MONOMIOS Y POLINOMIOS

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(1)

MONOMIOS Y POLINOMIOS MONOMIOS Y POLINOMIOS

Historia de Polinomios

Es una Expresión Algebraica que se caracteriza por que los exponentes de las variables son números naturales.

P(x, y)  4x

3

y

4

+ 2xy + 4

1. Monomio: Cuando se refiere a un solo término.

Ejemplo:

M(x, y, z)  4x

3

y

4

z

5

a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión.

Ejemplo: Sea:

M(x, y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x”

GR(x) = 4 (exponente de x) GR(y) = 3 (exponente de y)

b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables.

Ejemplo:

M(x, y) 135x4y3 GA = 4 + 3 1870

1453 1610 1905

En el Perú

En el Mundo Siglo XIX

Fines

DESCARTES GAUSS

Término Independiente Variables

Parte Variable

Parte Constante (Coeficiente)

Exponente de Variable x Exponente de Variable y

(2)

GA = 7

Monomio M(x, y, z)

Parte Constante (Coeficiente)

Parte Variable GA GR(x) GR(y) GR(z)

39x3y -4

z x 3

4

5x2yz3 18z -4x5y4

8

2. Polinomio: Es la agrupación por adición de monomios no semejantes.

Ejemplo:

P(x; y)  2xy

3

+ 4y

4

– 3x + 2

Polinomio de 4 términos

P(x) = x4 + x3 – x2 + 2x + 3 Polinomio de ________________

P(y) = ax2 + bx + c Polinomio de ________________

P(x; y) = x + y Polinomio de ________________ ( )

a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio.

P(x; y) = 2x

3

y

4

+ 5x

5

y

3

+ 2xy

2

Entonces: GR (x) = 5 GR(y) = 4

A HORA T U :

P(x, y)

3x3y + 2xy + 4x2y – x5y

GR(x) = GR(y) =

b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma al mayor.

P(x; y) = 2x

3

y

4

+ 5x

5

y

3

+ 2xy

2

Término Independiente

GR(x) = 3 GR(y) = 4

GR(x) = 5 GR(y) = 3

GR(x) = 1 GR(y) = 2

GA = 7 GA = 8 GA = 3

(3)

 GA = 8

¡A HORA !

P(x, y)

3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y GA. =

Polinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)

x6 + xy + x3y4z x + y + z zxy + x2y3 + 4

a + abx + bx2 3x3 + 4y4 -x3y4 + x5 + y8

4z3 + 4z – 3

VALOR NUMÉRICO

Cuando mas variables adoptan un valor, los monomios o polinomios arrojan un valor que se denomina valor numérico.

Ejemplo:

P(x) = 4x + 14

P(1) = 4 . 1 + 14 = 18 P(1) = 18

P(2) = 4 . 2 + 14 = 22 P(2) = 22

P(3) = 4 . 3 + 14 = 26 P(3) = 26

M(x; y) = 4x2y3  

M(2, 1)

 x = 2 y = 1

M(2, 1) = 4(2)2 (1)3

M(2, 1) = 16

P(x, y) = 4x + 5xy  

P(2, 3)

x = 2 y = 3 P(2, 3) = 4(2) + 5(2)(3) P(2, 3) = 38

¡A HORA TU !

P(x, y) = 4xy + 2x2y P(2, 1) =

P(1, 2) = P(1, 1) =

M(x) = 4x M(2) = M(3) = M(4) =

(4)

1. Dado el monomio:

M(x, y) = -3abxa+3yb De GR(x) = 7 y GA = 10 Calcular: El coeficiente

a) -36 b) 36 c) 12

d) -12 e) N.A.

2. Si el siguiente monomio:

M(x, y, z) = -4xa+1yb+2z4 Es de GA = 14 y GR(y) = GR(z) Calcular: “a . b”

a) 15 b) 10 c) 5

d) 3 e) 6

3. Si el monomio:

M(a; b) = -4xyax+2by+5 Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7 Calcular: “El coeficiente”

a) 24 b) -24 c) 25

d) 26 e) 12

4. Si en el monomio:

M(w, t,

) = -2a2b3wa+3tb+2

6 El GA = 17 y GR(w) = 5 Calcular: “El coeficiente”

a) 512 b) 251 c) -512

d) 251 e) 521

5. Si: GA = 15

3 2 ) y ( GR 2

) z ( ) GR x (

GR   

De: M(x, y, z) = -4xayb+2zc+3

Calcular:

7 c b A  a  

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

6. Si: GA = 10; GR(x) = 5 del polinomio:

P(x, y) = 4xa+1yb + 5xa+2yb+1 + 3xayb+2 Calcular: A = a + b

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

7. Dado el polinomio:

P(x, y) = xayb+2 + xa+1yb+4 + xa+5yb + ab

Si: GR(x) = 7 GR(y) = 6

Calcular el término independiente:

a) 5 b) 6 c) 7

d) 12 e) N.A.

8. Si:

P(x, y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3 + cxa+b+3yc + abc Es de GR(x) = 14 GR (y) = 6 Calcular la suma de coeficientes:

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) N.A.

9. Si:

P(x, y, z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xa + 2yb - 2zc Donde: GA(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3

Calcular el grado absoluto.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

(5)

Rpta.: __________________

10. Dado el polinomio:

P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a

Calcular el término independiente si GA = 8.

Rpta.: __________________

11. Calcular “A”

Si: M(x) = 2x4

Si: M(1)

) 2 ( M ) 0 (

A M 

Rpta.: __________________

12. Calcular: P(7)

Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10

Rpta.: __________________

13. Si: P(x) = 2x + 4

Calcular: M = P (P (P (P ( 3 ) ) ) )

Rpta.: __________________

14. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3 Calcular: P(Q(x))

Rpta.: __________________

15. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 2 Calcular: P(Q(x))

Rpta.: __________________

TAREA DOMICILIARIA

1.

Dado el monomio:

M(x, y) = 4abxayb

Si: GR(x) = 2 GA = 7

Calcular: “El Coeficiente”

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

2.

En el siguiente monomio:

M(x, y, z) = 3xm+1 yp+2 z2 GA = 12 GR(x) = GR(y) Calcular: m . P

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

3.

Si el monomio:

M(

,) = 2xyx+4y+2

Donde: GR(

) = 7 GR() = 5 Calcular el coeficiente:

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 24

4.

Si el monomio:

M(x, y, z) = 2a2b3c4xa+5yb+4zc+3

Si: GA = 15 GR(x) = 6 GR(z) = 4

(6)

Calcular el coeficiente:

a) 2 b) 4 c) 5

d) 16 e) 14

5.

Si: GA = 24

5 ) x ( ) GR y ( GR 

M(x, y) = 2xa+bya-b Calcular: a . b

a) 96 b) 108 c) 64

d) 25 e) 15

6.

Si: P(x) = xa+4 + xa+3 + xa-4 GA = 7

Calcular : 3a

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

7.

Si : P(x, y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4 + xa+2yb-2 GR(x) = 5 GR(y) = 3

Calcular el GA

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

8.

Si:

P(x) = axa + (a + 1)xa+1 + (a + 2)xa-4 Es de GA = 5

Calcular la suma de coeficientes:

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

9.

P(x, y, z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc

GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z) = 3

Calcular el grado absoluto.

a) 1 b) 14 c) 12

d) 10 e) N.A.

10.

Dado el polinomio:

P(x, y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3 Si el GA = 7 Además a – b = 2 Calcular: A = ab

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11.

Calcular: “A”

Si: M(x) = 4x

) 4 ( M

) 2 ( M ) 1 ( A  M 

Rpta.:

____________

12.

Si: P(x) = x2 + 3x + 4

Calcular: P(2) + P(3)

Rpta.:

____________

13.

P(x) = 2x + 4

A = P (P (P (P ( 2 ) ) ) ) Rpta.:

____________

14.

Si: Q(x) = x + 5 P(x) = x + 3

(7)

Calcular: P ( Q ( x ) )

Rpta.:

____________

15.

A(x) = 2x + 4 R(x) = 2x + 5 Calcular: A (R (x) )

Rpta.:

____________

Figure

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