A l espai tenim tres dimensions, imaginem una caixa, podem mesurar la seva llargada, la seva alçada i la seva amplada.

(1)

Càlcul vectorial

Els vectors són una eina matemàtica imprescindible a l’hora d’estudiar molts processos físics, és per això que farem aquí una petita introducció del que és un vector i aprendrem a treballar amb ells. Però abans de introduir-nos en el que és el càlcul vectorial pròpiament dit recordarem alguns conceptes que ja has estudiat en cursos passats. Començarem pels sistemes de referència bi i tridimensionals per acabar parlant de les coordenades cartesianes.

1 Sistema de referència

El món científic viu obsessionat per mesurar-ho tot, una distància, un temps, una temperatura, una velocitat, una força, etc.. Per fer-ho es fan servir patrons de mesura, cada magnitud física té les seves unitats i aquestes es troben recollides al Sistema Internacional com ja saps. Però moltes d’aquestes mesures necessiten d’un sistema de referència, es fa imprescindible un punt de l’espai a partir del qual puguem mesurar. Això passa en particular a l’hora de mesurar distàncies o fixar posicions, quan fixem una posició sempre ho fem respecte algun lloc.

A l’espai tenim tres dimensions, imaginem una caixa, podem mesurar la seva llargada, la seva alçada i la seva amplada.

Aquestes tres dimensions les podem representar amb tres eixos perpendiculars entre sí que es creuen en un punt.

Aquest punt es coneix com centre de coordenades i és on hem situat el nostre sistema de referència, qualsevol mesura que fem, qualsevol posició, vindrà donada respecte ell. Els eixos dibuixats s’anomenen eixos de coordenades i reben el nom d’eix X, eix Y i eix Z. Fixa’t que cada parell d’eixos determinen un pla, el nom de cadascun dels tres plans fa referència als dos eixos que el determinen, així tenim el pla XY, el pla YZ, i el pla XZ. Aquest tipus de sistema de referència rep el nom de sistema de coordenades

cartesianes perquè per tal de determinar la posició de qualsevol punt de l’espai es fan

servir aquest tipus de coordenades, les cartesianes. Aquestes ja les has estudiat en cursos anteriors, vénen donades entre parèntesis i separades per comes, hi ha tantes com direccions a l’espai. Possiblement fins ara només n’has fet servir dues, l’X i la Y. Nosaltres en farem servir tres, una per a cada direcció de l’espai.

Posarem un exemple:

(2,3,-5) coordenada X = 2 coordenada Y = 3 coordenada Z = -5

X X X X Z ZZ Z Y Y Y Y

(2)

2 Què és un vector

D’una manera molt senzilla podríem dir que un vector és un segment que uneix dos punts de l’espai, així té un origen i un final. Els vectors es denoten amb lletres amb una fletxa dalt, per exemple:

a

F

r

. D’altra banda definirem tres característiques pròpies:

1.- Direcció: és la recta sobre la qual es troba el vector, aquesta òbviament és infinita.

De direccions també n’hi ha infinites

2.- Sentit: qualsevol dels dos possibles de cadascuna de les rectes, potser positiu (+) o

negatiu (-), això ho definirem nosaltres arbitràriament. Si et fixes en els eixos del sistema de la pàgina anterior observaràs un tram més gruixut, aquest és el positiu, l’altre és el negatiu.

3.- Mòdul: és la distància que té el segment que forma el vector, la distància que hi ha

entre els dos punts que el determinen, l’origen i el final. Sempre és positiu! Sabries dir quina és la direcció d’aquest vector? El seu sentit i mòdul?

3 Vectors unitaris

Com pots imaginar, per dir quant val la distància d’un vector necessitem una unitat mínima, una unitat que repetida tantes vegades ens doni la distància del vector que volem. Aquesta unitat mínima s’anomena vector unitari i el seu mòdul és 1, tal i com el seu nom indica.

Com que hi ha infinites rectes (infinites direccions) hauríem de definir un vector unitari per a cadascuna d’elles, però això és una barbaritat. La qüestió es pot simplificar enormement definint simplement tres vectors unitaris, un per a cada direcció de l’espai.

Direcció vector unitari

X

i

r

Y

j

r

Z

_k

r

Aquests vectors tenen el seu origen sobre el centre de coordenades (el punt (0,0,0)) i sentit positiu:

La utilitat d’aquests vectors unitaris és molt gran, ja que ens permeten identificar qualsevol vector de l’espai.

(3)

Per exemple, un vector de mòdul 4 que es trobi sobre l’eix X i tingui sentit positiu, és en realitat quatre vegades el vector unitari

i

r

així que l’escriurem com

a

i

r

4 =

4 Suma de vectors

La suma de dos vectors dóna com a resultat un altre vector. Els vectors es poden sumar de dues maneres, gràficament o numèricament.

Gràficament:

La suma de dos vectors

a

r

i

b

r

té com a resultat un altre vector que anomenarem

s

r

. S’afegeix al final del primer vector l’origen del segon, el vector que uneix l’origen del primer amb el final del segon és el vector suma.

s

r

7

3

4 +

=

+

=

Però què passa quan volem sumar dos vectors que tenen diferents vectors unitaris? Doncs es sumen tranquillament de la següent manera:

j

b

i

a

r

5

2 =

=

així doncs,

s

i

j

r

5

2 +

=

Fixa’t que no podem sumar les components que no tenen el mateix vector unitari, és a dir, no podem fer 2 + 5 = 7, perquè llavors, quin seria el vector unitari que hauria d’acompanyar al 7? Això no tindria sentit.

Així doncs podem dir que qualsevol vector pot tenir tres components, una per a l’eix X, una per a l’eix Y i una tercera per a l’eix Z. Definirem un vector qualsevol com:

k

a

j

a

i

a

_x _y _z

r

+

=

on

a

_x,

a

_yi

a

_zsón respectivament les components X, Y i Z.

La suma de dos vectors

a

x

i

a

y

j

a

z

k

r

+

=

i

b

x

(

)

(

)

(

+

=

Exemple:

k

j

i

a

r

4

2

3 +

+

=

,

b

i

j

k

r

3

5

2 +

+

=

s

i

j

k

r

7

5 +

+

=

a

r

b

r

s

r

(4)

5 Mòdul d’un vector

El mòdul d’un vector

a

r

és la distància d’aquest i es denota entre dues línies paralleles, és a dir, així

a

r

, recorda que sempre és positiu. Per calcular el mòdul d’un vector d’una única component no hi ha cap secret, el mòdul és el valor d’aquesta component. El problema ve quan s’ha de calcular el mòdul d’un vector que té dues o tres components. Començarem pel cas de dues components.

Posem per cas que tenim el vector

a

i

j

r

4

3 +

=

si el representem veurem que en realitat és el resultat de sumar dos vectors, el

i

r

3

i el

j

r

4

:

Si et fixes es pot dibuixar un triangle rectangle on els catets són aquests dos vectors i la hipotenusa és el vector

a

r

, això ens permet calcular la distància d’aquesta aplicant el teorema de Pitàgores, així doncs, el mòdul del nostre vector seria igual a:

5

25

16

9

4

3

2

+

2

=

c

b

a

r

=

+

, podem dir que

a

c

b

r

=

i

b

_x

i

b

_y

j

b

_z

k

r

+

=

la diferència serà:

k

b

a

j

b

a

i

b

a

b

a

r

x x y y z z

r

)

(

)

(

)

(

−

+

−

+

−

=

−

=

a

r

b

r

−

s

r

(5)

7 Vector donats dos punts

Al principi de la unitat hem dit que un vector és el segment que uneix dos punts, així doncs, sembla lògic poder definir un vector a partir dels punts que el delimiten, l’origen i el final. Això és possible i es fa fent ús de la diferència de vectors. Si definim els punts origen i final com O = (Ox,Oy) y F = (Fx,Fy) respectivament, el vector que els uneix és:

j

O

F

i

O

F

v

x x y y

r

)

(

)

(

−

+

−

=

Ho hem formulat per a dues coordenades, evidentment per a tres dimensions es fa de igual manera afegint la tercera coordenada.

8 Vectors unitaris II

El concepte de vector unitari no es limita exclusivament als tres eixos cartesians. Es pot fer extensiu a qualsevol direcció de l’espai, l’única condició que s’ha de complir és que el mòdul d’aquests vectors sempre ha de ser igual a la unitat.

Per tal de trobar el vector unitari en una direcció (també anomenat vector director) només s’ha d’efectuar el càlcul següent:

v

u

r

=

On

v

r

és un vector qualsevol de la direcció en qüestió. 9 Producte de vectors

Fins ara només hem vist dues operacions amb vectors, la suma i la resta, però aquests també es poden multiplicar. Ara bé, a diferència de les magnituds escalars, els vectors es poden multiplicar de dues maneres diferents:

- escalarment: el resultat és un escalar i el producte es representa com

a

b

r

⋅

- vectorialment: el resultat és un vector i el producte es representa com

a

b

r

×

Vegem-los amb detall.

Producte escalar

Donats dos vectors

a

x

i

a

y

j

a

z

k

r

+

=

i

b

x

i

b

y

j

b

z

k

r

+

=

, el producte escalar

a

b

r

⋅

es calcula de la forma:

α

cos

⋅

=

⋅

b

a

b

a

r

fórmula 1

On α és l’angle que formen tot dos vectors.

Hi ha però un mètode més tradicional, per dir-li d’alguna manera:

)

(

)

(

a

i

a

j

a

k

b

i

b

j

b

k

b

a

_x _y _z _x _y _z

r

+

⋅

+

=

⋅

k

b

a

j

k

b

a

i

k

b

a

k

j

b

a

j

b

a

i

j

b

a

k

i

b

a

j

i

b

a

i

b

a

b

a

r

+

=

⋅

(6)

Cal tenir present però, que cadascun dels termes obtinguts conté un producte escalar de vectors unitaris. Aplicant la fórmula 1 a cadascun d’aquests termes tenim que el producte escalar de dos vectors unitaris iguals dóna 1, ja que un vector amb sí mateix forma un angle de 0º i el seu cosinus és igual a la unitat. D’altra banda, si tenim dos vectors unitaris diferents, l’angle que formen sempre és de 90º i el seu cosinus és igual a zero.

1

1 cos

=

⋅

=

⋅

=

⋅

i

α

i

r

0

1

1 cos

=

⋅

=

⋅

=

⋅

i

k

i

α

k

r

Així doncs, l’expressió anterior queda com:

z z y y x x

b

a

b

a

b

a

b

a

r

⋅

=

⋅

cos

α

I recuperant el que heu aprés al punt 8:

b

u

a

r

⋅

cos

α

=

r

⋅

r

On

u

r

_b és el vector unitari en la direcció del vector

b

r

. Producte vectorial

Si per contra es multipliquen dos vectors vectorialment, el resultat acabarà sent un altre vector. El mòdul d’aquest vector ve donat per l’expressió:

α

sin

⋅

=

×

b

a

b

a

r

Si volem saber la seva direcció haurem de resoldre un determinant 3x3, procediment que s’escau fora del nivell de 1r de batxillerat. Malgrat això, us deixo l’expressió final d’aquest: