Nuestros objetivos ser´an el estudio de los sistemas de ra´ıces de manera abs-tracta, independientemente de la Teor´ıa de ´algebras de Lie que es en donde surgi´o este concepto, y dar una introducci´on a las ´algebras de Lie. El prop´osito de esta tesis es aplicar los sistemas de ra´ıces en la clasificaci´on de ´algebras de Lie semisimples.
Asociado a un ´algebra de Lie semisimple, se encuentra un sistema de ra´ıces que es un conjunto de funcionales lineales definidos en una determi-nada sub´algebra ue satisfacen ciertas propiedades que determinan completa-mente la estructura del ´algebra de Lie. Esta es la manera en que se presenta la Teor´ıa de sistemas de ra´ıces en los libros cl´asicos de ´algebras de Lie (ver [3], [4], [11]). El enfoque de este trabajo es recopilar varias propiedades de los sistemas de ra´ıces en abstracto haciendo uso de conceptos elementales de ´algebra lineal para despu´es introducirlos en el contexto de ´algebras de Lie. Los sistemas de ra´ıces aparecieron por primera vez en el trabajo de Wilhelm Karl Joseph Killing (1847-1923) para dar una clasificaci´on de las ´algebras de Lie semisimples sobre los complejos; tambi´en, de manera para-lela, Elie Cartan (1869-1951) present´o el cat´alogo completo de ´algebras de Lie semisimples sobre los commplejos en su tesis Doctoral, poco despues del trabajo de Killing.
Por otra parte, las ´algebras de Lie fueron introducidas por Marius Sophus Lie (1842-1899) quien estudiaba la manera de resolver algunas ecuaciones diferenciales, motivado por el trabajo de Galois en la soluci´on de ecuaciones algebraicas, asociando a cada ecuaci´on diferencial un determinado grupo lla-mado grupo de Lie(en analog´ıa con el grupo de Galois para ecuaciones alge-baicas).
El trabajo de Killing y Cartan fue estudiado por muchos matem´aticos, principalmente en Europa, en busca de simplificaciones de los m´etodos de clasificaci´on y aplicaci´on del cat´alogo de ´algebras de Lie semisimples a di-versas ´areas de las matem´aticas y de la f´ısica; algunos de ´estos matem´aticos fueron Bartel Leendert Van der Waerden (1903-1996), Ernst Witt (1911-1991), Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003), Hermann Weyl (1885-1955) y Eugene Borisovich Dynkin (1924-). Cada uno de ellos trabaj´o por separado y los m´etodos de clasificaci´on que implementaban eran variados; el m´etodo que us´o Dynkin es el m´as parecido al m´etodo original de Cartan.
La axiomatizaci´on de los sistemas de ra´ıces vino despu´es de la partici-paci´on de estos personajes, pues notaron que constituye una Teor´ıa indepen-diente. Uno de los puntos atractivo de la Teor´ıa de los sistemas de ra´ıces, es la simplicidad del concepto, ya que para su estudio s´olo se necesitan conocimien-tos b´asicos de las matem´aticas en ´areas como el An´alisis, la Geometr´ıa, el
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Algebra y especialmente de ´Algebra Lineal. Algunos de los conceptos que se necesitan dominar para el estudio de los sistemas de ra´ıces en abstracto son los elementos b´asicos de espacios reales euclidianos de dimensi´on finita, in-dependencia lineal, operadores lineales y ortogonales, isometr´ıas, geometr´ıa euclidiana, continuidad en espacios euclidianos y acciones de grupo.
La idea de usar los sistemas de ra´ıces para clasificar las ´algebras de Lie semisimples se basa en los siguientes tres puntos:
• A cada ´algebra de Lie semisimple, se le asocia un sistema de ra´ıces que la caracteriza por completo;
• los sistemas de ra´ıces son f´aciles de clasificar;
• dado un sistema de ra´ıces, existe un ´algebra de Lie semisimple cuyo sistema de ra´ıces es el inicial.
La idea que present´o Sophus Lie de asociar a un grupo una determinada ´algebra de Lie fue motivadora de otros m´etodos de asociar un ´algebra de Lie a un grupo (no necesariamente de Lie), la cual pod´ıa proporcionar informaci´on importante de la estructura de tal grupo. Este es un recurso considerable-mente moderno para abordar algunos problemas en grupos finitos y grupos libres.
clase de ´algebras de Lie semisimples, las cuales se pueden caracterizar a trav´es de sus componentes simples. El matem´atico Tulio Levi-Civita (1873-1941) estableci´o una descomposici´on de un ´algebra de Lie general en una parte semisimple y otra que exclu´ıa la semisimplicidad mientras que el matem´atico Anatoly Ivanovich Maltsev (Malcev) (1909-1967) determin´o la unicidad de dicha descomposici´on bajo un automorfismo interior del ´algerba de Lie.
Una herramienta muy ´util en el estudio de ´algebras semisimples es una forma bilineal sim´etrica para la cual el operador adjunto es antisim´etrico, que fue introducidas por Killing y lleva su nombre; de hecho, la no-degeneraci´on de tal forma caracteriza a las ´algebras de Lie semisimples.
Killing tambi´en introdujo el concepto que hoy es conocido como sub´algebra de Cartan, la cual establece la llamada descomposici´on de Cartan y est´a es-trechamente ligada al sistema de ra´ıces que le corresponde al ´algebra de Lie semisimple.
Este trabajo se divide en cinco cap´ıtulos en los que se intenta abordar la teor´ıa elemental de los sistemas de ra´ıces y ´algebras de Lie, as´ı como la relaci´on hist´orica entre estas dos estructuras algebraicas.
En el primer cap´ıtulo, se intenta cubrir los conocimientos m´ınimos re-queridos para el entendimiento de este trabajo. Se recuerdan resultados importantes de ´Algebra Lineal y Teor´ıa de Grupos. Los conceptos b´asicos de las matem´aticas se presuponen dominados y no se abordan en este trabajo; ejemplos de esto son los conceptos de continuidad, c´alculo matricial, trans-formaciones lineales, espacios vectoriales de dimensi´on finita, que se cubren en los cursos de los primeros dos a˜nos de licenciatura.
El segundo cap´ıtulo de ´este trabajo, ha sido dedicado al tratamiento de los sistemas de ra´ıces en abstracto, sus bases, la manera en que actua el grupo de Weyl en las ra´ıces simples y en las c´amaras de Weyl. Se prueban resultados que en varios textos s´olo se limitan a mencionarlos vagamente e incluso omi-tirlos; se procura detallar las demostraciones y extender los c´alculos sin caer en la rutina. Despu´es se reduce el trabajo de clasificaci´on al establecer una descomposici´on en componentes irreducibles los cuales tienen propiedades especiales que permiten tratarlos mas f´acilmente.
En la ´ultima parte de este cap´ıtulo dos, se presenta el Teorema de Clasi-ficaci´on de sistemas irreducibles y haciendo uso de los Diagramas de Dynkin se determinan las diferentes relaciones entre ra´ıces simples que existen.
El tercer cap´ıtulo presenta la Teor´ıa general de ´algebras de Lie y los con-ceptos b´asicos que sirven como introducci´on al estudio de ´esta estructura. Se presentan conceptos como subalgebra, ideal, homomorfismo, derivaci´on, representaci´on de un ´algebra de Lie (concentr´andonos en la representaci´on adjunta y el operador adjunto) y se estudia en general la llamada forma de Killing. Se presentan resultados est´andar como el Teorema Fundamental de Homomorfismo, los tres Teoremas de isomorfismo de las estructuras alge-braicas y el Teorema de correspondencia.
En este cap´ıtulo tres, tambi´en se dedica una secci´on al estudio de ´algebras de Lie lineales como el ´algebra general lineal, el ´algebra especial lineal, las ´algebras ortogonales (pares e impares), el ´algebra simpl´ectica, el ´algebra de matrices triangulares superiores y dos de sus sub´algebras: el ´algebra de matri-ces triangulares estrictamente superiores y el ´algebra de matrimatri-ces diagonales. Adem´as, se establece una descomposici´on del ´algebra general lineal como una suma directa de su ´algebra derivada, que es previamente calculada, y su centro, igualmente calculado con anterioridad.
En el cuarto cap´ıtulo se estudian tres tipos especiales y muy importantes de ´algebras de Lie: solubles, nilpotentes y semisimples; todas las ´algebras nilpotentes son solubles y las semisimples carecen de ideales solubles que no sean cero, es decir, no tienen nada de soluble. Se presentan tres resultados que nos ayudan a determinar la solubilidad o nilpotencia de un ´algebra de Lie a partir del estudio de ciertos operadores; el Teorema de Engel establece una relaci´on entre las ´algebras de Lie nilpotentes compuesta de operadores (matrices) con ´algebras de Lie cuyos elementos son operadores nilpotentes, el Teorema de Lie es an´alogo al Teorema de Engel pero en el caso soluble (bajo ciertas hip´otesis impuestas al campo), mientras que el criterio de Cartan nos permite determinar la solubilidad de un ´algebra de Lie observando su forma de Killing. El cap´ıtulo termina con el estudio de ´algebras semisimples y la presentaci´on de un Teorema de descomposici´on de ´algebras de Lie, que pre-sentamos con el nombre de Teorema de Levi-Malcev.
´algebra de Lie semisimple con respecto a una sub´algebra de Cartan y se es-tudian algunas propiedades de las ra´ıces; el conjunto de ´estas ra´ıces termina formando un sistema de ra´ıces en el sentido del cap´ıtulo uno. Despu´es, se establece la independencia del sistema de ra´ıces con respecto a la sub´algebra de Cartan, as´ı como el Teorema de Isomorfismo que indica la importancia del sistema de ra´ıces asociado al ´algebra de Lie al caracterizarlo por com-pleto. Tambi´en se presenta el Teorema de Serre, que nos dice la manera en que se puede generar un ´algebra de Lie semisimple a partir de un sistema de ra´ıces al hacer unapresentaci´ondel ´algebra de Lie mediante la exhibici´on de un conjunto de generadores y sus relaciones de conmutatividad, todo esto dependiendo ´unicamente del sistema de ra´ıces.
