.1:
wInStituto
Nacional
'
Para
el
Mejoramiento
de
la
Enseñanza
de las
Ciencias
N i , I ‘ y
Y
la
lógica
' .yGregorio
KlimoVsky
institutode
Lógica
y
Í
Filosofia
,de
Alas"
Ciencias.
Facultad
de
Humanidades
yw
NNI“
Ciencias
de la
Educación.
3Q
Universidad
NaciOnal
de
La
Plata.»
v '
-y ‘> ‘\
y
Cuadernos
del
Instituto
de
Lógica
y
Filosofía
de
las
Ciencias
Director:
Ricardo
J.
Gómez
Serie
Celeste
1
—G.
Klimovsky
2
-R.
J.
Gómez
3
-R.
Orayen
4
—R.
Orayen
5
-C.
Lungarzo
6
—E. Rabossi
“El
método
hipotético
deductivo
y
la
lógica”
“Sobre
Ia
vigencia
del
concepto
aris-totélico
de
ciencia”
“La
ontología
de
Frege”
(l)
“La
ontología
de
Frege”
(II)
“Incompleticidad
de
la
Aritmética
Formal”
“El
comportamiento
moral:
niveles
metodológicos
y
neutralidad
teórica”
Serie
Amarilla
1
-M.
Bunge
2
-J.
A.
Coffa
3
—l.
Lakatos
4
-—l. Lakatos
“La
teoría
relacional
y
objetiva
del
Tiempo
Físico”
“El
concepto.
de
inercia
enGalileo”
“Falsicaclórí
y<
Ia‘
metodología
de
los
programas
de
investigación
¡cien-tífica”
(I)
'‘I‘Falsificación
y
la
metodologia
de
los programas
de
investigación
El
método
hipotético
deductivo
y
la
lógica
Gregorio Klimovsky
Instituto
de
Lógica
y
Filosofía
de
las
Ciencias.
Facultad
de
Humanidades
y
Ciencias
de
la
Educación.
PRÓLOGO
El
Instituto
Nacional
para
el
Mejoramiento
de
la Enseñanza de las Ciencias(I.N.E.C.)
de
acuerdo con lasfunciones
establecidas
enei‘ decreto de su creación
debe
difundir
con lamayor
amplitud
po-sible
temasque
favorezcan
a laactualización
delos
docentes.A su vez,
el
Instituto deLógica
yFilosofia
delas
Ciencias
de 'laFacultad
de Humanidades
y Ciencias
de
la
Educación
de laUniver-sidad
Nacional
de LaPlata,
creado en 1969por
iniciativa
delProf.
Ro»dolfo
M.Agoglia,
tiene
comoobjetivos
principales
laorganización
de los cursos del
doctorado
enFilosofia
delárea
epistemológica,
laactualización
de toda lainformacion.
acerca de autores ytesis
repre-sentativos
enrelación
a losproblemas
filosóficos
vinculados
conla
temática
de laLógica,
Ia Historia
delas Ciencias
y laFilosofia
de lasCiencias
yla
difusión
de
lostrabajos
deprofesores
einvestigado-res
nacionales
oextranjeros
queconstituyan.
aportes
valiosos
enel
dominio
citado.
EstaColeccion
de Cuadernos delInstituto
deLógica
y
Filosofia
de las Ciencias
(UNLP),
en sus dosseries
(Celeste
yAma-rilla),
constituidas
respectivamente
por
trabajos
originales
de autoresargentinos,
ypor
traducciones
autorizadas
dearticulos
publicados
enrevistas
extranjeras,
procura
colaborar a laconsecución
(le los-objeti-vos
señalados.
La
Serie
Celeste
seinicia
con unescrito
delProf.
Gregorio
Kli-movsky
mientras
que
la
Serie
Amarilla
lo
hace conla
tra-ducción
de unarticulo
del
Prof.
MarioBunge.
De estemodo
ambas
series seinauguran
con sendostrabajos
de
dospersonalidades
que
hancon-tribuido
notablemente
a la.investigación
y enseñanzade
laLógica
Contemporánea
y de laFilosofia
de lasCiencias.
Hacemos
público
nuestroagradeciniento
a dichosprofesores
y 3a todos
aquellos
que
han
colaborado
con estaColección
autorizando
la
publicacion
enella
de sustrabajos.
Esperamos
que estas dosseries
depublicaciones
que
han
sidopo-sibles
gracias
a la 0.E.A.cumplan
con. todaslas
finalidades
estipula-das.
PROF. ANGEL
HERNAIZ
PROF. RICARDOJ.
GÓMEZ
Director
asesor del I.N.E.C. Director delInstituto
delógica
El
objeto
de estetrabajo
es examinar la función de lalógica
en lossistemas
científicos,
e indicarposibles
analogías
entre la naturalezagno-seológica
de lashipótesis
científicas y la de lasreglas
de lalógica.
Una
vieja
tradición divide a lasdisciplinas
científicas en dostipos:
las formales y las fácticas. En las
primeras
encontramos resa-bios dela idea de ciencia demostrativa que expone
Aristóteles
en losSegundos
Analíticos,
mientras que en las otras encarnaría el modo de pensarem-.
pirista
que hace de la ciencia un resumen de observaciones obtenidas pormedio de la
percepción.
Naturalmente,
el límite que separa las unas delas
otras
depende
de 1.aposición
filosófica que seadOpt-e.
Un racionalistaen el sentido más
amplio
posible
no admitiría la existencia de cienciasfác-ticas y, más
aún,
consideraría a laexpresión
“ciencia fá-ctica” como unacontradictio in
adjecto
que chocaría con la definición misma deciencia;
desde un punto de vista
así,
todas las ciencias deberían adecuarse a laes-tructura
demostrativa,
desde la matemática y la física hasta laética,
porejemplo.
Por elcontrario,
unempirista
radical advertiría en las másfor-males de las ciencias meras
generalizaciones
de los hechos que nos ofrecela
experiencia
sensorial opráctica.
Entre ambosextremos,
lo comúncon-siste en maneras de ver
según
las cuales la matemáticaqueda
de unlado y las ciencias naturales del
otro,
rest-ando tal vez dudas acerca de sila física debe o no escindirse en dos
disciplinas,
la física matemática y lafísica
experimental
onatural,
Quedando
laprimera
como “formal” y laotra como “natural”.
Hoy
día esta distinción nodespierta
entusiasmo,
y si la traemos a co-lación es porque asociada a ella est-á unaconcepción
de lalógica
según
la cual elempleo
deprocedimientos
lógicos
en ciencia——e3pecialmente
losde
tipo
deductivo- .es esencial en lasdisciplinas
formales,
pero no en lasempíricas;
másaún,
lalógica
misma,
en el caso de que se la considerecomo a una
disciplina
científica,
estaría clasificada como formal. Unaver-sión
algo
más atenuada de estaopinión,
y que se adecuamejor
alpunto
"devista que actualmente se tiene acerca de lo que es
una_ciencia
empírica,
es la que considera como esencial el
empleo
deprocedimientos
lógicos
también en las
disciplinas
fácticas,
aunque sin alterar por ello el carácterformal intrínseco de la
lógica.
Por elcontrario,
nosotros sostenemos quees
perfectamente
compatible
creer en laimportancia
de lalógica
parala ciencia
empírica
sin "econocer diferencias esenciales entre eltipo
deconocimiento que brindan las ciencias fácticas y el que brinda la
lógica.
Eneste
trabajo
se discutirán someramentealgunas
de las razones quepueden
llevar a pensar así.
Que
losprocedimientos
deductivos tienenigual
importancia
en lasdisciplinas
tradicionalmente consideradas formales como en las fácticas eshoy
un hecho casiobvio,
si bien en su momento fue necesario insistirbastante para hacerlo ver (1)). La razón por la cual se asociaban
estrecha-mente los
conceptos
de
“lógica”
y de “ciencia formal” está en elpapel
fundamental que la idea de “demostración”
desempeña
en lasdisciplinas
formales. En cierto
modo,
si sepiensa
que ambostipos
dedisciplinas
buscan la
verdad,
en las formales éstaaparecería
ligada
a la nociónde
“teorema”
o sea de“proposición
demostrada”. En unaconcepción
em-pirista
radical quehaga'a
laspr0posivciones
de las ciencias naturales me-ros resúmenes ogeneralizaciones
de verdadessingulares,
nadaparecido
a la demostración. existe. Pero esta
concepción
es yaanticuada;
hoy
sesabe que las
disciplinas
científicas fácticas encuentran suexpresión
enlos llamados “sistemas
hipotético-deductivos”.
La contrasta-ción dehipótesis,
medio por el cual se controla la validez o
aceptabilidad
de las teoríascientíficas
(y
cuyaposibilidad
es tomada poralgunos
como definitoria de la característica de ser“hipótesis
científica”),
se lleva a cabo deduciendoconsecuencias observacionales. Sin deducción no existiría manera de refutar
teorías o de confirmar
hipótesis.
Por ellopuede
decirse que—curiosamen-te— las orientaciones racionalistas
aparentarían
después
de todo no estarequivocadas,
ya que tanto en la matemática como en la ciencia naturalencontraríamos estructuras deductivas similares.
Pero,
comoalgunos
epis-temólogos
admiten quehay
una diferencia entre los dos casos, éste seríael momento
oportuno
para preguntar por ella. Vamos a examinar estocon
algún
detalle. _'l
Una
organización
deducti-va de unadisciplina
científica,
tanto en lama-nera de pensar tradicional como en la
contemporánea,
consistiría en uncuerpo de
proposiciones
(2))
de las cualesalgunas
se aceptan comopunto
de
partida
de la estructura deductiva (losprincipios)
.y las demás se obtie-nen como consecuenciaslógicas
de deducciones o cadenas de deducciones queparten de tales
principios
(los
teoremas oproposiciones
derivadas).
Estasproposiciones
se referirían a ciertosobjetos
o entidades cuyo estudio es elpropósito
de ladisciplina
en cuestión. Asíplanteadas
las cosas, si se deseaseguir
admitiendo la diferencia entre ciencias formales y cienciasfácticas,
habrá que
ingeniarse
para señalarlas dentro del marco de la estructura asídescripta.
Tresposibles
criteriospueden
proponerse para establecer ladis-tinción,
cada uno de ellos basado enalguno
de lossiguientes
aspectos delproblema:
1)
La naturaleza de losobjetos
estudiados;
2)
La función semántica de lasproposiciones;
3)
El “status”gnoseológico
de losprincipios.
Examinemos
de cerca lo que involucra cada una de estas alternativas.Comencemos por
1).
Para establecer una diferencia entre ciencias formalesy ciencias fácticas
podría
admitirse quehay
dostipos
de entidades:for-males y fácticas. Esto es
tentador,
y si así hiciéramos nos colocaríamosdentro de una tradición
epistemológica
que arranca de Platón. Por razonesque examinaremos en
2),
esto no es considerado como necesario para lafilo-sofía de la matemática actual ——en virtud de la naturaleza del método
axio-mático
formal-— y, por otraparte,
no es visto consimpatía
alguna
por los
¡pensadores
empiristas
o nominalistas. Sinembargo,
no es unaconcepción
en sícontradictoria,
y no vemos nada queimposibilite
considerara las modernas teorías de
conjuntos.
porejemplo,
como teorías acerca. deobjetos
formales(3)).
La discusión acerca de si los términos de las teoríasde
conjuntos
designan
“realmente” o “virtualmente”(4))
entidadesre-cuerda otra similar acerca de si los términos teóricos de las
hipótesis
cien-tíficas de alto nivel son “realmente”
designativas
o poseen solamente valorinstrumental;
en ciertomodo,
unopodría
considerar a los simbolos decon-juntos
como untipo particular
de términos teóricos. Esverdad,
comoob-serva
Nagel
(5)),
que ladiscrepancia
puede
no tener valor científico sies que el
aceptar
una cosa o la otra no afecta lacapacidad
predictiva,
lademostrabilidad o la contrastabilidad de la teoría. Pero desde el punto
de vista filosófico la diferencia es
import-ante.
y lo es aún dentro de lac-ien-cia misma si se admite que no sólo lo
predicativo
sino loexplicativo
esim-portante
en ciencia y que unaproposición
científica noexplica
igual
si seinterpretan
sus términos instrumentalísticamente(6))
o si se lo hace dema-nera realista. En tal sentido.
interpretar
a los términos de la matemáticacomo refiriéndose a entidades formales
podría
dar a sus afirmaciones unva-lor
explicativo
que está ausente en laconcepción
que hace de estadisciplina
un mero artificio instrumental auxiliar de la ciencia natural.
No es nuestra intención discutir
aquí
si existen o no entidadesforma-les. Sí
vale
la pena hacer notar que la distinción entre los dostipos
deentidades sería verdaderamente interesante sólo
en
el caso de que ellaafectara el “status”
gnoseológico
de losprincipios
admitidos en losres-pectivos
tipos
dedisciplinas
científicas.
Pues,
si las razones quegarantizan
la verdad de los
principios
son las mismas tanto para lasteorías
que seocupan de
objetos.
formales que para las que se refieren aobjetos
concre-tos,
novaldría-1a
penadistinguir
metodológicamente
entre unas y otras(y
toda nuestra discusión se haría ociosa). Sería como
distinguir
quimica
demedicina,
probablemente.
Porconsiguiente,
laposibilidad
de usar ladis-tinción 1) sería
significativa
sólo si la distinciónprOpuesta
en3)
esim-portante.
Como3)
se analizará enseguida,
suspendemos
el argumentoaquí
y pasamos a
2).
¡La
posibilidad
de encontrar una diferencia de carácter semántico entrelas
proposiciones
de lasdisciplinas
formales y las de las ciencias fácticasconstituye
uno de los descubrimientos másoriginales
de laepistemología
contemporánea,
y sus consecuencias filosóficas son tan notables comonu-merosas. Nos referimos a la
aparición
del “método axiomático”(7)).
Encierto
modo,
la actitud “oficial” que seadOpta
actualmente acerca de laeventual
existencia dealguna
diferencia entre las ciencias formales y lasotras se basa en lo
siguiente:
lasproposiciones
de las ciencias fácticas songenuinas
proposiciones,
esdecir,
describenhechos, situaciones,
o estados decosas, mientras que las
prOposiciones
de las ciencias formales sólo lo sonen un sentido meramente sintáctico
(“Sintáctico”
es usadoaquí
en elsentido de Morris
(8))
yCarnap
(9)),
esdecir,
haciendo sólo referenciaa las
propiedades
de lasexpresiones
lingüísticas
que no involucren usuariosni
significaciones).
Los sistemas deductivos de 1a matemática son meroscálculos,
esdecir,
reglas
para pasar de combinaciones designos
a otrascombinaciones de
signos.
Asiconcebidos,
tales sistemas se conocen con elnombre de “sistemas
axiomáticos”;
los“principios”
se convierten en“axio-mas”
(donde
estapalabra
no conserva su sentidoprimigenio
de verdadprimaria,
evidente yapodíctica,
sino
que ahora meramentesignifica
“punto
departida
en eljuego
de ir obteniendoexpresiones
lingüísticas
mediante transformaciones de otrasexpresiones”),
las consecuenciaslógicas
de losprincipios
en “teoremas”(donde
estapalabra
ahora únicamentequiere
decir“resultado obtenido transformando
expresiones
enexpresiones
partiendo
de los
axiomas”).
Un hechoimportante
paracomprender
la utilidad deeste método es que, aunque las
preposiciones
se tomen ahora en sentidomeramente sintáctico y como meras sucesiones de
signos,
su estructuradebe
corresponder
a la de las auténticasproposiciones
usadas en ellenguaje
ordinario de la ciencia fáctica. Para decirlo de otro
modo,
su estructuragramatical
debe ser tal que si a sus términos se les dadesignación
se obtieneun‘a
proposición
en el sentido semántico. Veamosporqué:
De las
prOposiciones
de un sistema axiomático nopuede
decirse quesean
verdaderas
o falsas. “Verdadero” y “falso” son nociones semánticasque
implican
algún
tipo
decorrespondencia
o inadecuación con lo fácti-co(10)).
La única noción que cabe en los sistema-s axiomáticos es la de“demostrable”,
unaproposición
esdemostrable,
o esteorema,
cuandopuede
deducirse
de los axiomas. Lasreglas
de deducción las da lalógica.
Esto
puede
sorprender,
pues de ordinario se supone que lalógica
se ocn-pade deducciones entre auténticas
proposiciones
y no de la transformaciónde
agrupamientos
sintácticos
designos.
Sinembargo.
recordando que he-o¡nos
impuesto
a lasexpresiones
del sistema la condición de que su formagramatical
sea correcta ycorresponda
a las mismasreglas
de formaciónque
permiten
construirproposiciones
fácticas,
la cosa no resulta tanextraña. Pues las
reglas
de lalógica
son“formales”,
en el sentido dega-rantizar la deducción atendiendo a la sintaxis de las
expresiones
(11))
yno a los
designados
de los términos (lo cual suele decirse también afirman-do que lasreglas
lógicas
no atienden al“contenido”).
Porconsiguiente.
es totalmente
posible
hacer deducciones en los sistemas axiomáticos Elúni-co
requisito
quehay
quecumplir
es el de asociar a cada término delsistema,
ya que no un
designado
—puesto
que sólotrabajamos
conexpresiones
consideradas
sintá-cticamente—,
al menos unacategoría
semántica ograma-tical que
indique
eltipo
dedesignado
que el términopuede
adquirir
sidesea-mos dárselo. Pues si no hiciéramos
así,
nopodríamos
hablar de formagra-matical correcta, ya que para
juzgar
si unaexpresión
es correcta por suforma sin conocer los
designados
de susintegrantes
es necesario saberqué
categoría
de cosaspueden
nombrarse con esos términos y si esascate-gorías
están ensambladas “como es debido”. Vale la pena mencionar unaposible
extensión de la idea de “sistemaaxiomático”,
la de “Sistemasin-táctico”
(12));
en estos sistemas. enlugar
depr0posiciones
sintácticamentecorrectas
pueden
emplearse
expresiones
cualesquiera,
y enlugar
dereglas
de
deducción, “reglas
sintácticas de inferencia” o seaprocedimientos
arbi-trarios para transformar
expresiones
enexpresiones.
Aunque
en lalógica
contemporánea
se usa más la noción de sistemasintáctico,
en matemáticalo normal es
emplear
la de sistema axi-omático. Ypodemos
preguntarnos
yapara
qué
sirven los sistemasaxiomáticos,
y, al contestar, encontrarindica-dores para
apreciar
lasventajas
quepueden
tenerrespecto
de los sistemassintácticos en
general.
Si los sistemas axiomáticos se estudian por su interés sintáctico
intrín-seco, entonces no difieren demasiado de
juegos
como elajedrez
donde hayposiciones
iniciales,
movimientos yposiciones
privilegiadas;
aquí
tendríamosaxiomas,
reglas
de inferencia y teoremas. Lo que ocurre es que además espo-sible
interpretar
semjnticamente
un sistemaaxiomático,
dándoledesig-nación la los términos
(pero
respetando
lascategorías
de losmismos).
Cuando eso se
hace,
lasproposiciones
se tranSforman engenuinas
afirma-ciones y
pueden
resultar verdaderas o falsas. Si los axiomas resultanver-daderos,
en cuyo caso los teoremas también por haberse obtenidodeducti-vamente de
ellos,
decimos que lainterpretación
es “adecuada” o quelie-mos obtenido un “modelo”
(13)).
El interés del método axiomático es queun mismo sistema axiomático
puede
admitir diversosmodelos,
'de modoque su estudio es una manera de considerar simultáneamente aspectos
de-ductivos de diferentes campos fácticos
(cada
uno de esos camposcorres-pondiendo
a cada una de lasinterpretaciones
adecuadasposibles).
Laventaja
de los sistemas axiomáticosrespecto
de los sintáctícos está en que para reconocer que lainterpretación
es adecuada basta ver que los axiomasquedan
convertidos enproposiciones
verdaderas. Pues elrequisito
deres-petar
categorías
y formasgramaticales,
y el deemplear
deducciónlógica
correcta, basta para
garantizar
que losproductos
de la transformación de losaxiomas,
—esdecir,
los teoremas- será-n también verdaderos.- En lossistemas sintácticos es necesario además
probar
que las“reglas
deinfe-rencia sintácticas” conservan la verdad
(lo cual,
si sonarbitrarias,
puede
muy bien no ser cierto o ser muy difícil de establecer (14))..- Todo
esto muestra c1
papel
central que lalógica
tiene para el métodoaxiomá-tico;
ella nosayuda
a obtener los teoremas y agarantizar
(¡ue éstos sonverdaderos en toda
interpretación
en que los axiomas lo sean.Debido a que es muy frecuente que campos de
investigación
dis-tintosposean
análogas
propiedades
estructurales,
la idea deemplear
sistemasaxiomáticos comunes para estudiar
éstas,
de modo que tales camposcoins-titu-yan
modelos comunes para esossistemas,
resulta muyventajosa
yex-plica
lo difundido del método. Es interesante notar que la “noción aristotélica de “ciencia demostrativa” y laconcepción
de “ciencia formal” vienen encierto modo a reencontrarse en la noción de “sistema axiomático”. 'Pero
notemos que cuando se
exige
que ellenguaje
científico seasignificatiw
ysemánticamente informativo es necesario
sobrepasar
estametodología
di-rigiendo
nuestra atención haciainterpretaciones
ymodelos,
es decirha-cia la ciencia fáctica. Pero en un modelo los axiomas vuelve-11 a ser
prin-cipios,
y los teoremasproposiciones
derivadas. Esdecir,
en. el momento en que ellenguaje
científico vuelve a sersignificativo,
la diferencia entreciencia fáctica y formal se desvanece nuevamente. De otro
modo;
si existendisciplinas
formales (en el sentido caracterizado por el métodoaxiomá-tico)
ellas no seríanlegítimamente
cienciasexpresables
enlenguaje
comu-nicativo o
informativo;
viceversa,
disciplinas
genuinas
que deScribenhe-chos
particulares
ogenerales
no serían formales.Volviendo momentáneamente al
problema
de cuál es 1a relación de lalógica
con laciencia,
es Oportuno ya liacer‘cicrtas observaciones. Sipen-samos en la
lógica
como teniendo que establecerreglas
correctas. dededuc-ción,
esperfectamente
posible
preguntarse
si lalógica,
comodisciplina
encargada
de tal tarea, es o no formal. Lapregunta
parece untanto
obvia,
pues
podría
argüirse
que todo el mundo sabe que lalógica,
o al menos unaparte
bastante característica de ella, cs “formal”. I‘cro ésta es unaCOTI}-fusión entre “formal” cuando hace referencia a las
categorías
y no a lasdesignaciones
de los términos quefiguran
enpremisas
y conclusiones a. lasque aluden las
reglas,
y “formal” en el sentido de “sistema axiomático”.Aunque
esperfectamente
posible
construir sistemas axiomáticos para lalógica,
es bueno advertir que lalógica
misma es una colección deafirma-ciones
significativas
acerca de cuáles son las transformaciones admisiblesde
proposiciones
auténticas que conservan la verdad. En este sentidopuede
decirse
paradójicamente
que lalógica
formal no es unadisciplina
formal(no es un sistema
axiomático).
iazonamientos un tantoparecidos
a los 10que acabamos de hacer mostrarían también que, en contra de lo que muchos
epistemólogos
“formalistas”aducen,
la matemática no se reduceexclusi-vamente al método axiomático y al desarrollo de los
correSpondientes
sis-temas
axiomáticos,
sino quehay
también una matemática no formal(algo
semejante
aduce Russell contra la axiomática de Peano para ¡mostrar queel sentido ordinario de la aritmética —-cuando usamos números en la vida
cotidiana para contar
conjuntos-
no es el que encontraríamos en unsis-tema axiomático formal
(15)).
. . .Ahora
bien,
‘los quepersistan
en concebir lalógica
y la matemáticacomo
disciplinas
formales,
en el sentidotradicional
de “cienciaformal”,
extraerán conclusiones interesantes del
párrafo
anterior. Ellospueden
adu-cir. que la distinción entre sistemas axiomáticos y modelos
(o, enlugar
de
mode-los,
disciplinas
fáctica's,
engeneral)
norefleja
totalmente ladis-tinción
entre
“formal” y“fá'ctico”,
pues habría unalógica
y unamatc-mática que en ese sentido serían
fácticas,
peSe a quesiguiendo
unatradi-ción habría que
seguir
.considerándolas con uncarácter
formal que lafísica o la
biología
ordinarias no poseen(16)).
De serasí,
serequiere
volver a encontrar una diferencia que no sea semántica. Una
¡posibilidad
sería recaer, como al discutir la
posibilidad
1),
en la diferencia entreobjetos
formales y no formales. Lalógica'se
ocuparía
deobjetos
formalescomo las
proposiciones
y lasdeducciones,
y lamatemática de números yconjuntos,
entre otras cosas. Pero ya hicimos notar que esto es pocopro-metedor,
si la diferencia no serefleja
en el “status”gnoseológico
de losprincipios
dela.
lógica
y de la matemática. Pues si lagarantía
de verdadque se posee al
investigar
deducciones oconjuntos
no es diferente queal estudiar
péndulos
o genes, la diferencia entredisciplinas
formales o noformales sería meramente de temas y no de otra cosa. Como ya
dijimos,
sería tanta la diferencia entre matemática y física como lade ésta con la
biología.
Pero esto no parece serasí;
los que creen que vale la penaman-tener la dualidad entre lo formal y lo fáctico
piensan
que lo que ocurrees que en nuestro caso la diferencia de tema involucra una diferencia en el
“status”
gnoseológico
de losprincipios
de ambostipos
(le ciencia. Comose ve,
luego
de nuestra excursión por1)
y2),
desembocamos
en3)
for-zosamente.
'Los que intentan establecer un límite divisorio entre ciencia formal y
ciencia
empírica
se apoyan frecuentemente en la creencia de que existe unadiferencia esencial entre el “status”
gnoseológico
de losprincipios
de unay otra. La verdad de los
principios
de las ciencias formales seríanecesa-ria,
la de losprincipios
de la ciencia fáctica seríacontingente.
Recordemosque hemos admitido que la estructura de ambas ciencias 'es
deductiva,
enel sentido de cristalizar en sistemas
deductivos;
por ello es que bastadis-cutir
qué
ocurre con losprincipios.
Comencemos por manifestar que laepistemología
contemporánea
acepta la distinción en cuestiónsiempre
quese recuerde que sólo se admite un único
tipo
(le necesidad intrínsecara los enunciados
científicos,
y es el quecorresponde
a lasleyes
lógicas
o a las meras
tautologías
(incluidas
las verdades “definicionales” y las“analíticas”).
De serasí,
podría
caracterizarse a la ciencia formal comoaquella
queinvestiga
sistemas deductivos cuyosprincipios
son verdadeslógicas;
ciencia fáctica sería la que estudia sistemas deductivos cuyosprin-cipios
son afirmacionescontingentes.
Que
esta distinción esgnoseológica
yno meramente
lógica
se ve al considerar que eltipo
de método por el cualconocemos que el
primer
tipo
deprincipios
es verdadero es distinto deaquél
por el cual conocemos la validez delsegundo
tipo
(hechos
singulares
fácticos intervienen en la
justificación
de lossegundos,
pero no en la de losprimeros).
Asíplanteadas
las cosas, y recordando que los sistemas deductivosfácticos
pueden
obtenerse como modelos de sistemassintácticos,
reencon-tramos la distinción
propuesta
porCarnap
entreinterpretaciones
lógicas
e
interpretaciones
descriptivas
——o fácticas-—-(17));
las ciencias formalesserían
interpretaciones
lógicas
de sistemassintácticos,
mientras que lascien-cias fácticas serían
interpretaciones
descriptivas
de tales sistemas. Estomuestra que las ciencias formales no son
triviales,
puesto
que lalógica
y lamatemática son útiles pese al carácter no fáctico de la verdad de sus
prin-cipios,
oquizá,
debido a ese mismo carácter. Admitida ladiferencia,
vamosa examinar
algunas
de sus consecuencias.l
En el caso de las ciencias
fácticas,
es bueno hacer notar que laobser-"'
vación y
experimentación
proporcionan
métodosempíricos
parajustificar
prOposiciones
singulares
cuyos términosdesignen
ele-mentos de la baseempírica.
esdecir,
de la esfera de entidades cuyo conocimiento se consideradirecto para la
disciplina
en cuestión. Pordesgracia,
losprincipios
de
1aciencia
empírica
no sonprOposiciones
así,
y no sonsingulares
sinogene-rales,
o bien hacen referencia aobjetos
noobservables,
que no están en labase
empírica
(18)).
En tal caso, nohay
método directo para verificaro refutar tales
principios.
En contra de unavieja
e inexacta tradiciónacerca de la naturaleza
gnoseológica
de losprincipios
de la cienciafáctica,
ellos
pueden
no verificarse totalmente y son, en ciertosentido,
:uinmenos
seguros
(1.9))
que lasproposiciones
singulares
antes mencionadas —quellamaremos a
partir
deahora,
proposiciones
observacionales. Porello,
elvalor de verdad de los
principios
no es engeneral
concluyente-mente
cono-cido. De ahí que en
general
el “status” de losprincipios
sea el dehipótesis,
o sea, el de
proposiciones
cuyo valor de verdad esdesconocido,
pero quese suponen verdaderas
(la
suposición
sepondrá
aprueba
por susimplica-ciones,
que darán indicación de suaptitud
para describir lo real). Lossis-temas deductivos en cuestión se transforman en sistemas
hipotético-deduc-tivos,
donde losprincipios
son ahorahipótesis
fundamentales del sistema y donde los teoremas serán de dos clases:a)
hipótesis
derivadas,
esdecir,
proposiciones
generales
o teóricas que se deducen de lashipótesis
funda-12mentales
(y
cuya verdad o falsedad es por lo tanto tambiéndesconocida,
pero que estamos
obligados
a admitir como verdaderas si es que somosconsecuentes con la decisión de suponer verdaderas las
hipótesis
fundamen-tales de las que son consecuencias
deductivas)
yb)
conscuonciasobserva-cionales,
que sonproposiciones
observacionales que sedejan
deducir de losprincipios.
Las consecuencias observacionales también deben ser admitidas como verdaderas(por
la razón antes expuesta de que las consecuencias de losprincipios,
que se suponenverdaderos,
deben ser tambiénsupuestas
verdaderas. “Admitido‘”
significa
aquí
lo mismo que“supues.to”),
pero—a diferencia de las
hipótesis
derivadas- son enprincipio
susceptibles
de verificación o de refutación conclusiva mediante acceso directo a la
base
empírica.
Si las observacionescoinciden,
esdecir,
si las consecuenciasobscrvacionales contrastadas hasta el momento resultan
verdaderas,
lashipótesis
fundamentales,
y el sistematodo,
se dice“corroborado”;
en casocontrario,
esdecir,
sialguna
consecuencia observacional resultafalsa,
se tiene que
alguna
de lashipótesis
fundamentales(aunque
n-opueda
pre-cisarse
cuál)
es falsa y que el sistemaqueda
refutado. Esto tieneimpor-tantes consecuencias: 1) los sistemas
hipotético-deductivos
no seacep-tan de una vez para
siempre;
2)
no se sabe conclusivamente si sushipóte-sis son
verdaderas;
3)
cuando son defectuosospuede
saberseconclusiva-mente que contienen
hipótesis
falsas;
4)
son controlables mediante laexperiencia
a través de las consecuencias observacionalcs de sushipótesis
fundamentales y
5)
no admiten unajustificación
inductiva,
es decir nohay
procedimiento
para verificar lashipótesis
fundamentales apartir
deobservaciones
(pues,
aunque esposible
ir degeneralizaciones
a casospar-ticulares por caminos
deductivos,
lo inverso no esposible.
La deducciónlógica
garantiza
que la verdad de losprincipios
fuerza la de lasconSe-cuencias,
pero al revés no, y ello porque la correcciónlógica
noimpide
el caso en que laspremisas
sean falsas y la conclusión verdadera. Comose
sabe,
nohay
ningún
procedimiento
deductivo ológicamente
garantiza-ble llamado
“inducción”,
pese a lo que ‘la tradición.establece)
(20)).Ade-más,
enlugar
de hablar de una cienciaempírica
deberíamos hablar delos diversos sistemas
hipotético-deductivos
admisibles en su campo(hay
quien prefiere
decir“teorías”).
Engeneral,
sonposibles
diversos sistemas noequivalentes
y aúnincompatibles
dentro de una mismadisciplina.
Elcontrol
empírico
va eliminandomuchas,
perosiempre
quedan
varias. Lossistemas
hipotético-deductivos
no se utilizanaisladamente;
un sistema defis-ica presupone
geometría,
uno debiología
presuponequimica.
Cuandoun sistema presupone otro, se dice que las
hipótesis
fundamentales de esteson
hipótesis
presupuestas
del otro. Cuando se somete una teoría alcon-trol de la
experiencia
y el resultado esnegativo,
debe tenerse en cuentaque la
“hipótesis
culpable”
puede
esar entre laspresupuestas.
Esta
metodología.
esatractiva,
puesdespeja
a la ciencia fáctica dedogmatismo,
ysc-meja
a una marcha poraproximaciones
sucesivas alnocimiento de lo real
(mediante
la refutaeión de teorías defectuosas y sureemplazo
por teorías másrefinadas).
en la elección deprincipios
no haymera inducción sino también creación
intelectual,
la cual no se reducea'espe-culación,
puespuede
controlarse por laexperiencia.
Pero en todo ésto lalógica
desempeña
otra vez unpapel
fundamental,
ya que sin ella noexis-tiría vinculación entre
principios
(hipótesis
fundamentales)
yconsecuen-cias observacionales. Y éste es el momento de volver a preguntar por el
tipo
de conocimiento que brinda lalógica,
ycompararlo
con elconoci-miento
hipotético-deductivo
que obtenemos en las ciencias fácicas-.¿Son
tipos
de conocimiento diferentes? En este caso, las ciencias fácticaspo-seerian un
ingrediente
nofáctico,
lasreglas
lógicas
que vinculanprinci-pios
y teoremas, mientras que las ciencias formales ofreceríanprincipios
de naturaleza tan
lógica
como la de lasreglas
de deducción utilizadas paraobten-er
sus teoremas. Las ciencias formales ofrecerían así untipo
depureza y
homogeneidad
que las ciencias fácti'as noposeerian.
Ademásserían seguras, toda vez que se supone que el conocimiento de las
leyes
yreglas
lógicas
tiene ungrado
desegUridad
absoluta,
que no encontramospara el de las
hipótesis
empíricas
(21)).
¿De
dónde se obtiene el conocimiento de la verdad de las leyes yreglas
lógicas?
Contestar que lalógica
mismapuede
organizarse
como sistemadeductivo de ¡modo que tales
reglas
yleyes
seobtengan
como teoremas noes
concluyente.
ya que el sistemapartiría
de todos modos deprincipios
yusaría
reglas
eSpeciales
dededucción,
de donde seríaposible
preguntarse
por la razón para admitir tales
reglas
yprincipios.
Llega
el momento enque debemos
preguntarnos
cómo conocemos la verdad de losprimeros
principios
lógicos,
y de lasprimeras
reglas
lógicas.
Como el método hipoté-tico nopuede
aplicarse
aquí
—-al menos es lo que de ordinario sepiens',—
y no es
posible
hablar dejustificaciones
lógicas
sin caer en un círculovi-cioso,
parecería
que en estepunto
“habría que recurrir a un tercerproce-dimiento,
nilógico
ni fáctico.Hay
diversosprocedimientos
mediante losque se intenta fundamentar esta etapa del
conocimiento;
no entraremosa
detallarlos,
pues entendemos que la historia de las ciencias formales estáobligado a descartar este modo de pensar. En
efecto,
lasantinomias
ló-gicas,
especialmente
en el 'ampo de laslógicas
superiores
o en el de lasteorías de
conjuntos,
ha mostrado claramente que losprocedimientos
“se-guros”
para validar losprincipios
y reglaslógicas
son un mito(22)).
Sistemas de
lógica
formal conprincipios
“evidentes”quedaron
refutadospor sus
propios
teoremas, lo cual en cierto modo seria la manera más“infamante” en que
puede
sucumbir un sistema: no tanto por contradiccióncon los hechos como por inconsistencia
consigo
mismo.Hoy
dia es habitualel
espectáculo
de diversos sistemas delógica
que contienenleyes
oreglas
alternativas y no
equivalentes
coexistiendo en el cam-po dc las cienciasformales
contemporáneas.
Lógicas
bivalentes,
polivalentcs,
intuicionistas,
oprobabilísticas
enlógica
elemental,
teorías detipos,
sistemas zermelianoso
quineanos
en teoría deconjuntos
ológica
superior,
muestran unanota-ble variedad de caminos. Pero entonces, esta
pluralidad
sereflejaría
enla existencia de diversas
aritméticas,
ya quesegún
lalógica
adOptad‘a
noserán. los mismos los
principios
yreglas
que estemos autorizados aUti-lizar para establecer los teoremas. E
igual
sucedería en el caso de lossis-temas
hipotético
vdeductivos: aúnpar-tiendo
desde las mismaship'óteSis
fundamentales se
llegaría
a distintashipótesis
derivadas,
pues lasreglas
de deducción no son
siempre
lasmismas,
y, lo que es peor. tampoco sellegaría
a las mismas consecuenciasobservacionales,
de lo cual resultaríaque la corroboración o refutación de una teoría
puede
variarseg'ún
lalógica
subyacente
utilizada. Es decir que,según
sea nuestro conocimientológico,
será nuestro conocimiento de la realidadempírica
o fáctica. lo cualen
apariencia
ra en contra de ciertaaparente
independencia
que deberíahaber entre lo
lógico
y lo fáctico(23)).
Es real-mente interesante pensarque en el caso de obtenerse una consecuencia observacional falsa a
partir
de
hipótesis
fundamentales,
habría trestipos
desospechosos
que considerar.Podría pensarse que
alguna
hipótesis
fundamental es falsa. Como ya sedijo,
pudiera
ser también que hubieraalguna
hipótesis
presupuesta
falsa.Pero,
y ésta es 1anovedad,
podría
pensarse que todas lashipótesis
encues-tión son verdaderas pero que hemos
empleado
alguna
regla
delógica.
inco-rrecta que nos llevó desde los
principios
verdaderos a consecuenciasobserva-cionales falsas. De modo que la inconsistencia interna no seria el único
proce-dimiento mediante el cual es
posible
descartar un sistema delógica;
pudiera
ser que nos viéramos inclinados a descartarlo por su inadecuación para
ayu-darnos a hacer
predicciones
correctas apartir
de losprincipios
científicos.Puede resultar molesto pensar así para
quienes
conciben el “testeo” delasconsecuencias observacionales como un método con el que se controlan las
principios
de las teorías científicas. Ahora resulta que uno controla alpropio
tiempo
losprincipios
pero también lalógica
usada.No cabe duda entonces de que una
regla
lógica
o unaley
lógica,
o unasimple
verdadlógica,
pueden
tener carácterhipotético.
Entonces su verdad ofalsedad no se conoce de por sí
(la
creenciaapriorística
en contrarioque-dó desmentida por la historia de la
lógica
y por la suerte corrida porsis-temas
aparentemente
evidentes y“verificados”),
pero essupuesta
a losefec-tos de
poder
construir sistemas delógica
y, sobretodo,
parapoder
hacerfuncionar los sistemas
hipotético-deductivos-
Parapoder completar
estaidea,
es necesario
preguntarse
si,
a pesar de ser todos los sistemas deductivos dela ciencia del mismo
tipo
hipotético-deductivo,
no existiría decualquier
ma-neraalguna
diferencia quepermitiera
distinguir
lalógica
de los sistemasempíricos,
los sistemas formales de los no formales.En
primer
lugar,
hagamos
notar quesiempre
nosqueda
laposibilidad
de reservar la
palabra
“formal” para los sistemas axiomáticos ysintác-ticos, dejando
la caracteristica “fáctica” para todos los sistemas deductivosque
empleen
hipótesis.
Entreparéntesis,
esoportuno
advertir que paramalizar los sistemas de
lógica
será necesario utilizar sistemas sintacticosy no meramente axiomáticos. Pues las
reglas
de transformación deexpre-siones ya no
pueden
estarprefijadas
unívocamente,
sino,
que tienen tantaar-bitrariedad como las
hipótesis
de lalógica
que unoquiera
elegir.
Vistoen sentido
inverso,
¡podríamos
decir que si seconstituye
un sistemasin-táetieo de modo tal que una
posible
interpretación
de susproposiciones
seade
tipo
lógico,
el saber si se está o no ante un modelo es cuestión dehi-pótesis.
Puede uno suponer al hacer esainterpretación
que los axiomasson
válidos,
y que lasreglas
de inferencia conservan la verdad(24)).
Pero si se
persiste
en decir que la distinción entre formal y fácticodebe hacerse para los sistemas
hipotético
deductivos,
no está muy clarocómo esto
puede
conseguirse.
O se recurre otra vez a 1a diferencia detema, que ya hemos calificado de no
significatii‘a,
o no se ve diferenciaentre el status
gnoseológico
de losprincipios
de unas u otras,según
aca-bamos de
argüir.
La única diferencia quepudiera
utilizarse sería la deexaminar la relación
jerárquica
que existe entre los sistemas. Puedede-cirse que un sistema
hipotético
deductivo tiene mayorjerarquía
formal queotro si éste necesita presuponer
hipótesis
deaquél
para desarrollarse perono viceversa. En tal sentido
puede
pensarse que los sistemas delógica
tie-nen más
jerarquía
formal que los de lafísica,
pues éstos presuponenlógica
pero no viceversa
(25)).
A este criteriopuede
agregarse otro:¡puede
suce-der que un sistema
hipotético
deductivo no posea contenidoempírico,
csdecir,
que notenga
consecuencias observacionales(de
modo que todos susteo-remas serían
hipótesis
derivadas).
Si esto ocurre, pero existealgún
siste-ma
hipotético
deductivo con contenidoempírico
(es
decir,
con consecuenciasobservacionales)
que presuponga lashipótesis
delprimer
sistema,
diremos que éste esformal,
a secas. El criterio estentador,
pero—igual
que elotro—— encierra dificultades y
obliga
a ciertasprecauciones.
Es cierto que lalógica
vendría a constituir un sistema(o conjunto
Ide sistemasalternati-vos)
presupuesto
por todo otro sistema. Perohay
sistemas matemáticosque presuponen otros
sistemas,
o que obxiamcnte presuponenlógica,
y unono los consideraría por ello menos formales.
Tampoco
está claro que lossistemas de
lógica
notengan
consecuencias observacionales'(o
contenidoempírico);
fácil es ver cómo extraer de leyeslógicas
consecuenciasobser-vacionales. Cierto es que se tiene la tentación de decir que las únicas
consecuencias observacionales que
pueden
surgir
así sontautológicas,
y quelo verdaderamente interesante es extraer consecuencias no
tautológicas.
Pe-ro eso es un error; el carácter
tautológico
de losprincipios
lógicos
esme-ramente
hipotético,
y por ello también el de las consecuencias. Para medirla fuerza de este aspecto
hipotético
nohay
más remedio que poner aprueba
las consecuencias observacionales. Si ellas resultan
verdaderas,
lashipóte-sis
podrán
seguir
manteniéndose,
y se habrá corroborado(aunque
nuncaverificado)
su caráctertautológico
como también el de las consecuenciasobservacionales .
Consecuencia de toda esta discusión es que la distinción entre
ciencia
formal y ciencia fáctica no parece
legítima
(o,
como en el punto1)),
pocosignificativa
epistemológicamente).
Si la ciencia se expresa por sistemas deproposiciones
semánticamentesignificativas,
estos sistemas serían todoshípotético-deductivos,
incluidos los de lalógica
y los de las matemáticas.En todos estos sistemas las
prOposiciones
y lasreglas
de deducciónten-drían carácter
hipotético,
en el sentido de suponerse que son verdaderas oque conservan la verdad
—respectivamente—.
Hay
ademásproposiciones
ob-servacionales mediante las que se pone a
prueba
el sistema entero derglas
e
hipótesis.
En caso derefutación,
es quehay
unahipótesis
o unaregla
que
falla,
y elproblema
es localizarla. Las“leyes
lógicas”
queintegran
unsistema de
lógica,
y las“reglas
lógicas”
que en ellas se admitan noes-capan a este
procedimiento
de “tes‘teo”. Elloexplica
lamultiplicidad
desistemas no
equivalentes
oincompatibles
que existen actualmente. Si seadmite que los sistemas sintácticos y axiomáticos
consituyen
ciencia,
en-tonces la única distinción valedera entre ciencia formal y
empírica
es la quehay
entre estos sistemas y loshipotético-deductivos.
Los últimoscons-tituirían la parte semántica e informativa de la ciencia. Los sistemas
sin-tácticos son
importantes
en virtud de sus modelos. Transformando susex-presiones
enproposiciones
genuinas
se metamorfosean en sistemashipoté-tic-o-deductivos. Los sistemas formales de
lógica,
esdecir,
los sistemassin-tácticos de la
lógica
interesan porque se transforman en sistemas1)
2)
3)4)
5) 6)NOTAS
La insistencia acerca del carácter
hipotético-deductivo
de las teoría-s fácticas es relativamente reciente y se.debe,
entreotros,
a Duhem,Poincaré y
Pepper.
Puede encontrarse unaargumentación
ya clásicaen este sentido en
.Popper
(13)
yPOpper
(14).
En este
trabajo
“-pr0posieión”
se refiere a lo que ahora es costumbrellamar “sentencia” no a una entidad abstracta o de iensamiento.
Acer-l
,
I
ca de “sentenma” xer
Carnap
(4),
pag. 235.Muchos
lógicos
'y matemáticoscontemporáneos
comparten esta manerade pensar
(Gódel,
porejemplo)
y aducen que la existencia de diversasteorías de
conjuntos
señala los defectos de todas ellas para asir demanera exacta las
propiedades
de losconjuntos.
En vista de lo queaquí
argumentamos,
y si es cierto que las teorías deconjuntos
pueden
verse como sistemas
hipotético-deductivos
que se refieren a laspro-piedades
de losconjuntos,
no seríaincompatible
ésto con la existenciade sistemas alternativos para la
teoría,
deigual
modo a lo que sucedeen
física,
dondehay
teorías alternativas para un mismotópico.
Un
con-junto
es “real” si el símbolo que lo denota es realmentedesig-nativo;
cuando es meramente un símboloincompleto
—y eliminablemediante definiciones contextuales— diremos que es virtual
(natural-mente, ésta es una manera incorrecta de
hablar,
aunque bastante enboga;
habría ¡que clasificar asísignos,
noentidades,
pues en el casocontrari ose tiene la
paradoja
dehipostatizar
como existente a loscon-juntos
Virtuales,
esdecir,
precisamente
los que no deberianexistir).
Ver
Quine
(12),
.pág‘.
218. VerNagel
(11),
pág.
141 ysig's.
Una
posición
instrumentalista sería porejemplo
la deSkolem,
comoresultado de la conocida
paradoja
que lleva su nombre. VerFraenkel-Bar-Hillel
(8), paga-107,
En cuanto a laposición
deHilbert,
admi-tiendo por un lado el carácter
ideal
de los términosconjuntístic-os,
pero sosteniendo al
propio
tiempo
que la verdadera partedesignativa
de la matemática formal está constituida por los números naturales
exclusivamente,
parece oscilar entre los dospuntos
de vista.El
método
axiomático es, desde lostrabajos
deHilbert,
el método“ofi-cial” de la matemática
contemporánea.
Para serjustos,
debemosreco-nocer que los métodos
genéticos
y constructivos encuentran suexpre-sión en la edificación
conjuntistica
de lamatemática,
que vendría a8)
9)
10) 1])12)
13)
14)constituir el otro aspecto característico de la matemática actual. Pero
la teoría de
conjuntos
debe ella misma fundamentarseaxiomática-mente, lo cual finalmente parece indicar que el
primer
método es elmás
importante.
Ver Morris
(10),
pág.
Ver
Carnap
(3),
pág.
16.Como se trata de una decisión acerca del uso de las
palabras,
no haynada ¡que
impida
usar “verdad” en un sentido meramentesintáctico,
como sinónimo de “demostrable sintéticamente”.
Así,
porejemplo,
Car-nap
emplea
en(4),
pág.
168,
la denominación “C-verdad”.EpistemológL
camente ésto no parece
conveniente,
crea confusionesinnecesarias
(pues
la
palabra
“demostrable” yacumple
las funciones para talnoción)
y noconstituye
una verdadera elucidación delconcepto
aristotélico de “ver-dad”. Para “clucidación” verCar-nap
(5),
pág.
3.Si por “forma de
expresión”
entendemos el resultado de sustituir enella sus términos
designativos
porvariables,
unaley
lógica
es unafor-ma de
expresión
tal que si sesustituyen
sus variable-s, por términosdesignatiwos
se obtienesiempre
unaproposición
verdadera. Unaregla
lógica
es una sucesión de tales formas que tiene lasiguiente
propie-dad: si se
sustituyen
las variable-s por términosdesignatixos,
y si to-das lasproposiciones
que se obtienen menos la última sonverdaderas,
la última también.
Pero,
paragarantizar
que las sustituciones nollevan a
disparates,
es necesario que el dominio de las variablescoinci-da con una
categoría
semántica,
de modo que no aparezcan relacionesdonde se habla de
propiedades,
opropiedades
donde se mencionain-dividuos. Las
reglas
lógicas
ygramaticales
indican
cómo ensamblarlas
categorías
semánticas si se desea evitar sinsentidos. De ahí que,si en los sistemas axiomáticos se desea que el .paso de los axiomas a
los teoremas se
haga
de modo que segarantice
la conservación de laverdad en toda
posible
interpretación,
es inevitable indicar cuál es lacategoría
de lossignos,
ya que, en ciertomodo,
éstos sedesempeñan
como variables tales que cada
interpretación
asigna
unvalor,
como sientonces se transformara en constante
designativa.
La indicación delas
categorías
semánticas en lossignos
es el único resabio “semán'tiCO”que
hay
en los sistemasaxiomáticos,
además del vocabulariológico
nodesignativo
(conectivas,
operadores,
etc.) que forzosamente debe estar parapermitir
actual a los mecanismoslógicos.
En lossistemas
sintáC-ticos estos componentes semánticos
desaparecen
porcompleto.
Ver
Carnap
(G);
yCarnap
(4),
pág.
15.“Modelo” es un vocablo que tiene
acepciones
diversas y aún opues-tas(por
ejemplo,
algunos
epistemólogos
se inclinan por llamarmo-delo a lo que
aquí
llamamos “sistemaaxiomático”).
Laacepción
queaquí
se usa es la“matemática-lógica”,
que parece irse convirtiendoen la normal. Ver
Suppes
(16),
pág
163.Las
reglas
de inferencia de un sistema sintáctico son arbitrarias. Si seelige
unainterpretación,
nopodrá
saberse de inmediato si setrans-forman en
