Los n´umeros reales y los complejos satisfacen los axiomas de campo, pero los segundos, no satisfacen los axiomas de orden. Sin embargo, a ra´ız de que el m´odulo satisface las mismas propiedades que el valor absoluto, muchos de los conceptos de reales, se pueden traducir a complejos. Es el caso del l´ımite, piedra angular en la construcci´on de la derivada, series, integral etc. En reali-dad, la mayor parte de teoremas de l´ımites se cumplen para complejos, pues la herramienta principal usada en dichas demostraciones es la desigualdad triangular, que por suerte la satisface el m´odulo.
Teorema 0.1. Suponga que z = x +iy, z0 = x0 +iy0, w0 = u0 +iv0 y
f(z) =u(x, y) +iv(x, y). Son equivalentes: (a) l´ım z→z0 f(z) =w0 (b) l´ım (x,y)→(x0,y0) u(x, y) = u0, l´ım (x,y)→(x0,y0) v(x, y) =v0
Demostraci´on. (⇒) Sea >0. Existe δ >0 tal que
0<|x+iy−(x0+iy0)|< δ ⇒ |u(x, y) +iv(x, y)−(u0+iv0)|<
Se tiene
|u(x, y)−u0+i(v(x, y)−v0)|=|u(x, y) +iv(x, y)−(u0+iv0)|<
por transitividad
|u(x, y)−u0+i(v(x, y)−v0)|<
Ahora, si usa la definici´on de m´odulo
p
(u(x, y)−u0)2+ (v(x, y)−v0)2 <
Sin embargo, es bien sabido que
|u(x, y)−u0| ≤
p
(u(x, y)−u0)2+ (v(x, y)−v0)2 <
En resumen |u(x, y)−u0|< . En forma an´aloga, |v(x, y)−v0|< .
(⇐) Por sencillez escribamos u=u(x, y) y v =v(x, y). Sea >0, existen δ1, δ2 >0 tal que 0<|(x+iy)−(u0+iv0)|< δ1 =⇒ |u−u0|< 2 (1) 0<|(x+iy)−(u0+iv0)|< δ2 =⇒ |v−v0|< 2 (2) Ahora bien |u+iv−(u0+iv0)|<|u−u0+i(v−v0)| (3) ≤ |u−u0|+|v−v0| (4) < 2 + 2 (5) < (6)
As´ı que basta tomar δ= m´ın{δ1, δ2}
No hay ninguna dificultad en dar la definici´on de funci´on derivable. Es necesario, aunque no se diga expl´ıcitamente, considerar funciones que se en-cuentren definidas por lo menos en una−vecindad. Se dice quefes derivable en z0 si el l´ımite
l´ım z→0
f(z+z0)−f(z0)
z (7)
existe. En tal caso tal l´ımite se denota por f0(z0).
Ejercicios 1. 1. Muestra que la derivada de f(z) =zn esf0(z) =nzn−1.
Esencialmente las definiciones de sucesi´on y serie es la misma que en reales. Un sucesi´on en los n´umeros complejos es un funci´on cuyo dominio son los naturales y codominio es un subconjunto de C. Las sucesiones se denotan usualmente por zn.
En la gr´afica anterior se ha representado una sucesi´on de complejos. Se nota que no lleva un orden espec´ıfico, sin embargo, se observa “claramente”que sus elementos se van dirigiendo hacia el origen. Usando el m´odulo podemos formalizar esto de “claramente ” ´o “dirigiendo hacia”.
Definici´on 1.1. Se usa el s´ımbolo l´ım
n→∞zn = L, si se cumple que para cada
>0 existe N ∈N tal que
Si n≥N entonces|zn−L|< (8) Sin duda, en cuanto a su forma, representa una definici´on muy conocida y comprendida. Ahora bien, el caso de serie es semejante. Se empieza con una sucesi´on de complejos zn, con el fin de definir otra sucesi´on, la llamada sucesi´on de sumas parciales:
s1 =z1 (9) s2 =z1+z2 (10) s3 =z1+z2+z3 (11) s4 =z1+z2+z3+z4 (12) . . . (13) sn=z1+z2+z3+· · ·+zn (14) (15) La ´ultima expresi´on representa la forma que tiene el elemento n-´esimo de la sucesi´on sn y que se puede escribirse con la notaci´on sigma:
sn= n
X
i=1
zi
El l´ımite de la sucesi´on de sumas parciales es conocido como serie y se denota por
∞
X
n=1
zn. Si ´este existe se dice que la serie es convergente , de lo contrario es divergente.
Suponga que tiene una sucesi´onzn. Es claro que la parte real e imaginaria de zn, produce dos sucesiones reales, esto es
zn=an+ibn.
Teorema 1.1. SeaL=a+bi. l´ım
n→∞zn=Lsi y s´olo si l´ımn→∞an=a, l´ımn→∞bn=b.
En otras palabras
l´ım
n→∞zn= l´ımn→∞an+inl´ım→∞bn
Demostraci´on. La prueba es b´asica. Si supone que l´ım
n→∞zn = L, entonces
para cada >0 existe naturalN tal que
Si n≥N entonces|zn−L|< (16) en forma equivalente
Si n≥N entonces|(an+ibn)−(a+ib)|< (17) de donde
|(an−a) +i(bn−b)|< (18) Usando la definici´on de m´odulo y una simple desigualdad obtendr´a que
|an−a|< y |bn−b|< . El resto se deja como ejercicio.
Corolario 1.1. ∞ X n=1 zn es convergente si y s´olo si ∞ X n=1 an, ∞ X n=1 bn son conver-gentes. Adem´as ∞ X n=1 zn = ∞ X n=1 an+i ∞ X n=1 bn (19)
Demostraci´on. Las series son casos particulares de l´ımites se sucesiones. As´ı que puede aplicar el teorema anterior.
Un caso especial de series representan las series de potencia, aquellas funciones de la forma f(z) = ∞ X n=0 an(z−a)n (20)
donde a, an, z son complejos. A decir verdad, precisamente estamos in-teresados en los complejos donde la serie correspondiente es convergente.
Son de inter´es las series de potencias donde a = 0, esto es, f(z) =
∞
X
n=0
anzn. Son muy extremistas, pues convergen absolutamente en todo el plano complejo ´o s´olo en un disco abierto ´o s´olo enz = 0. El radio, en el caso de que sea un disco abierto es llamado radio de convergencia. Es m´as, si exis-te tal radio de convergencia, resulta que tambi´en
∞ X n=0 nanzn−1 es convergente y f0(z) = ∞ X n=0 nanzn−1 (21)
Con estas ideas tiene sustento la definici´on de exponencial compleja exp(z) =ez = 1 + z 1! + z2 2! + z3 4! + z4 4! +· · ·= ∞ X n=0 zn n! (22) y las funciones cos(z) = 1−z 2 2! + z4 4! − z6 6! +. . . (23) sen(z) =z− z 3 3! + z5 5! − z7 7! +. . . (24)
Ejercicios 2. 1. Muestra que eiz = cosz+isenz. Con esto, es evidente que si z=x+iy, ez =ex(cosy+iseny)
Sugerencia: esta demostraci´on es sencilla. Incluso, alguna vez la halle en un ba˜no p´ublico.
2. La funci´on seno complejo es impar y el coseno es par. 3. Demuestra senz = e
iz −e−iz
2 , cosz =
eiz+e−iz 2 4. Muestra que la funci´onez nunca es cero. 5. ezew =ez+w