero en este caso para pasar de la órbita de transferencia a la órbita final:

2 _ 2

2 Vorbita Vtransferencia orbita

V = − Δ donde: ) ( 2 2 2 _ _ transferencia orbita orbita cia transferen R V = ⋅ μ +ε ) ( 2 ₂ 2 2 orbita orbita orbita R V = ⋅ μ +ε y nuevamente a 2 μ ε =−

Resolviendo las expresiones:

2 2 2 3 5 1798 . 8 24365 2 10 986 . 3 2 s km km s km x atransferencia cia transferen =− ⋅ − = − = μ ε

2 2 2 3 5 2 2 4.727 42160 2 10 986 . 3 2 s km km s km x a_orbita orbita =− =− _⋅ =− μ ε s km s km km s km x R V _{transferencia} orbita orbita cia transferen 8.1798 1.597 42160 10 986 . 3 2 ) ( 2 ₂ 2 2 3 5 2 2 _ _ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + ⋅ = μ ε s km s km km s km x R V _orbita orbita orbita 4.727 3.075 42160 10 986 . 3 2 ) ( 2 ₂ 2 2 3 5 2 2 2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = + ⋅ = μ ε Finalmente… s km V V

V2 = orbita2 − transferencia_orbita2 = 3.075−1.597 =1.478 Δ

3.- Cálculo de ΔVtotal

Una vez tenemos ΔV1 y ΔV2, ya sólo queda resolver la siguiente expresión:

s km V V V_total =Δ ₁+Δ ₂ =2.457+1.478=3.935 Δ 4.- Cálculo de TOF

(

)

min 15 5 min 315 18925 10 986 . 3 24365 2 2 3 5 3 3 hr s s km x km a P

TOF = = transferencia =μ = ≈ =

μ π Resumen de resultados: ΔV1 2,457 km/s ΔV2 1.478 km/s ΔVtotal 3.935 km/s TOF 5 hr, 15 min

Para el desarrollo de la práctica, se recomienda introducir las fórmulas en una hoja de Excel o similar.

Modelado con STK

Tal y como se vio en la práctica 1-1, a la hora de describir la órbita de un satélite pueden usarse diferentes propagadores (dos cuerpos, SGP4, etc.). Para el modelado de las transferencias de Hohmann y trayectorias interplanetarias, se usa el propagador Astrogator, que constituye uno de los módulos de STK.

A lo largo de los siguientes pasos, vamos a modelar el caso anterior con STK.

Paso 1. Creación del escenario

- Cree un nuevo escenario en STK y llámelo “Hohmann_1”.

- Coloque en este escenario un satélite. Cuando se inicie el asistente de órbitas, cancélelo.

- Abra las propiedades básicas del satélite y cambie el tipo de propagador a Astrogator. Observará cómo cambian los parámetros del satélite (figura 1-3).

Figura 1-3. Parámetros Astrogator Paso 2. Inicio de la definición del MCS

Las diferentes trayectorias de un satélite basado en Astrogator, se definen en el denominado Misión Control Sequence o MCS. Cada uno de los elementos que componen el MCS se llama segmento. Cualquier MCS empieza por un segmento inicial (Initial State) y termina por un símbolo de finalización (). Pulsando el botón derecho sobre cualquier segmento se pueden insertar nuevos segmentos antes o después del segmento seleccionado, establecer sus propiedades básicas, etc. También se permite el anidamiento de segmentos.

El primer paso es configurar el estado inicial, que en nuestro ejemplo será la órbita 1: - Cambie el nombre del estado inicial por “Estado Inicial”, pulsando dos veces

- En el tipo de elemento (Element Type), seleccióne Keplerian Modified. - En el radio del periapsis, introduzca 6570 km.

- En excentricidad, coloque un 0 (órbita circular). - La inclinación puede dejarla con 28.5º.

Paso 3. Propagación de la órbita inicial

En el paso anterior se ha definido simplemente el estado inicial. Para que se ponga en marcha el satélite hay que “propagar” la órbita. Esto se define añadiendo un segmento llamado propagador. Por defecto, Astrogator coloca un propagador a continuación del estado inicial, como se observa en la figura 1-3.

- Cambie el nombre del propagador por “Orbita 1”, pulsando dos veces sobre el icono “Propagate”.

- En el tipo de propagador, seleccione “Earth Point Mass”.

- Como puede observar, pueden definirse unas condiciones de parada. En nuestro caso dejamos la que viene por defecto, es decir, establecemos que se termine la propagación especificando un tiempo de parada. Establezca un tiempo de viaje (trip) de 2 horas.

- Ejecute Astrogator pulsando en el icono . El comando “run” ejecuta la secuencia. Hasta el momento sólo tiene los dos segmentos definidos. Si observa la ventana 2D y 3D, verá cómo se ha dibujado la órbita. Si inicia la simulación, el satélite orbitará durante el periodo definido de 2 horas.

Paso 3. Primera maniobra. Aplicación de ΔV1

Abra nuevamente la ventana de propiedades gráficas del satélite y añada un nuevo segmento después del propagador “Orbita 1. En la figura 1-4, se muestran los posibles segmentos que ofrece Astrogator.

El segmento a introducir en nuestro caso es el segmento maniobra o “Maneauver” (figura 1-5).

- Cambie el nombre del segmento de maniobra por “DV1”, pulsando dos veces sobre el icono “Meneauver”.

- Indique el cambio de velocidad a aplicar, en este caso, se correspondería con el ΔV1 calculado en el apartado anterior e igual a 2.457 km/s. Deje los parámetros

que viene por defecto. En el campo del control de actitud, se establece que sea en el mismo sentido que el vector de velocidad (along velocity vector). Si se desease aplicar el impulso en sentido contrario (cambio negativo o efecto frenado), el campo control de actitud por “Antivelocity Vector”.

Figura 1-5. Segmento de Maniobra Paso 4. Propagación de la órbita de transferencia

Ahora que se ha aplicado el impulso, es necesario propagar la órbita de transferencia, es decir, hay que añadir un nuevo segmento continuación del anterior que sea de propagación. Añada este nuevo segmento y llámelo, “Orbita transferencia”. Puede cambiar el color para que se distinga de la órbita inicial u órbita 1.

- En el tipo de propagador, seleccione “Earth Point Mass”.

- Inserte una nueva condición de parada. En este caso, la condición de parada será cuando llegue a su apoapsis, es decir, su punto más alejado. Éste será el punto donde aplicaremos el segundo impulso para entrar en la órbita 2.

- Observará que hay dos condiciones de parada, una de tiempo y otra de apoapsis. Debe asegurarse que la condición de tiempo no se cumple antes de llegar al apoapsis. En nuestro caso, deje el valor de 12h que viene por defecto.

- Ejecute Astrogator pulsando en el icono . El comando “run” ejecutará toda la secuencia. Si observa la ventana 2D y 3D, verá cómo se ha dibujado la órbita inicial y la órbita de transferencia. Si inicia la simulación, el satélite orbitará durante 2 horas y a continuación entrará en la órbita de transferencia. Se detendrá cuando llegue al apoapsis (figura 1-6).

Figura 1-6. Vista de la órbita inicial (verde) y la órbita de transferencia (amarillo)

Paso 5. Segunda maniobra. Aplicación de ΔV2

Como puede deducir, una vez que se llega al apoapsis es momento de aplicar el segundo impulso que inyecte al satélite en la órbita 2. Repita el paso 3, pero en este caso introduzca el valor de ΔV2, que para nuestro ejemplo era de 1.478 km/s.

Paso 6. Propagación de la órbita final

Ya sólo queda propagar la órbita final. Añada un elemento de propagación y llámelo “Órbita 2”. En condiciones de parada, déjelo con la condición de parada por tiempo, y en el tiempo de viaje (trip), ponga por ejemplo 24 horas.

El MCS debería haberle quedado como se muestra en la figura 1-7.

Ejecute todo el MCS. Verá en las ventanas 2D y 3D toda la secuencia definida (ver figura 1-8). Si pulsa sobre cualquier segmento con el botón derecho del ratón, podrá obtener un resumen (summary) de las propiedades de dicho segmento tras la ejecución. Esto es interesante para analizar los parámetros orbitales, por ejemplo.

¡Enhorabuena, ha conseguido subir un satélite a una órbita geoestacionaria!. Veamos si ahora es capaz de bajar un satélite.

2. PROBLEMA 1

Se desea recuperar y reparar un satélite llamado LUNITARI mediante la lanzadera espacial Discovery. El satélite LUNITARI tiene los siguientes parámetros orbitales:

Semieje mayor, a 26562 km Excentricidad, e 0

Inclinación, i 28.5º

RAAN, Ω 0

Por otro lado, el Discovery puede alcanzar una altura máxima de 450 km (a=6828 km) y con una inclinación de 28.5º. Sus datos orbitales son:

Semieje mayor, a 6828 km Excentricidad, e 0 Inclinación, i 28.5º RAAN, Ω 0º Argumento perigeo 0º Anomalía verdadera 0º

Calcule los cambios de velocidad y el TOF necesarios para bajar el satélite LUNITARI a la órbita del Space Shuttle. Una vez calculados los datos, realice la simulación con STK. Deberá incluir en el escenario ambos vehículos espaciales. Puede cambiar el modelo 3D del Shuttle para que represente al Discovery (shuttle-05.mdl).

Por último, complete la siguiente tabla con los resultados obtenidos.

ΔV1

ΔV2

3. ENCUENTROS ESPACIALES. RENDEZVOUS

En el problema anterior se ha colocado un satélite en una órbita inferior. Habrá observado que lanzadera y satélite están en la misma órbita, pero uno va adelantado respecto al otro. Para que todo salga bien, ambos satélites deben coincidir en el tiempo y en el espacio. En nuestro ejemplo, el satélite a reparar sería el satélite interceptor y la lanzadera el satélite objetivo o target.

El principal problema a resolver en un encuentro espacial consiste en determinar el momento y la posición en la que producir el primer ΔV, de tal modo que cuando el satélite se inyecte en la órbita destino, se encuentre con el otro satélite.

Puesto que los satélites describen movimientos circulares, para resolver los encuentros espaciales, usaremos velocidades angulares y ángulos recorridos en un determinado tiempo.

La velocidad angular de un objeto se define como:

μ π π π ω 3 2 2 2 a Periodo = =

ω=Velocidad angular (rad/s) a=semieje mayor (km)

μ= parámetro gravitacional de la Tierra = G.mTierra ≈ 3.986x105 (km3/s2)

Consideremos el ejemplo de la figura 3-1. Esta figura representa el escenario en el punto final, es decir, una vez transcurrido el TOF. Es el escenario deseado, es decir, en el que interceptor (cuadro naranja) y objetivo (círculo verde) coinciden.

DV1 (t=t0) Punto de encuentro (t=t0+TOF) 180 grados 0 grados 90 grados 270 grados

Se sabe que el satélite interceptor emplea un tiempo igual al TOF, calculado en los apartados anteriores, para recorrer su órbita de transferencia. Por un lado, también se sabe que el satélite interceptor viaja un ángulo de 180º (π radianes) durante su transferencia.

Durante el TOF, el satélite objetivo habrá recorrido un ángulo que llamaremos αlead.

TOF objetivo lead =ω ⋅ α 3 a objetivo μ ω =

Si queremos que ambos satélites coincidan, el encendido de los motores en t=t0 deberá

realizarse cuando el desfase entre ambos satélite sea de φ_final =π −α_lead(ver figura 3-2).

DV1 Punto de encuentro αlead 0 grados Φfinal = π−αlead

Figura 3-2. Escenario en el momento de la aplicación de ΔD1

En el caso de en el instante t0 haya un desfase que no coincida con el desfase final, será

necesario esperar un tiempo hasta que se cumpla el desfase final requerido. Este tiempo de espera se calcula resolviendo las siguientes expresiones:

espera erceptor objetivo inicial final =φ +(ω −ωint )⋅T φ erceptor objetivo inicial final espera T int ω ω φ φ − − =

y por tanto el encendido deberá realizarse en t=t0+Tespera. Sólo cuando φinicial = φfinal, el

tiempo de espera será cero.

Si el tiempo de espera resulta negativo, ya que como no es posible viajar hacia atrás en el tiempo, habrá que sumarle al numerador (φfinal - φinicial), multiplos de 2π (es decir, dar

4. PROBLEMA 2

Realice los cálculos necesarios para que, sobre el escenario del problema 1, se realice el encuentro espacial entre el Discovery y el satélite Lunitari. Llame a dicho escenario “Rendezvous”. El tiempo t0 se considerará el momento de inicio que haya establecido

para la simulación.

t0 = Start Time

φfinal

φinicial

Tespera

Repita el ejercicio anterior pero considerando en este caso, el tiempo t0, 12 horas

después del momento de inicio del escenario.

t0 = Start Time + 12 hr

φfinal

φinicial

Tespera

El tiempo de espera será el tiempo de vuelo (Trip) de la órbita 1, justo antes de que se aplique el primer impulso.

5. COMBUSTIBLE

Hasta el momento nos hemos limitado a calcular los ΔV, lo que es de suma importancia para conseguir los cambios de órbita y los encuentros espaciales. No obstante, a la hora de dimensionar el satélite es importantísimo establecer qué cantidad de combustible hay que quemar para conseguir el deseado ΔV.

La fórmula que relaciona el ΔV con el gasto de combustible es la famosa ecuación de los cohetes de Konstantine Tsiolkovsky, quien la publicó en ¡1903!.

) ln( final inicial m m C V = ⋅ Δ en la que:

ΔV = incremento de velocidad deseado (m/s) C = velocidad efectiva de salida (m/s)

minicial = masa inicial del satélite (masa en seco del satélite + masa del fuel)

mfinal = masa final del satélite (masa en seco del satélite + fuel remanente)

C se calcula como el impulso específico (Isp) multiplicado por la aceleración de la gravedad a nivel del mar (9,81 m/s2)

0 ·g

Isp

C =

Por último, el impulso específico se puede expresar como:

0 g m F I Thrust sp = _{ ⋅} donde:

FThrust = Fuerza de empuje (N)

m = flujo de carburante (kg/s) g0 = aceleración de la gravedad (9,81 m/s2) Finalmente: C V inicial final

m

e

m

Δ −

⋅

=

6. PROBLEMA 3

Para estudiar el combustible requerido para realizar un simple cambio orbital, cargue de nuevo el escenario Hohmann_1 del ejemplo y haga los siguientes cambios sobre el MCS:

- En el segmento Initial State (Órbita Interna), pulse el botón “Satellite Properties” y en la pestaña Fuel Tank, ponga una masa de 15000 kg (Fuel

Mass y Maximum Fuel Mass)

- En ambos segmentos de maniobra active la opción “Update Mass Based on Fuel Usage” dentro de la pestaña “Engine”.

- Ejecute el MCS

- Con la opción “summary” (botón derecho), apunte cuánto combustible se ha empleado para realizar las dos maniobras.

Escenario Hohmann_1

Impulso Combustible empleado

ΔV1

ΔV2

Verifique analíticamente los datos resultantes con STK mediante las fórmulas facilitadas. Para ello, STK emplea los siguientes datos:

Isp = 300 s

FThrust = 500 N

Repita los cálculos para el escenario del Problema 2.

Escenario Rendezvous

Impulso Combustible empleado

ΔV1

ΔV2 Bibliografía de consulta

J.J. Sellers. Understanding Space. An Introduction to Astronautics (Capítulos 6 y 14) McGraw-Hill. ISBN 0-073407755