ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
A
A. . D DE EF FI IN NI IC CI IÓ ÓN N
Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la forma general:
ax2 + bx + c = 0 a 0
La ecuación de 2do Grado posee dos “raíces”
que cumplen con la ecuación.
Ej E j e e mp m p lo l o
1. x2 + 3x + 2 = 0
* Para x = -1
(-1)2 + 3(-1) + 2 = 0
Se cumple
* Para x = -2
(-2)2 + 3(-2) + 2 = 0
Se cumple
2. x2 + 4x – 5 = 0
* Para x = ________
Se cumple
* Para x = ________
Se cumple
B
B. . M MÉ ÉT TO OD DO O D DE E H HA AL LL LA AR R L LA AS S R RA AÍ ÍC CE ES S
1. Factorización.-
Es el más recomendable y adecuado, para poder resolver de esta manera se debe tener el polinomio en su forma general (). Tendremos los siguientes casos:a) Forma: ax2 + c = 0
Para esta forma utilizaremos factorización por diferencia de cuadrados y aplicamos la observación.
E E je j e mp m p lo l o
x2 – 25 = 0 (x2 - 52) = 0 (x - 5)(x + 5) = 0
x – 5 = 0 x + 5 = 0 x = 5 x = -5
2x2 – 8 = 0 2(x2 - 4) = 0 2(x2 – 22) = 0 (x + 2)(x - 2) = 0
x + 2 = 0 x - 2 = 0 x = -2 x = 2
b) Forma: ax2 + bx = 0
Para esta forma utilizaremos factorización por monomio común y aplicamos la observación.
…()
Observación:
a . b = 0
a = 0 b = 0
Por Obs:
Por Obs:
Si:
Ej E je e mp m p lo l o
x2 + 3x = 0 x(x + 3) = 0
x = 0 x + 3 = 0 x = 0 x = -3
2x2 – 5x = 0 x(2x - 5) = 0
x = 0 2x - 5 = 0 x = 0 2x = 5 x = 0 x = 5/2
c) Forma: ax2 + bx + c = 0
Para esta forma se factoriza por aspa simple. Aplicamos la observación:
Ej E je e mp m p lo l o
x2 – 6x + 5 = 0
x -5
x -1
(x - 5)(x - 1) = 0
x – 5 = 0 x - 1 = 0 x = 5 x = 1
2x2 + 5x + 2 = 0
2x 1
x 2
(2x + 1)(x + 2) = 0
2x + 1 = 0 x + 2 = 0 2x = -1
x = -1/2 x = -2
2. Despejando.-
Es el menos recomendable “solo se utiliza si no se puede factorizar”.Si: ax2 + bx + c = 0
Llamaremos discriminante a:
= b2 – 4ac
Luego las raíces son:
a 2 x1b
a 2 x2b Por
Obs:
En este caso una raíz siempre es
“cero”.
Por Obs:
Por Obs:
I. RESOLVER:
1.
a) x2 – 25 = 0
b) x2 + 3x = 0
c) x2 – 225 = 0
d) 2x2 – 3x = 0
2.
a) x2 – 16 = 0
b) 2x2 – 10x = 0
c) x2 – 4 = 0
d) 2x2 – 98 = 0
3.
a) x2 – 5x + 6 = 0
b) x2 + 2x – 15 = 0
c) x2 – 2x + 1 = 0
d) x2 + 4x + 4 = 0
4.
a) 2x2 + 3x – 2 = 0
b) 5x2 – 11x – 12 = 0
c) 6x2 – 13x + 6 = 0
d) 6x2 + 19x + 15 = 0
II. RESOLVER:
5. Dar el conjunto solución de:
3x2 – 2x(x - 4) = x – 12
a) {3; 4} b) {3; -2} c) {2; 6}
d) {-3; -4} e) N.A.
6. Resolver:
(x + 4)2 = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)
a) {2; 1/9} b) {1/9; -2} c) {-2; -1/9}
d) {2; -1/9} e) N.A.
7. Si: a b son raíces de la ecuación.
x x 74 x
2
x
Además a < b. Calcular: a/b
a) -9/8 b) 8/9 c) -8/9
d) -1 e) N.A.
8. Si (-6) es una de las raíces de la ecuación:
x2 + (n + 3)x + n + 2 = 0 Calcular la otra raíz aumentada en “n”.
a) 1 b) -1 c) 3
d) 4 e) 5
9. Una raíz de la ecuación:
2x2 + (4a - b)x – 2ab = 0
a) 2b b) 2a c) b/2
d) a/2 e) a + b
10. Si una raíz de la ecuación:
2x2 – 4x + c2 – 2c – 3 = 0 es cero. Hallar: “c” (c < 0)
a) -2 b) -3 c) -1
d) -4 e) -10
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
III. RESOLVER:
11. Hallar el valor de “k” en la ecuación:
(k - 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0
Para que una de sus raíces sea el recíproco de la otra.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
12. Si la ecuación: x2 – x – 6 = 0, tiene por raíces a x1 y x2 donde x1 > x2.
Indicar el valor de: 5x1x23.
a) 15 b) 8 c) -7
d) 7 e) 21
13. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar la edad de A si es el mayor:
a) 6 b) 17 c) 12
d) 13 e) N.A.
14. La diferencia de 2 números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números.
a) 17 6 b) 14 11 c) 14 7 d) 15 8 e) N.A.
15. Indicar una de las raíces de la ecuación cuadrática:
9nx2 + 12(n + 1)x + 8 = n3
a) 2 3 n
b)
2 1 n
c)
3 2 n
d) 3 4 n
e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA Nº 6
I. RESOLVER:
1.
a) x2 – 49 = 0
b) x2 – 144 = 0
c) 2x2 – 32 = 0
2.
a) x2 + 5x = 0
b) 3x2 – 12x = 0
c) 2x2 – 12x = 0
3.
a) x2 – 5x - 6 = 0
b) x2 + 2x – 24 = 0
c) x2 + 6x + 9 = 0
4.
a) 5x2 + 9x – 2 = 0
b) 3x2 – 5x –2 = 0
c) 2x2 + 13x + 6 = 0
II. RESOLVER:
5. Dar el conjunto solución de:
x2 – 2(x - 2) = x2 – 12
a) {3; 4} b) {3; -2} c) {2; 6}
d) {-3; -4} e) N.A.
6. Resolver:
(x + 4)2 = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)
a) {2; 1/9} b) {1/9; -2} c) {-2; -1/9}
d) {2; -1/9} e) N.A.
7. Si: a b son raíces de la ecuación.
x x 45 x
3
x
Además a < b. Calcular: a/b
a) -7/6 b) 6/7 c) -6/9
d) -1 e) N.A.
8. Si (-2) es una de las raíces de la ecuación:
x2 + (n + 1)x + n = 0 Calcular la otra raíz aumentada en “n”.
a) 3 b) -1 c) 3
d) 4 e) N.A.
9. Una raíz de la ecuación:
x2 + (3a - 2b)x – 6ab = 0
a) 2b b) -2b c) 2a
d) b/a e) a/b
10. Si una raíz de la ecuación:
2x2 + 5x + c2 + 2c + 1 = 0 es cero. Hallar: “c”
a) +2 b) +3 c) -1
d) -2 e) -10
III. RESOLVER:
11. Hallar el valor de “k” en la ecuación:
(2k + 3)x2 – 5x + k + 7 = 0
Para que una de sus partes sea el recíproco de la otra.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
12. Si la ecuación: x2 + x – 2 = 0, tiene por raíces a x1 y x2 donde x1 > x2.
Indicar el valor de: x13x23.
a) 15 b) 8 c) -7
d) 7 e) 21
13. La suma de las edades de A y B es 25 años y su producto 156. Hallar la edad de A si es el mayor:
a) 6 b) 17 c) 12
d) 13 e) N.A.
14. La diferencia de 2 números es 3 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 65. Hallar los números.
a) 5 13 b) 8 5 c) 5 3 d) 8 3 e) N.A.
15. Indicar una raíz:
2nx2 + (n3 + 2)x = -n2
a) 1 + n b) 1 c)
2 n2
d) n
1 e) N.A.
