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Universidad de los Andes Departamento de Matem´aticas
MATE1207 C´alculo Vectorial
Soluci´on Segundo Parcial — (14/04/2011) 1 Secci´on Magistral # 21: Profesor: Jos´e Ricardo ARTEAGA B.
Prob. 1 2 3 4 Total Valor 12 14 12 12 50 Puntos Secciones: (22)Edgar Mayorga (23)Andr´es Mej´ıa (24)Edgar Mayorga (25)Andr´es Mej´ıa
Escriba todo su an´alisis si desea recibir el m´aximo valor en cada punto. Respuesta sin justificar se invalida.
No puede usar calculadora
Problema 1. [12 Ptos.] Halle el volumen del s´olido que se encuentra debajo del paraboloide, z=x2
+y2
y encima del disco x2 +y2
≤4.
Problema 2. [14 Ptos.] Una placa plana de forma un cuadril´atero en el planoxy con v´ertices en el (0,0), (2,3), (5,1), y (3,−2) tiene una funci´on de distribuci´on de densidad de masa δ(x, y) =x+y. Halle la masa de esta placa.
Ayuda: Haga un dibujo y conv´enzase que la placa es de forma un paralelogramo. Halle las ecuaciones de los lados y ´uselas para hacer una transformaci´on a un sistema de coordenadas adecuado.
Problema 3. [12 Ptos.] Halle RRR
R z2
dV dondeR es el s´olido obtenido intersectando
{1≤x2 +y2
+z2
≤4}con el doble cono {z2
≥x2 +y2
}.
Problema 4. [12 Ptos.] Llene la casilla en blanco con F, en caso de ser Falso, o con V en caso de ser Verdadero. No olvide una justificaci´on matem´atica.
4.a) [4 pts. ] Z 3 2 Z π/2 0 Z π/2 0 ρ2sinφ dφdθdρ= 19π 3 . . . F
1El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas acad´emicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compa˜neros o de la misma Universidad”
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4.b) [4 pts. ] Z 2 0 Z x2 0 f(x, y)dydx= Z 4 0 Z 2 √ y f(x, y)dxdy. . . V4.c) [4 pts. ] El ´area de la superficie f(x, y) = 5 +x con x2 +y2
≤4 es 4π. . . F
Tiempo: 70 minutos
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Soluci´on Segundo Parcial P2Problema 1. Planteamientos posibles: 1. En coordenadas cartesianas, V = Z 2 −2 " Z √4−y2 −√4−y2 " Z x2+y2 0 dz # dx # dy= Z 2 −2 " Z √4−x2 −√4−x2 " Z x2+y2 0 dz # dy # dx= 8π. 2. En coordenadas cil´ındricas, V = Z 2π 0 " Z 2 0 " Z r2 0 rdz # dr # dθ= 8π.
Pautas de Correcci´on.
a) Cualquiera de los dos planteamientos con todos sus l´ımites correctos . . . 6 pts. b) Alg´un l´ımite mal . . . 0 pts. c) Desarrollo correcto de la integral hasta obtener el resultado correcto . . . .6 pts.
La placa P es un paralelogramo (ver Figura 1). Necesitamos encontrar las ecuaciones de las
Figura 1: Problema 17. La placaP
rectasAB, BC, CD, DA. Existen varios m´etodos para hallar la ecuaci´on de la recta P Q, que pasa por los puntos P(xP, yP) y Q(xQ, yQ). Usaremos el siguiente m´etodo: La ecuaci´on de la rectaP Q es, P Q: det x−xP y−yP xQ−xP yQ−yP = 0.
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Entonces, AB : det x−0 y−0 2−0 3−0 = 0 ⇒3x−2y= 0. BC : det x−2 y−3 5−2 1−3 = 0⇒2x+ 3y−13 = 0. CD : det x−5 y−1 3−5 −2−1 = 0⇒3x−2y−13 = 0. AD: det x−0 y−0 3−0 −2−0 = 0⇒2x+ 3y= 0. Ahora podemos cambiar las coordenadas:u = 3x−2y v = 2x+ 3y ⇒ x= 3 13u+ 2 13v y=−2 13u+ 3 13v (1) Luego, las rectas tienen ecuaciones siguientes con respecto a las coordenadasuyv(ver Figura 2):
Figura 2: Problema 17.
AB :u= 0; BC :v = 13; CD :u= 13; AD:v = 0. El Jacobiano del cambio de las coordenadas es,
J−1 = det 3 −2 2 3 = 13−→J = 1 13 y δ=x+y= 1 13(u+ 5v) Entonces, la masa de la placaP es
M = Z Z P δ(x, y)dA= Z 13 0 Z 13 0 1 13(u+ 5v) 1 13dvdu= 3·133 132 = 39 Pautas de Correcci´on.
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b) C´alculo correcto del Jacobiano . . . 6 pts. c) Expresi´on de la funci´on de densidad δ en t´erminos de (u, v) correcta . . . .2 pts. d) Desarrollo correcto de la integral hasta obtener el resultado correcto . . . 2 pts.
Problema 3
La funci´onf(x, y, z) = z2
es sim´etrica respecto al plano ′xy′ (z = 0) y la regi´on de integraci´on
R (s´olido acotado por el par de esferas y el cono doble) tambi´en lo es. Por lo tanto integramos solamente cuando z ≥ 0 y multiplicamos por 2. Usaremos coordenadas esf´ericas. (Ver Figura 3) Figura 3: Problema 3 Z Z Z R z2dV = 2· Z 2π 0 Z π/4 0 Z 2 1 ρ2cos2 φρ2sinφ dρdφdθ =2 Z 2 1 ρ4dρ Z 2π 0 dθ Z π/4 0 cos2 φsinφ dφ ! =2 25 −1 5 (2π) 1− 1 2√2 3 =4π 15 2 5 −1 1− 1 2√2 (2)
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a) Cualquier planteamiento con todos sus l´ımites correctos . . . 8 pts. b) Por cada l´ımite mal . . . -3 pts. c) Olvid´o el Jacobiano si hace cambio de coordenadas, o lo calcul´o mal, o lo escribi´o mal . -6
pts.
d) Desarrollo correcto de la integral . . . .4 pts. e) Si la integral planteada tiene un solo l´ımite incorrecto y la resuelve sin cometer errores . . 4
pts.
Problema 4.
a) La integral representa el volumen de un octavo de una bola de radio 3 con un hueco en su interior de radio 2. Es decir el volumen entre dos esferas centradas en el origen de radios 2 y 3 solo en el primer octante.
V = 1 8 · 4 3π 3 3 −23 = 19π 6 (3)
b) La regi´on de integraci´on es de tipo III. Por lo tanto la integral la podemos escribir sobre una regi´on de tipo I (izquierda) que es igual a la integral sobre la misma regi´on considerada de tipo II. El cambio de orden est´a correcto. (Ver Figura 4)
Figura 4: Problema 3 c) f(x, y) = 5 +x, por lo tanto p 1 +f2 x +fy2 = √ 2. Entonces A= Z Z R q 1 +f2 x +fy2dA= √ 2·Area(R) (4)
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donde R es el disco, en el plano z = 0, centrado en el origen y radio 2. No es necesario hacer la integral si se conoce la f´ormula, pero si escribir su resultado para poder comparar y decidir. El ´area del disco usando coordenadas polares es,
A =√2· Z 2π 0 Z 2 0 rdrdθ= 4π√2 (5)
Pautas de Correcci´on.
a) Respuesta correcta de cualquiera de los ´ıtems, sin verificar la justificaci´on, pero que tenga alguna justificaci´on . . . 1 pts. b) Justificaci´on correcta de cada ´ıtem . . . 3 pts. c) Si la justificaci´on tiene el planteamiento correcto pero su c´alculo es incorrecto . . . 2 pts.