Recomendaciones para el diseño de columnas de hormigón armado sometidas a flexión compuesta biaxial

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(1)Departamento de Ingeniería Civil. Título del trabajo: Recomendaciones para el diseño de columnas de hormigón armado sometidas a flexión compuesta biaxial.. Autores del trabajo: Yasmín de las Mercedes Padilla Martínez Tutores del trabajo: Dr. Ing. Juan José Hernández Santana Ing. Claudia Sotolongo Pérez. , junio 2018.

(2) Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la mencionada casa de altos estudios. Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente: Atribución- No Comercial- Compartir Igual. Para cualquier información contacte con: Dirección de Información Científico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830 Teléfonos.: +53 01 42281503-1419.

(3) Pensamiento “Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad”. Albert Einstein.. 1.

(4) Dedicatoria A mi madre y mi padre, quienes han sabido guiarme y apoyarme durante toda mi vida con amor, responsabilidad y sacrificio. Mis abuelos y mis tías, quienes siempre han sabido darme todo su apoyo y confianza y han sido un pilar fundamental en mi crecimiento tanto personal como profesional. A mi novio, quien ha estado conmigo en buenos y malos momentos brindándome su amor y comprensión. A todas las personas que de una manera u otra supieron inspirarme y darme fuerzas para cumplir mis sueños.. 2.

(5) Agradecimientos A mis padres por ser tan pacientes conmigo y alentarme en todo momento, sin los cuales este logro no se hubiese podido realizar. Mis abuelos y mis dos tías quienes estaban al pendiente de mi recorrido y me brindaron su apoyo y tiempo. A mi novio, por ser parte de esas voces alentadoras que siempre me otorgaron ánimo. A mi prima y mi mejor amiga que aun no estando a mi lado la distancia no impidió sentir su apoyo y colaboración. A mi tutora, quien no escatimó nunca en brindarme su ayuda y su tiempo, y supo motivarme en los peores momentos. A mi tutor, quien siempre supo separar un espacio de tiempo para mí y su ayuda jugó un papel muy importante en los resultados de este trabajo. A mi oponente que a pesar de ser mi contrario en esta situación siempre me brindó su apoyo y tiempo. En general a todos los profesores que a lo largo de mi carrera han aportado su granito de arena para mi formación como profesional y a los cuales les estaré eternamente agradecida.. 3.

(6) Resumen En el presente trabajo se pretende estudiar el comportamiento de columnas sometidas a flexo compresión biaxial bajo diversos parámetros para así establecer recomendaciones que faciliten el diseño de las mismas mediante la utilización de ayudas de cálculo en Mathcad, ya formuladas y comprobadas mediante software de diseño profesionales obtenidos en trabajos previos. Entre los parámetros a considerar podemos mencionar la resistencia a compresión del concreto, la tensión de linealidad del acero, las dimensiones de la sección, la rectangularidad, la relación lambda entre los momentos actuantes, etc. Con la realización de este análisis se generarán resultados más refinados y adaptados a la realidad lo cual se podrá traducir en un incremento de eficiencia en cuanto a costos para aquellos casos en los cuales el efecto biaxial sea ingenierilmente considerable.. 4.

(7) Abstract In the present work, we intend to study the behavior of columns subjected to biaxial flexo compression under various parameters in order to establish recommendations that facilitate the design of them by using calculation aids in Mathcad, already formulated and tested by professional design software obtained in previous works. Among the parameters to be considered we can mention the compressive strength of the concrete, the linearity tension of the steel, the dimensions of the section, the rectangularity, the lambda relation between the acting moments, etc. With the realization of this analysis will be generated more refined results and adapted to reality, which can translate into an increase in cost efficiency for those cases in which the biaxial effect is considerable.. 5.

(8) Contenido Pensamiento ................................................................................................................................................... 1 Dedicatoria ...................................................................................................................................................... 2 Agradecimientos............................................................................................................................................ 3 Resumen .......................................................................................................................................................... 4 Abstract ............................................................................................................................................................ 5 Contenido .......................................................................................................................................................... 6 Introducción .................................................................................................................................................... 9 Problema Científico ....................................................................................................................................... 10 Planteamiento del problema ........................................................................................................................ 10 Objeto de estudio ........................................................................................................................................... 11 Campo de acción ........................................................................................................................................... 11 Objetivo general ............................................................................................................................................. 11 Objetivos Específicos. ................................................................................................................................... 11 Hipótesis ......................................................................................................................................................... 11 Tareas Específicas. ....................................................................................................................................... 12 Novedad científica ......................................................................................................................................... 12 Valor metodológico ........................................................................................................................................ 12 Valor práctico ................................................................................................................................................. 12 Relevancia social ........................................................................................................................................... 13 Organización del trabajo de diploma .......................................................................................................... 13 Capítulo I: “Estado del conocimiento sobre las tendencias actuales del comportamiento de columnas rectangulares bajo cargas de FCB.” ................................................................................... 14 Introducción .................................................................................................................................................... 14 1.1 Generalidades sobre la FCB. ................................................................................................................ 15 1.2. Principales Hipótesis o Bases para el Diseño. .................................................................................. 20 1.2.1 Hipótesis Básicas ............................................................................................................................ 20 1.2.2 Método de los Estados Límites. .................................................................................................... 27 1.3 Métodos de Diseño. ................................................................................................................................ 32 1.3.1 Métodos Numéricos. ....................................................................................................................... 32 1.3.2 Métodos Analíticos. ......................................................................................................................... 32 1.3.2.1 Método de las Cargas Recíprocas. ....................................................................................... 33 1.3.2.2 Método del Contorno de las Cargas de Bresler. ................................................................. 34 1.3.2.3 Método de Contorno de las Cargas del PCA ...................................................................... 36. 6.

(9) 1.3.2.4 Crítica a los Métodos Analíticos ............................................................................................ 41 1.3.3 Métodos Gráficos ............................................................................................................................ 42 1.3.3.1 Diagramas de Interacción y Superficies de Contorno. ....................................................... 42 1.3.3.2 Crítica a los Métodos Gráficos............................................................................................... 45 1.3.4 Metodología a seguir según el Método de Ehsani. .................................................................... 45 1.4 Recomendaciones para el Diseño........................................................................................................ 47 1.4.1Comportamiento de Columnas bajo FCB ..................................................................................... 47 1.4.2 Recomendaciones para el Diseño ................................................................................................ 49 Conclusiones generales del Capítulo I ....................................................................................................... 50 Referencias..................................................................................................................................................... 51 Capítulo II: Análisis de la influencia de los materiales, las características geométricas de la sección transversal y otros parámetros en el comportamiento de columnas rectangulares de hormigón armado bajo cargas de flexo-compresión biaxial. .................................................................................... 53 Introducción ................................................................................................................................................ 53 2.1 Comportamiento entre inclinación de la línea neutra y realción entre los momentos bajo la influencia de distintos factores. ............................................................................................................... 53 2.1.1 Comportamiento entre inclinación de la línea neutra y realción entre los momentos producto de lambda. ............................................................................................................................. 53 2.1.2 Análisis de comportamiento para diferentes valores de λ (λ =15deg, 30deg, 45deg, 60deg)..................................................................................................................................................... 57 2.1.3 Análisis de comportamiento para diferentes valores de resistencia a compresión del hormigón. ............................................................................................................................................... 59 2.1.4 Análisis de comportamiento para diferentes valores de la resistencia a tensión del acero. ................................................................................................................................................................. 60 2.1.5 Análisis para diferentes valores de rectangularidad. ............................................................. 60 2.1.6 Análisis para diferentes variantes de distribución. ................................................................. 63 2.2 Capacidad resistente de la sección. ................................................................................................ 66 2.2.1 Capacidad resistente nominal para distintos valores de λ. .................................................. 66 2.2.2 Capacidad Resistente Nominal para distintos valores de resistencia a compresión del hormigón. ............................................................................................................................................... 72 2.2.3 Capacidad resistente nominal bajo diferentes parámetros para una misma sección. ..... 74 2.2.4 Capacidad resistente nominal tomando en consideración la capacidad resistente a tensión del acero. .................................................................................................................................. 76 2.2.5 Análisis de la capacidad resistente nominal para diferentes valores de recubrimiento. .. 78 2.2.6 Capacidad Resistente Nominal bajo la influencia de la distribución del acero.................. 79 2.2.7 Influencia de la rectangularidad en la resistencia nominal de la sección considerando lambda. ................................................................................................................................................... 83. 7.

(10) 2.3 Análisis de comportamiento de la resistencia última en las diferentes zonas........................... 85 2.3.1 Análisis del comportamiento de la resistencia última para diferentes valores de resistencia a tensión del acero. ................................................................................................................................... 85 2.3.2 Análisis de las zonas para resistencia última bajo diferentes valores de resistencia a tensión del acero. ...................................................................................................................................... 86 2.3.3 Análisis del comportamiento de la resistencia última para diferentes valores de resistencia a compresión del hormigón. .................................................................................................................... 87 2.3.4 Análisis del comportamiento de la resistencia última para diferentes variantes de distribución del acero para una misma área de acero. ........................................................................ 88 2.3.5 Análisis del comportamiento de la resistencia última para diferentes secciones. ................. 89 2.3.6 Análisis del comportamiento de la resistencia última para diferentes valores de lambda. .. 91 2.4 Recomendaciones para el uso de FCB........................................................................................... 91 Conclusiones parciales del capítulo II. ................................................................................................... 95 Comportamiento ...................................................................................................................................... 95 Análisis de comportamiento para resistencia nominal................................................................. 96 Análisis de comportamiento para resistencia última. ................................................................... 97 Análisis de comportamiento para la comparación con la flexo-compresión recta ............... 98 Capítulo III: “Casos de estudio de columnas sometidas a flexo-compresión biaxial”. ....................... 99 Introducción ................................................................................................................................................ 99 3.1 Problemática 1 .................................................................................................................................... 99 3.2 Problemática 2 .................................................................................................................................. 100 3.3 Problemática 3 .................................................................................................................................. 102 3.4 Problemática 4 .................................................................................................................................. 104 3.5 Problemática 5 .................................................................................................................................. 106 Conclusiones Generales............................................................................................................................. 109 Recomendaciones ....................................................................................................................................... 111 Bibliografía .................................................................................................................................................... 112 Anexos........................................................................................................................................................... 114. 8.

(11) Introducción Las estructuras son sistemas complejos de cargas y desplazamientos sometidos a factores tanto internos como externos que deben combinarse para garantizar estabilidad en el marco estático. Las columnas son uno de los elementos estructurales más complejos en las estructuras en cuanto a su diseño se refiere ya que por lo general se encuentran sometidas a más de un tipo de solicitación lo cual trae consigo una densificación considerable en su análisis, las mismas están sometidas a distintos casos de esfuerzos, pero sale a destacar siempre la Flexión Compuesta, la cual incluye tanto la acción de cargas axiales de compresión o de tracción como de momentos flectores. La unión de solicitaciones mencionada nombra el tipo de flexión a la que está sometido el elemento ya que puede ser Flexo Compresión o Flexo Tracción en dependencia de la carga axial actuante, aquel en el cual el momento flector actúa simultáneamente en más de una dirección denominaremos Flexión Combinada Biaxial o Esviada, su caso regular o más general es la Flexión Combinada Recta o Uniaxial. Como ejemplos de sistemas estructurales o componentes de los mismos sometidos a Flexión Combinada Biaxial o Esviada podemos señalar las columnas de naves industriales, las esquineras de edificios donde las vigas principales y las secundarias llegan hasta esas columnas en las direcciones de los muros y transfieren sus momentos extremos en dos planos perpendiculares, o en las interiores si la planta de columna es irregular. También se puede identificar en pilas de puentes ya que estos sufren la acción de fuerzas longitudinales o transversales. El conjunto de variables que incluye el análisis y diseño de elementos a Flexión Combinada Biaxial transforma el trabajo del ingeniero en un proceso extenso y con características iterativas demasiado complejo para ser realizado de forma manual. En nuestro país no está difundido dentro de la comunidad de proyectistas el empleo de ayudas de cálculo para el diseño y revisión de columnas rectangulares sometidas a cargas de flexo-compresión biaxial. Se debe destacar que los docentes y profesionales tanto de las empresas de proyecto de nuestro país como los profesores de las universidades cubanas en especial la Universidad Marta Abreu de Las Villas no cuentan con una herramienta de diseño confiable para el diseño de columnas sometidas a este 9.

(12) fenómeno que sean acordes a nuestras condiciones y característica. Sin embargo existen empresas de proyecto tales como la EMPROY o la EPAI que consideran esta práctica ingenieril, donde se trabajan con hojas de cálculo Mathcad que cuentan con disímiles problemáticas y software profesionales, los cuales, a pesar de que ofrecen resultados más que satisfactorios en el ámbito ingenieril global, debido a múltiples dificultades existentes solo se puede tener acceso a versiones ilegales, además de que los mismos presentan una programación intrínseca referente a las normativas de sus fabricantes y cuyos procesos internos solo pueden ser conocidos mediante el estudio de sus resultados, por lo que no es posible adoptarlos a la realidad de los materiales, condiciones medioambientales y procesos de fabricación cubanos. Esto ha causado que el diseño de columnas con esta particularidad se trate como un caso de diseño a flexo-compresión recta dando como resultado diseños inexactos y poco ajustados a la realidad de las solicitaciones. No obstante, en investigaciones anteriores se han realizado estudios sobre esta temática que han proporcionado un avance significativo en dicho tema pero presentan deficiencias pues no se incluyen parámetros que describan el comportamiento de dichos elementos bajo estas condiciones y a su vez brinden recomendaciones para el diseño más factibles.. Problema Científico En nuestro país no está difundido dentro de la comunidad de proyectistas el empleo de ayudas de cálculo para el diseño y revisión de columnas sometidas a cargas de flexocompresión biaxial. Aun así existen empresas de proyecto que trabajan con hojas de cálculo Mathcad que cuentan con disímiles problemáticas y software profesionales, pero las mismas no están en relación con la realidad de los materiales, condiciones medioambientales y procesos de fabricación cubanos, además, en investigaciones anteriores se han realizado estudios sobre esta temática pero presentan deficiencias pues no se incluyen parámetros que describan el comportamiento de dichos elementos bajo estas condiciones y a su vez brinden recomendaciones para el diseño más factibles.. Planteamiento del problema ¿Cómo obtener recomendaciones para el diseño de columnas sometidas a flexocompresión biaxial a partir de la interpretación del comportamiento de las mismas desde parámetros estructurales introducidos en hojas de cálculo Mathcad preexistentes? 10.

(13) Objeto de estudio Comportamiento de columnas sometidas a flexo-compresión biaxial.. Campo de acción Columnas de hormigón armado a flexo-compresión biaxial.. Objetivo general Definir recomendaciones para el diseño de columnas de hormigón armado sometidas a flexo-compresión biaxial bajo distintos parámetros estructurales.. Objetivos Específicos.  Analizar el estado actual del conocimiento sobre el diseño y revisión de columnas rectangulares de hormigón armado sometidas a cargas de flexo-compresión biaxial.  Introducir los factores de comportamiento en las ayudas de cálculo preexistentes, entre los que se encuentran: λ (Factor de Relación de las Solicitaciones), distribución de refuerzo, resistencia del hormigón, el ángulo θ (que depende de la interacción de los momentos flexionantes con respecto a ambos ejes y de la magnitud de la carga Pu), rectangularidad y ductilidad del acero.  Interpretar el comportamiento de las columnas según los resultados arrojados por las hojas de cálculos existentes Mathcad (DI-FCB y DI-FCBj).  Valorar la solución guiada para el establecimiento de recomendaciones que faciliten el diseño de columnas sometidas a flexo compresión biaxial.. Hipótesis El establecimiento de recomendaciones para el diseño de columnas de hormigón armado sometidas a cargas de flexo compresión biaxial facilitará una preparación más especializada de los estudiantes de ingeniería civil, tanto en pregrado como en posgrado, así como la obtención en las empresas de proyecto cubanas de un diseño más racional y ajustado a los parámetros reales de estructura analizada.. 11.

(14) Tareas Específicas.  Analizar estudios realizados hasta el momento para una correcta recopilación de datos.  Introducir los parámetros estructurales en las ayudas de cálculo preexistentes.  Interpretar el comportamiento de las columnas a partir de los resultados obtenidos.  Crear recomendaciones para el diseño de las columnas de hormigón armado sometidas a FCB.. Novedad científica Con este trabajo se ampliará el marco de estudio para el diseño y revisión de columnas de hormigón armado sometidas a flexo compresión biaxial mediante el establecimiento de recomendaciones en cuanto a: λ (Factor de Relación de las Solicitaciones), distribución de refuerzo, resistencia del hormigón, el ángulo θ, rectangularidad y ductilidad del acero las cuales facilitarán el trabajo de profesionales de nuestro país con respecto a esta temática.. Valor metodológico Se facilitará la toma de decisiones acertadas durante el proceso de diseño a través de las recomendaciones establecidas, lo cual brindará una guía para la inserción de dichas conclusiones en las hojas de cálculo proporcionándose así un diseño factible y eficaz con los elementos necesarios para dominar la temática.. Valor práctico Tomando en consideración que en nuestro país los usuarios docentes y profesionales, así como las empresas cubanas como la EMPROY o la EPAI, no cuentan con una herramienta de diseño confiable para el diseño de columnas de hormigón armado sometidas a flexo-compresión biaxial las recomendaciones obtenidas trazarán el camino a la posibilidad de obtener diseños de forma rápida y efectiva que les permitan realizar análisis comparativos donde se puedan evaluar las variables más influyentes en el diseño y sopesar las diversas invariantes, que modificándolas, den como resultado secciones óptimas. Lo cual se podrá traducir en una disminución considerable del tiempo dedicado al diseño.. 12.

(15) Relevancia social La ampliación de dichos conocimientos en el ámbito de la FCB en columnas permite la elaboración venidera de herramientas que permitan la obtención de un diseño más racional y adaptado a la realidad, lo cual significa un paso de avance significativo para obtener resultados más exactos en el diseño, lo cual se traduce en un incremento de la eficiencia en cuanto a costos de materiales, maquinarias y facilidad de ejecución se refiere aspecto este tan necesario para la sociedad cubana.. Organización del trabajo de diploma La estructura general del trabajo de diploma es la siguiente: Resumen Introducción Capítulo I: “Estado del conocimiento sobre las tendencias actuales del diseño y revisión de columnas rectangulares bajo cargas de FCB y las posibles recomendaciones existentes sobre su comportamiento.” Capítulo II: “Análisis de la influencia de los materiales, las características geométricas de la sección transversal y otros parámetros en el comportamiento de columnas rectangulares de hormigón armado bajo cargas de flexo-compresión biaxial”. Capítulo III: “Casos de estudio de columnas sometidas a flexo-compresión biaxial”. Conclusiones y Recomendaciones. Bibliografía. Anexos.. 13.

(16) Capítulo I: “Estado del conocimiento sobre las tendencias actuales del comportamiento de columnas rectangulares bajo cargas de FCB.” Introducción Mediante el presente capítulo se realizará un análisis del estado actual del conocimiento sobre las tendencias actuales del diseño y revisión de columnas rectangulares bajo solicitaciones de flexo-compresión biaxial y las posibles recomendaciones existentes sobre su comportamiento. Primeramente, se realizará una compilación y resumen acerca de los aportes más novedosos sobre el tema para una mejor comprensión de la problemática, mencionando los métodos propuestos para la resolución de dicho caso, así como sus recomendaciones y análisis de comportamiento, haciendo énfasis en estudios donde se aborde la influencia de un conjunto de factores en el comportamiento de la sección. Entre estos parámetros podemos señalar: la relación entre los momentos actuantes en ambas direcciones, la inclinación de la línea neutra, la rectangularidad, la resistencia de los materiales, la distribución del refuerzo. Las columnas son elementos estructurales sometidos a compresión y flexión combinadas, generalmente verticales, que se encargan de transmitir las cargas de una edificación hacia la superficie de apoyo, desde los pisos superiores hasta los inferiores y de allí al suelo por medio de la cimentación, utilizando a las zapatas como estructuras intermedias de soporte, permitiéndose así la distribución de las cargas de una estructura. Puesto que las columnas son elementos a compresión, la falla de una columna en un lugar crítico, puede causar el colapso sucesivo de los pisos siguientes y el colapso total y último de la estructura completa. En términos económicos y de pérdidas humanas, la falla estructural de una columna es un evento de principal importancia. Es por esto que se debe tener un cuidado extremo en el diseño de las columnas, que deben tener una reserva de resistencia más alta que las vigas o que cualquier otro elemento estructural horizontal, especialmente porque las fallas de compresión proporcionan muy poca advertencia visual. Por ello el reglamento del ACI requiere que en el diseño de miembros a compresión se utilicen factores de reducción de. 14.

(17) la resistencia φ, considerablemente menores que los factores φ para la flexión, el cortante o la torsión. (Nawy, 1983) En el mundo de hoy, la ciencia avanza a pasos agigantados, y el país que no avanza a un ritmo igual o mayor, retrocede inevitablemente. Esto lo podemos comprobar día a día con toda la información que nos llega a través de los medios de información. La disciplina de la Ingeniería Civil no se queda atrás y continuamente se publican las últimas investigaciones e innovaciones desarrolladas en el nivel mundial. (Mata, 1998). La primera reacción, de todo buen Ingeniero Civil actual será la de estudiar detenidamente estos informes e incorporarlos a su práctica profesional en coordinación con sus necesidades lo cual no siempre cumple con las expectativas esperadas cuando en casos como el nuestro llevamos acumulando un retraso de muchos años que nos impide practicar dichos avances para nuestro propio beneficio. Una preocupación reciente, en la disciplina de la Ingeniería, ha sido la de proporcionar recomendaciones de diseño para diseñar columnas de sección arbitraria sometidas a flexión biaxial, por lo que se han propuesto programas por parte de la PCA y algunas universidades de Estados Unidos y del mundo han comenzado a desarrollar y aplicar otros programas y métodos para la resolución de columnas sometidas a flexo-compresión biaxial ajustadas a antiguas metodologías o a condiciones específicas de sus países. En consecuencia, de lo antes planteado surge la necesidad de la presente tesis cuyo mayor objetivo es establecer recomendaciones para el diseño de columnas sometidas a FCB a partir de Hojas de Cálculo programadas en el Mathcad a través de un análisis del comportamiento de las mismas bajo distintos parámetros, adecuadas a nuestras condiciones para una mayor facilidad y exactitud del diseño en las empresas y universidades cubanas.. 1.1 Generalidades sobre la FCB. Aquellas columnas sometidas a la combinación de cargas axiales (a compresión o tracción) con momentos flectores se les conocen como columnas sometidas a Flexo Compresión o Flexo Tracción en función del tipo de carga axial actuante. Si la acción de la flexión combinada se presenta en un solo eje se le llamará Flexión Combinada Recta o Uniaxial; si se presenta en los dos ejes entonces se le denominará como Flexión Combinada Biaxial o Esviada. (Hernández Santana, 2013) 15.

(18) Existen muchas situaciones en las cuales las columnas se encuentran sometidas a flexocompresión biaxial entre las que podemos mencionar: . Secciones que, por su forma, no presenten un plano de simetría, como las secciones “T” de lados desiguales; a). . Secciones que, siendo simétricas en cuanto a la forma, están armadas asimétricamente respecto a su plano de simetría, b) y. . Secciones que, siendo simétricas por su forma y armaduras, están sometidas a una solicitación que no está contenida en el plano de simetría, c). Este último caso es el más frecuente y será el objeto de estudio fundamental del presente trabajo.. ILUSTRACIÓN 1.1. POSIBLES CAUSAS DE LA FLEXO -COMPRESIÓN BIAXIAL . F UENTE : (JIMÉNEZ MONTOYA, 2000) La combinación de carga axial y momento flector del último caso mencionado puede presentarse en dos variantes: 1. Acción de la carga axial con excentricidades físicas. •La existencia de ménsulas o de cargas desplazadas en los apoyos. •Posibles inexactitudes en la construcción. 2. Acción de la carga axial y el momento flector provocados por el mismo efecto o por efectos diferentes. •Algunas vigas, que pueden estar sometidas a cargas laterales (viento, empuje de tierras en muros y cimientos, empuje de agua en depósitos, empuje del material almacenado en silos, etc.), (Jiménez Montoya, 2000) •La mayoría de los pilares, pues, aunque formen parte de pórticos planos, la acción del viento o del sismo puede producir flexiones secundarias, que con frecuencia se 16.

(19) desprecian, lo mismo que las que resultarían de una consideración rigurosa del pandeo, con las consiguientes excentricidades situadas fuera del plano principal de flexión. Un caso específico sería las pilas de los puentes las cuales usualmente están sometidas a esfuerzos transversales y longitudinales. (Jiménez Montoya, 2000) •Las columnas esquineras de edificios donde las vigas principales y las secundarias llegan hasta estas columnas en las direcciones de los dos muros y transfieren sus momentos extremos a la columna en dos planos perpendiculares. Situaciones similares de carga pueden ocurrir en columnas interiores (Fig. 1.2), en particular si la planta de columna es irregular. (Nilson, 1999). ILUSTRACIÓN 1.2. MOMENTOS ACTUANTES QUE LLEGAN A LA COLUMNA PRODUCTO DE LA IRREGULARIDAD DE LA PLANTA. F UENTE : (A LFONSO , 2013). 17.

(20) ILUSTRACIÓN 1.3. ÁREAS TRIBUTARIAS SOBRE COLUMNAS . (LÓPEZ , 2014). El análisis de la Flexión Compuesta biaxial o esviada se ilustra en la figura 1.4, donde la sección está sometida a una carga descentrada tanto en el eje x como en el y; siendo las excentricidades ex y ey respectivamente. En dicha figura se destacan los diagramas de interacción obtenidos para la flexo compresión recta en ambos ejes y esviada que ocurre en un ángulo λ respecto al eje x este ángulo puede determinarse por:. El diagrama obtenido para el caso recoge todas las combinaciones de carga y momentos flectores en ambos ejes que limitan la resistencia de la sección, como se explicó para la flexo compresión recta. También se destaca en la figura una superficie resistente para una carga Pn dada, conocida como Contorno de Carga. Son dos formas de plantearse las zonas de resistencia de la sección. 18.

(21) Desde el punto de vista analítico el problema fundamental radica en determinar cuál es la inclinación de la línea neutra θ, ya que no puede obtenerse una relación entre λ y θ, pues como regla no son iguales, ni se relacionan, como se muestra en la figura 1.4.. ILUSTRACIÓN 1.4. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN EN FLEXO -COMPRESIÓN BIAXIAL . (SANTANA, 2012). Pueden presentarse 4 formas de zona comprimida del hormigón en función de la magnitud y posición de la carga, y todo se trata de obtener el área comprimida y la posición del centroide.. ILUSTRACIÓN 1.5. ÁREAS COMPRIMIDAS DEL HORMIGÓN EN LA FLEXO COMPRESIÓN BIAXIAL . (H ERNÁNDEZ S ANTANA, 2013) 19.

(22) 1.2. Principales Hipótesis o Bases para el Diseño. 1.2.1 Hipótesis Básicas A partir de la guía que ofrece la Norma Cubana se analizan a continuación, las principales hipótesis para el diseño y comprobación de secciones sometidas a solicitaciones normales en el agotamiento las cuales coinciden con el caso analizado de columnas sometidas a flexo-compresión biaxial, profundizando en el tratamiento que dan a tan importante tema diferentes normativas e investigadores del mundo. (Hernández Santana, 2013). Muchos son los científicos como R. Park, T. Paulay, Teodoro E. Harmsen, María Graciela Fratelli, Arthur H. Nilson, David Darwin, Charles W. Dolan y James G. Macgregor que han realizado investigaciones referentes al análisis de la Flexo-Compresión Biaxial, los cuales comparten estas hipótesis y las han tomado como base para sus investigaciones además de actualizarlas y perfeccionarlas.. HIPOTESIS PARA EL CÁLCULO a) La deformación en el hormigón y el acero se supondrán directamente proporcional a la distancia desde el eje neutro, excepto, para elementos a flexión de gran peralte, para los que habrá que considerar un análisis que tenga en cuenta una distribución no lineal de deformación. Alternativamente, se permitirá usar el modelo de bielas y tirantes. El principio de Bernoulli, o de las secciones planas, es aceptado por las principales normativas internacionales como el ACI, el reglamento europeo, otras normas como la inglesa, la española y la brasileña. Además se conoce de su adopción como hipótesis por las normas alemanas y el código mexicano. Unida a esta hipótesis se admite que el acero y el hormigón que lo envuelven son adherentes y por tanto se deforman igualmente. Bajo la acción de las solicitaciones, las armaduras experimentan las mismas deformaciones que el hormigón que las rodea (armaduras adherentes), consideración que complementa la hipótesis anterior y posibilita el empleo de las ecuaciones de compatibilidad. En esta hipótesis es importante destacar la limitación del grado del refuerzo comprimido que tiene que ver, además, con su aprovechamiento resistente. Emplear aceros más resistentes es subutilizarlos pues no alcanzarán como regla su deformación de fluencia, por ejemplo se limita el valor de cálculo del acero ordinario de la zona comprimida a 420 MPa. Estas 20.

(23) consideraciones tienen un peso decisivo en el cálculo de secciones pues sustentan todo el andamiaje del trabajo con las ecuaciones de compatibilidad, como se estudió en el capítulo II. En la justificación de estos principios Park y Paulay basados en experimentos de Hognestad en columnas sometidas a flexo-compresión, explican la validez de la hipótesis siempre que se garantice una buena adherencia entre el acero y el hormigón. Es totalmente exacta en la zona a compresión y en la zona agrietada pese “a que la suposición no se aplica completamente al concreto en la vecindad de la grieta, sin embargo si se mide la deformación del concreto en una longitud calibrada que incluya grietas, se encuentra que el principio de Bernoulli es válido para esta deformación promedio de tensión”. Concluyen estos autores que la hipótesis es suficientemente exacta para fines de diseño excepto para vigas de gran peralto o zonas de grandes cortantes. En este mismo sentido se pronuncia Mattock al estudiar ensayos de Hognestad y Rusch estableciendo la linealidad al unir las deformaciones que ocurren en la zona a compresión con la media en las del acero traccionado. (Hernández Santana, 2013) En la figura 1.6 se ilustran las condiciones de deformación específica derivadas de esta hipótesis para la etapa de agotamiento. Por su parte los soviéticos basados en una amplia experimentación no admiten que las secciones se mantengan planas y han encontrado una expresión empírica para relacionar las deformaciones del acero menos comprimido (εs3) y la profundidad del bloque de compresiones virtual (£). La expresión en cuestión es:. Donde: £0: profundidad relativa de la zona comprimida cuando la tensión del acero menos comprimido es cero: £0 =0,85 - 0.008fć Ecu: deformación máxima del hormigón. (Hernández Santana, 2011). 21.

(24) ILUSTRACIÓN 1.6. PROPORCIONALIDAD DE LAS DEFORMACIONES A NIVEL DE SECCIÓN . (HERNÁNDEZ SANTANA, 2011). El CEB, la EH-99 y la Norma Cubana vigente señalan que para que sea válida esta hipótesis deberá cumplirse que la relación entre la distancia de los puntos de momento nulo del diagrama de momentos (L0), llamada también luz elástica, al peralto total deberá ser mayor que 2, o sea: Para cualquier elemento. . (Hernández Santana, 2011). b) La máxima deformación para la fibra extrema a compresión del hormigón se supondrá igual a 0.003. Los ensayos realizados, lo mismo a elementos de hormigón simple que armado tanto en vigas como en columnas, demuestran que la deformación máxima por aplastamiento del hormigón a compresión varía en un amplio rango, de 0.003 a 0.008, sin embargo, para los casos prácticos estos valores se mueven entre 0.003 y 0.004. Los propios ensayos confirman que esta deformación disminuye a medida que aumenta la resistencia a compresión del hormigón, y las normas coinciden en fijar un único valor, ver figura 1,7 Los que se basan en el código del CEB-FIB consideran como deformación máxima del hormigón 0,35 %. Por su parte los que asumen el ACI consideran 0,3 %. Para el caso 22.

(25) particular de la compresión centrada las normativas europeas consideran una deformación máxima del hormigón igual a Eć= 0,002, lo que no hace el ACI. (Hernández Santana, 2011).. ILUSTRACIÓN 1.7. MÁXIMA DEFORMACIÓN A COMPRESIÓN DEL HORMIGÓN EVALUADA EN ENSAYOS DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO . F UENTE : (H ERNÁNDEZ S ANTANA, 2013) En el caso de compresión centrada, los ensayos bajo cargas de corta duración demuestran que la máxima carga ocurre cuando el hormigón alcanza una deformación de 0.002 aunque la presencia del refuerzo transversal en los elementos permite alcanzar deformaciones aún mayores, especialmente cuando este refuerzo es en forma de hélice de pequeño paso a causa del confinamiento que le confieren al hormigón del núcleo. Park y Paulay consideran que fijar la deformación máxima del hormigón no tiene gran importancia en la determinación de la capacidad última de la sección excepto en columnas que fallan a compresión n. Su importancia radica en el control de la curvatura. Otros autores admiten el valor de 0,3 % como conservador y proponen llevarlo hasta 0,4 % en hormigón no confinado. A conclusiones semejantes arriban Mattock, Kris y Hognestad al evaluar los resultados de los experimentos realizados por Hognestad y Rusch, los mismos que permiten a Leonhardt proponer el valor de 0,35 %. Esta deformación máxima es variable en función de la forma de la zona comprimida del 23.

(26) hormigón según Rusch. No obstante se considera innecesario, desde el punto de vista práctico, entrar en tales detalles. c) Los esfuerzos en los aceros naturales por debajo de la resistencia de fluencia especificada fy para el grado de acero utilizado serán tomados como Es veces la deformación del acero. Para deformaciones mayores que la correspondiente a fy, el esfuerzo en el acero se considerará independiente de la deformación e igual a fy. Hay una aceptación general del diagrama bilineal, como el de la figura 1,8. En el caso de armaduras próximas entre sí, el valor de la deformación del acero puede tomarse referida al centro de gravedad de las barras, mientras que si están muy separadas, se considera la deformación máxima en la camada más próxima al borde traccionado y las camadas restantes se analizan mediante la compatibilidad de deformaciones.. ILUSTRACIÓN 1.8. DIAGRAMA DE CÁLCULO PARA ACEROS NATURALES. F UENTE: (HERNÁNDEZ S ANTANA, 2013) La deformación de rotura del acero es muy superior al 1 % y además fijar este valor no tiene importancia en la determinación de la capacidad última de la sección, por lo que solo obedece a criterios de deformación y agrietamiento, posición defendida por Jiménez Montoya y Abram los que definen el Estado Límite Ultimo de Deformación Plástica Excesiva. Más rigurosa en la limitación es la normativa alemana DIN-1045 que fija la deformación máxima 0,5 %, lo que es justificado por Rusch. Por lo contrario el código del ACI y el inglés CP-110 no limitan la deformación del acero. Park y Paulay plantean que no le ven sentido práctico a este procedimiento ya que no tiene repercusión en la capacidad resistente de la sección. 24.

(27) La Norma Cubana ha adoptado que Esmáx.=1%, lo que obliga a definir los Diagramas de Dominios deformacionales y a utilizar ecuaciones de compatilidad referidas a Esmáx. = 1%, cuando Eć menor a 0,003. d) La resistencia a tracción del hormigón se despreciará en cálculos a flexión y a flexo-compresión de hormigón armado, excepto en los requerimientos para pretensado. En los cálculos a flexo tracción de hormigón armado se despreciará no sólo la resistencia a tracción del hormigón, sino también su resistencia a compresión. Esta suposición es aceptada unánimemente y está confirmada por el trabajo experimental.. Resultan. interesantes. los. estudios. de. Collins. al. comparar. el. comportamiento de secciones considerando o no el aporte del hormigón situado en la zona traccionada, concluyendo su inconveniencia práctica y la poca influencia que esto tiene en la capacidad resistente de la sección. La resistencia del hormigón en tracción, sin embargo, es importante en las consideraciones de fisuración y deformación bajo cargas de servicio. e) La relación entre la distribución de tensiones del hormigón en compresión y su deformación, se puede suponer que es rectangular, trapezoidal, parabólica o de cualquier otra forma que resulte de la predicción de la resistencia y que coincida con resultados de extensos ensayos Esta hipótesis reconoce la distribución de esfuerzos inelásticos del hormigón a esfuerzos altos. A medida que se alcanza el esfuerzo máximo, la relación esfuerzo-deformación para el hormigón no es una línea recta (el esfuerzo no es proporcional a la deformación). La forma general de una curva esfuerzo-deformación es en esencia una función de la resistencia del hormigón y consiste de una curva creciente desde cero a un máximo hasta una deformación a compresión entre 0.0015 y 0.002, seguido por una curva descendente hasta una deformación última (aplastamiento del hormigón) desde 0.003 a valores más altos, incluso, que 0.008. La distribución real de los esfuerzos a compresión del hormigón es compleja y usualmente no se conoce explícitamente. Las investigaciones han mostrado que las propiedades importantes de la distribución de esfuerzos del hormigón se pueden aproximar con gran exactitud, independientemente de utilizar uno cualquiera de las diferentes hipótesis de la curva de distribución de esfuerzos que se conocen, como fue expuesto en el capítulo II. La norma cubana permite cualquier distribución de esfuerzos particular para ser utilizada 25.

(28) en el diseño si se demuestra que la resistencia última predicha tenga una concordancia razonable con los resultados de extensos ensayos. Muchas distribuciones de esfuerzos han sido propuestas. Las más comunes han sido la parábola, el trapecio, el rectángulo y la parábola rectángulo. f) Los requisitos de la hipótesis e se satisfacen para una distribución rectangular equivalente de los esfuerzos de compresión del hormigón, la que queda definida de la manera siguiente: (ver figura 1.9). ILUSTRACIÓN 1.9. DIAGRAMA RECTANGULAR EQUIVALENTE DEL HORMIGÓN. FUENTE : (HERNÁNDEZ S ANTANA, 2011) Se supone un esfuerzo de compresión uniforme del hormigón igual a 0,85 distribuida en una zona a compresión equivalente que queda limitada por el perímetro de la sección transversal del elemento y una línea recta paralela a su eje neutro, a una distancia medida a partir de la fibra de deformación unitaria de máxima compresión tal que:. La distancia c medida desde la fibra de deformación unitaria máxima hasta el eje neutro, se evaluará en dirección perpendicular a dicho eje. Cuando la profundidad de la línea neutra medida a partir de la fibra de máxima compresión de la sección cumple la condición. , el factor β1 deberá tomarse como. 0.85 para resistencias características del hormigón hasta 30 MPa. Para resistencias superiores a este valor, β1 se irá disminuyendo uniformemente a una razón de 0.008 por cada MPa de incremento sobre los 30 MPa, aunque sin llegar a ser menor que 0.65. 26.

(29) En resumen:. Cuando la línea neutra se sitúa a una profundidad mayor que. medida a partir de la. fibra de máxima compresión, ya fuera de la sección, se adoptará α = h. Rusch establece que el diagrama para esta etapa no puede responder a los diversos factores que influyen en la resistencia del hormigón sino solo a los que considera más desfavorables: - Edad 28 días - Condiciones de fraguado normales - Combinaciones de carga más desfavorables: de corta duración y sostenidas. Rusch concluye que el Diagrama de Cálculo “no es copia de ninguna distribución real sino un DIAGRAMA IDEALIZADO que reproduce el comportamiento de una sección sometida a esfuerzos normales”, concepto que pueden aplicarse a cualquier diagrama simplificado. El diagrama promovido por el ACI es de amplia aceptación y su validez fue demostrada por Mattock, Kris y Hognestad al comparar sus resultados con ensayos realizados en diferentes países. En este mismo sentido se pronuncian Park y Paulay. 1.2.2 Método de los Estados Límites. Toda estructura debe reunir las condiciones adecuadas de seguridad, funcionabilidad y durabilidad con el objetivo de que pueda cumplir satisfactoriamente el servicio para el que ha sido proyectada. En este trabajo el estudio del comportamiento de las columnas sometidas a cargas de FCB será realizado mediante el Método de los Estados Límites Últimos. Para determinar la resistencia de un elemento sometido a carga axial y momento flector mediante el Método de los Estados Límites (MEL) o de Diseño por resistencia como también se le denomina, el código ACI 318S-02, exige que se satisfagan tres condiciones básicas: a) Equilibrio Estático. A continuación, se presentan las ecuaciones correspondientes.. 27.

(30) Ecuación 1.1 (Respecto al eje y). Ecuación 1.2 (Respecto al eje x). Ecuación 1.3 Donde zx y zy son las proyecciones sobre los ejes del brazo en la resultante del hormigón Cc. b) Compatibilidad de las Deformaciones. A continuación, se presentan las ecuaciones correspondientes al caso más sencillo de 4 barras en las esquinas.. Ecuación 1.4. ILUSTRACIÓN 1.10. DIAGRAMA DE DEFORMACIONES . FUENTE : (HERNÁNDEZ S ANTANA, 2011) 28.

(31) c) Ecuaciones físicas.. Ecuación 1.5 La primera condición exige que las fuerzas de compresión y tracción que actúan en la sección transversal para la resistencia "última" estén en equilibrio, mientras que la segunda condición exige que también se satisfaga la compatibilidad entre las deformaciones del hormigón y de la armadura bajo condiciones "últimas" dentro de las hipótesis de diseño permitidas por el código. El Método de los Estados Límites (MEL) se fundamenta en la obtención de un diseño donde las cargas y las tensiones a las que está sometido el material que se emplee en el elemento a diseñar, así como las deformaciones y desplazamientos que en ella se originan, tanto en el período de construcción como durante su vida útil, estén cerca de los límites permisibles para cada caso, sin llegar a sobrepasarlos. Se denominan Estados Límites a aquellas situaciones tales que, al ser rebasadas, colocan a la estructura fuera de servicio. Los estados límites pueden clasificarse en: . Estados límites últimos: Estado en que se diseña para lograr la resistencia y estabilidad de la estructura, con los valores de cálculo de todas las variables que intervienen (cargas y resistencias).. . Estados límites de utilización: Estado que garantiza el servicio y utilización de la estructura, comprobándose variables como la deformación y la fisuración para los valores característicos, tanto de las cargas como de las resistencias de los materiales.. Coeficientes de mayoración para las cargas. (NC 53-38-1985). 29.

(32) El ACI introduce el Método de Estados Límites pasado un tiempo después de que se diera a conocer, pero lo hizo bajo el nombre de Diseño por Resistencia, en un inicio como método alternativo dentro del Reglamento. La forma en que introduce la SEGURIDAD AL AGOTAMIENTO se fundamenta en la siguiente base de diseño:. Su: Resistencia mínima requerida evaluada a partir de los factores de carga que deben emplearse. Rn: Resistencia nominal evaluada a partir de los valores de resistencia característica de los materiales. ϕ: Factor de reducción de la resistencia. El factor de reducción de la resistencia ϕ toma en cuenta la probabilidad de que la resistencia de un elemento sea menor que la supuesta debido a las variaciones en la resistencia de los materiales, de sus dimensiones, de las imprecisiones de las ecuaciones de diseño, del grado de ductilidad y la confiabilidad requerida del elemento cargado, y la importancia que tenga el elemento dentro de la estructura. La resistencia nominal de un elemento o sección transversal se determina usando las hipótesis y ecuaciones de resistencia del Método de Diseño por Resistencia, antes de aplicar cualquier factor de reducción de la resistencia. La resistencia mínima requerida o solicitación de cálculo se determina al mayorar las cargas o solicitaciones de servicio, aplicando los factores de carga tabulados anteriormente. Los factores de carga incrementan la magnitud de las cargas normalizadas para considerar la probable variación de sus magnitudes respecto de sus valores característicos o de servicio. Las solicitaciones de Servicio obtienen a partir de las cargas especificadas por el código de construcción correspondiente. (Hernández Santana, 2011) Existen otras disposiciones a cumplir para el diseño además de las establecidas por el Método de los Estados Límites como veremos a continuación. La "resistencia nominal" calculada de un elemento debe satisfacer las hipótesis de diseño dadas en el numeral 10.2 del ACI 318S-11 y los requerimientos que exige la Norma Ecuatoriana de la Construcción 2011 (NEC 2011). 30.

(33) Una manera de resolver y analizar la FCB en columnas es determinar una serie de puntos y establecer la forma de la superficie de interacción. Para ello, se asume un eje neutro con una inclinación la cual se desconoce y depende de varios factores como la relación entre las cargas actuantes, las características de la sección, etc. y una distribución de deformaciones en la sección como se muestra en la figura 1.11. Con las deformaciones calculadas según la suposición inicial, se calculan los esfuerzos en el concreto y el acero, sus fuerzas y finalmente por equilibrio se determinan la carga axial y el momento resistente, en X y en Y, de la sección. Este procedimiento se repite iterativamente incrementando progresivamente la inclinación de la línea neutra hasta que los momentos resistentes guarden entre si la misma relación que los actuantes. Este procedimiento se repite considerando otra profundidad del eje neutro hasta obtener el número de puntos suficientes para conformar un diagrama de interacción. Como se puede apreciar, este proceso es laborioso y no es práctico. Para simplificar el diseño se han establecido, a través de los tiempos, métodos matemáticos, analíticos y computacionales mediante por los cuales se puede dar solución a columnas sometidas a FCB.. ILUSTRACIÓN 1.11. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UNA SECCIÓN DE UNA COLUMNA SOMETIDA A FLEXIÓN BIAXIAL . F UENTE : (H ERNÁNDEZ S ANTANA, 2011). 31.

(34) 1.3 Métodos de Diseño. Los métodos de cálculo de secciones en flexo-compresión son los procedimientos a través de los cuales se puede obtener una respuesta tenso-deformacional de la sección frente a las solicitaciones de este tipo. Es decir, dados unos esfuerzos de flexocompresión se trata de obtener las tensiones y deformaciones en todas las fibras o viceversa. (Santana, 2016) La comprobación de una sección de forma cualquiera, con cualquier número y distribución de armaduras, sometida a una solicitación normal (N, Mx, My), o, lo que es lo mismo, a una resultante normal N actuando con excentricidades ex=My/N, ey=Mx/N, referidas a los ejes de la sección, exige determinar la posición del eje neutro y la deformación máxima de la sección. Para ello se usarán las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Estas ecuaciones no pueden expresarse de forma simple en función de las incógnitas del problema, por lo que este no admite solución analítica exacta y hay que recurrir a métodos aproximados. Tales métodos, tanto si son numéricos como si son gráficos, exigen el tanteo de distintas posiciones del eje neutro, siendo el cálculo laborioso resultado conveniente, por ello, su tratamiento mediante ordenador. (Jiménez Montoya, 2000). 1.3.1 Métodos Numéricos. Consiste en encontrar por tanteo una posición del eje neutro tal que, con ella, la carga de agotamiento Nu de la sección tenga excentricidades ex, ey iguales a las de la solicitación mayorada o de cálculo Nd. En la obtención de Nu se utilizan los valores minorados o de cálculo de las resistencias de los materiales. Si se verifica Nd ≤ Nu la sección está en buenas condiciones de seguridad. La precisión y rapidez de estos programas es más que satisfactoria. No obstante, suelen presentar limitaciones en la disposición de la armadura lo que impide usarlos para optimizar el resultado. Así, existen programas para disposiciones prefijadas de armado. (Jiménez Montoya, 2000) 1.3.2 Métodos Analíticos. Los diversos métodos analíticos planteados a continuación surgieron ante la necesidad de simplificación de los métodos numéricos existentes para el diseño de columnas sometidas a FCB debido a la complejidad de estos y a la falta de instrumentos capaces de afrontar los requerimientos computacionales exigidos para las iteraciones de dichos métodos. Los 32.

(35) procedimientos analíticos tienen como elemento común que todos son aproximaciones desde diversos puntos de vista del perfil de la superficie de interacción de la que se pueden calcular las resistencias a flexión biaxial, conocidas las resistencias uniaxiales. Entre estos métodos podemos encontrar:  Método de las Cargas Recíprocas.  Método del Contorno de las Cargas de Bresler.  Método del Contorno de las Cargas del PCA. 1.3.2.1 Método de las Cargas Recíprocas. Un método de diseño simple y aproximado, desarrollado por Bresler, se verificó satisfactoriamente mediante comparación con resultados de gran cantidad de ensayos y cálculos precisos. El Método de las Cargas Recíprocas de Bresler se base en la conformación de una superficie de falla real que denominaremos S2 (Figura 1.12b) la cual es función de la carga axial inversa y de las excentricidades en ambos ejes. Esta superficie se puede simplificar. ampliamente. mediante. aproximación. si. se. consideran. tres. puntos. fundamentales quedando una superficie plana aproximada S΄2 (Figura 1.12b). Los tres puntos que definirán la misma serán: Punto A: ey=0. Existiendo una carga axial Pnyo (correspondiente al Mnyo). Punto B: ex=0. Existiendo una carga axial Pnxo (correspondiente al Mnxo). Punto C: ex=ey=0. Corresponde al inverso de la capacidad de la columna si esta se cargará concéntricamente. Po. Pn =valor aproximado de la carga última en flexión biaxial con excentricidades ex y ey distintas de cero.. 33.

(36) ILUSTRACIÓN 1.12. SUPERFICIES DE INTERACCIÓN PARA EL MÉTODO DE LA CARGA INVERSA. F UENTE : (N ILSON , 1999) Los valores Pnxo y Pnyo se determinarán para excentricidades conocidas de la carga aplicada a determinada columna, utilizando métodos simples establecidos para la flexión. Para cualquier combinación de ex y ey o punto de la superficie S2 existe un plano correspondiente S΄2. Por lo que la aproximación realizada incluye una cantidad infinita de planos S΄2 determinados mediante pares de valores particulares de ex y ey traducidos en los puntos A, B y C.. Ecuación 1.6 Para una situación común de diseño en que se dan las dimensiones y el refuerzo y las excentricidades de la carga, las cargas últimas ϕPnxo, ϕPnyo y ϕPo, pueden encontrarse mediante cálculos o a partir de gráficos de diseño. Entonces es posible calcular 1/ϕPn a partir de la ecuación (1.6), y de allí se puede obtener ϕPn. El requisito de diseño consiste en que la carga mayorada Pu, no debe exceder ϕPn. (Nilson, 1999). 1.3.2.2 Método del Contorno de las Cargas de Bresler. El método del contorno de la carga se basa en la representación de la superficie de falla de los diagramas de interacción tridimensionales que serán detallados más adelante, mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de Pn. La forma 34.

(37) general de estas curvas puede aproximarse mediante una ecuación de interacción adimensional:. Ecuación 1.6 Mnx=Pn*ey Mnxo=Mnx cuando Mny=0 Mny=Pn*ex Mnyo=Mny cuando Mnx=0 α1 y α2 son exponentes que dependen de las dimensiones de la columna, de la cantidad y distribución del acero de refuerzo, de las características esfuerzo-deformación unitaria del acero y del concreto, del recubrimiento de concreto y del tamaño de los cercos o espirales. Cuando las características mencionadas anteriormente son simétricas respecto a los dos ejes α1=α2=α y las formas de los contornos quedan como los de la figura 1.13.. Ecuación 1.7. ILUSTRACIÓN 1.13. CONTORNO DE INTERACCIÓN PARA VALORES CONSTANTES DE PN Y DIFERENTES VALORES DE ALFA. F UENTE : (N ILSON , 1999). 35.

(38) Los coeficientes ϕ del código ACI para reducir los componentes de la ecuación 1.6 a resistencias de diseño contribuyen a conformar una nueva superficie de falla, similar a la original pero dentro de ésta. (Hernández Santana, 2013) En la práctica se conocen los valores de Pu, Mux y Muy a partir del análisis de la estructura. Para una sección de columna tentativa, los valores de ϕMnxo y ϕMnyo correspondientes a la carga Pu pueden encontrase fácilmente mediante los métodos usuales para flexión uniaxial. Luego, remplazando a ϕMnx con ϕMux y a ϕMny con ϕMuy en la ecuación (1.6) o, como alternativa, dibujando Mux y Muy en la figura 1.13, se puede confirmar que una combinación particular de momentos mayorados cae dentro del contorno de carga (diseño seguro) o por fuera del contorno (falla) y es posible entonces modificar el diseño si es necesario. (Nilson, 1999) 1.3.2.3 Método de Contorno de las Cargas del PCA El enfoque de la PCA descrito a continuación fue desarrollado como una extensión o ampliación del Método del Contorno de las Cargas de Bresler. Se eligió la ecuación de interacción de Bresler [Ecuación (1.7)] como el método más viable en términos de exactitud, practicidad y potencial de simplificación. Entre los aportes de este método está el establecimiento de un punto en el contorno de la carga en el cual las resistencias nominales al momento biaxial Mnx y Mny tienen la misma relación que las resistencias al momento uniaxial Mnox y Mnoy y a su vez son iguales a β (Figura 1.13). (Juan Alfonso, 2013). Ecuación 1.8 Tal y como se realiza en el Método del Contorno de la Carga en este caso también se grafica en términos de parámetros adimensionales por lo que la intersección formada por los planos de Pn/Po constante y la superficie tridimensional se puede considerar simétrica respecto al plano vertical que bisecta los dos planos coordenados para propósitos de diseño. (Juan Alfonso, 2013). 36.

(39) Se plantea que el coeficiente α caracterizado durante el epígrafe de Método del Contorno de la Carga oscila entre 1.15 y 1.55 y que α=1.5 es un valor apropiado para secciones rectangulares o cuadradas con refuerzo distribuido. (Hernández Santana, 2005) Al generarse múltiples contornos de cargas adimensionales para Pn/Po entre 0 y 1 se crea una superficie de falla que representa con claridad la connotación del término β, que depende únicamente de la relación Pn/Po. La PCA propone ábacos para obtener los valores de β, que dependen de las dimensiones de la sección, la cuantía mecánica y la resistencia del acero. En la figura 1.14 se exponen algunos de estos gráficos. Además puede demostrarse entonces que:. Ecuación 1.9 Por lo que la ecuación 1.7 para la comprobación de la resistencia quedará como:. Ecuación 1.10. 37.

(40) ILUSTRACIÓN 1.14. CONSTANTE BETA PARA SECCIONES A FLEXO -COMPRESIÓN BIAXIAL . FUENTE : (H ERNÁNDEZ S ANTANA, 2005). Para simplificar el diseño, en la Figura 1.15 se grafican las curvas generadas por la Ecuación (1.10) para nueve valores de β. Observar que cuando β = 0,5 (su límite inferior), la Ecuación (1.10) es una recta que une los puntos en los cuales los momentos relativos son iguales a 1,0 a lo largo de los planos coordenados. Cuando β = 1,0 (su límite superior), la Ecuación (1.10) toma la forma de dos rectas, cada una de ellas paralela a uno de los planos coordenados.. ILUSTRACIÓN 1.15. R ELACIÓN DE RESISTENCIA DE MOMENTO BIAXIAL Y UNIAXIAL . FUENTE : (JUAN ALFONSO , 2013).. ILUSTRACIÓN ADIMENSIONAL .. 1.16. APROXIMACIÓN BILINEAL FUENTE : (JUAN ALFONSO , 2013). 38. DE. UN. CONTORNO. DE. CARGA.

(41) Por simples consideraciones geométricas se puede demostrar que la ecuación de la recta superior es:. Ecuación 1.11 Que por conveniencia se puede escribir como:. Ecuación 1.12 Las ecuaciones de la recta inferior son:. Ecuación 1.13 ó Ecuación 1.14 Según PARME para las secciones rectangulares con armadura simétrica en todas sus caras:. Por lo que las ecuaciones 1.11 y 1.13 se pueden escribir de la siguiente forma respectivamente:. Ecuación 1.15 En las ecuaciones de diseño (1.11) y (1.13), se debe seleccionar la relación b/h ó h/b y se debe suponer el valor de β. Para las columnas poco cargadas β generalmente variará 39.

(42) entre 0,55 y alrededor de 0,70. Por lo tanto, en general una buena opción para iniciar un análisis de flexión biaxial consiste en tomar un valor de β igual a 0,65. (Alfonso, 2013) El proceso de cálculo, comprobación de la resistencia para las cargas y momentos de cálculo (Pu, Mux y Muy), consistirá entonces en: 1. Establecer la sección de la columna. 2. Calcular los valores de Po, Mnox, Mnoy y β. Obtenidos considerando flexo-compresión recta. 3. Comprobar para la combinación de cargas actuante el cumplimiento de la ecuación 8. En la aplicación de este procedimiento uno de los aspectos más complicados está en la estimación del coeficiente de seguridad, que permita establecer las relaciones: Pu = Pn Mux = Mnx Muy = Mny Antes de las modificaciones impuestas por la versión del código del ACI 318 en el 2002, el problema se resolvía con sencillez pues era posible plantear que:. Y como  era prácticamente constante en toda la sección entonces la expresión se simplificaba a lo establecido en la ecuación 1.10. Como, a partir de ACI 318-2002,  es variable en función de la deformación del acero más traccionado, surge una dificultad, ya que para cargas menores que la balanceada la simplificación expuesta no puede aplicarse pues este coeficiente es diferente para la sección bajo flexo-compresión recta, cuando actúan Muox y Muoy, a cuando se presenta la flexo-compresión esviada y actúan Mux y Muy. Sin embargo en los Manuales del ACI para el diseño de columnas, SP-17-09-07 (Everard 2007) se sugiere que “Para el diseño, si cada término de la ecuación (1.7) se multiplica por  la ecuación no cambiará. Entonces Mux, Muy, Muox y Muoy pueden hacerse 40.