Sistemas de Ecuaciones No Lineales

(1)

Matemática Superior aplicada

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz JTP: Dr. Juan Ignacio Manassaldi

Aux. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt Aux. 2da: Sra. Amalia Rueda

(2)

Introducción

Volvemos un tiempo atrás:

¿Qué son los Sistemas de Ecuaciones Lineales?

(3)

Introducción

Podemos decir que los sistemas de ecuaciones

no-lineales son un conjunto de ecuaciones no-no-lineales

que deben satisfacerse en simultaneo.













1 1 2 2 1 2 1 2

,

0 ,

,

0 ,

,

0

n n m n

f x x

x

f

x x

x

f

x x

x



(4)

n-m: grados de libertad

Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales













1 1 2 2 1 2 1 2

,

0 ,

,

0 ,

,

0

n n m n

f x x

x

f

x x

x

f

x x

x



1, 2, , : 1, 2, , i n j x R i n f R R j m      

Sin perdida de generalidad supondremos

m=n













1 1 2 2 1 2 1 2

,

0 ,

,

0 ,

,

0

n n n n

f x x

x

f

x x

x

f

x x

x



(5)

:

n n n

x

R

f R

R





Sistema de ecuaciones algebraicas no lineales

 













1 1 2 2 1 2 1 2

,

n n n n

f x x

x

f

x x

x

f x

f

x x

x















_

_













Se define la función vectorial f asociada al sistema de ecuaciones original y el vector de incógnitas x:

1 2 n

x

 

 



 

 

 

0 f x



Por lo tanto, la expresión compacta de un sistema de ecuaciones algebraicas no lineal corresponde a:

(6)

          1 1 k k k k r k x x x x x        

Aproximaciones sucesivas (multivariable)

El valor de arranque o semilla corresponde a un vector:    

      0 1 0 0 0 ₂ 0 n x            _{ } _        1

 

 0

x



F x

La primera aproximación se obtiene a partir de la función vectorial F asociada al sistema original.

Finalmente se desarrolla el proceso iterativo hasta satisfacer la tolerancia o alcanzar el máximo de iteraciones:



k 1



 

k

x





F x

max 1, 2, ..., k  k

Al tratarse de vectores el error corresponde a la norma de la

diferencia entre dos aproximaciones sucesivas

(7)

Ejemplo Aprox. Sucesivas



















0

5

0

75 .

0

2 1 1 2 2 1 2 1 2

x

 

2 12 1 2 2 2 1 1

0.75

5 x

x

f x

x

x x

x





 



 















1 2

x

 

  

 

f x

 



0  

2 12 2 2 1 1

0.75

5 x

x

F x

x x

x









 















x



F x

 

1 2

x

 

  

 

Sistema equivalente:

(8)

 0 1 1 x        

 

0   1 1.2500000 4.0000000 F x x    _{ } _     2  1 30.8829696 e  x  x   

 

1   2 -3.1875000 26.5625000 F x x    _{ } _  

Ejemplo Aprox. Sucesivas

El error de la iteración 5 corresponde a:

15

9.6510395 10

e  

¡El sistema no converge!

 

2 12 2 2 1 1

0.75

5 x

x

F x

x x

x









 















1 2

x

 

  

 

(9)

 0 1 1 x        

 

0   1 0.8660254 0 F x x    _{ } _    

 

1   2 1.2712299 0.1732051 F x x    _{ } _  

Ejemplo Aprox. Sucesivas

 





 

2 1 2 2 1 1

0.75

5 x

x

F x

x



_{  }













 







 

2 12 1 2 2 2 1 1

0.75

5 x

x

f x

x

x x

x





 



 















 9 1.3720650 0.2395017 x   _    9  8 -7 6.0051938 10 e x x       

 

9

1.3720650

1.3720653

0.2395017

0.2395019

F x



F







_



_









_



_













 

-7 9 -6 -8.4719027 10 -1.0625308 10 f x    _    * 1.3720650 0.2395017 x   _  

(10)

Aproximaciones Sucesivas

si no k 1 x  es solución k 1

 

 k

x





F x

 0 0

;

0 x





k



1 k  k       1 k k r k x x x   _ 

(11)

 0 0 x   1

 

 0 x  F x 1 1 i i i q  i a n      

 

      1 1 1 k k i i i _k _k i i F x F x i a n x x        1 ii i Q q i a n    k 1  k

 

 k x   Qx  I Q F x

Método de Wegstein (multivariable)

Corresponde a una extensión de lo presentado para una variable.

max 1, 2, 3,..., k  k       1 k k r k x x x   _   k 1

 

 k 1 x  F x   1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _n q q Q q             

(12)

 0  0 1 1 x  x        

 

0     1 1 1.2500000 4.0000000 F x x x     _{ } _     

 

1     2 2 -3.1875000 26.5625000 F x x x     _{ } _  

Implementación en el ejemplo

 

2 12 2 2 1 1

0.75

5 x

x

F x

x x

x









 















1 2

x

 

  

 

 

2   3 35.9726562 433.5000000 F x x    _{ } _    

 

      2 1 2 1 1 2 i i i i i F x F x i a x x      -8.8248239 13.3149284         

(13)

Implementación en el ejemplo

0.9220646 0 0 0.8744742 Q         1 2 1 i i i q



i a



    3  2

 

 3

x



Qx

 

I

Q x

 3 0.9220646 0 -3.1875000 0.1017830 0 35.9726562 0 0.8744742 26.5625000 0 -0.0812022 433.5000000 x  _  _{ }  _{ }  _{ } _          3 0.7983380 6.4817440 x   _     3  2

30.8829696

error

x









 42 1.3720644 0.2395041 x   _   -7

5.46739 10

error







(14)

Implementación en el ejemplo

 

42

1.3720644

1.3720648

0.2395041

0.2394852

F x



F







_



_









_



_













 

-7 42 -5

1.3720644

_{3.9569449 10}

0.2395041

_{1.8947044 10}

f x



f







_



_

 

 















_

_





*

1.3720644

0.2395041

x

 





_





(15)

Método de Wegstein

si no k 1 x  es solución 1 k  k 1 k        1 k k r k x x x   _   0 0 x   1

 

 0 x  F x  

 

      1 1 1 k k i i i k k i i F x F x i a n x x        1 1 i i i q  i a n     Qii  qi i 1 a n k 1  k

 

 k x   Qx  I Q F x

(16)

k 1  k 1

 

 k

 

 k

x





x



J



x

f x

1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n f f f x x x f f f x x x J f f f x x x      _ _ _         _ _ _       _ _ _    _ _ _   

Método de Newton-Rhapson (multivariable)

La formula recursiva de N-R multivariable corresponde a:

 

k 1 f x         1 k k r k x x x   _  max 1, 2,..., k  k

Matriz Jacobiana de la función f

Inversa de la matriz J evaluada en el punto : : n n n n n n x R f R R J R R    

(17)

 

1 2 1 1

2

1

5

2 1 5

x

J x

x







 

_

_







Implementación en el ejemplo

 0 1 1 x        1 1 2 1 3 0.25 2.1666667 1 1 1 3 5 0.4166667 x    _{  }   _{ }  _{ } _            2 2.1666667 0.2580254 -0.0218050 1.3611111 1.6055926 0.4166667 0.1399152 0.0726832 -9.6250000 0.0924692 x  _  _{ }  _{ }  _{ } _           2  1 1.6055926 2.1666667 -0.5610741 0.7576434 0.0924692 0.4166667 0.5091359 e  x  x  _  _{ }  _{ } _  e        

 

2 12 1 2 2 2 1 1

0.75

5 x

x

f x

x

x x

x





 



 















(18)

 3 1.4037040 0.2409977 0.224078 x  _ _  e     4 1.3727742 0.0344382 0.2392220 x  _ _  e     5 1.3720658 4 7.6168800 10 0.2395018 x  _ _  e     

Implementación en el ejemplo

*

1.3720654

0.2395019

x

 





_





 

-12 * -12 0.1267875 10 -0.3406164 10 f x       

Podemos afirmar que es solución del sistema. El error es del orden de 10-7

(19)

Método de Newton

si no  0 0; 0 x  k        1 k k r k x x x   _  k 1 x  es solución 1 k  k k 1  k 1

 

 k

 

 k x   x J x f x

(20)

Requerimos que:

1) El algoritmo progrese hacia la solución en cada paso:

2) Los pasos no sean demasiado grandes:

donde δ es elegido por el algoritmo.

 

k 1

 

 k

f x





f x

k 1  k

x





x



δ

(21)

Método de Newton Modificado (II)

Supongamos que tenemos:

A partir del Método de Newton esperamos que:

pero puede que no satisfaga:

Además, si J es singular, p no existe.

 

  1 k k

p

 

J



x

f x



k 1



 

k

x





x



p

Corrección

p



δ

(22)

Método de Newton Modificado (III)

En lugar de evaluar la corrección por el Método de Newton, resolvemos un problema de optimización restringida:

sujeto a la restricción:

Esto funciona aún para J singular!!!!

 

k

 

 k p mín z  J x .p  f x

p



δ

 

  1 k k

p

 

J



x

f x

(23)

Si dispusiésemos de un

solver

que nos permita resolver el

problema de optimización, entonces procederíamos de la

siguiente manera:

1) Si, entonces parar.

2) Calcular p vía optimización restringida. 3) Si:

aceptar p e ir a la Etapa (1). Aquí podríamos pensar en aumentar δ.

4) Si no, reducir δ y volver a la Etapa (2)

Este algoritmo permite determinar la solución de manera

confiable. El problema es que pueda quedar atrapado en

un mínimo local de la función.

La clave:

Arrancar cerca de la solución!!!

Método de Newton Modificado (IV)

 



k



 

 k

f x



p



f x

 

k f x  ε

(24)

 

1 2 1 1

2

1

5

2 1 5

x

J x

x







 

_

_







Implementación en el ejemplo

 0 1 1 x      

 

2 12 1 2 2 2 1 1

0.75

5 x

x

f x

x

x x

x





 



 















δ 1  

 

0

 

 0 p mín z J x .p f x s.t. p δ    1 2

1 1

0.25 3 6

5 . .

1

p

mín z

p

s t

p

 











_

_

_{ }



_

_





 







(25)

Implementación en el ejemplo

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

0.25

3

6

5 . .

1

p

mín z

p

s a

p







1 2

1 1

0.25 3 6

5 . .

1

p

mín z

p

s a

p

 











_

_

_{ }



_

_





 







(26)

Implementación en el ejemplo

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

0.25

3

6

5 . .

1

p

mín z

p

s a

p







0.287116495751276 -0.957895671703289 p   _    1 1 0.287116495751276 1.287116495751276 1 -0.957895671703289 0.042104328296711 x    _{  }  _{ } _      

(27)

Implementación en el ejemplo

 



0



 

 0

f x



p



f x

-0.338343293819521

0.25 -1.343598667872214

5 

























1.385544501191005



5.006246098625197