El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b

El teorema de Fubini

Hasta ahora hemos caracterizado las funciones que son integrables y hemos estudiado las propiedades b´asicas de la integral, pero en realidad no sabemos c´omo calcular las integrales incluso de las funciones m´as simples en los recintos menos complicados. El teorema de Fubini, junto con el teo-rema del cambio de variable, que estudiaremos m´as adelante, es una de las herramientas fundamentales que nos permitir´a hallar el valor de una inte-gral m´ultiple (es decir, de una funci´on de varias variables), al reducirlo a la integraci´on iterada de unas cuantas funciones de una sola variable.

Comenzaremos por dar la versi´on del teorema de Fubini en el planoR2,

que luego se extender´a sin dificultad al caso general.

Teorema 5.1 SeaA= [a, b]×[c, d]un rect´angulo de R2, y seaf :A−→R una funci´on integrable, tal que las funciones fx : [c, d] −→ definidas por fx(y) = f(x, y) son integrables en [c, d], para todo x ∈ [a, b]. Entonces, la

funci´onx7→Rd

c f(x, y)dy es integrable en [a, b], y

Z A f = Z b a Z d c fx(y)dy dx,

o, con una notaci´on m´as pr´actica, Z A f = Z b a Z d c f(x, y)dydx.

An´alogamente, si se supone que R_abf(x, y)dx existe para cada y ∈ [c, d], se obtiene que Z A f = Z d c Z b a f(x, y)dx dy. 43

Observaci´on 5.2 Si f es continua entonces las funciones f, fx y fy (con x∈[a, b], y∈[c, d]) son todas integrables, y entonces se obtiene que

Z A f = Z b a Z d c f(x, y)dy dx= Z d c Z b a f(x, y)dx dy.

Este resultado se puede aplicar a recintos (acotados)A m´as generales que rect´angulos, extendiendo la funci´on a un rect´angulo que contenga aA(haci´endola valer cero fuera de A, como es habitual) y usando entonces el teorema de Fubini. El siguiente corolario nos muestra una manera de hacer esto; el re-sultado puede utilizarse eficientemente para descomponer una regi´on com-plicada en regiones m´as peque˜nas a cada una de las cuales se aplica entonces el corolario.

Corolario 5.3 Seanϕ, ψ: [a, b]−→_Rfunciones continuas tales queϕ(x)≤ ψ(x) para todo x ∈ [a, b], y sea A = {(x, y) ∈ _R2 _{: a≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤y ≤} ψ(x)}. Sea f : A −→ R una funci´on continua (o continua salvo en una cantidad finita de puntos). Entonces

Z A f = Z b a Z ψ(x) ϕ(x) f(x, y)dydx.

Antes de dar la demostraci´on del teorema de Fubini y su corolario enun-ciaremos el teorema en su forma m´as general.

Teorema 5.4 Sean A⊂_Rn _{y B ⊂}

Rm rect´angulos, y f :A×B −→Runa funci´on integrable tal que las funciones fx :B −→R definidas por fx(y) = f(x, y) son integrables sobre B para todo x∈ A. Entonces, la funci´on x7→

R Bf(x, y)dy es integrable en A, y Z A×B f = Z A Z B f(x, y)dydx.

An´alogamente, si se supone que R

Af(x, y)dx existe para cada y ∈ B,

en-tonces Z A×B f = Z B Z A f(x, y)dxdy.

De igual manera que el corolario 5.3 puede demostrarse, a partir de la versi´on general del teorema de Fubini, el siguiente resultado, muy ´util a la hora de evaluar integrales enRn+1.

Corolario 5.5 Sea A un conjunto con volumen de Rn, sean ϕ, ψ:A−→R funciones continuas tales que ϕ(x) ≤ ψ(x) para todo x ∈ A, y sea D = {(x, y) ∈ _Rn+1 _{: x ∈ A, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}. Sea f : D −→}

R una funci´on continua (o continua salvo en una cantidad finita de puntos). Entonces

Z D f = Z A Z ψ(x) ϕ(x) f(x, y)dy dx. Demostraci´on del teorema 5.1. Seag: [a, b]−→Rla funci´on definida por

g(x) =

Z d

c

f(x, y)dy. Tenemos que ver queg es integrable sobre [a, b], y que

Z A f = Z b a g(x)dx.

SeanP[a,b]una partici´on cualquiera de [a, b] en subintervalosSj = [sj−1, sj], donde a = s0 < s1 < ... < sN = b, y sea P[c,d] una partici´on de [c, d] en subintervalos Tj = [tj−1, tj], donde c=t0< t1< ... < tM =d. Sea entonces

PA la partici´on de Adada por los rect´angulos Rij =Si×Tj,

con 1≤i≤N, 1≤j≤M. N´otese que cualquier partici´on del rect´anguloA se obtiene de esta manera, como producto de particiones de los lados de A. Se tiene que L(f, PA) = X i,j m(f, Rij)v(Rij) = N X i=1 M X j=1 m(f, Rij)v(Tj) v(Sj). Adem´as, para cadax∈Si y para cadajesm(f, Rij)≤m(fx, Tj). Por tanto, sumando enj estas desigualdades, obtenemos que

M X j=1 m(f, Rij)v(Tj)≤ M X j=1 m(fx, Tj)v(Tj)≤ Z d c fx(y)dy=g(x). Como estas desigualdades valen para cualquier x∈Si, podemos tomar ´ınfi-mos en x y obtener

M

X

j=1

para cadai, y entonces, sumando eni, L(f, PA)≤ N X i=1 m(g, Si)v(Si)≤L(g, P[a,b]).

De aqu´ı, y de un argumento an´alogo para supremos y sumas superiores, deducimos que

L(f, PA)≤L(g, P[a,b])≤U(g, P[a,b])≤U(f, PA),

Como esto vale para cualquier partici´on PA de A y, lo que es lo mismo, para cualesquiera particionesP[a,b] yP[c,d] de [a, b] y [c, d] respectivamente, yf es integrable, se deduce inmediatamente de estas desigualdades queges integrable sobre [a, b], y

Z A f = Z b a g(x)dx= Z b a Z d c f(x, y)dy dx.

Observaci´on 5.6 Es claro que la misma prueba, sustituyendo intervalos por rect´angulos y haciendo los pertinentes cambios de notaci´on, sirve para establecer la versi´on general (teorema 5.4) del teorema de Fubini. La redac-ci´on de dicha prueba se deja como ejercicio para el lector.

Demostraci´on del corolario 5.3.

SeaS= [a, b]×[c, d] un rect´angulo cerrado que contenga aA, y extendamos f a S poniendo f = 0 en S\A como es habitual. Por el ejercicio 2.26, las gr´aficas de ϕ y ψ, es decir los conjuntos G(ϕ) = {(x, ϕ(x)) : x ∈ [a, b]} y G(ψ) ={(x, ψ(x)) :x∈[a, b]} tienen medida cero. Es claro que el conjunto de las discontinuidades de la funci´on extendidaf est´a contenido en la uni´on de estas dos gr´aficas, y por tanto tiene tambi´en medida cero. Luego, por el teorema de Lebesgue,f es integrable enS. Por otro lado, para cadax∈[a, b], fx es continua en [c, d], salvo quiz´as en los puntosϕ(x) yψ(x), y por tanto, todas lasfxson integrables. Entonces, podemos aplicar el teorema de Fubini, lo que nos da, teniendo en cuenta que cadafx es cero en [c, ϕ(x)]∪[ψ(x), d], que Z A f = Z S f = Z b a Z d c fx(y)dy dx= Z b a Z ψ(x) ϕ(x) f(x, y)dy dx.

Ejemplos y ejercicios

A(x+y)xdxdy, donde A= [0,1]×[0,1]. 5.8 Calcular las siguientes integrales iteradas:

(a) R₋1₁R₀1(x4y+y2)dydx (b) R₀1R_eex2xxlogydydx (c) R₀1R arcseny y 0 ycos(xy)dxdy

5.9 Expresar las integrales iteradas siguientes como integrales m´ultiples sobre un recinto, dibujar el recinto y cambiar el orden de intergraci´on; final-mente, hallar el valor de las integrales usando el orden de integraci´on que d´e lugar a los c´alculos m´as simples.

(a) R2 −3 Ry2 0 (x 2_+y)dxdy (b) R₁2R₀logx(x−1)√1 +e2y_dydx (c) R₋1₁R₋|x₂|_|x|ex+ydydx (d) R π 2 0 Rcosx 0 ysinxdxdy (e) R₀1R₀xR₀y(x+ 2y+ 3z)dzdydx

(f) R₀1R₀f(y)xydxdy, donde f(y) = m´ın{1,log1_y}. (g) R₀1R₀(1−x2)1/2(1−y2)1/2dxydx

5.10 SeaA= [0,1]×[0,1]−→_R definida por

f(x, y) =

2y si x∈R\Q;

1 six∈_Q. (a) Decidir si f es integrable enA.

(b) Calcular R₀1(R₀1f(x, y)dy)dxsi existe. (c) Calcular R1

0(

R1

5.11 Cambiar el orden de integraci´on en las siguientes integrales iteradas: (a) R₀aR1−y −√1−y2f(x, y)dxdy (b) R₀aRbb a √ a2_−x2f(x, y)dydx (c) R₋1₁R √ 1−x2 −√1−x2 R√1 x2_+y2f(x, y, z)dzdydx (d) R₀1R₀1R₀x2+y2f(x, y, z)dzdxdy

5.12 Diferenciaci´on bajo el signo de la integral.Seaf : [a, b]×[c, d]−→R

continua tal que ∂f_∂y es continua en [a, b]×[c, d]. Definamos

F(y) =

Z b

a

f(x, y)dx. Probar queF es derivable y que

F0(y) =

Z b

a ∂f

∂y(x, y)dx.

Indicaci´on: Usando el Teorema Fundamental del C´alculo, se tiene que F(u) = Z b a f(x, u)dx= Z b a ( Z u c ∂f ∂y(x, y)dy+f(x, c))dx.

5.13 Sea f : [a, b]×[c, d]−→_Rcontinua con ∂f_∂y continua en [a, b]×[c, d]. Definamos

F(x, y) =

Z x

a

f(t, y)dt. (a) Calcular ∂F_∂x y ∂F_∂y

(b) Si G(x) =R_ag(x)f(t, x)dt, calcularG0(x). 5.14 Calcular las integrales siguientes

(a) R_Dx2ydxdy, siendo Del tri´angulo de v´ertices (0,0),(0,1) y (1,0). (b) R

Dye

−xy_{dxdy, siendo D el cuadrado de v´ertices (0,0),(0,1),(1,0) y} (1,1).

(c) R

Dxdxdy, siendoD={(x, y)∈R

(d) R_D

q

1− x_a22 −

y2

b2dxdy, siendoD el interior de la elipse x 2

a2 +

y2

b2 = 1.

(e) R

D|m´ax{x, y}|dxdy, siendoD= [−2,2]×[−1,1].

5.15 Probar la siguiente generalizaci´on del corolario del teorema de Fubini. SeanA⊂Rn un rect´angulo cerrado, y ϕ, ψ:A−→Rm funciones continuas

tales que ϕj(x)≤ψj(x) para todo x∈A, 1≤j≤m. Sea D={(x, y)∈_Rn_×

Rm :x∈A, ϕj(x)≤yj ≤ψj(x),1≤j≤m}. Para cadax∈A definamosBx ⊂_Rn _por

Bx={y∈Rm :ϕj(x)≤yj ≤ψj(x),1≤j≤m}.

Seaf :D−→Runa funci´on continua, y definamosfx:Bx⊂Rm −→Rpor

fx(y) =f(x, y), yg:A⊂_Rn_−→ Rpor g(x) = Z Bx fx. Entonces g es integrable sobreA, y

Z D f = Z A g.

5.16 Sean A ⊂ Rn y B ⊂ Rm conjuntos con volumen, y f : A −→ R,

g:B −→_Rfunciones integrables. Definamos

F(x, y) =f(x) +g(y), y G(x, y) =f(x)g(y).

HallarR_A×BF(x, y)dxdy yR_A×BG(x, y)dxdy en funci´on deR_Af,R_Bg,v(A) yv(B).

5.17 Hallar el volumen de la regi´on acotada porz=x2+ 3y2,z= 9−x2. 5.18 Hallar el volumen de la regi´on acotada por x2 + 2y2 = 2, z = 0, x+y+ 2z= 2.

5.19 SeaAla regi´on deR3 acotada por los planosx= 0,y = 0,z= 2 y la

superficie z=x2+y2, conx≥0,y ≥0. Calcular la integralR

Axdxdydz. 5.20 Calcular la integralR

Aye

5.21 Calcular las siguientes integrales iteradas y dibujar las regiones A determinadas por los l´ımites de integraci´on:

(a) R₀1(R₁ex(x+y)dy)dx; (b) R₀1(R_xx32ydy)dx.

5.22 SeaDla regi´on acotada por los ejes positivosxeyy la recta 3x+4y= 10. CalcularR

D(x2+y2)dxdy.

5.23 Sea D la regi´on dada como el conjunto de los (x, y) del plano tales que −ϕ(x) ≤y ≤ ϕ(x) y a ≤ x ≤ b, donde ϕ es una funci´on continua no negativa en el intervalo [a, b]. Sea f :D −→ _R una funci´on continua en D tal quef(x, y) =−f(x,−y) para todo (x, y)∈D. Probar que

Z

D

f(x, y)dxdy = 0.

5.24 Dibujar la regi´on correspondiente a cada una de las sigientes integrales dobles, cambiar el orden de integraci´on y evaluar la integral usando el orden que sea m´as adecuado:

(a) R₀1(R_x1xydy)dx (b) R₀1(R₂1_−y(x+y)2dx)dy (c) R1 −1( R1 |y|(x+y)2dx)dy

5.25 Calcular R_Wx2coszdxdydz, donde W es la regi´on acotada por los planosz= 0, z=π,y= 0, x= 0 yx+y= 1.

5.26 Integrar f(x, y, z) =xy+yz+zxsobre la porci´on del primer octante x≥0,y≥0, z≥0, cortada por el elipsoide

x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1.

5.27 Utilizar integrales triples para hallar el volumen del s´olido T de R3

limitado superiormente por el cilindro parab´olicoz= 4−y2 e inferiormente por el paraboloide el´ıpticoz=x2_{+ 3y}2_.