ING OSMAN RUIZ
PROGRAMACION LINEAL
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Aplicaciones
La programación lineal es un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.
Otras aplicaciones son:
Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua.
Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;
Solución de problemas de transporte.
Ejemplo practico
El pr eci o del pa ntal ón se fi ja en 50 € y el de la cha qu eta en 40 €. ¿ Q u é nú m e r o d e pa nt a l o n e s y c h a qu et a s d e b e su m i n i st r a r e l f a br i ca nt e a l o s a l ma c e n e s pa r a qu e é s t o s c o n s i ga n u n a v e n ta má x i ma ?
ING OSMAN RUIZ 1 .E l e c c i ó n d e la s i nc ó g n i t as. x = nú m e r o de p a nt a lo ne s y = nú m e r o de c h a q ue t a s 2 .F u nc ió n o b je t iv o f( x , y)= 5 0 x + 4 0 y 3 .R e s t r ic c io ne s Pa r a e s c r i bi r la s r e s tr i c c i o n e s va m o s a a yu da r n o s d e u na ta bla : p a nt a lo ne s c h a q ue t a s di s po n i b le a lg o dó n 1 1 ,5 7 5 0 po l ié s t e r 2 1 1 0 0 0 x + 1 .5 y ≤ 750 2x+3 y≤1500 2x + y ≤ 1000 C o m o el nú m er o d e pa nt a l o n e s y c ha qu e ta s s o n nú m er o s na tu ra l e s , t e n dr e m o s d o s r e s tr i c c i o n e s má s : x ≥ 0 y ≥ 0 4 .H a lla r el c o n ju nt o d e s o lu c io ne s f ac t i ble s
ING OSMAN RUIZ
T e n e m o s qu e r e p r e s e n ta r g rá fi ca m e n t e l a s r e s tr i c c i o n e s . Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, t ra ba jar emos en el pr i mer cu a dra nt e.
R e pr e s e n ta m o s l a s r e c ta s , a pa r t ir d e su s pu n t o s d e c o rt e c o n l o s e j e s .
R esol vemos grá fi ca ment e la i necua ci ón: 2 x +3 y ≤ 1500 , para ell o t o ma m o s u n pu nt o d e l p la n o , p or ej e m p l o e l (0 ,0 ) .
2· 0 + 3· 0 ≤ 1 500
C omo 0 ≤ 1 500 ent onces el pu nt o (0 ,0) se encu entr a en el s e m i p la n o d o n d e s e c u m pl e la d e s i gu a l d a d.
D e modo a ná l ogo r esol vemos 2 x + y ≤ 1000. 2· 0 + 0 ≤ 1 00
La z o n a d e i n t er s e c c i ó n d e la s s o lu c i o n e s d e la s i n e cu a c i o n e s s e r í a la s o lu ci ó n a l s i s t e m a d e i n e cu a c i o n e s , qu e c o n s t i tu y e e l c o n ju nt o d e la s s o lu c i o n e s fa ct i b l e s .
ING OSMAN RUIZ 5 . Ca l cu la r la s c o or d e n a da s d e l o s v ér ti c e s d e l r e c i nt o d e l a s s o lu c i o n e s fa c t i bl e s . La s o l uc ió n ó p t i m a, s i e s ú n i ca , s e e n cu e n t ra e n u n v é r t i c e d e l r e ci n t o . é s t o s s o n la s s o lu ci o n e s a l o s s i s t e ma s : 2 x + 3 y = 1 5 0 0 ; x = 0 (0 , 5 0 0 ) 2 x + y = 1 0 0 0 ; y = 0 ( 5 0 0 , 0 ) 2 x + 3 y = 1 5 0 0 ; 2 x + y = 1 0 0 0 ( 3 7 5 , 2 5 0 )
ING OSMAN RUIZ 6 C a l cu la r e l v a lo r d e l a f u nc ió n o bj e tiv o E n la fu n c i ó n o bj e ti v o su s t itu i m o s c a da u n o d e l o s v é rt i c e s . f( x , y ) = 5 0 x + 4 0 y f(0 , 500 ) = 50· 0 + 40· 500 = 20000 € f(500 , 0 ) = 50· 500 + 40· 0 = 25000 € f( 3 7 5 , 2 5 0 ) = 5 0 · 3 7 5 + 4 0 · 2 5 0 = 2 8 7 5 0 € M á x i mo La s o lu c i ó n ó pt i ma e s fa b ri c a r 3 7 5 p a nt a lo ne s y 2 5 0 c h a q ue t a s pa r a o b t e n e r u n be nef ic io de 28750 €. La s o lu c i ó n n o s i e m p r e e s ú n i ca , ta m b i é n p o d e m o s e n c o n tra r n o s c o n u na s o l uc ió n m úl t i p le. Ej e m p l o Si la fu n c i ó n o b j e ti v o d e l e j e r ci c i o a nt e ri o r hu bi e s e s i d o : f( x , y)= 2 0 x + 3 0 y f(0 ,500) = 20· 0 + 30· 500 = 15000 € M á xi mo f(500 , 0 ) = 20· 500 + 30· 0 = 10000 € f(375 , 250 ) = 20· 375 + 30· 250 = 15000 € M á x i mo E n e s t e ca s o t o d o s l o s pa r e s , c o n s o lu c i o n e s e n t era s , d el s e g m e n t o tra za d o e n n e gr o s e r ía n m á xi m o s .
ING OSMAN RUIZ
