UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
DEPARTAMENTO DE ECONOM´
IA APLICADA
SUBSECCI ´
ON DE MATEM ´
ATICAS
M´
ETODOS MATEM ´
ATICOS DE LA ECONOM´IA
Econom´ıa
Derecho – Administraci´
on y Direcci´
on de Empresas
RELACI ´
ON DE PROBLEMAS DE
CONVEXIDAD Y PROGRAMACI ´
ON MATEM ´
ATICA
Convexidad
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Convexidad
1. Justifica si son o no convexos los siguientes conjuntos: (a) A1={x∈IR3|x1+x2+x3≤5, x2−x3>2}. (b) A2={x∈IR5|x1+ 3x2−x3+x5<2, x1+x2= 7}.
(c) A3={x¯∈IRn|Ax¯= ¯b}, donde A∈ Mm×n(IR) y ¯b∈IRm
(Conjunto de soluciones un sistema de ecuaciones lineales).
2. Justifica por qu´e no es convexo ninguno de los siguientes subconjuntos de IR2. Obt´en gr´aficamente la envolvente convexa de cada uno de ellos y da su expresi´on anal´ıtica.
A1={(x, y)∈IR2|x2≤y2}.
A2={(x, y)∈IR2|x≥0, y≥0, x2+y2≥1}.
A3={(x, y)∈IR2|x≥0, y≥0, x·y≤1}.
A4={(x, y)∈IR2|x≥0, y≥0, (x+y−1)·(x−y−1) = 0}.
3. Determina si cada uno de los siguientes subconjuntos:
A1={x∈IR|x2>1} A2={(x, y)∈IR2|x >0, y >0, x+y <1} A3={(x, y)∈IR2|y= 2} A4={(x, y)∈IR2|x≥0, y≥0, 2x+ 3y= 6} A5={(x, y, z)∈IR3|z= 3x+ 2y−1} es o no un
(a) conjunto convexo (b) politopo
(c) hiperplano (d) poliedro.
4. Encuentra los v´ertices del siguiente politopo y determina si es un poliedro.
A={(x1, x2)∈IR2|x1+ 2x2≤3, x1−2x2≤2, x1−x2≥1, x2≥ −1}.
5. Se consideran los siguientes subconjuntos de IR2:
A1 = {(x, y)∈IR2|1≤x2+y2≤4}
A2 = {(x, y)∈IR2|0≤x≤y≤1}
A3 = {(x, y)∈IR2|0≤y≤x2, 0≤x≤1}.
Repres´entalos gr´aficamente, indica si son compactos y/o convexos y halla su envolvente convexa gr´afica y anal´ıticamente.
6. Se consideran los siguientes conjuntos del plano: A ={(x, y)∈R2 |x≥0, y≥0, y ≤1−x2} y B ={(x, y)∈R2|x≥0, y≥0, y≥1−x2, x+y≤2}.
(a) Dibuja A,B,A∩B yA∪B y justifica si son o no convexos.
Convexidad
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7. Sean C⊆IRn un conjunto convexo, f1, f2:C −→IR y g: IR−→IR. Demuestra las siguientes propiedades:
(a) Sif1 es convexa yf2 es c´oncava, entonces f1−f2 es convexa. (b) Sif1 yf2 son convexas, entonces max(f1, f2) es convexa.
(c) Sif1 es convexa yges convexa y creciente, entonces g◦f1 es convexa.
8. Justifica si es o no posible que exista una funci´on f : IR−→IR convexa y de clase C1 tal que f(0) = 1, f(1) = 6 y f0(0) = 6.
(Indicaci´on: utiliza la caracterizaci´on de funciones convexas de clase C1).
9. Sea f : IR−→IR de claseC2, no negativa (f(x)≥0), creciente (f0(x)≥0) y convexa. Demuestra
que las siguientes funciones son convexas: (a) f2.
(b) 2f.
(c) f ◦f.
10. Estudia la convexidad o concavidad de las siguientes funciones: (a) f1(x, y) =x3+y3+ 2x2+ 4y2+ 6.
(b) f2(x, y, z) =−x2−y2−z2+x+ 2y+yz. (c) f3(x, y) =x2+y2.
(d) f4(x, y, z) =x2+y2.
11. Estudia si son o no convexos los siguientes conjuntos: (a) A1={(x, y)∈IR2|y≥x2, x2+y≤5}.
(b) A2={(x, y, z)∈IR3|z≥x2+y2}
(c) A3={(x, y, z)∈IR3|x2+z2≤1, x2+ 2y2≤4}.
12. Se considera la funci´on f : D −→ IR, con D = {(x, y) ∈ IR2|x > 0, y > 0}, definida por
f(x, y) =Axαyβ, con A >0 y α, β∈(0,1). Demuestra queDes convexo y si α+β <1, entonces
f es estrictamente c´oncava.
13. Sea f : IRn −→ IRm y C ⊆ IRn un conjunto convexo. Estudia la convexidad de f(C) en los siguientes casos:
(a) f es una aplicaci´on lineal. (b) f es una funci´on continua.
14. Considera las cinco proposiciones siguientes relativas a f :D−→IR, conD⊆IRn abierto, convexo y f ∈C2(D).
(a) Hf(x) es definida positiva para todo x∈D. (b) f es convexa.
(c) Elep´ıgrafe E(f) ={(x, y)∈IRn+1|x∈D, y≥f(x)} es convexo.
(d) El α-corte inferior Nα={x∈D|f(x)≤α} es convexo para todo α∈IR.
Programaci´
on cl´
asica sin restricciones
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Se˜nala con una V el cuadro correspondiente si la proposici´on de la fila (x) implica la de la columna (y), y con una F en caso contrario. Por ejemplo, como (x)⇒(x) la diagonal prin-cipal ha sido marcada con V.
⇒ a b c d e a V b V c V d V e V
15. Se considera la funci´on f :D−→IR definida por
f(x, y) = ln(x−1) + ln(y−1).
(a) Obt´en gr´afica y anal´ıticamente su dominio D ⊆IR2 y justifica que se trata de un conjunto convexo.
(b) Demuestra quef es estrictamente c´oncava enD. (c) Deduce que los siguientes conjuntos son convexos:
N ={(x, y)∈D|f(x, y)≥0}, H ={(x, y, z)∈D×IR|f(x, y)≥z}.
16. Dada la funci´on de utilidad U(x, y) = 13lnx+23lny, x, y >0: (a) Demuestra que U es estrictamente c´oncava en su dominio.
(b) Comprueba queUno tiene m´aximos globales. ¿Contradice este hecho el teorema local–global? (c) Justifica que las distribuciones de bienes (x, y) que reportan utilidad no negativa determinan
un conjunto convexo.
17. Sean C ⊆IR convexo y abierto, f ∈ C1(C) y x0 ∈ S. Se define la funci´on F : C −→ IR por F(x) =f(x)−f0(x0)x. Prueba que sif es convexa, entonces x0 es un m´ınimo global deF enC.
Programaci´
on cl´
asica sin restricciones
1. Halla los extremos de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = 4x3+ 6xy−x2+ 3y2+ 12.
(b) f(x, y, z) = 4x2+ 8y2+yz+x+y+z.
(c) f(x, y) =x2−y3.
2. Dados n n´umeros reales a1, . . . , an, halla el n´umero x que mejor los aproxima al minimizar
d(x) = (x−a1)2+· · ·+ (x−an)2. ¿Qu´e nombre recibe este n´umero?
3. Demuestra que x2+y2+z2≥xy+xz+yz. (Indicaci´on: estudia los m´ınimos de la funci´on auxiliar f(x, y, z) =x2+y2+z2−xy−xz−yz).
4. Determina las cantidades de los bienes q1, q2 producidos por una empresa que maximiza beneficios,
si C(q1, q2) =q21+ 2q1q2+ 5q22+ 5 es su funci´on de costes, y p1= 12, p2= 36 los precios unitarios
Programaci´
on cl´
asica con restricciones de igualdad
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5. Sean I(x) y C(x) las funciones de ingresos y costes generadas por un bienx, ambas de claseC1.
Las funciones de ingresos y costes marginales vienen dadas por I0(x) y C0(x), respectivamente. (a) Demuestra que si I(x) es c´oncava y C(x) convexa, entonces los beneficios son m´aximos en
aquel valor x0 para el que coincidan el ingreso marginal y el coste marginal.
(b) Aplica lo anterior para encontrar el valor dexque maximiza la funci´on de beneficios cuando
I(x) = 10√x y C(x) = 5x−6.
6. Una explotaci´on maderera realiza una plantaci´on de ´arboles j´ovenes cuya anchura a y altura A en funci´on del tiempo medido en a˜nos, vienen dadas por las funciones a(t) =et(cm.), A(t) =e0.1t2
(m.). Se estima que el instante adecuado de tala es el momento en que mayor sea el cociente entre la anchura y la altura. Calcula dicho instante y las dimensiones del ´arbol.
7. Un comerciante de vinos posee una cantidad de toneles que puede vender ahora o almacenar durante un tiempo y entonces vender por un valor superior. El valor creciente del vino en miles de euros, en funci´on del tiempo, viene dado por la expresi´on v(t) = e
√
t, donde t es el n´umero de meses
transcurridos.
(a) Si el tanto de inter´es en el mercado es i12 = 10% mensual efectivo, calcula la funci´on va(t)
que expresa el valor actualizado del vino ent= 0.
(b) Calcula el instante ´optimo de venta del vino. (Indicaci´on: instante que maximizava).
Programaci´
on cl´
asica con restricciones de igualdad
1. Resuelve por el m´etodo gr´afico el programa opt (x−2)2+y2 s.a: x2+y2= 4.
2. La funci´on de utilidad conjunta reportada por un par de bienes (x, y) viene dada por U(x, y) =xy. Cada unidad del primer bien cuesta 2 u.m. y cada unidad del segundo bien 1 u.m. Sabiendo que se dispone de un presupuesto de 4 u.m., halla por el m´etodo gr´afico la combinaci´on de productos que maximiza la utilidad.
3. Resuelve los siguientes programas matem´aticos: (a) opt xy s.a: 2x+y= 4.
(b) opt x2+y2+z2 s.a: y−x=−2, z=y−x.
(c) opt xy s.a: x2+y2= 1.
(d) opt e−(x2+2y2) s.a: 2x+ 3y= 4.
4. Comprueba que el punto (1,0,0) es soluci´on del programa
min x+y+x2+y2+z2 s.a: x2+y2= 1, x= 1
a pesar de no verificar la condici´on de Lagrange. ¿Cu´al es la raz´on de esta aparente contradicci´on? 5. Se considera el programa
opt. x+y s. a: x2+y2= 2
(a) ¿Es continua la funci´on objetivo? ¿Es c´oncava/convexa? ¿Estrictamente? ¿Es compacto el conjunto factible? ¿Es convexo?
Sin hacer operaciones, justifica por qu´e el problema tiene soluci´on, tanto en el caso de mini-mizar como en el de maximini-mizar.
(b) Encuentra las soluciones del programa y justifica su optimalidad.
(c) ¿Existe alg´un punto de la circunferencia de ecuaci´on x2+y2= 2 cuya suma de coordenadas
Programaci´
on cl´
asica con restricciones de igualdad
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6. Dadas las funciones f, g: IR2−→IR de clase C1, se consideran los problemas
(I) max f(x, y) (II) max f(x, y) s. a: g(x, y) = 0
Si (x0, y0) es soluci´on de los problemas (I) y (II) simult´aneamente y es un punto regular de (II) (es
decir,∇g(x0, y0)6= (0,0)), ¿qu´e valor toma el multiplicador asociado en el problema (II)? Razona la respuesta.
7. Dadas dos funcionesf, g: IR2−→IR de claseC1, se considera el problema
maxf(x, y) s.a: g(x, y) = 0.
(a) Plantea las condiciones de Lagrange que debe cumplir todo punto (x0, y0) regular que sea soluci´on del problema anterior.
(b) Justifica que en cualquier soluci´on regular (x0, y0) del problema enunciado se debe verificar ∂f ∂y(x0, y0) ∂g ∂x(x0, y0) = ∂f ∂x(x0, y0) ∂g ∂y(x0, y0).
(Indicaci´on: despeja el multiplicador que aparece en las condiciones de Lagrange). 8. Se considera la funci´on definida por f(x, y) =e(x−1)−x+ (y−2)2.
(a) Demuestra que se trata de una funci´on estrictamente convexa. ¿Cu´antos puntos cr´ıticos podr´a tener a lo sumo? Calc´ulalos y justifica si son m´aximos/m´ınimos locales/globales. ¿Puede esta funci´on tener otros m´aximos/m´ınimos que no sean puntos cr´ıticos? Razona las respuestas. (b) Verifica que f(x, y)≥0 para cualquier par (x, y)∈IR2.
(c) Justifica que el punto (1,2) es soluci´on ´unica del programa con restricciones de igualdad: minf(x, y) s.a: y=x+ 1.
9. Una empresa fabrica x e y unidades de dos productos que luego comercializa a precios unitarios de 50 y 100 u.m. respectivamente. Los costes que ello le supone vienen dados por C(x, y) =x2+ 2y2. (a) Estudia la convexidad/concavidad (estricta o no) de la funci´on de beneficios de la empresa. (b) Si no existiese ning´un tipo de restricci´on, encuentra los valores de x e y que maximizar´ıan
los beneficios de la empresa.
(c) En realidad, restricciones tecnol´ogicas s´olo permiten que la empresa fabrique exactamente 41 unidades entre ambos productos. ¿Cu´al es en tal caso la forma ´optima de diversificar la producci´on para maximizar sus beneficios?
10. La producci´on de trigo que se obtiene por unidad de superficie depende de la cantidad de abonox
y de simiente y, seg´un la relaci´on
P(x, y) = 25 + 5x+ 10y−x2−2y2.
(a) Encuentra las cantidadesx,y que maximizan la producci´on en ausencia de cualquier tipo de restricciones sobre las variables.
(b) Si los precios unitarios del abono y de la simiente son 10 y 20 unidades monetarias respec-tivamente y se dispone de 60 u.m. que se agotar´an en la compra de ambos, ¿cu´ales ser´ıan las cantidades de abono y simiente que maximizan la producci´on bajo esta restricci´on pre-supuestaria?
(c) ¿Ser´ıa conveniente aumentar el presupuesto en 1 u.m. si el precio unitario del trigo es de 9 u.m.? Razona la respuesta.
Programaci´
on con restricciones de desigualdad
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11. Se considera la funci´on u(x, y) =1 2lnx+ 1 2ln(10−y).(a) Calcula el dominio deu(subconjunto de puntos (x, y)∈IR2dondeuest´a definida). Repres´entalo gr´aficamente. ¿Es convexo? ¿ Y compacto? Justifica las respuestas.
(b) Demuestra que:
i. ues estrictamente c´oncava en su dominio, ii. uno tiene m´aximos globales.
¿Contradicen estos hechos el Teorema local-global?
(c) Se supone que la funci´on de utilidad de un agente econ´omico que consumexunidades de un bien y trabaja durante y unidades de tiempo viene dada por u(x, y). Adem´as, el consumo depende del trabajo realizado conforme a la restricci´on y−x = 2. Bajo tales supuestos, encuentra los valores (x, y) que maximizan la utilidad del agente.
Programaci´
on con restricciones de desigualdad
1. Encuentra los ´optimos de los siguientes programas: (a) opt x2−xy+y2 s.a:
( 4x+ 3y≤2 x≥0, y≥0. (b) max 2x2+y2 s.a: x2+y≤9 x+y≥2 x≥0, y≥0.
2. Se considera la funci´on f : (0,∞)×(0,∞)−→IR definida por
f(x, y) =xlnx+ylny.
(a) Demuestra que se trata de una funci´on estrictamente convexa. Indica cu´antos puntos cr´ıticos podr´a tener a lo sumo. ¿Pueden ser puntos de silla? Calc´ulalos y estudia su optimalidad. (b) Resuelve el programa con restricciones de desigualdad:
minf(x, y) s.a:
(
x+y≤1
x≥1/4, y≥1/4.
Indicaci´on: Dibuja en un mismo gr´afico:
• El dominio def y la localizaci´on de su(s) ´optimo(s) irrestricto(s), indicando su car´acter.
• El conjunto factible del programa con restricciones de desigualdad y la localizaci´on de su(s) m´ınimo(s) condicionado(s). 3. Se considera el problema (P) max x−1 2 2 +y2 s.a: 0≤x≤1 0≤y≤1.
(a) Estudia la continuidad y concavidad/convexidad de la funci´on objetivo, as´ı como la compaci-dad y convexicompaci-dad del conjunto factible. Indica si se puede asegurar a priori la existencia de solucion(es). Caso de existir, ¿d´onde deben encontrarse necesariamente?
(b) Encuentra los m´aximos de (P).
(c) Compruebe que el punto (x, y) = (0,0) verifica las condiciones de Kuhn–Tucker de (P) sin ser un m´aximo. ¿Hay alguna contradicci´on en ello? Razona la respuesta.
Programaci´
on con restricciones de desigualdad
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4. Se consideran los programas no lineales:
(I) opt f(x, y) s. a: x+y= 4 (II) opt f(x, y) s. a: x+y= 4 x≥0, y≥0 (III) opt f(x, y) s. a: x+y≤4 x≥0, y≥0 donde f(x, y) = 20−(x−1)2−y2−2y. Comprueba que (I) y (II) tienen los mismos m´aximos, y (II) y (III) los mismos m´ınimos.
5. Dadas las funcionesf, g: IR2−→IR de claseC1, c´oncava y convexa respectivamente, se consideran
los problemas (I) max f(x, y) s. a: g(x, y) = 0 (II) max f(x, y) s. a: g(x, y)≤0, x≥0, y≥0 (a) Justifica que (II) es un programa convexo.
(b) Demuestra que si (x∗, y∗) es soluci´on de (I) conx∗ ≥0, y∗ ≥0 y multiplicador de Lagrange
λ∗ ≥ 0, entonces tambi´en es soluci´on de (II) con el mismo valor para el multiplicador de Kuhn-Tucker asociado.(Se suponen satisfechas las condiciones de regularidad para ambos problemas).
6. Se considera el programa
max 3x+ 4y
s.a: x2+y2≤100 x≥0, y≥0.
(a) Estudia el car´acter de la funci´on objetivo (continua, c´oncava/convexa, estrictamente o no) y del conjunto factible (compacto, convexo) del problema. ¿Puede garantizarse a priori la existencia de alg´un m´aximo? ¿Local, global? ¿ ´Unico? ¿Se trata de un programa convexo? (b) Resuelve el problema planteado.
(c) ¿Existe alg´un punto del conjunto factible en el que la funci´on objetivo tome un valor superior a 50? Razona la respuesta.
7. Una empresa fabrica cantidades x e y de 2 bienes. Los precios unitarios de los bienes son 70 y 100 u.m., respectivamente, y los costes de producir los mismos vienen dados por la funci´on
C(x, y) =x2+ 2y2. Se sabe que la capacidad de producci´on de la empresa no le permite fabricar
m´as de 30 unidades de ambos bienes.
(a) Plantea el problema de maximizar los beneficios bajo las condiciones enunciadas. ¿Es un problema convexo? ¿Se puede asegurar la existencia de soluci´on? ¿Y su unicidad?
(b) Escribe las condiciones de Kuhn-Tucker del problema. ¿Ser´an m´aximos globales del problema los puntos que verifican dichas condiciones?
(c) Halla la soluci´on del problema.
(d) ¿Cu´al ser´ıa la soluci´on del problema, si por restricciones tecnol´ogicas la empresa debiera fabricar exactamente 30 unidades de ambos bienes?
Programaci´
on lineal
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8. Un padre dispone de un capital de 4 millones de euros que puede dejar en herencia total o par-cialmente a sus dos hijos. Por ley, la suma de las partes x1 y x2 (en millones de euros), no ser´a menor de 1 mill´on de euros y los impuestos de sucesi´on son e
xi−1
1000 , i= 1,2, para cada hijo. (a) Plantea el problema de maximizar y minimizar la funci´on de impuestos sucesorios totales con
los supuestos mencionados. Estudia el caracter de la funci´on objetivo y del conjunto factible. (b) ¿Por qu´e se puede asegurar que la distribuci´on de herencia x1 =x2 = 2 no es la que paga
m´as impuestos?
(c) ¿Por qu´e se puede asegurar que las distribuciones de herencia x1 = 1, x2 = 0 y x1 = 0, x2= 1 no son las que pagan menos impuestos?
(d) Calcula efectivamente las distribuciones de herencia que minimizan y maximizan la funcion de impuestos sucesorios totales con las restricciones expuestas en el apartado (a).
9. Un agente econ´omico que desea vender un nuevo producto ha calculado que con unos costes de
x millones de euros en desarrollo ey millones de euros en promoci´on obtendr´ıa unos ingresos de
32x x+2+
16y
y+4 millones de euros.
(a) Estudia la convexidad/concavidad (estricta o no) de la funci´on de beneficios en el primer cuadrante.
(b) Si el agente dispusiera de un fondo ilimitado para invertir, encuentra los valores dexey que maximizar´ıan sus beneficios.
(c) En realidad, el agente no puede disponer de m´as de 8 millones de euros para invertir en su producto. ¿Cu´al es en tal caso la forma ´optima de diversificar en desarrollo y promoci´on para maximizar beneficios?
10. Sea el programa max 1−x2−y2
s. a: x+y≥1
x≥0, y≥0.
(a) Estudia el car´acter de la funci´on objetivo y del conjunto factible. ¿Puede garantizarse a priori la existencia de soluci´on? ¿Y la unicidad?
(b) Resu´elvelo.
(c) Comprueba que la soluci´on encontrada en el apartado (b) no es soluci´on del correspondiente problema irrestricto.
Programaci´
on lineal
1. Una empresa editorial va a lanzar al mercado tres tipos de libro, con precios de coste unitarios de 10, 15 y 20 euros, y precios de venta unitarios de 15, 20 y 35 euros, respectivamente. La capacidad de producci´on no puede superar un total de 10000 ejemplares y tampoco puede exceder los 2000 ejemplares de los libros m´as caros.
Determina cu´al es el m´aximo beneficio que puede conseguir la empresa y la(s) forma(s) de lograrlo. 2. Dado el problema de programaci´on lineal
(P) max ax1+bx2 s.a: x1+ 2x2≤6 2x1+x2≤6 x1 ≥ 0, x2≥0.
Programaci´
on lineal
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3. Se considera el problema lineal
(P) min x1−x2 s.a: x1−2x2≥ −4 −x1−2x2≥ −8 −2x1+x2≥ −6 x1 ≥ 0, x2≥0. (a) Resuelve (P).
(b) Plantea (D), el problema dual de (P).
(c) Halla la soluci´on de (D) mediante las condiciones de holgura complementaria.
4. Dado a∈IR, se considera el problema de programaci´on lineal
(P) max 4x1+ax2 s.a: 3x1+x2≥3 x1+ 9≥3x2 4x1≤x2+ 8 x1≥0, x2≥0.
(a) Expresa (P) en forma can´onica y obt´en su dual (D). (b) Justifica que ambos problemas, (P) y (D), tienen soluci´on.
(c) Determina los valores de a para los cuales (2,0) es soluci´on ´unica de (P) y encuentra la soluci´on de (D) correspondiente.
5. Una helader´ıa puede elaborar dos tipos de horchata, una normal y otra baja en calor´ıas. Su producci´on total diaria se encuentra entre los 100 y los 200 litros. Adem´as, la empresa no desea producir m´as de 100 litros de horchata baja en calor´ıas que de horchata normal. Analiza cu´al ha de ser la producci´on de ambos tipos de horchata que maximice los beneficios de la empresa, en funci´on de que los beneficios unitarios de cada tipo de horchata sean iguales o distintos.
6. (Sydsaeter y Hammond, pp. 564 y siguientes).
Un pastelero tiene 150 Kg. de harina, 22 Kg. de az´ucar y 27.5 Kg. de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles.
(a) Se necesitan 3 Kg. de harina, 1 Kg. de az´ucar y 1 Kg. de mantequilla para hacer una docena de pasteles de tipo A, mientras que las cantidades para una docena de tipo B son, respectivamente, 6 Kg., 0.5 Kg. y 1 Kg. Supongamos que los beneficios que se obtienen por la venta de una docena de pasteles del tipo A es 20 unidades monetarias y por una docena de tipo B es 30 unidades monetarias. Halla el n´umero de docenas de cada tipo de pastel que debe hacer para maximizar el beneficio total.
(b) El pastelero se cansa de su negocio y quiere poner un precio λ1 por Kg. de harina, λ2 por Kg. de az´ucar y λ3 por cada Kg. de mantequilla, de manera que los precios asignados a
los ingredientes sean los m´ınimos tales que no le sea m´as rentable continuar con el negocio de la venta de pasteles. Comprueba que esto conduce al problema dual del planteado en el apartado anterior y que el pastelero gana lo mismo que antes.
Programaci´
on lineal
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7. De un par de problemas lineales Primal (P) / Dual (D) asociados, ambos de dos variables, se conocen los siguientes datos:
• (P) es un problema can´onico a maximizar, y su conjunto factible tiene por v´ertices: (0,0), (0,3), (2,2) y (3,0).
• Los dos ´ultimos puntos citados son m´aximos de (P).
• El valor m´ınimo alcanzado por la funci´on objetivo de (D) es 12. (a) Encuentra razonadamente los planteamientos completos de (P) y (D). (b) Resuelve (D).
(c) ¿Tiene (P) alg´un m´aximo m´as, aparte de los proporcionados como datos del problema? Indica cu´ales, si es as´ı.
8. Una consulta privada est´a formada por un m´edico especialista y un analista de laboratorio. Los pacientes acuden para su reconocimiento en visitas
• rutinarias: requieren 40 minutos de ex´amenes por parte del especialista y 20 minutos de laboratorio por parte del analista; y
• dechequeo: precisan 20 minutos de ex´amenes del especialista y 60 minutos de laboratorio del analista.
El especialista dispone a lo sumo de 200 minutos al d´ıa para sus ex´amenes m´edicos, mientras que el analista tiene libre el laboratorio 300 minutos diarios como mucho, en los que ha de realizar las pruebas cl´ınicas.
(a) Si la consulta gana 50 euros por cada visita rutinaria y 90 euros por cada visita de chequeo, ¿cual ser´ıa la manera ´optima de distribuir el n´umero de visitas diarias en rutinarias (x) y de chequeo (y) para maximizar ingresos?
(b) Si el especialista y el analista programaran exactamente la distribuci´on de visitas diarias hallada en el apartado anterior, ¿desperdiciar´ıan en parte el tiempo de trabajo diario del que disponen, o bien lo aprovechar´ıan por completo? Razona la respuesta.