Enseñanza del teorema central del límite (Versión Linderberg Levy) desde una contextualización y recontextualización

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(1)UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA. ENSEÑANZA DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE (VERSIÓN LINDEBERG-LEVY) DESDE UNA CONTEXTUALIZACIÓN, DESCONTEXTUALIZACIÓN Y RECONTEXTUALIZACIÓN. Tesis de Maestrı́a Anghela Marı́a Maya Espinosa Pereira, 2015.

(2) UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA. ENSEÑANZA DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE (VERSIÓN LINDEBERG-LEVY) DESDE UNA CONTEXTUALIZACIÓN, DESCONTEXTUALIZACIÓN Y RECONTEXTUALIZACIÓN. Tesis de Maestrı́a realizada por: Anghela Marı́a Maya Espinosa. Bajo la dirección y el asesoramiento del profesor Magister Jhon Jairo León Salazar. Pereira, 2015.

(3) DEDICATORIA Este trabajo de tesis es dedicado principalmente a Dios, mi creador y señor, quien me ha bendecido a lo largo de mi vida, quien me dió fortaleza y sabidurı́a para culminar esta etapa de mi vida.. A mi madre Yolanda Espinosa, por su amor infinito, su paciencia en momentos de estrés y por su apoyo incondicional para hacer de este sueño realidad.. A mi bebé que viene en camino y que ahora hace parte activa de la culminación de mis estudios y desde ya, es mi motor para conseguir nuevas metas.. A mi esposo Juan Miguel Agudelo por su paciencia durante estos años de estudio, que hicieron más cortos nuestros momentos juntos y por sus palabras de motivación para alcanzar la meta propuesta.. A mis hermanos, sobrinos y especialmente a mi abuelita Marina Isasa, mi tı́a Amparo y a mis primas Vanessa y Marı́a José por estar en cada uno de esos momentos maravillosos y difı́ciles de este camino en busca del conocimiento.. A mis amigas Sandra Lucı́a, Lourdes, Ana Lucı́a y Teresita, que de una u otra manera hicieron parte de este gran proyecto de vida, brindándome su apoyo emocional, espiritual y académico..

(4) AGRADECIMIENTOS En el presente trabajo me gustarı́a agradecer a mi director de tesis Jhon Jairo León quien me aportó su conocimiento y experiencia en mi trabajo de tesis para culminar mis estudios con éxito.. A los profesores que me enseñaron en la maestrı́a, ya que fueron parte de mi formación profesional, especialmente al profesor José Rubiel y Eliecer Aldana quienes dedicaron parte de su tiempo para guiarme y darme algunos consejos en la elaboración de la tesis.. A mis compañeros con los que pude vivir grandes momentos de alegrı́a y de dificultades, especialmente a Ana Lucı́a, Jhon Faber y Andrés Mauricio con los que compartı́ largas jornadas de estudios que llevaron a crear lazos de amistad.. Finalmente al director de la maestrı́a Rodrigo, a su secretaria Marisol y al personal de la Universidad que hicieron parte directa o indirecta para alcanzar el sueño de ser magı́ster en la Enseñanza de las matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira..

(5) Resumen. En este trabajo se diseño una estrategia de enseñanza, del teorema central del lı́mite, dirigido a estudiantes universitarios, que fue estructurado desde un proceso cı́clico de enseñanza, que considera tres fases: contextualización, descontextualización y recontextualización.. En la fase de contextualización se desarrollan actividades con material concreto, que inducen a inferir algunas propiedades de el teorema central del lı́mite.. En la fase de descontextualización, se realiza una reseña histórica del teorema y la demostración de la la versión Lindeberg-Lèvy, desde la función caracterı́stica.. En la fase de recontextualización, se hace la comprobación de algunas propiedades del teorema central del lı́mite, se utiliza la simulación de una población, para generar muestras en las que se realice inferencias de la media poblacional y se desarrolla un cuestionario que permita afianzar los conocimientos adquiridos sobre el teorema..

(6) Índice general. 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 1. 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Importancia del teorema central del lı́mite en la estadı́stica. 3. . . . . . .. 1.3. Investigaciones sobre la enseñanza y comprensión del teorema central lı́mite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3.1. Enseñanza del teorema central del lı́mite a estudiantes universitarios. 5. 1.3.2. Enseñanza y comprensión de la distribución normal. . . . . . . .. 6. 1.4. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.5. Objetivos del trabajo de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.5.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.5.2. Objetivos Especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.6. Metodologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2. MARCO TEÓRICO. 12. 2.1. Contextualización, descontextualización y recontextualización . . . . .. i. 12.

(7) ÍNDICE GENERAL. ii. 2.1.1. Ciclos de secuencia de enseñanza de las matemáticas: . . . . . .. 13. 2.2. Reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.3. Consideraciones sobre el Teorema Central del Lı́mite . . . . . . . . . .. 17. 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 24. 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.2. Fase de contextualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.2.1. Actividades Propuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.2.2. Actividad No.1: Lanzamiento de un dado . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.2.3. Actividad No.2: Extracción de balotas . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.2.4. Actividad No.3: Lanzar un dado y obtener un 3 . . . . . . . . .. 43. 3.3. Fase de descontextualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 3.4. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 3.4.1. Una propiedad de la esperanza matemática . . . . . . . . . . . .. 55. 3.4.2. La función caracterı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 3.4.3. Convergencia en distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 3.4.4. Teorema de continuidad de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 3.5. Teorema de Lindeberg-Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.6. Fase de recontextualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 3.6.1. Actividad No.1: Medidas de resumen . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 3.6.2. Actividad No.2: Estandarización de datos . . . . . . . . . . . . .. 60.

(8) ÍNDICE GENERAL. iii. 3.6.3. Actividad No.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 3.6.4. Actividad No.4: Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 4. CONCLUSIONES. 81.

(9) Capı́tulo 1 FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 1.1.. Introducción. Para Polya en su libro, “Cómo plantear y resolver problemas”: Un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello. (Polya 1944) En este trabajo se diseño una estrategia de enseñanza, dirigido a estudiantes universitarios, siguiendo un proceso cı́clico en la enseñanza del Teorema Central del Lı́mite. Para que se genere este proceso cı́clico según Nuria Planas, el conocimiento. 1.

(10) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 2. matemático tiene que construirse primero en un contexto particular (contextualización) que tenga sentido para el alumnado y del que después pueda hacerse un proceso de distanciamiento (descontextualización) para, más tarde, aplicar este conocimiento en una situación distinta de la inicial (recontextualización), de acuerdo con (Font 2007).. En esta estrategia se reunieron algunos aspectos que hacen que el teorema central del lı́mite esté más al alcance de los estudiantes, a través de los siguientes pasos: en un primer momento, la realización de algunos ejercicios con material manipulable 1 (dados, balotas de colores, hoja de Excel, programa estadı́stico) que conduzcan a la inferencia de algunas implicaciones del teorema, (contextualización); en un segundo momento, el desarrollo de la parte histórica que nos muestra la evolución del teorema y demostración de la versión Lindeberg-Lèvy de una manera más didáctica (descontextualización); y en un tercer momento, retomar los ejercicios de contextualización, tomando los datos y estandarizandolos para mostrar como su media es cero y su varianza uno, como lo indica el teorema en su versión Lindeberg - Lévy. También se mostrará a través de una selección de libros de texto y trabajos de investigación, algunas aplicaciones utilizadas en la enseñanza del Teorema Central del Lı́mite y algunos ejercicios de simulación con el oredenador (recontextualización). Todo esto apuntando a que este trabajo sirva como herramienta a docentes universitarios en la enseñanza de tan importante teorema de la estadı́stica inferencial. 1. El material manipulable es aquel que sirve como referente concreto para la enseñanza de conceptos. abstractos..

(11) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 1.2.. 3. Importancia del teorema central del lı́mite en la estadı́stica. Para generar este trabajo se tuvo en cuenta investigaciones relacionadas con la enseñanza del teorema central del lı́mite, especialmente aquellas que hacen referencia a la enseñanza de éste utilizando material manipulable, el uso de ordenadores y actividades que se salen de lo magistral o tradicional en su enseñanza. Es importante aclarar, que las investigaciones realizadas sobre la enseñanza del teorema del lı́mite central son pocas, a pesar de su gran importancia en la estadı́stica. En Colombia estas investigaciones son aún más escasas o nulas en cuanto al proceso de enseñanza de este teorema. Se han encontrado investigaciones que sirven de referente a este trabajo como lo es la investigación de (Alvarado 2007), sobre los significados institucionales o personales del teorema en la enseñanza a ingenieros, (Alvarado Martı́nez 2012) sobre las dificultades de la comprensión del teorema, (Méndez 1991) sobre los conceptos y procedimientos implı́citos en el teorema central del lı́mite y su comprensión, (Inzunsa et al. 2008) en un trabajo sobre la comprensión de las implicaciones del teorema central del lı́mite; y la investigación de (Tauber 2001) sobre la comprensión de la distribución normal.. 1.3.. Investigaciones. sobre. la. enseñanza. y. comprensión del teorema central lı́mite En su trabajo (Méndez 1991) hace un estudio de 10 libros de estadı́stica identificando cuatro objetivos que los estudiantes deben lograr para tener una buena comprensión del teorema: La media de la distribución muestral es igual a la media de la población, e igual.

(12) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 4. a la media de una muestra cuando el tamaño de la muestra tiende a ser grande. La varianza de la distribución muestral es menor que la de la población (cuando n > 1). La forma de la distribución muestral tiende a ser acampanada a medida que se incrementa el tamaño muestral y es aproximadamente normal, independientemente de la forma de la distribución en la población. La forma de la distribución muestral crece en altura y decrece en dispersión a medida que el tamaño muestral crece.. A su vez, realiza un modelo a través de un mapa conceptual con los conocimientos implı́citos al teorema teniendo en cuenta estas cuatro propiedades, que le sirven como referente para llevar a cabo la investigación de la comprensión del teorema en dos niveles. En el primer nivel se tiene en cuenta las habilidades y conocimientos que deben tener los estudiantes para resolver los ejercicios presentes en los libros, en el segundo nivel está definido por aspectos adicionales que generalmente no se encuentran en los libros. Igualmente (Alvarado Martı́nez 2012) se interesan por la comprensión teórica y práctica del teorema central del lı́mite a partir de las dificultades que tienen los estudiantes para la comprensión de este. Subrayan que en varias investigaciones se habla de la falta de comprensión de los estudiantes sobre el efecto que tiene el tamaño de la muestra en la variabilidad de la distribución muestral y la confusión que tienen entre la media como parámetro y como estadı́stico. Además destacan, que en los textos consultados por los estudiantes, no hay generalmente concordancia respecto a la escogencia del tamaño de la muestra, lo que lleva a estos a la utilización de manera errada del teorema central del lı́mite. El trabajo de estos autores esta direccionado hacia la comprensión del significado de un objeto, en este caso el objeto es el teorema central del lı́mite, el cual surge al estimar la distribución muestral de la media (estadı́stco) de la muestra, la aproximación de la distribución y su relación con su inferencia estadı́stica. Los autores implementan.

(13) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 5. las configuraciones computacionales y algebraicas ayudando a mejorar la enseñanza y brindando herramientas a los docentes para unas buenas prácticas en el aula.. 1.3.1.. Enseñanza del teorema central del lı́mite a estudiantes universitarios. Como se mencionó anteriormente, son pocas las investigaciones relacionadas con la enseñanza del teorema central del lı́mite, pero el trabajo realizado por (Alvarado 2007) sobre el significado institucional y personal del teorema es uno de los pocos que realiza un estudio sobre la enseñanza de éste, ejecutado con estudiantes universitarios de ingenierı́a. El trabajo de investigación de (Alvarado 2007) está realizado bajo el enfoque ontosemiótico de Godino, presentado en tres partes fundamentales: Análisis del significado del teorema central del lı́mite desde una muestra de libros universitarios. Según (Alvarado 2007) sirve como pauta para diseñar el proceso de estudio, construcción de los instrumentos de evaluación y la interpretación de las respuestas de los alumnos. Análisis y diseño de un proceso de estudio sobre el teorema central del lı́mite, donde se tiene en cuenta tres posibles tipos de configuraciones epistémicas: manipulativa, algebraica y computacional. Evaluación con los estudiantes, mediante cuestionarios, en el que se aprecia la capacidad de los estudiantes de reconocer y resolver mediante procedimientos correctos las situaciones prácticas ligadas al teorema, uso correcto del lenguaje, comprensión de enunciados y propiedades y capacidad de argumentación..

(14) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 1.3.2.. 6. Enseñanza y comprensión de la distribución normal.. Según (Alvarado 2007), la investigación de (Tauber 2001) sobre la distribución normal es un trabajo muy importante ya que el teorema central del lı́mite explica el uso generalizado de la distribución normal. En este trabajo (Tauber 2001) realiza un estudio novedoso desde la enseñanza aprendizaje de la distribución normal dando un aportante importante sobre el significado institucional de la distribución normal en los textos universitarios y con el diseño de una secuencia didáctica basada en el uso del ordenador, que da herramientas a los profesores brindándoles información sobre el trabajo con este, pero además presenta las ventajas y desventajas de incorporar este recursos didáctico en sus clase.. 1.4.. Planteamiento del problema. Un objeto de creciente preocupación en la educación matemática es investigar acerca del significado, comprensión y aplicación de conceptos estocásticos en todos los niveles educacionales (Alvarado 2007). En el caso particular de la enseñanza de la estadı́stica en la universidad, uno de los problemas didácticos principales es la enseñanza de la inferencia (Moore 1998); (Artigue, Batanero y Kent, 2007).. El teorema central del lı́mite brinda herramientas metodológicas para comprender y aplicar adecuadamente los diferentes métodos de inferencia estadı́stica, pero muy a menudo, se pone más énfasis en una base matemática que en lo práctico o en las inferencias que pueden realizarse de acuerdo al contexto dentro del que se debieran recolectar los datos. A lo anterior se le puede adherir, las bajas intensidades horarias en la asignatura de estadı́stica dentro de los plan de estudio en la gran mayorı́a de las carreras universitarias. Clases meramente tradicionales en las que se realizan solamente.

(15) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 7. problemas con desarrollo algebraico y demostraciones de teoremas, sin trascender al manejo de aplicaciones de su entorno.. Entre los conceptos más valiosos de la teorı́a estadı́stica, está el teorema central del lı́mite, el cual presenta dificultades propias en su enseñanza, dado que el teorema es abordado de manera rápida y superficial. Al enunciar el teorema de forma rigurosa, se requerirı́a de conceptos previos como población, muestra, variable aleatoria, medidas de tendencia central, medidas de posición, variabilidad, distribución de probabilidad y convergencia en probabilidad.. Se podrı́a decir que el teorema central del lı́mite no es enseñado, sino enunciado para poder utilizar la estandarización y como consecuencia, poder usar las tablas que se encuentran en los libros, y ası́ poder resolver problemas sobre probabilidad, que generalmente toman como referente, que el tamaño de la muestra debe ser n ≥ 30 para poder estandarizar.. Parte de esta problemática se ve reflejada en (Alvarado 2007), donde la comprensión del teorema central del lı́mite y sus implicación sobre las distribuciones muestrales, es un tema en el que se han descrito dificultades por parte de los estudiantes quienes no perciben el efecto del tamaño de la muestra en la variabilidad (Méndez 1991) o no comprenden que la esperanza matemática de las distribuciones muestrales depende del valor del parámetro desconocido en la población (Vallecillos 1996), (Vallecillos 1999).. Es por esto, que este trabajo presenta una herramienta para profesores en la enseñanza del teorema central del lı́mite, de tal manera que el proceso de enseñanza no sólo lleve a memorizar el teorema y a dar respuestas correctas a ejercicios planteados, sino que.

(16) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 8. ante todo se pueda discutir y cuestionar el desarrollo de alternativas a aplicaciones relacionadas con sus entornos.. 1.5. 1.5.1. Diseñar. Objetivos del trabajo de investigación Objetivo General una. estrategia. de. enseñanza. del. Teorema. Central. del. lı́mite (Versión Lindeberg-Lèvy) desde una contextualización, descontextualización y recontextualización, que sirva como herramienta a profesores universitarios.. 1.5.2.. Objetivos Especı́ficos. CONTEXTUALIZACIÓN Buscar algunos estudios en Inferencia Estadı́stica, realizados por docentes universitarios, donde hayan utilizado el Teorema Central del Lı́mite, para comprender el contexto de aplicación. Seleccionar y adaptar ejercicios que se puedan realizar con material manipulable, que lleven a la inferencia de las implicaciones del Teorema Central del Lı́mite.. DESCONTEXTUALIZACIÓN Realizar una revisión histórica y cronológica del Teorema Central del Lı́mite. Describir, analizar y demostrar el Teorema Central del Lı́mite desde la versión Lindeberg-Lèvy..

(17) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 9. RECONTEXTUALIZACIÓN Mostrar el cumplimientos de la versión Lindeberg-Lèvy por medio de la estandarización de los datos recolectados en las fase de contextualización Mostrar a través de una selección de libros de texto y trabajos de investigación, algunas aplicaciones que sirvan en la enseñanza del Teorema Central del Lı́mite. Implementación de ejercicios de simulación con programas de computador.. 1.6.. Metodologı́a. Esta tesis aborda una estrategia de enseñanza del teorema central del lı́mite, para una clase de pregrado introductoria en estadı́stica. Esta estrategia se realiza teniendo en cuenta un proceso cı́clico en la enseñanza matemática de contextualización, descontextualización y recontextualización, que fue adaptada al teorema central del lı́mite. En la fase de contextualización se realizan cuatro actividades. En las primeras tres, se requiere que el estudiante realice el muestreo y los histogramas de la distribución de las medias, lo que le permite de una manera muy sencilla, asimilar cómo la distribución muestral de medias converge a la normal. En la cuarta actividad se plantean tres preguntas, que conducirán a que los estudiantes infieran algunas implicaciones del teorema central del lı́mite. En la fase de descontextualización, se presenta el teorema a los estudiantes desde la versión Lindeberg-Lévy y se realiza la demostración con la función caracterı́stica, lo que la hace valiosa desde el punto de vista didáctico, al aprovechar los conceptos previos en estadı́stica y en cálculo, y al ser propuesta en tres parte que serán guiadas por el profesor para su resolución con los estudiantes..

(18) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 10. En la fase de descontextualización, se realizan cuatro actividades. En estas, se aprovecha el hecho de conocer a profundidad el teorema y su demostración. En la primera actividad se realizan pruebas sencillas de normalidad desde las medidas de resumen, como lo son la igualdad de la media, mediana y moda, a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El cómo, la simetrı́a y curtosis tienden a acercarse a cero. También se puede observar desde estas medidas que la variabilidad de la distribución de la media se hace cada vez más pequeña y que la media muestral tiende a la media poblacional. En la segunda actividad, se realiza un trabajo muy bonito con las medias obtenidas de la tercera actividad de contextualización. Se cogen estas medias, se estandarizan y gráficamente se logra hacer una aproximación, que muestra el porqué de la media cero y desviación estándar uno, lo cual le permitirá al estudiante hacer con mayor comodidad los ejercicios de probabilidad propuestos por los libros y poder usar las tablas de la normal estándar. En la tercera actividad se plantea un ejercicio con una variable aleatoria continua de tipo exponencial. Se entrega a los estudiantes muestras extraı́das de una población exponencial, para que hallen, las medidas de resumen, la prueba Shapiro-Wilks, el histograma y el grafico Q-Q plot para cada una de las muestras. Este ejercicio busca que además de pruebas sencillas de normalidad, cómo nos lo permiten las medidas de resumen, se realice un prueba de Shapiro-Wilks tomando como supuesto de normalidad p > 0, 05. Se realiza la observación de los gráficos Q-Q plot y se nota, cómo a medida que aumenta el tamaño de la muestra, el cuantil central coincide con la media poblacional. Además se realiza un ejercicio muy valioso y poco visto en los texto, que consiste en que el estudiante por medio del muestreo infiera la media poblacional. Después de realizado esto, se mostrará al grupo de estudiante.

(19) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN DEL ESTUDIO. 11. la media poblacional, el histograma de esa población y el gráfico Q-Q plot. También se hace énfasis en la asimetrı́a y como realmente esta, influye en la convergencia a la normal. Finalmente en la cuarta actividad se plantean una serie de ejercicios tomados de investigaciones realizadas con estudiantes o profesores universitarios que permiten el afianzamiento del teorema central del lı́mite antes de utilizarlos para resolver ejercicios de probabilidad convencionales..

(20) Capı́tulo 2 MARCO TEÓRICO. 2.1.. Contextualización,. descontextualización. y. recontextualización Estar muy bien informado sobre las matemáticas es, sin duda, una condición ineludible para ser profesor de esta materia, pero para ser capaz de dar el paso “de la información a la formación” se requieren más elementos (Planas 2009). En el caso particular del Teorema Central del Lı́mite los docentes pueden tener un buen manejo del teorema y de sus elementos implı́citos desde un carácter formal, pero se hace necesario que el docente además del “saber sabio”1 , deba seleccionar, reconstruir, simplificar y ejemplificar este contenido, de tal forma que sea comprensible para sus alumnos y que los conduzca no sólo a ocuparse de los contenidos sino también de los procesos matemáticos que den aplicabilidad a estos contenidos.. En este orden de ideas, se hace necesario tener en cuenta lo que es una buena práctica de 1. El saber sabio es denominado conocimiento cientı́fico.. 12.

(21) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 13. enseñanza. En el libro “Educación Matemática y Buenas Prácticas” de (Planas 2009), una buena práctica de enseñanza se da cuando alumnos y profesores construyen, por medio de conversaciones a cerca de actividades contextualizadas que son cognitivamente estimulantes, conexiones entre el lenguaje escolar y el lenguaje cotidiano. Estos autores, en su libro, entienden la educación matemática como un proceso cı́clico de relación con el conocimiento por medio de las fases de contextualización, descontextualización y recontextualización, donde el aprendizaje está a su vez involucrado en las fases de cognición, metacognición y revisión de la cognición.. Teniendo en cuenta que este trabajo se centra únicamente en la enseñanza del teorema central de lı́mite, este se enfocará, en lo que los autores manifiestan en las fases de contextualización, descontextualización y recontextualización.. 2.1.1.. Ciclos de secuencia de enseñanza de las matemáticas:. Fase de contextualización: Enseñanza de un contenido matemático en un contexto de aplicación cercano a entornos de experiencia del alumnado. Fase de descontextualización: Enseñanza del contenido matemático anterior por medio del descubrimiento de estructuras generalizables ajenas a los contextos de uso. Fase de recontextualización: Enseñanza del contenido matemático anterior por medio de su reconocimiento y aplicación en situaciones no ejemplificadas previamente.. Dentro del ciclo relativo a la enseñanza, la fase de contextualización responde a una visión global del conocimiento situado en entornos de prácticas. En este sentido, es.

(22) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 14. mucho más que el planteamiento de enunciados verbales contextualizados y el esfuerzo por la simulación de contextos reales. La fase de descontextualización tiene que ver con el desarrollo de una comprensión de la matemática como materia individual con un lenguaje propio, junto con la comprensión de habilidades y actitudes generales relacionadas con esta materia. La fase de recontextualización es de algún modo una fase de “desaprendizaje”, puesto que requiere el distanciamiento respecto de un contexto para poder volver a ubicar un cierto conocimiento matemático en otro contexto.. 2.2.. Reseña histórica. Se mostrará en esta sección un breve recorrido por la teorı́a de la probabilidad y los problemas que originaron al teorema desde su primera forma simple a su forma actual. Veamos entonces, que la teorı́a de la probabilidad surgió en el siglo XV II en Francia, cuando los reconocidos matemáticos Pierre de Fermat y Blaise Pascal comenzaron a interesarse en los juegos de azar, a raı́z de lo cual muchos matemáticos de la época empezaron a introducirse en el tema, entre ellos Abraham de Moivre, Chistiaan Huygens y Jacob Bernoulli. Ası́ fue como se fundó definitivamente lo que hoy se conoce como Teorı́a de la Probabilidad. Introduzcámonos entonces, en el tema de interés “el teorema central del lı́mite”. Hay que aclarar que la denominación Teorema Central del Lı́mite, es relativamente reciente. Fue utilizada por primera vez en 1920 por George Polya en uno de sus artı́culos. El término “central” significa “fundamental” o de “importancia central”. Su primera aparición, en su versión más sencilla, se produjo en 1718. Distintos autores han encontrado fórmulas de cálculo para la distribución binomial y otras distribuciones discretas, en las que intervienen los términos factoriales, un problema es que, al aumentar el valor de n, estos términos crecen muy rápidamente, por lo que el cálculo de las probabilidades de los valores de la variable en las distribuciones exactas es demasiado.

(23) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 15. laborioso, incluso hoy dı́a. Esto llevó a distintos matemáticos a tratar de encontrar valores aproximados de estas probabilidades para valores de n grandes y a estudiar las condiciones en que estas aproximaciones podrı́an utilizarse con un error acotado. Según Xiuyu (2003), la mayor contribución que dió De Moivre (1667-1754) en el desarrollo histórico del teorema central del lı́mite es lo que llamamos hoy la aproximación a la distribución binomial por la normal. De Moivre primero publicó comentarios sobre este tópico en 1730 en su “Miscellanea Analytica”. Los resultados finales aparecieron en su “The Doctrine of chances”(1733), donde mostró (en notación moderna) que: n x Si X ∼ B(n, p), con función de probabilidad P (x) = p (1 − p)n−x , entonces, para x valores grandes de n, X sigue una distribución aproximadamente N (µ, σ) donde µ = np √ y σ = npq; es decir la variable. x − np Z= √ npq sigue una distribución N (0, 1). En realidad, De Moivre notó que cuando el número de repeticiones de un experimento, por ejemplo, (el que consiste en lanzar una moneda) aumentaba, la forma de la correspondiente distribución binomial se aproximaba a una curva suave. Entonces razonó que si podı́a encontrar una expresión matemática para esta curva, podrı́a resolver problemas (como por ejemplo, calcular la probabilidad de obtener 90 caras en 150 lanzamientos) de manera mucho más fácil. Esto es lo que hizo y esta curva es la que hoy llamamos curva normal. En 1809 Gauss desarrolló la fórmula de la distribución normal y mostró que la distribución de los errores cometidos en las observaciones astronómicas, se adaptaba perfectamente a ella. Más tarde, alrededor de 1810, Pierre Simon, marqués de Laplace,.

(24) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 16. mostró que bajo condiciones casi siempre alcanzadas en la práctica cualquier suma de un número considerable de variables aleatorias mutuamente independientes e idénticamente distribuidas puede aproximarse por una normal. De esta manera, Laplace generalizó el resultado de De Moivre. En su “Théorie analytique des probabilités” que publicó en 1812, dejó enunciadas las bases del teorema, ya que, aunque nunca lo formuló en su forma más general, se deduce del mismo método utilizado en cada una de las aplicaciones. Además, logró demostrarlo para distribuciones discretas cualesquiera y para ciertas distribuciones continuas, pero no realizó ninguna prueba rigurosa que lo hiciera válido para distribuciones arbitrarias. Los pasos siguientes hacia la formalización del teorema los dio Siméon Denis Poisson en 1824, quien mejoró y generalizó la demostración de Laplace. Poisson realizó la prueba para variables independientes e idénticamente distribuidas, primero para una suma y luego para una combinación lineal. Lo siguieron Johann Dirichlet, Friedrich Bessel y Louis Cauchy, quienes dieron distintas pruebas para los resultados ya establecidos. Por su parte, Cauchy lo conectó con una forma más abstracta y con una perspectiva más moderna de la teorı́a de errores, dándole ası́ más relevancia en el campo matemático. Sin embargo, las demostraciones realizadas por todos estos matemáticos, si bien importantes, eran insatisfactorias en tres aspectos. En primer lugar, faltaba demostrar el teorema para distribuciones arbitrarias, o sea, el caso más general. Segundo, se deseaba determinar condiciones necesarias y suficientes generales para las cuales fuera posible aproximar por una normal. Y tercero, determinar el orden de convergencia de la suma, es decir, cuántas variables debı́an sumarse para obtener una aproximación considerablemente buena. Estos interrogantes fueron resueltos por matemáticos rusos entre 1870 y 1910. Los más importantes fueron Pafnuty Chebyshev, Andrei Markov y Aleksandr Mikhailovich Lyapunov. Chebyshev y Markov intentaron demostrarlo utilizando el denominado método de los momentos. Sin embargo, fue necesario esperar hasta 1901 cuando Lyapunov, alumno de Chebyshev y compañero de Markov, dio la primera demostración completa mediante funciones caracterı́sticas,.

(25) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 17. que sólo establecı́a condiciones suficientes. Estas se conocen como Condiciones de Lyapunov. Este matemático, además de la demostración del teorema, en 1923 propuso una cota superior del error cometido al substituir una determinada distribución por una distribución normal (el tercero de los problemas por resolver). Finalmente, en 1922, J. W. Lindeberg estableció una condición suficiente para la cual es válida la aproximación de la suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas por una variable aleatoria normal. La condición de Lindeberg es más general que las condiciones de Lyapunov. De cualquier manera, la demostración de Lindeberg del teorema, a pesar de ser directa, es muy engorrosa. Se simplifica muchı́simo mediante el uso de funciones caracterı́sticas, idea que debemos a Paul Lèvy. Nuestro recorrido por la historia del Teorema Central del Lı́mite termina al llegar al año 1937 cuando William Feller demostró las condiciones necesarias para su cumplimiento. Ası́ se resolvieron los tres problemas que habı́an quedado pendientes hacia fines del siglo XIX.. 2.3.. Consideraciones sobre el Teorema Central del Lı́mite. Según Humberto Mayorga, estadı́stico de la Universidad Nacional, con la denominación de Teorema del lı́mite central debe entenderse más a un conjunto de teoremas concernientes a la convergencia en distribución de la suma de un número creciente de variables aleatorias al modelo gaussiano, que a la más popular de sus versiones. Es un conjunto de teoremas fundamentales de la estadı́stica, pues constituyen puntos de apoyo sustanciales de la inferencia estadı́stica y de las aplicaciones. Dentro de la citada denominación de teorema del lı́mite central se incluyen variantes como la versión original conocida como la ley de los errores, derivada de los trabajos de Gauss y Laplace sobre la teorı́a de errores, que permitió el surgimiento de las versiones.

(26) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 18. más antiguas referentes a variables con distribución de Bernoulli, debidas a De Moivre y Laplace en los siglos XVI y XVII; se incluyen, además, las versiones de Lindeberg-Lèvy y Lindeberg-Feller, que son consecuencias de un trabajo iniciado por Chevyshev y Liapunov a finales del siglo XIX, encaminado a la busqueda de una demostración rigurosa. Por su parte, se integran las versiones de Bikelis y aquellas adaptadas para los casos multivariados, aquellas para el caso de variables independientes. En particular, la versión clásica o teorema de Lindeberg-Lèvy, la versión más difundida, corresponde al siguiente teorema, resultado al que llegaron de manera independiente J.W.Lindeberg y P.Lèvy en la segunda década del siglo XX.2 TEOREMA. 1. (Teorema. del. lı́mite. central. (Lindeberg-Lèvy)).. Si X1 , X2 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una población con valor esperado µ y varianza σ 2 finitos, considerando la variable aleatoria. Zn =. Xn − µ √σ n. entonces la sucesión de variables aleatorias {Zn } converge en distribución a una variable aleatoria con distribución Normal estándar. En pocas palabras, esta difundida versión determina que √ n(X n − µ) σ. d. → − Z ∼ N (0, 1).. El teorema de lı́mite central es la mejor justificación de la existencia del modelo gaussiano y del énfasis que de él se hace reiteradamente. Por otra parte, lo admirable del teorema radica en que no importa el modelo regente del comportamiento probabilı́stico de la población, y en que la exigencia de finitud del valor esperado y la varianza es fácil 2. Teoremas tomados del libro Inferencia Estadı́stica (Mayorga Álvarez 2004).

(27) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 19. satisfacerla en las aplicaciones. Para finalizar estas consideraciones acerca del teorema del lı́mite central se presenta una versión especial la cual corresponde al teorema de Lindeberg-Feller. TEOREMA 2 (Teorema del lı́mite central (Lindeberg-Feller)). Si X1 , X2 , . . . es una sucesión de variables aleatorias independientes tales que su valor esperado µi n P σi2 → ∞ y y si valor varianza σ 2 son finitos, i = 1, 2, . . . y asumiendo que τn2 = i=1 n 2o σi además que máx τ 2 → 0 cuando n → ∞, entonces 1≤i≤n. n. n P. (Xi − µi ) d. i=1. τn. → − Z ∼ N (0, 1),. si y sólo si para cada > 0, n Z 1 X 2 (x − µi ) fi (x)dx = 0, lı́m n→∞ τn2 |x−µi |≥τn i=1 siendo fi (x) la función de densidad de la variable aleatoria Xi , para i = 1, 2, . . .. DEFINICIÓN 1. Siendo X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una población con distribución de Bernoulli con probabilidad de éxito π, esta probabilidad recibe el nombre de proporción poblacional, y a la estadı́stica X n = Pn se le conoce como proporción muestral, o proporción en la muestra. El teorema de Lindeberg-Lèvy es una forma general que incluye el caso particular cuando X1 , X2 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una población con distribución de Bernoulli de valor esperado µ = π, (0 < π < 1) y varianza σ 2 = π(1 − π). Este caso particular corresponde a la versión más antigua del n P Xi = Tnn y teorema del lı́mite central, debida a Laplace. Por tanto, siendo Pn = n1 i=1. π = P [Xi = 1], i = 1, 2, . . . , n, determinando la variable aleatoria.

(28) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 20. Tn − nπ Pn − π , Zn = p =q π(1−π) nπ(1 − π) n. la sucesión de variables aleatorias {Zn } converge en distribución a una variable aleatoria con distribución normal estándar. TEOREMA 3 (Teorema del lı́mite central (Laplace)). Siendo X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una población con distribución de Bernoulli de valor esperado π, entonces X. lı́m. n→∞. P [Tn = k] = lı́m P [z 0 ≤ Zn ≤ z 00 ] n→∞. an ≤k≤bn. = Φ(z 00 ) − Φ(z 0 ), siendo an = nπ + z 0. p p nπ(1 − π) y bn = nπ + z 00 nπ(1 − π).. Este teorema garantiza entonces que siendo a, b enteros tales que a < b, y contando con un tamaño de muestra suficientemente grande, la probabilidad P [a ≤ Tn ≤ b] puede aproximarse por medio de. Φ. !. b − nπ p nπ(1 − π). Sin embargo, como P [a ≤ Tn ≤ b] =. a − nπ. −Φ. b P. !. p nπ(1 − π). P [Tn = k], cada término P [Tn = k] puede. k=a. aproximarse por medio del área entre k −. 1 2. y k+. 1 2. bajo la curva de la función de. densidad de la variable aleatoria con distribución normal de valor esperado nπ y varianza nπ(1−π), área equivalente al área bajo la curva de la función de densidad de una variable 1. 1. k− −nπ k+ −nπ y √ 2 , de manera que aleatoria normal estándar entre √ 2 nπ(1−π). P [a ≤ Tn ≤ b] ≈ Φ. nπ(1−π). b + 1 − nπ p 2 nπ(1 − π). ! −Φ. a − 1 − nπ p 2 nπ(1 − π). ! ..

(29) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 21. Cuando el comportamiento de una población se asume regido por el modelo gaussiano, se pueden deducir propiedades especificas adicionales para el promedio y varianza muestrales, propiedades que hacen explı́citas los siguientes teoremas.. TEOREMA 4. Si X1 , X2 , . . . , xn es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal de valor esperado µ y varianza σ 2 , entonces. Xn ∼ N. σ2 µ, n. .. Figura 2.1: Aproximación de la probabilidad P [Tn = k] TEOREMA. 5. Si X1 , X2 , . . . , Xn en una sucesión de variables aleatorias. independientes tales que Xi ∼ N (µi , σi2 ), entonces. U=. 2 n X Xi − µi i=1. σi. ∼ X 2 (n).. COROLARIO 1. Cuando la sucesión de variables aleatorias constituye una muestra aleatoria de una población con distribución Normal, de valor esperado µ y varianza σ 2 ,. U=. 2 n X Xi − µ i=1. σ. ∼ X 2 (n)..

(30) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 22. TEOREMA 6. Si X1 , X2 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal de valor esperado µ y varianza σ 2 , entonces las estadı́sticas X n y Sn2 son dos variables aleatorias estadı́sticamente independientes.. TEOREMA 7. Si X1 , X2 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una población Normal de valor esperado µ y varianza σ 2 , entonces n X Xi − X n σ2 i=1. 2 =. (n − 1)Sn2 2 ∼ Xn−1 . σ2. Con supuestos menos taxativos, el promedio y la varianza muestrales presentan un comportamiento muy particular. Los siguientes teoremas destacan la marcada autonomı́a de las estadı́sticas X n y Sn2 .. TEOREMA 8. Si X1 , X2 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de la población cuya función de densidad es simétrica, entonces. cov(X n , Sn2 ) = 0.. La expresión usual de la varianza muestral incluye el promedio de la muestra, es decir, la varianza podrı́a entenderse como función de éste. Sin embargo, su presencia en la expresión puede considerarse aparente puesto que la varianza de la muestra puede prescindir del promedio muestral en la forma como lo garantiza el siguiente teorema..

(31) CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO. 23. TEOREMA 9. Si X1 , X2 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una población para la cual no se asume un modelo de probabilidad especı́fico, entonces n. Sn2. n. XX 1 (Xi − Xj )2 . = 2n(n − 1) i=1 j=1. En sı́ntesis, el promedio y varianza de la muestra son estadı́sticas tales que bajo el modelo gaussiano son estadı́sticamente independientes; bajo un modelo de probabilidad cuya función de densidad es simétrica, las estadı́sticas no están correlacionadas, y en cualquier situación la varianza de la muestra no depende funcionalmente del promedio de la muestra..

(32) Capı́tulo 3 ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.1.. Introducción. Como se ha mencionado, este trabajo esta direccionado desde las buenas practicas de enseñanza en el aula. Para esto se debe entender esta enseñanza desde un proceso cı́clico, en la que se consideren tres fases: contextualización, descontextualización y recontextualización. Es por esto que, para la creación de esta estrategia de enseñanza, se enfatiza en el papel que desempeña el profesor en cada una de las fases, según los autores (Planas 2009) y lo que se pretende realizar en la enseñanza del teorema central del lı́mite en cada una de las fases.. Contextualización • Profesor:. Debe. ser. alguien. capaz. de. proporcionar. situaciones contextualizadas en los entornos del alumnado para introducir o ampliar un contenido matemático.. 24.

(33) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 25. • Proceso: Desarrollo de actividades cotidianas con material concreto, del teorema central del lı́mite. Descontextualización • Profesor: Debe ser alguien capaz de facilitar el descubrimiento de propiedades y estructuras matemáticas particularizables en los entornos de contextualización. • Proceso: Breve reseña histórica del teorema central del lı́mite, la versión Lindeberg-Lèvy y su demostración desde la función caracterı́stica. Recontextualización • Profesor: Es alguien capaz de procurar nuevas situaciones contextualizadas en la que el alumno pueda reconocer o aplicar el contenido trabajado. • Proceso: Comprobación de propiedades del teorema con información obtenida en la fase de contextualización. Utilización de programas estadı́sticos para simular poblaciones y muestran que faciliten el desarrollo del teorema central del lı́mite.. 3.2.. Fase de contextualización. En la fase de contextualización se busca construir conocimiento en un contexto particular que tenga sentido y que sea de interés para los estudiantes. A menudo en las aulas se explican ejercicios que tienen que ver con el lanzamiento de dados y de todos sus posibles resultados. Es común que un profesor, en el caso del lanzamiento de dos dados, presente los 36 resultados como mutuamente excluyentes, debido a que no puede aparecer más de un par en forma simultánea. Además, de que los 36 resultados son igualmente probables puesto que sus frecuencias son prácticamente.

(34) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 26. las mismas. Todo esto bajo el supuesto de que los dados no están cargados y que el experimento se lleva a cabo un número suficientemente grande de veces. También se hace énfasis en que, de los 36 resultados posibles, seis dan una suma de siete, cinco dan una suma de ocho, etc. De lo anterior, los estudiantes llegan de manera intuitiva a que la probabilidad de obtener un par de números cuya suma sea siete, es la proporción de resultados que suman siete con respecto al número total, en este caso 6/36. Pero también se puede dar, que piensen que la proporción 6/36 significa que en 6 tiradas, forzosamente una dará como resultado un siete y no logren notar que lo correcto es que la proporción 6/36 se obtiene únicamente después de que el experimento se realiza un número grande de veces, para observar que alrededor de la sexta parte de éste, la suma de los números que aparecen es igual a siete. Siguiendo este orden de ideas, se propone iniciar la enseñanza del teorema central del lı́mite desde una fase de contextualización, que le proporcione al estudiante herramientas para hacer inferencias y no quedarse en la imaginación de lo que podrı́a ocurrir al realizar un experimento, como ocurre en lo expuesto anteriormente. Esta fase proporcionará una serie de ejercicios que además de llevar al estudiante a ir notando de forma intuitiva algunas implicaciones del teorema, podrá reforzar sus conocimientos adquiridos en variable aleatoria, esperanza matemática, medidas de tendencia central y de dispersión, distribuciones de frecuencias y convergencia.. 3.2.1.. Actividades Propuestas. A continuación, se presentan cuatro actividades propuestas a los estudiantes las cules se desarrollan, compartiendo por Drive 2 . los muestreos propuestos. Despues de mostrar las cuatro actividades se procede a exponer el desarrollo de estas. 2. aplicación que enlaza nuestros documentos alojados localmente con un direccionamiento en internet.

(35) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA 3.2.1.1.. 27. Actividad No 1. LANZAMIENTO DE UN DADO: Lanzar un dado y de acuerdo al resultado obtenido por lanzamiento, llenar las tres plantillas de Excel compartidas por Drive. Plantilla número 1. Resultados obtenidos para 20 muestras de tamaño 5. Plantilla número 2. Resultados obtenidos para 20 muestras de tamaño 10. Plantilla número 3. Resultados obtenidos para 20 muestras de tamaño 20. Al ingresar la información del número de puntos en la cara superior del dado, se formaran sus respectivos histogramas. a. De acuerdo a los histogramas obtenidos en las muestras de tamaño n=5, 10 y 20. Escribir las diferencias o similitudes observadas en los gráficos, para los diferentes tamaños de muestra. Comparar con la función de densidad de la variable aleatoria. b. Enviar por Drive, en la plantilla compartida, la información de sus medias encontradas para n = 5, 10 y 20.. 3.2.1.2.. Actividad No 2. EXTRACCIÓN DE BALOTAS: Introducir en una bolsa 4 balotas del mismo tamaño y textura, dos rojas y dos negras. Extraer de esta, una balota (con remplazo). Llenar las tres plantillas compartidas por Drive. (Si es roja escribo 1 y si negra escribo 0). Realizar los mismos ejercicios propuestos en los literales a, b y c de la actividad No 1..

(36) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA 3.2.1.3.. 28. Actividad No 3. LANZAR UN DADO Y OBTENER UN 3: En el archivo de Excel se entrega la simulación del lanzamiento de un dado. En la hoja 1, se encuentran cuatro plantillas con números aleatorios entre 1 y 6. En la hoja 2, aparecen nuevamente las cuatro plantillas, pero reemplazando los resultados por ceros y unos. Se tiene en cuenta que si es 3 se considera éxito y se reemplaza por el 1, y si es diferente de 3 se considera fracaso y se reemplaza por el 0. Plantilla número 1. Resultados obtenidos para 20 muestras de tamaño 5. Plantilla número 2. Resultados obtenidos para 20 muestras de tamaño 10. Plantilla número 3. Resultados obtenidos para 20 muestras de tamaño 20. Plantilla número 4. Resultados obtenidos para 20 muestras de tamaño 60. Teniendo en cuenta estas instrucciones, realizar los siguientes ejercicios: a. Copiar las medias obtenidas en la hoja 2 y pegarlas en su respectiva columna de la hoja 3. Como solo se cuenta con 20 medias por plantilla, repetir el procedimiento hasta completar 200 medias por columna. b. Escribir las diferencias o similitudes observadas en los gráficos que se formaron, a partir de las 200 medias copiadas, para cada tamaño de muestra. Después de realizadas las tres actividades y de que el docente haya mostrado los histogramas, con las medias recolectadas, se procede a la actividad 4..

(37) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA 3.2.1.4.. 29. Actividad No 4. PREGUNTAS: a. ¿A que tipo de distribución se acerca o converge la distribución de la media, a medida que aumenta el tamaño de la muestra?. b. ¿La variabilidad de la distribución de la media decrece o crece conforme se incrementa el tamaño de la muestra? c. ¿Qué ocurre con el centro de la distribución de la media, en comparación de la media poblacional?.

(38) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.2.2. 3.2.2.1.. 30. Actividad No.1: Lanzamiento de un dado. DESCRIPCIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA. Para desarrollar esta actividad, descrita anteriormente, el docente realiza con los estudiantes una descripción general de la variable aleatoria correspondiente al lanzamiento de un dado, su media, varianza y su función de densidad: La variable aleatoria sigue una distribución uniforme discreta, dado que se tiene un espacio muestral finito con 6 posibles resultados y todos ellos igualmente probables. La variable aleatoria Xi indica el número de puntos en la cara superior del dado, donde X = 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Media µ:. µ = E(xi ) =. n X. xi P (x). i=1. 1 1 1 1 1 +2 +3 +5 +6 =1 6 6 6 6 6 7 = 2 = 3, 5 Varianza:. σ 2 = E(x2 ) − µ2 n X. =. (xi − µ)2. i=1. = 2, 92. N.

(39) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 31. Función de densidad: f (x) = P [X = xi ] =. 3.2.2.2.. 1 6. con i = 1, 2, 3, 4, 5 y 6. REALIZACIÓN DEL MUESTREO. Luego, en grupos de tres se desarrolla la primera actividad como se indicó anteriormente. El primer estudiante recoge la información de la plantilla 1, el segundo la información de la plantilla 2 y el tercero la información de la plantilla 3.. En las figuras 3.1 y 3.2 se muestra el resultado de las tres plantillas desarrollados por el grupo de los tres estudiantes..

(40) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.1: Plantillas 1 y 2 de 20 muestras de tamaño 5 y 10 respectivamente. 32.

(41) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.2: Plantilla 3 de 20 muestras de tamaño 20. 33.

(42) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA 3.2.2.3.. 34. TABLAS DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMAS. Estas plantillas estarán acompañadas de una tabla de frecuencias, con datos agrupados. A medida que los estudiantes ingresan el número en que cae la cara superior del dado, automáticamente se mostrara las medias, su respectiva tabla de frecuencias y el histograma que representa la distribución de la media.. Figura 3.3: Distribución de 20 medias, n=5. Figura 3.4: Distribución de 20 medias, n=10.

(43) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 35. Figura 3.5: Distribución de 20 medias, n=20 3.2.2.4.. RECOLECCIÓN. DE. MEDIAS. Y. REALIZACIÓN. DE. HISTOGRAMAS Una vez realizados los muestreos y elaborados los histogramas, el docente recoge las medias obtenidas en los grupos, para mostrar con ayuda de un video proyector, los gráficos de la distribución de 200 medias, para cada uno de los tamaños de muestra n = 5, n = 10 y n = 20.. Figura 3.6: Distribución de 200 medias, n=5.

(44) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.7: Distribución de 200 medias, n=10. Figura 3.8: Distribución de 200 medias, n=20. 36.

(45) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.2.3.. 37. Actividad No.2: Extracción de balotas. La segunda actividad se desarrollará de manera similar a la actividad 1, realizando los mismos pasos. 3.2.3.1.. DESCRIPCIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA. La variable aleatoria sigue una distribución de Bernoulli. Variable aleatoria se define ası́:   1, si la balota es roja Xi =  0, en otro caso Media µ: µ = E(xi ) =. n X. x1 P (xi ). i=1. 1 1 =0 +1 2 2 = 0, 5 Varianza: σ 2 = E(x2 ) − µ2 n X. =. (xi − µ)2. i=1. N. = 0, 25 Función de densidad: P (Xi ) =.    1 , si X1 = 1 2   1 , si X2 = 0 2.

(46) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.2.3.2.. 38. REALIZACIÓN DEL MUESTREO. A los estudiantes se les entrega plantillas en Excel iguales a las de la actividad 1. En las figuras 3.9 y 3.10 se muestran las plantillas que corresponden a las realizadas por el grupo de estudiantes.. Figura 3.9: Plantillas 1 y 2 con los datos de la actividad 2.

(47) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 39. Figura 3.10: Plantilla 3 con los datos de la actividad 2. 3.2.3.3.. TABLAS DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMAS. Al igual que en la actividad 1, se entregará a los estudiantes en otra hoja de Excel una tabla de frecuencias que se irá complementando a medida que se llenan las plantillas y además, formarán su propio histograma.. En las figuras 3.11, 3.12 y 3.13 se muestran las tablas de frecuencias y los histogramas que corresponden a la información de las tres plantillas mostradas..

(48) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.11: Tabla de frecuencia e histograma de la plantilla 1. Figura 3.12: Tabla de frecuencia e histograma de la plantilla 2. Figura 3.13: Tabla de frecuencia e histograma de la plantilla 3. 40.

(49) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA 3.2.3.4.. RECOLECCIÓN. DE. AL. MENOS. 41 200. MEDIAS. E. HISTOGRAMAS El docente hace la recolección de al menos 200 medias obtenidas en los grupos de los estudiantes, para mostrarles los gráficas correspondientes a n = 5, n = 10, n = 20. En las figuras 3.14, 3.15 y 3.16 se muestran los 200 datos recolectados con sus respectivas tablas de frecuencias y sus histogramas.. Seguidamente los estudiantes y el docente, hacen las observaciones para cada gráfico según el tamaño de la muestra y se empiezan a sacar algunas conclusiones de los cambios presentados en los graficos al aumentar el tamaño de esta.. Figura 3.14: Datos, tabla de frecuencia e histograma para n = 5.

(50) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.15: Datos, tabla de frecuencia e histograma para n = 10. Figura 3.16: Datos, tabla de frecuencia e histograma para n = 20. 42.

(51) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.2.4.. 43. Actividad No.3: Lanzar un dado y obtener un 3. En la actividad 3 además de tomar los tamaños muéstrales de n = 5, n = 10 y n = 20, que se tomaron en el caso de la actividad 1 y 2, se tomará un n = 60 para facilitar el cumplimiento del teorema central del lı́mite. Después de realizadas muchas simulaciones, se pudo observar que para el caso de esta actividad donde no se agrupan los datos y no se realiza el lazamiento del dado sino que se puede contar con la simulación de una buena cantidad de datos, se sugiere que el docente, para el caso de n = 5, n = 10 y n = 20 reúna al menos 2000 medias y n = 60 al menos 4000, lo que asegura que este histograma sea muy semejante a su distribución de probabilidad.. 3.2.4.1.. DESCRIPCIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA. Se desarrollará la descripción general de la variable aleatoria correspondiente a la simulación del lanzamiento del dado, teniendo en cuenta que si cae 3 se considera éxito y si cae en otro número se considera fracaso. Variable aleatoria según una distribución de Bernoulli. Se hace notar a los estudiantes que aunque se trabaja nuevamente con el dado como en la actividad 1, la variable aleatoria ya no es uniforme discreta sino de Bernoulli donde se considera éxito o fracaso. La variable aleatoria Xi : valor de la cara del dado, que asigna los valores.   1, si X = 3 Xi =  0, en otro caso.

(52) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA La media µ: µ = E(xi ) =. n X. x1 P (xi ). i=1. 1 5 =1 +0 6 6 1 = 6 = 0,16 Varianza: σ 2 = E(x2 ) − µ2 n X. =. (xi − µ)2. i=1. N. = 0,138 Función de densidad:. P (xi ) =.    1 , si Xi = 1 6   5 , si Xi = 0 6. 44.

(53) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA 3.2.4.2.. 45. REALIZACIÓN DEL MUESTREO. En esta actividad no se utilizará el material manipulable o concreto como lo es en el caso del lanzamiento de un dado o el de la extracción de las balotas. Para esta actividad se contará con un simulador realizado en Excel que contiene 4 hojas de trabajo que se describirán a continuación. HOJA 1 Contiene 4 plantillas donde ya está la simulación de los resultados del lanzamiento del dado para n = 5, n = 10, n = 20 y n = 60, con un total de 20 muestras para plantilla. Como las plantillas están organizadas con la función de aleatoriedad entre 1 y 6 que son los resultados del dado, se tiene la ventaja que cada vez que el estudiante realice una acción sobre cualquiera de las hojas como copiar, pegar o suprimir, estos números cambiaran aleatoriamente. Las figuras 3.17 y 3.16 contienen los números aleatorios entre 1 y 6 que estaran cambiando continuamente cada vez que los estudiantes copien las medias de la hoja 2.. Figura 3.17: Plantillas 1, 2 y 3.

(54) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.18: Primera parte de la plantilla 4. Figura 3.19: segunda parte de la plantilla 4. 46.

(55) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 47. HOJA 2 Esta hoja contiene igualmente 4 plantillas. En cada plantilla sólo aparecen ceros y unos, que describen éxito o fracaso. En la descripción de la variable se dijo que se consideraba éxito si cae en 3, por tanto se pone un uno y fracaso si cae en cualquier otro número, por tanto se pone un cero. Estas cuatro plantillas lo que hacen es que, teniendo en cuenta los resultados de la hoja 1 se pone 1 ó 0.. En la última columna de cada plantilla aparecen las medias que se deben copiar en la hoja 3, las cuales alimentaran automanticamente las tablas de frecuencias y mostrará su respectiva distribución. Las figuras 3.20 y 3.21 muestran los ceros y unos que se forman según la hoja 1 y sus respectivas medias.. Figura 3.20: Plantilla 1, 2 y 3.

(56) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.21: Primera parte plantilla 4. Figura 3.22: Segunda parte plantilla 4. 48.

(57) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 49. TABLAS DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMAS HOJA 3 Esta hoja contendrá cuatro columnas, cada una para cada tamaño de muestra. Cuatro tablas de frecuencias que se alimentarán automáticamente a medida que se llenan las columnas y cuatro histogramas que dependerán de la información de las tablas de frecuencias. Para llenar las columnas los estudiantes deberán copiar las medias obtenidas de la hoja 2 y pegarlas en la hoja 3 en la respectiva columna. Como se cuenta sólo con 20 medias por plantilla, deberá realizar 10 veces esta acción hasta completar 200 medias que es lo correspondiente a una columna. en las figuras 3.23, 3.24, 3.25 y 3.26 se muestra las tablas de frcuencias y las distribuciones que se forman al llenar las columnas que estan en la hoja 3, con las medias recolectas de la hoja 2.. Figura 3.23: Tabla de frecuencia e histograma para n = 5.

(58) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.24: Tabla de frecuencia e histograma para n = 10. Figura 3.25: Tabla de frecuencia e histograma para n = 20. 50.

(59) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 51. Figura 3.26: Tabla de frecuencia e histograma para n = 60 RECOLECCIÓN DE MEDIAS Y REALIZACIÓN DE HISTOGRAMAS Después de realizada la actividad por parte de los estudiantes, el docente recolectará al menos 2000 medias para los tamaños n = 5, n = 10 y n = 20 y 4000 medias para n = 60, tomando la información que ellos utilizaron para realizar las tablas de frecuencias. A continuación se muestra como quedan las tablas de frecuencias y los histogramas para cada tamaño de muestra.. Figura 3.27: tabla de frecuencia e histograma, n=5 con 2000 medias.

(60) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.28: tabla de frecuencia e histograma, n=10 con 2000 medias. Figura 3.29: tabla de frecuencia e histograma, n=20 con 2000 medias. 52.

(61) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.30: tabla de frecuencia e histograma, n=60 con 4000 medias. 53.

(62) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.3.. 54. Fase de descontextualización. Es importante notar que hasta el momento, se ha restringido la enseñanza del teorema central del lı́mite a una realidad particular. Pero en este momento se hace fundamental sacar del contexto el concepto del teorema, que tiene un lenguaje propio, junto con la comprensión de sus propiedades y la genareralización de este mediante su demostración. De acuerdo con (Planas 2009) es en esta fase donde el profesor ha de crear las condiciones para mostrar al alumnado los procesos de pensar matemáticamente, caracterı́sticos de las actuaciones de los expertos; en particular, el profesor ha de estimular el planteamiento y la interpretación de problemas, y no sólo su resolución. Es por esto que en esta fase se trabaja mostrando una breve reseña histórica que ubique al estudiante y se le muestre que el teorema es un conjunto de teoremas, y que entre estos existe una versión muy especial, que es la versión propuesta por Lindeberg y Lévy, en el contexto de la enseñanza de éste tema a estudiantes universitarios. Ésta versión permite hacer la demostración del teorema usando la función caracterı́stica de la variable aleatoria involucrada, lo cual hace, que sea un elemento definitorio desde el punto de vista didáctico, ya que en ésta demostración se utilizan elementos teóricos muy importantes como la función caracterı́stica de una variable aleatoria, las propiedades de esperanza matemática y los principios de convergencia en distribución de variables aleatorias.. 3.4.. Conceptos preliminares. Antes de enunciar y demostrar el teorema de Lindeberg-Lévy, se presentan unos conceptos preliminares que el estudiante debe conocer muy bien en esta fase de descontextualización..

(63) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.4.1.. 55. Una propiedad de la esperanza matemática. Si {Xn , n ≥ 1} es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, entonces " E. n X. # Xk =. k=1. 3.4.2.. n X. E(Xk ).. k=1. La función caracterı́stica. 1. La función caracterı́stica de una variable aleatoria X se define ası́: Z ∞ itX eitX dF (X), ΦX (t) = E(e ) = −∞. donde F (·) es la función de distribución de X. 2. Si X y Y son variables aleatorias independientes, entonces: a) ΦX+Y (t) = ΦX (t) · ΦY (t). b) ΦaX (t) = ΦX (at), donde a es una constante.. 3.4.3.. Convergencia en distribución. Una sucesión de variables aleatorias, {Xn , n ≥ 1}, converge en ley o en distribución a una variable aleatoria X, cuando se cumpla alguna de las siguientes condiciones, con el convencimiento de que si se cumple una se cumplirán las restantes: 1. Si para toda función real g se cumple que: lı́m E [g(xn )] = E [g(x)] .. n→∞. 2. Si para todo número real t se cumple que: lı́m E etxn = E etx .. n→∞.

(64) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 56. 3. Si para todo par de puntos a y b, con b > a se cumple que: lı́m P (a < xn < b) = lı́m [Fxn (b) − Fxn (a)] = P (a < x < b) = Fx (b) − Fx (a).. n→∞. n→∞. 4. Si para todo punto de X en el que las funciones de distribución de las variables de la sucesión sean continuas, se cumple que: lı́m F (xn ) = F (x),. n→∞. de esta forma se interpreta que la variable aleatoria Xn converge en distribución o converge en ley a la variable aleatoria X y se denota d. Xn → − X cuando en el lı́mite el comportamiento de la función de distribución de la sucesión de variables aleatorias y la de aquella a la que converge son iguales.. 3.4.4.. Teorema de continuidad de Lévy. Si la sucesión de funciones de distribución {Fn (X), n ≥ 1} converge en todo punto de continuidad a la función de distribución F (X), entonces la sucesión {Φn (t), n ≥ 1} de las correspondientes funciones caracterı́sticas de las Fn (X) para n → ∞, converge en distribución a la función caracterı́stica Φ(t) en t = 0, correspondiente a la función de distribución F (X)3 . Nota: Este teorema se demuestra a partir del Teorema de Helly. Estos elementos hacen parte de las clases que ha recibido los estudiantes de ingenierı́a previo a la presentación del Teorema Central del Lı́mite. La versión del Teorema de Lindeberg-Lévy es como se presenta a continuación: 3. Tomado y adaptado de (Mayorga Álvarez 2004)..

(65) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 3.5.. 57. Teorema de Lindeberg-Lévy. Sea {Xn , n ≥ 1} una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con esperanza matemática E(Xk ) = µ y varianza V ar(Xk ) = σ 2 , entonces la variable aleatoria n X. Sn∗. =. k=1. Xk − nµ √ σ n. √ = n. . X̄ − µ σ. . d. → − Zn ,. donde Zn ∼ N (0, 1). Demostración: Como se observará en la demostración, la misma se dividirá en partes con un objetivo didáctico. El estudiante podrá con la asesorı́a de su profesor ir construyendo la demostración paso a paso.. Parte I: Definamos ante todo algunas herramientas, como por ejemplo: 1. Si ΦX (t) = E eitX , entonces ΦX−µ (t) = E eit(X−µ) . 2. Un polinomio de Taylor para ΦX−µ (t) alrededor de t = 0 es: 1 ΦX−µ (t) = ΦX−µ (0) + Φ0X−µ (0)t + Φ00X−µ (ξ)t2 , 2 con 0 < ξ < t y donde se sabe por definición que ΦX−µ (0) = 1. Ahora, se tiene que: Φ0X−µ (t) = E i(X − µ)eit(X−µ) , luego Φ0X−µ (0) = E [i(X − µ)] = i [E(X) − µ] = 0.. (3.1).

(66) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 58. Por lo tanto (1) queda ası́: 1 ΦX−µ (t) = 1 + Φ00X−µ (ξ)t2 . 2 Si restamos y sumamos a esta expresión el término σ 2 t2 /2, se obtiene: ΦX−µ (t) = 1 −. σ 2 t2 1 00 + ΦX−µ (ξ) + σ 2 t2 . 2 2. (3.2). Parte II: Por otra parte analicemos lo siguiente: !)# " ( n X it √ Xk − nµ ΦSn∗ (t) = E exp σ n k=1 it it √ (X1 − µ) · E exp √ (X2 − µ) = E exp σ n σ n it √ (Xn − µ) . · · · E exp σ n Dado que las Xk son todas independientes e idénticamente distribuidas, entonces: n it √ (X1 − µ) ΦSn∗ (t) = E exp σ n in h = Φ X−µ √ (t) σ n n t √ = ΦX−µ . σ n Luego de (2) se puede obtener: ΦX−µ. t √. σ n. . σ2 =1− 2. . t √ σ n. 2. 1 00 + ΦX−µ (ξ) + σ 2 2. La expresión anterior, cuando n → ∞ se puede escribir ası́: t t2 /2 1 √ ΦX−µ =1− +o n n σ n. . t √. σ n. 2 ..

(67) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 59. Parte III: Finalmente, t2 /2 ∗ ΦSn (t) = 1 − n . n. n −t2 /2 = 1+ n. Aplicando el teorema de continuidad de Lévy, se tiene: n −t2 /2 2 lı́m ΦSn∗ (t) = lı́m 1 + = e−t /2 = ΦZ (t), n→∞ n→∞ n donde ΦZ (t) es la función de distribución de una variable aleatoria normal de media cero y varianza uno. De ésta manera queda demostrado el teorema de Lindeberg-Lévy. La demostración dividida en tres partes hacen que el estudiante la construya paso a paso haciendo uso de una buena cantidad de conceptos previos a este tema.. 3.6. Después. Fase de recontextualización de. haber. desarrollado. la. fase. de. descontextualización,. donde. se. presentó formalmente el teorema central del lı́mite y se realizó la demostración, se procede a la tercera etapa de este proceso cı́clico, que se refiere a la recontextualización, donde se presenta el desarrollo de cuatro actividades diferentes.. 3.6.1.. Actividad No.1: Medidas de resumen. Teniendo como referente el tercer ejercicio realizado en la etapa de contextualización, el cual muestra una asimetrı́a grande (asimetrı́a=2,45) respecto a los ejercicios uno y dos. El docente presenta a los estudiantes, con los datos obtenidos de las medias, las medidas de resumen las cuales manifiestan de manera muy sencilla la existencia de normalidad a medida que aumenta el tamaño de la muestra..

(68) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA MODA VARIANZA. 60. TAMAÑO. MEDIA. MEDIANA. ASIMETRÍA CURTOSIS. DESVIACIÓN. n=5. 0,1611. 0,2. 0,2. 0,0256. 0,7226. 0,0205. 0,1599. n = 10. 0,163. 0,100. 0,100. 0,014. 0,729. 0,602. 0,119. n = 20. 0,168. 0,150. 0,150. 0,007. 0,471. 0,160. 0,086. n = 60. 0,167. 0,167. 0,167. 0,002. 0,297. 0,167. 0,049. Cuadro 3.1: Tabla de datos A medida que el tamaño de muestra aumenta, se observa la igualdad de la media mediana y moda, con lo que se puede considerar normalidad en los datos, también se nota la cercanı́a de la curtosis y asimetrı́a a cero, además podemos notar claramente como la media muestral tiende a ser la media poblacional y la varianza se hace cada vez más pequeña a medida que aumenta el tamaño de la muestra.. 3.6.2.. Actividad No.2: Estandarización de datos. Teniendo como referente la misma actividad No. 3 de la contextualización y que el teorema central del lı́mite en su versión Lindeberg-Levy, nos indica que a medida que n tiende a infinito la distribución de la media tiende a la distribución normal estándar, se procede a comparan,como se muestra en las figuras 3.31, 3.32, 3.33 y 3.34, los histogramas realizados con las medias y los histogramas realizados después de la estandarización de los datos..

(69) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. Figura 3.31: histograma de las medias y estandarizado, n=5. 61.




(73) CAPÍTULO 3. ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA. 65. Esta actividad es muy enriquecedora ya que en ningún ejercicio o ejemplo de los libros o de simulación, se muestra cómo realmente la media es cero y la desviación estándar es uno. Después de realizada una actividad como esta ya será más claro para el estudiante la utilización de las tablas de los libros para trabajar probabilidad.. 3.6.3.. Actividad No.3. DISTRIBUCIÓN CONTINUA Después de haber verificado con los datos el cumplimiento del teorema, podemos ver que se está realizando solo para distribuciones con variables discretas, se hace pertinente realizar una actividad con una variable continua. En esta, se trabajará con una variable exponencial, en la que se verificará el cumplimiento del teorema central del lı́mite. Para el desarrollo de esta actividad se acude al programa versión libre InfoStat, con éste, el docente realiza una simulación de 1000 datos, como se muestra en la siguiente tabla, considerando una variable exponencial..