Estimación del error cometido en la simplificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo y tercer orden

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(3) 1 Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez Lubian” subordinada a la Dirección de Información Cientı́fico Técnica de la mencionada casa de altos estudios. Se autoriza su utilización bajo la licencia siguiente: Atribución- No Comercial- Compartir Igual. Para cualquier información contacte con: Dirección de Información Cientı́fico Técnica. Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas. Carretera a Camajuanı́. Km 5 12 . Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830 Teléfonos.: +53 01 42281503-1419.

(4) Agradecimientos A mi tutor Lorgio Batard por su ayuda y su apoyo en la confección de esta tesis y durante la investigación. A mis padres que siempre estubieron conmigo y por los ánimos que me brindaron. A mis compañeros, amistades por su ayuda a traves de todo este largo trayecto. A mis profesores que me permitieron formarme en esta maravillosa carrera y que me enseñaron todo lo que permitió que realizara esta tesis. A Ibis, Fabio Libertad y a Carlos que siempre estubo conmigo y que todavı́a lo está apoyándome y ayudándome en todo lo que necesite.. 2.

(5) Resumen En el presente trabajo se hace un estudio del comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas de segundo y tercer orden con parámetro pequeño, de manera que se logra establecer el error cometido cuando se elimina el término que posee el parámeto en la ecuación dada. El análisis se realiza tanto en el caso en el que el parámetro se encuentra en la función como cuando está ubicado en la derivada de mayor orden, este último caso es el más interesante porque además de la determinación del error se debe establecer las condiciones para la convergencia del problema de Cauchy original al problema lı́mite cuando el parámetro tiende a cero. Se estudia, en particular, un caso de una ecuación diferencial de segundo orden con parámetro pequeño y coeficientes variables. También se adjuntan algunos softwares para facilitar la aplicación de estos resultados por diferentes especialistas que necesiten este tipo de ecuación.. 3.

(6) Introducción Las ecuaciones de la Fı́sica-Matemática constituyen una herramienta fundamental en la investigación de muchos especialistas en diferentes ramas de la ciencia. Mediante la solución de las mismas se puede obtener una valiosa información sobre el desarrollo y el futuro comportamiento de un sistema fı́sico determinado. Dentro de las ecuaciones de la Fı́sica-Matemática las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias juegan un papel muy importante. En diferentes modelos matemáticos aparecen ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes pequeños que pueden tener mayor o menor complejidad de acuerdo al fenómeno estudiado y surgen de manera lógica las siguientes preguntas cientı́ficas:. Preguntas cientı́ficas. 1. ¿Cuáles son las condiciones que garantizan la convergencia de la solución con parámetro pequeño a la solución del problema lı́mite cuando el parámetro tiende a cero? 2. ¿En el caso que exista la citada convergencia cuál es el error cometido si se sustituye la solución del problema original por la solución del problema lı́mite cuando el parámetro tiende a cero? La respuesta a las preguntas anteriores es de notable importancia porque puede simplificar en gran medida la complejidad de los procesos de solución de las ecuaciones diferenciales con parámetro pequeño. Por lo antes expuesto se puede formular el objetivo de la siguiente investigación.. 4.

(7) 5. Objetivo Determinar el error cometido cuando se sustituye el proceso de solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal, no homogénea de segundo o tercer orden con parámetro pequeño, por la solución del problema lı́mite cuando el parámetro tiende a cero. De acuerdo al objetivo señalado se puede entonces establecer:. El objeto de la investigación: Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales no Homogéneas de segundo y tercer orden.. Campo de acción: Las Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas de segundo y tercer orden con parámetro pequeño.. Tareas cientı́ficas: Para lograr el objetivo propuesto se plantean las siguientes tareas cientı́ficas: 1. Analizar el error cometido al sustituir la solución del problema original al problema lı́mite cuando el parámeto tiende a cero, para el caso de la EDOL de segundo orden lineal no homogénea con el parámeto ubicado en la función incógnita. 2. Realizar un análisis similar al anterior pero cuando el parámetro está en la derivada de orden superior. 3. Determinar la expresión del error cometido al sustituir la solución del problema original con el parámetro en la derivada de segundo orden cuando la ecuación referenciada tiene coeficientes variables..

(8) 6 4. Analizar el error cometido al sustituir la solución del problema original al problema lı́mite en el caso de la EDOL no homogénea de tercer orden con coeficientes constantes, cuando el parámeto está ubicado en la derivada de mayor orden y en la ecuación no aparece la función sin derivar. 5. El mismo análisis anterior pero para el caso general de la EDOL no homogénea con coeficientes constantes y parámetro pequeño en la derivada de orden superior.. Marco teórico La presente investigación se inscribe desde los resultados encontrados en el siglo pasado en esta temática, los cuales se citan en algunos casos en la bibliografı́a consultada, y en lo trabajos del grupo de Ecuaciones Diferenciales de la facultad de Matemática, Fı́sica y Computación de la Universidad Central Martha Abreu de Las Villas sobre el comportamiento asintótico de las soluciones de las EDOL no homogéneas con parámeto pequeño. En este marco teórico son importantes algunos conceptos relacionados con el Análisis Funcional, los operadores Transformados y el concepto Convolución, la teorı́a de solución de las EDOL, ası́ como las propiedades de las clases de funciones utilizadas.. Métodos de investigación cientı́fica utilizados Los métodos de investigación cientı́fica utilizados fueron los siguientes: 1. El análisis y la sı́ntesis para obtener los principales resultados vinculando los resultados generales del grupo de Ecuaciones Diferenciales de la Facultad de Matemática, Fı́sica y Computación de la UCLV, con los casos particulares de las EDOL no homogéneas de segundo y tecer orden. 2. El método inductivo-deductivo apoyado en la abstracción que permitió determinar las vı́as correctas para dar respuesta a las preguntas cientı́ficas planteadas..

(9) 7 3. El método histórico también fue importante para el estudio del desarrollo histórico de los problemas vinculados con las EDOL no homogéneas con parámetro pequeño y su estado actual lo que permitió un enfoque más adecuado y lógico en la obtención del objetivo propuesto.. La novedad cientı́fica De acuerdo a la amplia bibliografı́a consultada, por primera vez se hace un estudio detallado del error que se comete en el caso de las EDOL no homogéneas de segundo y tercer orden, al sustituir la solución del problema original por la solución del problema lı́mite, con la implementación, además, de la programación de los resultados a partir de los algoritmos determinados, este aporte facilita la utilización por los especialistas que trabajen con este tipo de ecuaciones..

(10) Índice general 1. Introducción a las EDOL con parámetro pequeño.. 12. 2. EDOL de segundo orden con parámetro pequeño. 2.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y parámetro pequeño en la función incógnita. . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables y parámetro pequeño en el término sin derivar . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficiente constante y parámetro pequeño en la derivada de orden superior. . . . . . . . . 2.3.1. Análisis de la convergencia del problema de Cauchy con parámetro pequeño. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Solución del problema homogéneo (2.25) . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Análisis del problema no homogéneo. . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 3. EDOL de tercer orden con parámetro pequeño 3.1. Ecuaciones diferenciales de tercer orden con coeficientes constantes y parámetro pequeño en la derivada de orden superior en el caso que no aparece la función incógnita sin derivar. . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Análisis de la convergencia de la solución del problema de Cauchy con parámeto pequeño . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Reducción del orden del problema (3.1) . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Determinación del error cometido en la solución homogénea 3.1.4. Convergencia a cero de la solución particular Yp (x) . . . . .. 33. 8. 18 21 22 24 24 28 29 32. . 34 . . . .. 35 36 37 38.

(11) ÍNDICE GENERAL 3.1.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ecuaciones diferenciales de tercer orden con coeficientes constantes parámetro pequeño en le derivada de orden superior . . . . . . . . 3.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 . . 39 y . . 41 . . 52.

(12) Capı́tulo 1 Introducción a las EDOL con parámetro pequeño.. El poblema fundamental de la teorı́a de las ecuaciones difereniales con parámetro pequeño consiste en el estudio de la dependencia de las soluciones con respecto al parámetro. En el año 1935 fue publicado por Yu Why Tshen el primer trabajo en que el autor estudia dicho problema para la ecuación lineal de orden n con parámetro pequeño en la derivada de mayor orden. Durante la década de los 50 del siglo pasado se publicó un número bastante grande de trabajos que estudian la convergencia de las ecuaciones diferenciales con parámetro pequeño. En todos estos trabajos se precisan condiciones suplementarias que garantizan determinados comportamientos de las ecuaciones cuando el parámetro  tiende a cero. Entre estas investigaciones se puede citar el de A. N. Tijonov sobre las Ecuaciones Diferenciales con parámetro pequeño en 1952 y el de I.S. Granteim en 1953 sobre los sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con parámetro pequeño en. 10.

(13) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS EDOL CON PARÁMETRO PEQUEÑO.11 las derivadas. En los trabajos de la época se observa que la naturaleza de la dependencia del parámetro  está ı́ntimamente ligada con propiedades de periodicidad y estabilidad de una solución o de una familia de soluciones del sistema asociado, es decir, se observa una analogı́a de razonamiento, por ejemplo si el sistema es: dx dt  dy dt. = f (x, t) = g(x, y). Se define el sistema asociado con la segunda ecuación sin el parámetro, esto es: dy dt. = g(x, y). Esta analogı́a condujo a la matemática M. Frenkel a buscar un método unitario para el estudio de diversos problemas de dependencia de un parámetro pequeño. Para ello se basó en trabajos anteriores de N. N. Bogolionbov (1945), H. S. Makoeva (1958) y L. S. Pontriaguine en 1960. A partir de los años 70 del siglo pasado comenzó un estudio detallado de las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, por ejemplo, de ecuaciones del tipo: dy d2 y + a(x) + b(x)y = 0 (1.1) 2 dx dx con las condiciones de contorno y(0) = A y y(1) = B. La idea fundamental para analizar la estabilidad con respecto al parámetro en (1.1) consistió en desarrollar las funciones a(x) y b(x) en series de potencias y como una vecindad de cero. La ecuación básica (1.1) tiene un comportamiento similar a una ecuación con coeficientes constantes y parámetro pequeño ya estudiado anteriormente y se aplican entonces los resultados conocidos para este tipo de ecuación. A partir de los años 80 del siglo pasado se han generalizado los resultados obtenidos en este tipo de temática que abarcan a variados problemas de la Fı́sica-Matemática, vinculados a las Ecuaciones Diferenciales ordinarias y parciales, ası́ como a las ecuaciones integrodiferenciales y a problemas no lineales. Por ejemplo: en un libro publicado en 1985 por V. N. Bogawsky y A. Poznes con el tı́tulo “Linear Method in non linear problems with a small parameter” se recopila mucha información sobre el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales con parámetro pequeño, .

(14) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS EDOL CON PARÁMETRO PEQUEÑO.12 y en 1984 V. V. Sarafyan y R. G. Saferyan estudian un interesante problema de la Fı́sica-Matemática en un artı́culo titulado: “Asimptotic behaivor af the solution of the Dirichlet problem for a differential operator with a small parameter”[17]. También se deben destacar los trabajos de M. I. Frielin en 1981 y a R. G. Akmetov en 1982, sobre el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones elı́pticas con parámetro pequeño, y el libro de H. Goering y A. Felgenhaver[18], editado en 1982,en el que se estudian problemas de contorno de tipo parabólico con parámetro pequeño. Entre los matemáticos que trabajaron a finales del siglo pasado en el estudio del comportamiento de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de distintos tipos con parámetro pequeño se puede citar a V. A. Kushnev, I. M. Konet, N. I. Shkil, S. Kariniov, K. I. Chernyshov, G. Luke, H. G. Roos y L. Tobisko. Un resultado importante en el desarrollo de la presente investigación es la tesis doctoral de L. Batard, en los años 90 del siglo pasado titulada “Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y el problema de Riemann con parámetro pequeño”. En la misma el autor analiza la convergencia de la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias con parámetro pequeño en la derivada de mayor orden, a la solución del problema lı́mite cuando el parámetro tiende a cero, donde se considera el novedoso concepto de “Ecuación Complementaria Caracterı́stica”. O sea, dado la ecuación: n X k=0. ak y. (k). (x) +. m X. k an+k y n+k (x) = f (x). (1.2). k=1. donde an 6= 0, an+m 6= 0,  > 0 (parámetro pequeño) y f : D ⊆ < → < continua o seccionalmente continua, y las condiciones iniciales Y (k) (0) = Ak , k = 0, m + n − 1. (1.3). se denomina ecuación complementaria caracterı́stica a la ecuación algebraica m X. an+k sk = 0. (1.4). k=0. Se denota a la solución del problema (1.2)-(1.3) regular, si las partes reales de todas las series (1.4) son negativas y se denomina como problema lı́mite de (1.2)-(1.3) al problema:.

(15) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS EDOL CON PARÁMETRO PEQUEÑO.13. n X. ak y (k) (x) = f (x). (1.5). k=0. Y k (0) = Ak , k = 0, n − 1. (1.6). Entonces, en la referida tesis doctoral, trabajando en clases de funciones suficientemente buenas, se demostró que la solución del problema (1.2)-(1.3) converge uniformemente a la solución del problema lı́mite (1.5)-(1.6), sı́ y solamente si el problema es regular. En trabajos más recientes, fundamentalmente en el presente siglo, que enfocan diversidad de problemas de la Fı́sica-Matemática con coeficientes pequeños, se ha trabajado no solo en las condiciones de convergencia y estabilidad, sino también en el estimado del error cometido al sustituir la solución del problema original por la solución del problema lı́mite cuando el parámetro tiende a cero. Luego del 2000 se han realizado varias investigaciones en este campo.Entre los resultados destacables de este siglo a partir de la amplia revisión bibliográfica realizada para la confección de la presente tesis se pueden citar: En el año 2002 M. F. Al-Hayani en su tesis titulada “El método de descomposición en ecuaciones diferenciales ordinarias con parámetro”, comprueba que el método de descomposición, proporciona una convergencia rápida de la series de solución de ecuaciones lineales y no lineales, deterministas y estocásticas y presenta técnicas adecuadas para la implementación del método en ecuaciones diferenciales ordinarias con parámetros, en el 2007 G. Hovhannisyan, publicó un artı́culo titulado “Asymptotic stability and asymptotic solutions of second-order differential equations”[20] y en el 2005 fue pubicado “Stokes-multiplier expansion in an inhomogeneous differential equation with a small parameter” de los autores Ólafsdóttir,E. I.; Olde, A. B. y Vanneste, J.[35] Las ecuaciones diferenciales ordinarias han sido trabajadas vinculadas a otros temas, como es el caso de el artı́culo “Asymptotic behavior of the solution to a convection-diffusion problem with bulk chemical reaction in the wake of a particle” de R. G. Akhmetov [19] publicado en el año 2006 y por M. Ilea, M. Turnea, D. Arotariţei y C. M. Toma, en su artı́culo “Differential equations with small parameter with applications in radioimmunotherapy”[27], vinculado a la medicina en su estudio de la penetración de anticuerpos radiomarcados en un tejido que ha sido infectado por un tumor, el cual se llevó a cabo con fines diagnósticos y terapéuticos..

(16) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS EDOL CON PARÁMETRO PEQUEÑO.14 “ Approximate synthesis of optimal control over quasilinear stochastic differential equations with a small parameter and Poisson perturbations”[29]. de V. K. Yasinskii, L. I. Yasinskaya, S. V. Antonyuk fue publicado en el 2008 por la revista Cybernetics and Systems Analysis. Las ecuaciones diferenciales, presentes en innumerables investigaciones de especialistas de distintas áreas de las ciencias son una herramienta imprescindible para ellos. Durante este siglo el trabajo con ellas se ha simplificado gracias a los avances tecnológicos, mediante el uso de métosos numéricos, entre otros. En esta última década han habido varios artı́culos referentes a este tema de investigación como son, en el 2010 de I. H. Klyuchnyk “Asymptotic solutions of a linear system with a small parameter in the coefficients of a part of derivatives”[21] y J. M. Garcı́a, en el 2013 “Estudio del comportamiento asintótico de las ecuaciones de Navier-Stokes no autónomas y algunas de sus variantes”[22]. En “Stochastic differential equations of second order with a small parameter”. En el 2015 por M. Kamenskii, M. Quincampoix, S. Pergamenchtchikov[28] los autores consideran problemas de valores lı́mite para ecuaciones diferenciales estocásticas de segundo orden con un parámetro pequeño, y “Second-order differential equations with random perturbations and small parameters” en el 2017[32] por los mismos autores. En el 2012 E. F Mishchenko publicó libro titulado “Differential Equations with Small Parameters and Relaxation Oscillations” [31]. Más reciente, en el año 2016 se dió a conocer el artı́culo “Linear and nonlinear degenerate abstract differential equations with small parameter” de V. B. Shakhmurov, y de A. Bourada, R. También el el 2016 se dió a conocer el artı́culo titulado “Averaging for ordinary differential equations perturbed by a small parameter” de Lakrib, Mustapha ; Kherraz, Tahar ; Bourada, Amel [33]. Guen and M. Lakrib, en 2015 “An Averaging Result for Fuzzy Differential Equations with a Small Parameter”[30] y en el 2017 “Periodic solutions of Liénard–Mathieu differential equation with a small parameter” de Kalas Josef [34]..

(17) Capı́tulo 2 EDOL de segundo orden con parámetro pequeño.. En este capı́tulo se analizarán las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con parámetro pequeño en el término sin derivar y también en la derivada de orden superior. Primeramente se verán los casos con coeficientes constantes y coeficientes variable en las ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas con parámetros en el término sin derivar , para ello se utilizará el conocido teorema de la convergencia continua (página 56,[1]) que garantiza la convergencia del problema original al problema lı́mite. Finalmente se verán las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes y parámetro pequeño en la derivada de orden superior, donde se trabajará con el concepto de ecuación complementaria caracterı́stica [7], ası́ como los de transformada de Laplace y producto de convolución[5].Es necesario aclarar que en esta investigación se está trabajando con el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo de la forma [0,b]. En algunos casos se verán ejemplos y se desarrollarán programas que faciliten el cálculo del error estimado.. 15.

(18) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.16. 2.1.. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y parámetro pequeño en la función incógnita.. Sea la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes siguiente: ŷ00 (x) + a1 ŷ0 (x) + a0 ŷ (x) = 0. (2.1). Ŷ (0) = y1 Ŷ0 (0) = y2 Como ecuación lı́mite cuando  → 0 se tiene. y000 (x) + a1 y00 (x) = 0. (2.2). Con las mismas condiciones iniciales. Sea z(x) = y 0 (x) por tanto z 0 (x) = y 00 (x) se obtiene una nueva ecuación diferencial z 0 (x) + a1 z(x) = 0 De donde, dado que es una ecuación diferencial homogénea: R z(x) = c1 e− a1 dx z(x) = c1 ea1 x. (2.3). Luego: y00 (x) = z(x) = c1 ea1 x −c1 a1 x e + c2 a1 Teniendo en cuenta las condiciones iniciales del problema: y0 (0) = y1 y00 (0) = y2 Se obtiene: 1 −a1 (0) y1 = y(0) = −c e + c2 = −c1 a1 + c2 a1 Z. y0 (x) =. y2 = y 0 (0) =. −c1 a1. c1 e−a1 x dx =. − a1 e−a1 (0) = c1. ⇒ c1 = y2 y c2 = y1 +. y2 a1. (2.4).

(19) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.17 Llámese Y0 (x) a la solución lı́mite. Luego como solución lı́mite se ha obtenido la siguiente: y2 1 − y2 e−a1 x (2.5) a1 a1 A continuación se obtendrá una solución mediante métodos analı́ticos, la cual depende del parámetro. Se partirá del problema original (2.1) con sus respectivas condiciones iniciales. Del cual su ecuación caracterı́stica serı́a la siguiente: λ2 + a1 λ + a0 = 0 Y su discriminante: D = a21 − 4a0 obteniendo como soluciones: Y0 (x) = y1 +. −a1 + λ1 = 2. −a1 − λ2 = 2. √. D. √. D. (2.6). (2.7). Como solución al problema se tendrá la siguiente ecuación: Ŷ = c1 e. √ −a1 + D x 2. + c2 e. √ −a1 D x 2. Teniendo en cuanta las condiciones iniciales del problema. (2.8).

(20) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.18 y1 = y(0) = c1 e. √ −a1 + D (0) 2. + c2 e. √ −a1 − D (0) 2. = c1 + c2. ⇒ c1 = y1 − c2 √. y2 = ŷ0 (0) = c1 −a1 +2 = c1 −a1 +2. √ D. D. e. √ −a1 + D (0) 2. √. + c − 2 −a12. y2 = (y1 − c2 ) −a1 +2 √. y2 = y1 ( −a1 +2. D. √. D. √. + c − 2 −a12. D. e. √ −a1 − D (0) 2. D √. + c − 2 −a12. D. √ ) − c2 D. √. ⇒ c2 = y1 −a21√+D D −. y2 √ D. Llámese Ŷ (x) Luego, se tiene: √ √ √ √ −a1 − D y1 D + a1 −a1 + D x −a1 + D 1 √ Ŷ (x) = [ √ + y1 √ + [y1 ]e 2 − y2 √ ]e 2 x D 2 D 2 D D. (2.9). Donde D = a21 − 4a0 Conociendo que Ŷ (x) = Y0 (x) + Y (x) Donde Y (x) es la diferencia entre la solución del problema original y el problema lı́mite. Entonces: Y (x) = Ŷ (x) − Y0 (x) Luego: Y (x) =. −y1 − ay21. 1 +[ √yD. √. √ D. −a1 + √ 1 ]e 2 +y1 2D+a D. x. √ +[y1 −a21√+D D. −y2 √1D ]e. √ −a1 − D x 2. +y2 a11 e−a1 x. Por tanto el error que se comete al sustituir la solución del problema original por la solución del problema lı́mite en el intervalo [0,b] es:.

(21) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.19. e() = d(Ŷ (x), Y0 (x)) = máx0≤x≤b | Y (x) |. = máx0≤x≤b | −y1 −. y2 a1. + [√. y1 a21 −4a0. √2 √2 a1 −4a0 +a1 −a1 + a1 −4a0 x 2 + y1 √ 2 ]e 2. a1 −4a0. √2 p −a1 − a1 −4a0 −a1 + a21 − 4a0 1 1 x 2 p − y ]e + [y1 + y2 e−a1 x | 2p 2 2 a1 2 a1 − 4a0 a1 − 4a0. (2.10). Para facilitar el cálculo del error se ha desarrollado un pequeño programa que realiza las operaciones necesarias basándose en la ecuación anterior. Este software desarrollado en Python (Anexo 1)3.2.1 calcula el error conociendo los coeficientes, las condiciones iniciales y el parámetro. Este es el que se ha utilizado para realizar la tabla de errores que se presenta en el ejemplo siguiente.. 2.1.1.. Ejemplo. Sea: y 00 (x) + 4y 0 (x) + y(x) = 0. (2.11). y(0) = 10 y 0 (0) = 1 Luego se tiene como solución aproximada: 1 Y0 (x) = 10, 25 − e−4x 4 Para esta solución se verá a continuación el error que se comete. Se trabajará el problema en el siguiente intervalo: 0 < x < 100. . error. (0 < x < 100). 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001. 9.41643355954 2.26342105349 0.252448857685 0.0255276928157 0.0025556204434 0.000255590579146. (2.12).

(22) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.20. 2.2.. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables y parámetro pequeño en el término sin derivar. Sea la ecuación diferencial siguiente: ŷ00 (x) + a1 (x)ŷ0 (x) + a0 (x)ŷ (x) = 0. (2.13). Ŷ (0) = y1 Ŷ0 (0) = y2 Tal que cuando el parámetro tiende a cero se tiene la siguente ecuación: y000 (x) + a1 (x)y00 (x) = 0. (2.14). Luego, sea z(x) = y00 (x) se tiene: z 0 (x) + a1 (x)z(x) = 0 Entonces: dz = −a1 (x)z(x) dx ⇒. R. dz z(x). =−. R. ⇒ ln|z(x)| = −. a1 (x)dx R. a1 (x)dx. Luego z(x) = ce−. R. a1 (x)dx. Llamemos Y0 a la solución lı́mite, se tiene que: Z R Y0 (x) = c1 + e− a1 (x)dx + c2. (2.15). (2.16). Teniendo en cuenta las condiciones iniciales de la ecuación (2.13), y que son las mismas en el problema lı́mite, entonces: y1 (0) = c2 y2 = y00 (0) = c1 e− R. ⇒ c1 = y2 e. R. a1 (0)dx. a1 (0)dx.

(23) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.21 Entonces: R. Y0 (x) = y1 + y2 e. a1 (0)dx. Z. e−. R. a1 (x)dx. dx. (2.17). Para calcular Ŷ (x) (la solución del poblema (2.13) )es recomendable utilizar algún método numérico apropiado. Para el cálculo del error es recomendable calcular una maya de valores utilizando un método numérico y luego evaluando Y0 (x) para cada una de las soluciones y teniendo en cuenta que Ŷ (x) = Y0 (x) + Y (x) y que por tanto el error serı́a según la ecuación (2.17) e() = d(Ŷ (x), Y0 (x)) calcular teniendo como el máximo del módulo de las diferencias de las soluciones de la ecuacion original en cada punto y las de la solución lı́mite. Osea, sean ni valores que se obtienen con el método numérico para cada i y xi al evaluar la solución lı́mite en cada uno de estos puntos luego e() ≈ máxi |ni − xi | En este caso es necesario que cada integral de la ecuación (2.17) integre en términos elementales de manera que se pueda encontrar la expresión de Y0 (x). Es una buena opción llevar la ecuación diferencial que se desee trabajar a un sistema de ecuaciones y resolverla numéricamente mediante métodos como el método de Runge Kutta para sistemas de ecuaciones diferenciales para luego continuar con la estimación del error teniendo en cuenta que al utilizar este método, ası́ como otros, se está incurriendo en un error. Como este caso no se desea analizar a mayor profundidad se deja al lector un mayor desarrollo del mismo..

(24) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.22. 2.3.. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficiente constante y parámetro pequeño en la derivada de orden superior.. Sea la ecuación: a2 ŷ 00 (x) + a1 ŷ(x) + a0 ŷ(x) = f (x). (2.18). yˆ (0) = A0 yˆ0 (0) = A1 Con  > 0 Luego el problema de Cauchy cuando el parámetro tiende a cero serı́a: a1 y 0 (x) + a0 y(x) = f (x) y0 (0) = A0 Como ecuación complementaria caracterı́stica se tiene: a1 t0 + a2 t = 0 ⇒ a2 t + a1 = 0. (2.19). (2.20). a1 (2.21) a2 Luego, el problema se llama regular si la solución de la ecuación complementaria caracterı́stica es negativa. O sea, si a1 > 0 y a2 > 0 o a1 < 0 y a2 <. La solución del problema (2.18) se llama regular si la solución de (2.20) t = − aa12 < 0 t=−. 2.3.1.. Análisis de la convergencia del problema de Cauchy con parámetro pequeño.. Denótese Ŷ (x) a la solución del problema (2.18) y por Y0 (x) a la solución del problema lı́mite (2.19). Hágase Y (x) = Y0ˆ(x) + Y (x) Entonces sustituyendo en (2.18).

(25) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.23 se tiene:  [y000 (x) + y (x)] + a1 [y00 (x) + y0 (x)] + a0 [y0 (x) + y (x)] = f (x) Y como a1 y00 (x) + a0 y0 (x) = f (x) queda: a2 y00 (x) + a1 y0 (x) + a0 y (x) = −a2 y000 (x) Analı́cese entonces las condiciones iniciales. yˆ (0) = y0 (0) + y (0) = A0 ⇒ y (0) = 0. (2.22). yˆ0 (0) = y00 (0) + y0 (0) = A1 ⇒ y0 (0) = A1 − y00 (0). (2.23). f (x) = −a2 y000 (x). (2.24). Denótese Y supóngase que f ∈ A Sea entonces el problema de Cauchy a2 y00 (x) + a1 y 0 (x) + a0 y (x) = f (x). (2.25). Y (0) = 0 Y0 (0) = A1 − Y00 Con las condiciones iniciales (2.22) y (2.23). Si se prueba que Y (x) → 0 cuando  → 0+ , o sea, si se establecen las condiciones necesarias para que Y (x) → 0 cuando  → 0+ , entonces se tendrán las condiciones para que el problema de Cauchy original (2.18) converja a la solución del problema lı́mite (2.19). La solución de la ecuación diferencial homogénea (2.25) tiene como ecuación caracterı́stica la siguiente a2 λ2 + a1 λ + a0 = 0 √ −a1 + a21 −4a2 a0 λ1 = 2a2 √2 −a1 − a1 −4a2 a0 λ2 = 2a2.

(26) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.24 Entonces:. √ −a1 +. Yh (x) = c1 ()e. a2 1 −4a2 a0 x 2a2. √ −a1 −. + c2 ()e. a2 1 −4a2 a0 x 2a2. (2.26). Luego Y (x) = Yh (x) + Yp (x) Donde Yh (x) es la solución homogénea y Yp (x) la solución particular. Se tendrı́a entonces como condiciones iniciales de la ecuación homogénea Yh (0) = 0. (2.27). Yh0 (0) = A1 − Y00 (0) = A01. (2.28). Y como condiciones iniciales de la ecuación particular Yp (0) = 0. (2.29). Yp0 (0) = 0. (2.30). A continuación se determinará los ck , k = 1, 2, que satisfacen estas condiciones para el caso homogéneo. Para ello se construye el sistema. Yh (0) = c1 () + c2 () = 0 √. Yh0 (0). =. −a1 +. a21 −4a2 a0 c1 () 2a2. s1 () = s2 () =. + √. −a1 +. −a1 −. −a1 −. √. a21 −4a2 a0 c2 () 2a2. = A01. a21 −4a2 a0 2a2. √. a21 −4a2 a0 2a2. Entonces queda c1 () + a2 () = 0 s1 ()c1 () + s2 ()c2 () = A01 c1 () + a2 () = 0 multiplicando la ecuación por(−s2 ()).

(27) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.25 Sumando ordenadamente −s2 ()c1 () − s2 ()a2 () = 0 s1 ()c1 () + s2 ()c2 () = A01 Se tiene (s1 () − s2 ())c1 () = A01 ⇒ c1 () =. A01 s1 ()−s2 (). =√. a2 A01 a21 −4a2 a0. Busqueda de c2 () c1 () + a2 () = 0 multiplicando la ecuación por (−s1 ()) Sumando ordenadamente −s1 ()c1 () − s1 ()a2 () = 0 s1 ()c1 () + s2 ()c2 () = A01 Queda c2 ()(s2 () − s1 ()) = A01 ⇒ c2 () =. A01 s2 ()−s1 (). 0. −a A =√2 2 1. a1 −4a2 a0. Luego la solución de la ecuación homogénea (2.25) es: Yh (x) = √ O sea:. a2 A01 a21 −4a2 a0. es1 ()x − √. a2 A01 a21 −4a2 a0. es2 ()x. a2 (A1 − Y00 (x)) s1 ()x a2 (A1 − Y00 (x)) s2 ()x Yh (x) = p 2 e − p 2 e a1 − 4a2 a0 a1 − 4a2 a0. Búsquese entonces las expresiones de s1 ()y s2 () cuando  → 0+ Se tiene que: √ −a1 + a21 −4a2 a0 s1 () = 2a2. (2.31).

(28) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.26 cuando  → 0 es una forma indeterminada Aplicando L’Hospital lı́m→0+ s1 () = lı́m→0+. 0 0. 2 1 (−4a0 a2 )(a1 −4a2 a0 ) 2 2a2. −1 2. = lı́m→0+. a2. √−a2 0 a2. a1 −4a0 a2. =. −a0 a1. Se puede verificar el resultado multiplicando por la conjugada en vez de aplicar L’Hospital. Por otra parte √ −a1 − a21 −4a2 a0 s2 () = 2a2 1 lı́m→0+ s2 () = lı́m→0+ −a = −∞ a2  Pues el problema es regular, o sea,. 2.3.2.. −a1 a2. <0. Solución del problema homogéneo (2.25). Teniendo encuenta los lı́mites cuando  → 0+ de s1 () y s2 () es evidente que de (2.27): lı́m→0 Yh (x) = 0 Luego si se prueba que cuando  → 0+ entonces Yp (x) → 0 se tendrá que la solución de (2.18) tiende a la solución del problema lı́mite (2.19) cuando  → 0. Primeramente se analizará el caso especial en que exista la derivada segunda de Y0 (x), por las condiciones del problema fı́sico analizado y 00 (0) = 0. Se tiene entonce que la solución de (2.25) es homogénea y (2.27) será la solución del problema original. Como el segundo término de la solución (2.31) es un infinitesimal de segundo orden, se podrı́a acotar para un  > 0 determinado por la expresión: 0. a (A −Y (0)) | es1 () | Yh (x) |=| √2 2 1 0 a2 −4a2 a0. Si. −a0 a1. > 0 entonces la expresión del error máximo si se trabaja en [0,b] es: a0. 0. − b a2 (A1 −Y0 (0)) eh () =  | √ | e a1 2 a2 −4a2 a0. (α). Si − aa10 < 0 entonces se puede acotar por: 0. a2 (A1 −Y0 (0)) eh () =  | √ | 2 a2 −4a2 a0. (α1 ).

(29) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.27. 2.3.3.. Análisis del problema no homogéneo.. Analı́cese ahora el caso original en el que ∃Y 00 (x) y Y 00 (0) 6= 0. Solamente falta para probar la convergencia a cero cuando  → 0+ que lı́m→0+ Yp (x) = 0. Recuérdese que Yp (x) es la solución particular del problema homogéneo de Cauchy (2.25) con las condiciones iniciales (2.29) y (2.30), esto es: Yp (0) = 0 Yp0 (0) = 0 Para resolver el problema se utiliza la transformada de Laplace. Aplicando transformada de Laplace en (2.25) 0 00 (x)} + L{a0 yp } = L{f (x)} (x)} + L{a1 yp L{a2 yp. De acuerdo con las condiciones iniciales de Yp (x) se tiene que: 0 00 (0) = s2 Y (s) (x)} = s2 L{yp (x)} − syp (0) − yp L{yp 0 (x)} = sL{yp } − yp (0) = sY (s) L{yp. Si se denota L{f }(x) = F (x) se tiene. a2 s2 Y (s) + a1 sY (s) + a0 Y (s) = F (s) Luego. Y (s) = =. F (s) a2 s2 +a1 s+a0. F (s) (s−s1 ())(s−s2 ()). 1 Llámese K (s) = (s−s ())(s−s , se debe determinar k (s) = L−1 {K (s)} 1 2 ()) 1 (s−s1 ())(s−s2 ()). Luego. =. A s−s1 (). +. B s−s2 (). =. A(s−s2 ())+B(s−s1 ()) (s−s1 ())(s−s2 ()).

(30) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.28 A + B = 0 ⇒ A = −B −(As2 () + Bs1 ()) = 1 −(As2 () − As1 ()) = 1 As1 () − As2 () = 1 ⇒A=. 1 s1 )−s2 (). =√. a2 a21 −4a0 a2 a2 a21 −4a0 a2. 1 ⇒ B = − s1 ()−s = −√ 2 (). Luego K (s) = s−sA () − s−sA () 1 2. h. k (x) = A L. −1. { s−s11 () }. −L. −1. i. { s−s12 () }.   k (s) = A es1 ()s − es2 ()s Aplicando el operador convolución se tiene. Yp (x) = √. Rx. a2 2 a1 −4a0 a1. 0.  f (s) es1 ()(x−s) − es2 ()(x−s) ds. Luego. Yp (x) = √. a2 a21 −4a0 a1. 2 a22. Rx. Yp (x) = p 2 a1 − 4a0 a1. 0.  (−a2 y000 (s)) es1 ()(x−s) − es2 ()(x−s) ds. Z. x. y000 (s). . s1 ()(x−s). e. 0. Luego lı́m→0+ Yp (x) = 0. s2 ()(x−s). −e. . ds. (2.32).

(31) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.29 Esto sucede debido a que todas las funciones en la integral pertenecen a la clase A y se encuentran acotadas en el intervalo dado y convergen uniformemente a la función lı́mite. De la expresión de Yp (x) y el teorema sobre la derivabilidad bajo el signo de integral queda claro que Yp (x) satisface las condiciones homogéneas. Yp (0) = 0 y Yp0 (0) = 0 Si el problema regular, entonces: lı́m→0+ s1 () = 0 lı́m→0− s2 () = −∞ Entonces en (2.33) se puede hacer una acotación en la forma siguiente:. ep () =| Yp (x) |≤ √. 2 a22 b a21 −4a0 a2. a0. máx0≤x≤b | y000 (x) | e− a1 b (β). si − aa01 > 0 ó 2 a22 b ep () =| Yp (x) |≤ √ 2 máx0≤x≤b | y000 (x) ≤| β1 a1 −4a0 a)2. si − aa10 < 0 Luego para el cálculo del error en el intervalo[0,b] e() se conoce que como Y (x) = Ŷ (x) − Y0 (x) entonces e() = d(Ŷ (x), Y0 (x)) = máx0≤x≤b |Y (x)| = máx0≤x≤b |Y (x)| Como Y (x) = Yh (x) + Yp (x) entonces la expresión del error máximo será el módulo de la suma de α y β en caso de que − aa01 > 0 o la suma de α1 y β1 en caso de que − aa01 < 0, o sea: a a2 (A1 − Y00 (0)) − aa0 b 2 a2 b − 0b e() ≈ | | p 2 |e 1 |+ p 2 2 máx |y000 (x)|e a1 a2 − 4a2 a0 a1 − 4a0 a2 0≤x≤b. (2.33).

(32) CAPÍTULO 2. EDOL DE SEGUNDO ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO.30 si − aa10 > 0, o a2 (A1 − Y00 (0)) 2 a2 b e() ≈ | | p 2 | | +p 2 2 máx |y000 (x)| 0≤x≤b a2 − 4a2 a0 a1 − 4a0 a2. (2.34). si − aa10 < 0. Pero como β y β1 son infinitesimales de segundo orden con respecto a  en la práctica el error se puede expresar como el módulo de α o α1 . Para facilitar el cálculo del error estimado se ha elaborado un programa (Anexo 2)3.2.1 que lo calcula conociendo los coeficientes y las condiciones de Cauchy con el cual se realizarán los cálculos necesarios en el ejemplo que se observará a continuación. En caso que se necesite mayor exactitud en el cálculo del error se puede calcular incluyendo β y β1 .. 2.3.4.. Ejemplo.. Sea: 6y 00 (x) + y 0 (x) + 25y = 1. (2.35). Y (0) = 0 Y 0 (0) = 2 x ∈ [0, 40] Luego se tiene como problema lı́mite: y00 (x) + 25y0 = 1 1 −25x e + ⇒ Y0 (x) = − 25. 1 2. ⇒ Y0 (0) = 1. Entonces, según el parámeto en este problema el error que se comete al sustituir la solución del problema original por la solución del problema lı́mite es: . error. (0 < x < 100). 0.0001 0,000618852747755 0.00001 6,01808140714x10−5 0.000001 6,00180081041x10−6 0.0000001 6,0001800081x10−7.

(33) Capı́tulo 3 EDOL de tercer orden con parámetro pequeño. En este capı́tulo se realizará un análisis de las ecuaciones diferenciales de tercer orden lineales no homogéneas con coeficientes constantes y parámetro pequeño en la derivada de orden superior, donde las funciones que las conforman son continuas para todo x ∈ [0, b]. Este está compuesto con dos epı́grafes: el primero sobre ecuaciones diferenciales de tercer orden con coeficientes constantes no homogéneas con el parámetro situado en la derivada de mayor orden, donde el término sin derivar está multiplicado por cero, y por último las ecuaciones generales que presentan todos los términos. Es necesario el dominio de conceptos como ecuación complementaria caracterı́stica,[7] transformada de Laplace y producto de convolución,[5] mencionados en el capı́tulo anterior. En el presente se trabajará la búsqueda del error que se comete al sustituir la solución del problema original por la solución del problema lı́mite y se ejemplificarán ambos casos en los cuales se observará una tabla con algunos errores apoyado en software computacionales.. 31.

(34) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO32. 3.1.. Ecuaciones diferenciales de tercer orden con coeficientes constantes y parámetro pequeño en la derivada de orden superior en el caso que no aparece la función incógnita sin derivar.. Sea el siguiente problema de Cauchy a3 ŷ000 (x) + a2 ŷ 00 (x) + a1 ŷ0 (x) = f (x). (3.1). ŷ (0) = A0 ŷ0 (0) = A1 ŷ00 (0) = A2 Donde  > 0 y f (x) ∈ A Luego el problema lı́mite cuando  → 0+ serı́a a2 y000 (x) + a1 y00 (x) = f (x). (3.2). y0 (0) = A0 y00 (0) = A1 La ecuación complementaria caracterı́stica en este caso seria la siguiente: a3 t + a2 = 0 Como solución t = − aa32 El problema será regular si la solución de la ecuación complementaria caracterı́stica es negativa..

(35) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO33. 3.1.1.. Análisis de la convergencia de la solución del problema de Cauchy con parámeto pequeño. Denótese por Ŷ (x) la solución del problema (3.1) y por Y0 (x) la solución del problema lı́mite (3.2). Hágase Ŷ (x) = Y0 (x) + Y (x) Entonces sustituyendo en (3.1) se tiene a3 [y0000 (x) + y000 (x)] + a2 [y000 (x) + y00 (x)] + a1 [y00 (x) + y0 (x)] = f (x) Como a2 y00 (x) + a1 y00 (x) = f (x) Queda a3 y000 (x) + a2 y00 (x) + a1 y0 (x) = −a3 y0000 (x) Analı́cese entonces las condiciones iniciales. ŷ (0) = y0 (0) + y (0) = A0 ⇒ y (0) = 0 ŷ0 (0) = y00 (0) + y0 (0) = A1 ⇒ y0 (0) = 0 ŷ00 (0) = y000 (0) + y00 (0) = A2 ⇒ y00 (0) = A2 − y000 (0) Denótese f (x) = −a3 y0000 (x). Suponiendo que f (x) ∈ A, para lo cual bastarı́a con que y0000 (x) ∈ A, entonces: Sea el siguiente problema de Cauchy a3 y000 (x) + a2 y00 (x) + a1 y0 (x) = f (x). (3.3). y (0) = 0 y0 (0) = 0 y00 (0) = A2 − y0000 (0) Si se prueba que y (x) → 0 cuando  → 0+ , con las condiciones correspondientes para que esto ocurra entonces se tiene, de hecho, las condiciones para que la solución del problema de Cauchy converja a la solución del problema lı́mite..

(36) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO34. 3.1.2.. Reducción del orden del problema (3.1). Hágase z (x) = y0 (x) luego se tiene a3 z00 (z) + a2 z0 (x) + a1 z (x) = f (x). (3.4). z (0) = 0 z0 (0) = A2 − y000 (0) El problema lı́mite correspondiente es: a2 z00 (x) + a1 z0 (x) = f (x). (3.5). z(0) = 0 Entonces se obtiene un problema similar al resuelto en el epı́grafe 2.3. Luego para obtener la solución de este problema de la parte homogénea y la parte perticular se realiza el procedimiento de manera homóloga al caso mencionado. De donde: √2 √2 −a2 +. Yh (x) = c1 ()e. a2 −4a3 a1 x 2a3. −a2 −. + c2 ()e. a2 −4a3 a1 x 2a3. (3.6). Estableciendo las condiciones iniciales en la solución de la parte homogénea se tiene: 0 zh (0) = A2 − y000 (0). zh (0) = 0. (3.7). Luego las condiciones iniciales para la particular serı́an: 0 zp (0) = 0. zp (0) = 0. (3.8). Llámese a continuación A02 = A2 − y000 (0). Entonces c1 () =. A02 s1 ()−s2 (). =√. a3 A02 a22 −4a3 a1. 0. −a A c2 () = √ 2 3 2. a2 −4a3 a1. Luego la solución homogénea del problema (3.4) es: zh (x) = √. a3 A02 a22 −4a3 a1. es1 ()x − √. a3 A02 a22 −4a3 a1. es2 ()x.

(37) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO35 Luego a3 (A2 − y000 (0)) s1 ()x a3 (A2 − y000 (0)) s2 ()x zh (x) = p 2 e − p 2 e a2 − 4a3 a1 a2 − 4a3 a1. (3.9). Donde s1 () = s2 () =. −a2 +. √. −a2 −. a22 −4a3 a1 2a3. √. a22 −4a3 a1 2a3. Como antes Yh (x) → 0 cuando  → 0+ entonces Rx Yh (x) = 0 zh (x)dx De esta forma se cumple la condición inicial que faltaba y Rx Rx lı́m→0 Yh (x) = lı́m→0+ 0 Zh (x)dx = 0 lı́m→0+ Zh (x)dx = 0 Luego el problema inicial converge al problema lı́mite cuando  → 0+ si el problema es regular.. 3.1.3.. Determinación del error cometido en la solución homogénea. Como el segundo término es infinitesimal superior en orden al primero, se puede acotar de la siguiente forma:. | Yh (x) |=. Rx 0. 00. 3 (A−2−y0 (0)) | a√ | es1 ()x dx 2. a2 −4a3 a1. Luego se tiene: si − aa21 > 0 entonces la expresión del máximo del error para la parte homogénea si se trabaja en [0, b] es:.

(38) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO36. a3 (A2 − y000 (0)) − aa1 b eh () = b | p 2 |e 2 a2 − 4a3 a1. (3.10). a3 (A2 − y000 (0)) | eh () = b | p 2 a2 − 4a3 a1. (3.11). si − aa21 < 0. 3.1.4.. Convergencia a cero de la solución particular Yp (x). Como se ha visto anteriormente, aplicando la transformada de Laplace y la convolución se obtiene para el problema (3.4) la solución. Zp (x) = √. 2 a23. Rx 0. a22 −4a3 a1. y000 (s)(es2 ()(x−s) − es1 ()(x−s) )ds. Entonces:. Yp (x) = √. 2 a23 a22 −4a3 a1. RxRx 0. 0. y000 (s)(es2 ()(x−s) − es1 ()(x−s) )ds. Es evidente que lı́m→0+ Yp (x) = 0 Por lo analizado anteriormente en el caso homogéneo se puede hacer la acotación del máximo del error en la solución particular de la forma siguiente: a. − a1 b. ep () =| Yp (x) |≤ 2 a23 b2 máx | Y000 (x) | e 0≤x≤b. 2. (3.12). si − aa21 > 0 O si − aa21 < 0 ep () =| Yp (x) |≤ 2 a23 b2 máx | Y000 (x) | 0≤x≤b. (3.13). Como Ŷ (x) = Yh (x) + Yp (x), entonces el error máximo total es el módulo de la suma de eh () y ep () en cada caso..

(39) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO37 a1. 00. 3 (A2 −y0 (0)) | e− a2 b e() = d(Ŷ (x), Y0 (x)) = máx0≤x≤b |Y (x)| ≈ b | a√ 2. a2 −4a3 a1 a1. + | Yp (x) |≤ 2 a23 b2 máx0≤x≤b | Y000 (x) | e− a2 b si − aa21 > 0 00. 3 (A2 −y0 (0)) | e() = d(Ŷ (x), Y0 (x)) = máx0≤x≤b |Y (x)| ≈ b | a√ 2. a2 −4a3 a1. + | Yp (x) |≤ 2 a23 b2 máx0≤x≤b | Y000 (x) | si − aa21 < 0 En la práctica el error final se puede expresar con bastante exactitud por el módulo de las expresiones (3.10) y (3.11), pues las expresiones del error correspondientes a la solución particular Yp (x) son infinitesimales de segundo orden con respecto a , o sea:. si − aa21 > 0. a2 (A2 − y000 (0)) − aa1 b |e 2 | e() ≈| b | p 2 a2 − 4a3 a1. (3.14). a2 (A2 − y000 (0)) e() ≈| b | p 2 | a2 − 4a3 a1. (3.15). si − aa21 < 0 Para facilitar el cálculo del error se implementó un pequeño programa (Anexo 3 ) 3.2.1 que ejecuta la fórmula anteriormente obtenida conociendo los datos necesarios, el cual facilita el trabajo del investigador daba calcular este error.. 3.1.5.. Ejemplo R. Sea x [0, 100]: y 000 (x) − y 00 (x) + y 0 (x) = 32 y(0) = 0. (3.16).

(40) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO38 y 0 (0) = 10 y 00 (0) = 0 Luego como ecuación lı́mite se tiene −y000 (x) + y00 (x) = 32 Sea z(x) = y00 (x), entonces se tiene el siguiente problema: −z 0 (x) + z(x) = 32 z(0) = 0 R R R + e− (−1)dx 32e (−1)dx dx R R R R = ce dx + e dx 32e− sx dx. ⇒ z(x) = ce−. R. (−1)dx. = cex + 32x e−x = cex + 32 Daso la condiciòn inicial se tiene que c = −32 y por tanto: x R z(x) = −32e + R 32 R ⇒ y(x) = z(x)dx = −32 ex dx + 32 dx. = −32ex + 32x ⇒ y00 (x) = −32ex + 32 ⇒ y000 (x) = −32ex Luego y000 (0) = −32 Entonces, según el parámeto en este problema el error que se comete al sustituir la solución del problema original por el lı́mite es: . error. (0 < x < 100). 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001. 413.118223595 32.6598632371 3.20641926422 0.320064019206 0.0320006400192 0.00320000640002.

(41) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO39. 3.2.. Ecuaciones diferenciales de tercer orden con coeficientes constantes y parámetro pequeño en le derivada de orden superior. Sea la ecuación. f a3 ŷ000 (x) + a2 ŷ00 (x) + a1 ŷ0 (x) + a0 ŷ (x) = f (x). (3.17). Ŷ (0) = A0 Ŷ0 (0) = A1 Ŷ00 (0) = A2 Con las anteriores condiciones iniciales. Luego el problema lı́mite cuando  → o+ es: a2 y000 (x) + a1 y00 (x) + a0 y0 (x) = f (x). (3.18). Con las condiciones iniciales: Y0 (0) = A0 Y00 (0) = A1. (3.19). En este caso la ecuación complementaria caracterı́stica es: a2 + a3 t = 0 ⇒ t = − aa32 El problema es regular si − aa23 < 0 Denótese como antes, Ŷ (x) a la solución del problema (3.17) y por Y0 (x) a la solución del problema (3.18)-(3.19). Hágase Ŷ (x) = Y0 (x) + Y (x) y se obtiene a3 [y0000 (x) + y000 (x)] + a2 [y000 (x) + y00 (x)] + a1 [y00 (x) + y0 (x)] + a0 [y0 (x) + y (x)] = f (x) Como a2 y000 (x) + a1 y00 (x) + a0 y0 (x) = f (x) queda a3 y000 (x) + a2 y00 (x) + a1 y0 (x) + a0 y (x) = −a3 y0000 (x) Luego, se tienen como condiciones inicilales que:.

(42) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO40 Ŷ (0) = Y0 (0) + Y (0) = A0 + Y (0) = A0 ⇒ Y (0) = 0 Ŷ0 (0) = Y00 (0) + Y0 (0) = A1 + Y0 (0) ⇒ Y0 (0) = 0 Ŷ00 (0) = Y000 (0) + Y00 (0) ⇒ Y00 (0) = A2 − Y000 (0) = A02 Analı́cese ahora el problema de Cauchy a3 y000 (x) + a2 y00 (x) + a1 y0 (x) + a0 y (x) = f (x). (3.20). Y (0) = 0 Y0 (0) = 0 Y00 (0) = A2 − Y000 (0) Donde f (x) = −a0 y0000 (x) Entonces si se establecen las condiciones para que Y (x) converja a cero cuando  → 0+ , se tendrán las condiciones para que la solución del problema original converja a la solución del problema lı́mite. En lo sucesivo se utilizará la siguiente notación. si (), i = 1, 2, 3 son las soluciones de la ecuación caracterı́stica de (3.17). si , i = 1, 2 son las soluciones de la ecuación caracterı́stica de (3.18). t es la raı́z de la ecuación complementaria caracterı́stica. Aplicando Lema 1.1 de la tesis doctoral de L. Batard [7], las raı́ces de la ecuación caracterı́stica de (3.17) tienen la siguiente forma: s1 () = s1 + o(1) s2 () = s2 + o(1) s3 () = t + o(1) Entonces como Y (x) = Yh (x) + Yp (x), se tiene como condiciones iniciales para la solución homogénea y la particular: Condiciones iniciales de la ecuación homogénea: Yh (0) = 0 Yh0 (0) = 0 Yh00 (0) = A2 − Y000 (0) = A02 Condiciones iniciales para la solución particular particular:. (3.21).

(43) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO41 Yp (0) = 0 Yp0 (0) = 0. (3.22). Yp00 (0) = 0 Entonces. Yh = c1 ()e(s1 +o(1))x + c2 ()e(s2 +o(1))x + c3 ()e. t+o(1) x . (3.23). A conticuación se determinarán los ci () con i = 1, 2, 3. Para ello se hará el sistema Yh (0)c1 () + c2 () + c3 () = 0 (3.24) Por otra parte Yh0 (x) = (s1 + o(1))c1 ()e(s1 +o(1))x + (s2 + o(1))c2 ()e(s2 +o(1))x +. t+o(1) t+o(1) x  c ()e 3 . O sea: Yh0 (0) = (s1 + o(1))c1 () + (s2 + o(1))c2 () +. t + o(1) c3 () = 0 . (3.25). De igual forma Yh00 (0). 2. 2. = (s1 + o(1)) c1 () + (s2 + o(1)) c2 () +. .  t + o(1) 2 ) c3 () = A02 . A continuación se determinarán c1 , c2 y c3 . 0 1 1 t+o(1) c1 = 0 s2 + o(1)  0 A2 (s2 + o(1))2 ( t+o(1) )2  El determinante del sistema es:. 1 1 1 t+o(1) s2 + o(1) A = s1 + o(1)  t+o(1) 2 2 2 (s1 + o(1)) (s2 + o(1)) (  ). (3.26).

(44) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO42 que Por 1 a1 a21. es un determinante de Vandermonde de tercer orden. ejemplo, para 1 1 a2 a3 = (a2 − a1 )(a3 − a1 )(a3 − a2 ) a22 a23. Por tanto. A = [(s2 + o(1)) − (s1 + o(1))][ t+o(1) − (s1 + o(1))][ t+o(1) − (s2 + o(1))]   1 −o(1) t+o(1)−s2 −o(1) ][ ] A = (s2 − s1 + o(1))[ t+o(1)−s  . Luego se puede expresar el determinante del sistema como. A=. (s2 −s1 +o(1))(t+o(1)−s1 )(t+o(1)−s2 ) 2. Ahora se buscará la forma de c1 (). c1() = =. ( A02. ( A02. =. t+o(1)  )−s2 +o(1). A. t+o(1)−s2 −o(1) ) . A02. A (t+o(1)−s2 ) . A. O sea:. c1() = c1 () = Por otra parte. (t+o(1)−s2 )  (s2 +o(1)−s1 )(t+o(1)−s1 )(t+o(1)−s2 ) 2. A02. A02 (s2 − s1 + o(1))(t + o(1) − s1 ). (3.27).

(45) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO43. 1 0 1 t+o(1) s1 + 0(1) 0  t+o(1) 2 2 0 (s1 + o(1)) A2 (  ). c2 () =. A. = = =. −A02 [ t+o(1) −s1 +o(1)]  A A02 [s1 +o(1)− t+o(1) ]  A. A02 (s1 +o(1)−t−o(1)) (s2 −s1 +o(1))(t+o(1)−s1 −o(1))(t+o(1)−s2 −o(1)). c2 () =. A02 (s1 − s2 + o(1))(t + o(1) − s2 − o(1)). (3.28). Teniendo en cuenta los infinitesimales de segundo grado se puede hacer la siguiente aproximación:. c2 () =. A02 (s1 −s2 +o(1))(t+o(1)−s2 ). Búsquese ahora c3 (). c3 () =. c3 () =. 1 1 0 s1 + o(1) s2 + o(1) 0 (s+ o(1))2 (s2 + o(1))2 A02 A. 2 A02 (t − o(1) − s2 )(t + o(1) − s1 ). Sustituyendo (3.27), (3.28) y (3.29) en (3.23). Yh (x) =. A02 (s1 +o(1))x (s2 −s1 +o(1))(t+o(1)−s1 ) e. (3.29).

(46) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO44. t+o(1) A02 2 A02 (s2 +o(1))x + + e e  x (s1 − s2 + o(1))(t + o(1) − s2 ) (t + o(1) − s1 )(t + o(1) − s2 ) (3.30). Entonces si el problema es regular, o sea, t = − aa23 < 0 y evidentemente Yh → 0 cuando  → 0+ (siempre que s 6= s2 ) esto debe ocurrir por las fórmulas de Cardano para  suficientemente pequeño.. Determinación del error para la solución homogénea Como el tercer término de (3.30) es un infinitesimal de tercer orden con respeto a , solamente se toman los dos parámetros primeros de (3.30) en la determinación aproximada del error para  pequeño, dado que para los dos términos de (3.30). | Yh |≤ . A2 −Y000 (0) (s2 −s1 +o(1))(t−s1 +o(1)). e(s1 +o(1))x +. A2 −Y000 (0) (s1 −s2 +o(1))(t−s2 ). e(s2 +o(1))x. Como o(1) → 0 cuando  → 0+ y se está considerando x ∈ [0, b], entonces, para el error máximo aproximado se debe considerar cuatro casos para la solución de Yh (x). 1. si s1 , s2 < 0 eh () ≈ . A2 − Y000 (x) A2 − Y000 (0) + (s2 − s1 )(t − s1 ) (s1 − s2 )(t − s2 ). (3.31). 2. si s1 > 0 y s2 < 0 eh () ≈ . A2 − Y000 (0) A2 − Y000 (0) es1 +  (s2 − s1 )(t − s1 ) (s1 − s2 )(t − s2 ). (3.32). A2 − Y000 (0) A2 − Y000 (0) + es2 (s2 − s1 )(t − s1 ) (s1 − s2 )(t − s2 ). (3.33). 3. si s1 < 0 y s2 > 0 eh () ≈ .

(47) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO45 4. si s1 , s2 > 0 eh () ≈ . A2 − Y000 (0) A2 − Y000 (0) es1 b +  e s2 b (s2 − s1 )(t − s1 ) (s1 − s2 )(t − s2 ). (3.34). Análisis de la solución particular Yp → 0 cuando  → 0+ . Recuérdese que Yp (x) es la solución particular del problema de Cauchy (3.20)(3.22), o sea: a3 y000 (x) + a2 y00 (x) + a1 y0 (x) + a0 y (x) = f (x) Yp (0) = 0 Yp0 (0) = 0 Yp00 (0) = 0 Aplicando transformada de Laplace[5] en (3.20) 000 00 0 L{a3 yp (x)} + L{a2 yp (x)} + L{a1 yp (x)} + L{ao yp (x)} = L{f (x)}. De acuerdo a las condiciones iniciales se tiene: 0 00 L{Yp000 (x)} = s3 L{yp (x)} − s2 yp (0) − syp (0) − yp (0) = s3 Y (s) 0 L{Yp00 (x)} = s2 L{yp (x)} − syp (0) − yp (0) = s2 Y (s). L{Yp0 (x)} = sL{yp (x)} − yp (0) = sY(s) Si se denota L{f (x)} = F (s) de (3.35) se obtiene a3 s3 Y (s) + a2 s2 Y (s) + a1 sY (s) + a0 Y (s) = F (s) Luego. Y (s) =. F (s) a3 s3 +a2 s2 +a1 s+a0. Entonces. Y (s) =. F (s) (s−s1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()). (3.35).

(48) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO46 Como se desea aplicar el operador convolución se llamará. K (s) =. 1 (s−s1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()). Primeramente se calculará. k (s) = L−1 { (s−s1 ())(s−s12 ())(s−s3 ()) } Pero 1 (s−s1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()). =. =. A s−s1 (). +. B s−s2 (). +. C s−s3 (). A(s−s2 ())(s−s3 ())+B(s−s1 ())(s−s3 ())+C(s−s1 ())(s−s2 ()) (s−s1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()). =A(s2 −s3 ()−s2 ()+s2 ()s3 ())+B(s2 −s3 ()−s1 ()+s1 ()s3 ())+C(s2 −s1 ()−s2 ()+s1 ()s2 ()) (s−S1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()) =As2 −as3 ()−As2 ()+As2 ()s3 ()+Bs2 −Bs1 ()−Bs3 ()+Bs1 ()s3 ()+Cs2 −Cs1 ()−Cs2 ()+Cs1 ()s2 () (s−s1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()) =(A+B+C)s2 −(As3 ()+As2 ()+Bs3 ()+Bs1 ()+Cs1 ()+Cs2 ())s+As2 ()s3 ()+Bs1 ()s3 ()+Cs1 ()s2 () (s−s1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()). Luego se tiene A+B+C =0 As3 () + As2 () + Bs3 () + Bs1 () + Cs1 () + Cs2 () = 0 As2 ()s3 () + Bs1 ()s3 () + Cs1 ()s2 ( = 1 Se resuelve el sistema en A, B y C por Kramer. El determinante del problema es:. 1 1 1 ∆ = s2 () + s3 () s3 () + s1 () s1 () + s2 () s2 ()s3 () s3 ()s1 () s1 ()s2 () =. s3 () + s1 () s1 () + s2 () ()+s3 () s2 ()s3 () − s1 ()ss22 ()−s + ()s () s ()+s 1 3 1 2 ()−(s3 ()+s1 ()) s1 ()s3 () s1 ()s2 ().

(49) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO47. ∆ = s21 ()(s2 () − s3 ())(s3 () − s1 ()) + s23 ()(s1 () − s2 ()) Teniendo en cuenta el orden de los infinitesimales se puede expresar aproximadamente de la siguiente forma:. ∆=. s21 (s2 −t)+s22 (t−s1 )+t2 (s1 −s2 ) 2. En lo sucesivo se denotará ∆1 = s21 (s2 − t) + s22 (t − s1 ) + t2 (s1 − s2 ) Determinamos A, B y C. A = 2 A=. ∆1. 2 (s1 ()+s2 ()−(s1 ()+s3 ())) ∆1. B = 2 B=. 0 1 1 0 s1 () + s3 () s1 () + s2 () 1 s1 ()s3 () s1 ()s2 () 2 (s2 ()−s3 ()) ∆1. 1 0 1 s2 () + s3 () 0 s1 () + s2 () s2 ()s3 () 1 s1 ()s2 () ∆1. 2 (s1 ()+s2 ()−(s2 ()+s3 ())) ∆1. C = 2. =. =. 2 (s1 ()−s3 ()) ∆1. 1 1 0 s2 () + s3 () s1 () + s3 () 0 s2 ()s3 () s1 ()s3 () 1 ∆1. C=. 2 (s1 ()−s2 ()) ∆1. Teniendo en cuenta las expresiones de A, B y C, se tiene que.

(50) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO48. A=. 2 (s2 +o(1)− t+o(1) )  ∆1. =. 2 (s2 +o(1)−t+o(1) ∆1. Luego. A=.   (s2 + o(1) − t + o(1)) = (s2 − t) ∆1 ∆1. (3.36). De igual forma. B=. 2 ∆1 (s1. + o(1) − B=. t+o(1)  ). 2 (s1 +o(1)−t+o(1)) ∆1 . =.  (s1 − t) ∆1. (3.37). Por otra parte: 2 C = (s1 − s2 ) ∆ Luego sustituyendo (3.38), (3.37) y (3.36) en (3.35) 1 (s−s1 ())(s−s2 ())(s−s3 ()). =. (s2 −t) ∆1 (s−s1 ()). +. (3.38). (s1 −t) ∆1 (s−s2 ()). +. 2 (s1 −s2 ) ∆(s−s3 ()). Por tanto. (s2 −t) −1 1 ∆1 L { (s−s1 ()) }. = =. +. k (s) = (s1 −t) −1 1 ∆1 L { (s−s2 ()) }. (s2 −t) s1 ()s ∆1 e.  ∆1 [(s2. +. (s1 −t) s2 ()s ∆1 e. +. +. 2 (s1 −s2 ) −1 L { (s−s13 ()) } ∆. 2 (s1 −s2 ) s3 ()s e ∆. − t)es1 ()s + (s1 − t)es2 ()s + (s1 − s2 )es3 ()s ]. Aplicando el operador convolución Yp (x) = L−1 {F (s) ∗ K (s)} =. Rx 0. f (s)k (x − s)ds. Como f (x) = −a3 Y0000 (0), queda. Yp (x) =. −2 a3 ∆1. Rx 0. Y0000 (s)k(x − s)ds.

(51) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO49. −2 a3 Yp (x) = ∆1. Z. x. Y0000 (0)[(s2 −t)es1 ()(x−s) +(s1 −t)es2 ()(x−s) +(s1 −s2 )es3 ()(x−s) ]. 0. (3.39). Se tiene que lı́m→0 Yp (x) = 0 pues todas las funciones en la integral están acotadas en [0,b] y convergen uniformemente a la función lı́mite cuando  → o+ . De aquı́ se tiene que lı́m→0 Y (x) = lı́m→0 [Yh (x) + Yp (x)] = 0. Como el problema es regular lı́m→0 s3 () = −∞ El tercer término de la integral (3.39) no influye prácticamente en el error y se puede, por tanto no tener en consideración. Por lo tanto de (3.39) se puede hacer una acotación aproximada en la siguiente forma |Yp (x)| ≤ 2 b. a0 ∆. (máx0≤x≤b |Y 000 (x)|)(máx 0 ≤ x ≤ b|(s2 − t)|es1 ()(x−s) ) + máx0≤x≤b |s1 − t|es2 ()(x−s). Se pueden encontrar expresiones más simples si, por ejemplo, s1 , s2 < 0 se puede acotar de la forma siguiente |Yp | ≤ 2 b. a0 ∆. (máx0≤x≤b |Y 000 (x)|)(|s2 − t| + |s1 − t|). Si los dos son positivos una buena aproximación serı́a |Yp | ≤ 2 b. a0 ∆. (máx0≤x≤b |Y 000 (x)|)(|s2 − t|es1 b + |s1 − t|es2 b ). Luego el error máximo serı́a en cada caso: eP () ≈ 2 b. ep () ≈ 2 b. a0 ∆. a0 ∆. (máx0≤x≤b |Y 000 (x)|)(|s2 − t| + |s1 − t|). (máx0≤x≤b |Y 000 (x)|)(|s2 − t|es1 b + |s1 − t|es2 b ). Los casos en que s1 > 0 y s2 < 0 o s1 < 0 y s2 > 0 se dejan al lector. Como estos últimos son infinitesimales de segundo orden con respecto a los casos de la ecuación homogénea y Ŷ (x) = Y0 (x) + Y (x), en el caso de que el parámetro sea muy pequeño el error en la práctica queda determinado solamente por la parte homogénea..

(52) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO50 e() = d(Ŷ (x), Y0 (X)) = |Y (x)| ≈ |eh ()| + |ep ()|. A2 − Y000 (x) A2 − Y000 (0) a0 + + 2 b ( máx |Y 000 (x)|)(|s2 − t| + |s1 − t|) (s2 − s1 )(t − s1 ) (s1 − s2 )(t − s2 ) ∆ 0≤x≤b (3.40) Si los dos son negativos y si ambos son positivos serı́a:. e() ≈ . A2 − Y000 (0) A2 − Y000 (0) e() ≈  + e s2 (s2 − s1 )(t − s1 ) (s1 − s2 )(t − s2 ). (3.41). a0 ( máx |Y 000 (x)|)(|s2 − t|es1 b + |s1 − t|es2 b ) ∆ 0≤x≤b. (3.42). + 2 b. En la práctica el error se puede calcular de manera efectiva mediante los errores de la parte homogénea debido a que el error de la parte particular es un infinitesimal de segundo orden con respecto a . Para el cálculo de este error se ha desarrollado un programa 3.2.1 que facilita el cálculo de este error y brinda la posibilidad de una mayor exactitud al especialista que necesite conocer el error. Ahora se verá un ejemplo en el cual se utilizará este programa como apoyo para poder visualizar este error en un caso concreto.. 3.2.1.. Ejemplo 2y 000 (x) + y 00 (x) − 4y 0 (x) − 32y = 0. y(0) = 0 y 0 (0) = 3 y 00 (0) = 0 x ∈ [0, 100] Luego como problema lı́mite se tiene: y000 (x) − 4y00 (x) − 32y = 0 y0 (0) = 0 y00 (0) = 3. (3.43).

(53) CAPÍTULO 3. EDOL DE TERCER ORDEN CON PARÁMETRO PEQUEÑO51 La ecuación caracterı́stica correspondiente a este problema es: λ2 − 4λ − 32 ⇒ λ1 = −4 y λ = 8 ⇒ y0 (x) = c1 e4x + c2 e−8x Dada las anteriores condiciones iniciales se puede formar el siguiente sistema: 0 = c1 + c2 3 = 4c1 − 8c2 ⇒ c1 =. 1 4. y c2 = − 14. Luego la solución al problema lı́mite es: 1 4x e 4. − 14 e−8x. ⇒ y000 (x) = 4e4x − 16e−8x ⇒ y000 (0) = −12. Entonces, según el parámeto en este problema el error que se comete al sustituir la solución del problema original por el lı́mite es: . error. (0 < x < 100). 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001. 230.304460542 51.4175664932 5.87004366258 0.595439374793 0.0596296238014 0.00596382060095.

(54) Conclusiones En la presente tesis se analiza como determinar el error que se comete al sustituir la solución del problema original por la solución del problema lı́mite en una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo y tercer orden con parámetro pequeño y se haya una forma de calcularlo en cada caso. Como se puede apreciar en los resultados expuestos en la presente tesis sobre ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo y tercer orden con parámetro pequeño los conceptos y procedimientos utilizados permiten simplificar de una manera notable los problemas vinculados a la solución de estas ecuaciones y, además, obtener el error máximo cometido al eliminar el término con parámeto pequeño en el problema original, lo cual hace posible la aplicación de los mismos a diversos problemas de la ciencia y la técnica. A partir de las técnicas utilizadas, que están apoyadas principalmente en investigaciones anteriores del grupo de ecuaciones diferenciales de la facultad de Matemática-Fı́sica-Computación, se pueden generalizar los resultados obtenidos a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con parámetro pequeño de mayor orden.. 52.

(55) Bibliografı́a [1] Elsgoltz, L. (1977) “Ecuaciones Diferenciales y Cálculo variacional”. (libro, segunda edición) Editorial Mir. Moscú. [2] Kiseliov, L. S. (1979). “Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias”. (libro) Editorial Mir. Moscú. [3] Pontriaguin, L. S. (1981) “Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”. (libro) Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. [4] Kolmogorov, A. N. y Fomen, S. V. (1975) “Elementos de la Teorı́a de Funciones y del Análisis Funcional”. (libro) Editorial Mir. Moscú. [5] Céspedes, M. A. (1989) “Transformada de Laplace con aplicaciones”. (libro) Combinado Poligráfico “Osvaldo Sánchez”. La Habana. Cuba. [6] Batard, L. F. (1990) “Análisis de la convergencia de las Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, lineales y no homogéneas con parámetro pequeño”. Revista Ciencias Matemáticas. Vol XI. No 2. La Habana. Cuba. [7] Batard, L. F. “Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y el problema de Riemann con parámetro pequeño”. Tesis doctoral. UCLV. Santa Clara. Cuba. [8] Fernández, J. L. y De la Torre, G.(1984) “Análisis Matemático”. Tomo IV. (libro) Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. [9] Fernández, J. L. y De la Torre, G.(2003) “Análisis Matemático”. Tomo V. (libro)Segunda edición. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba.. 53.

(56) BIBLIOGRAFÍA. 54. [10] Friedrichs, K, O y Wasow, W. R. (1946). “Singular perturbation of non-linear oscilations”. Duke Mathematical Journal. Vol 13. no 3 (367-381) [11] Tijonov, A. N.(1952) “System of diferential equations containing small parameter in the derivates ”. Mat. Sb. (N.S.), Vol 31(73), no 3, pp. 575–586. [12] Sibuya, Y.(1962) “Asymptotic Solutions of a System of Linear Ordinary Differential Equations Containing a Parameter”. Funkcialaj Ekvacioj, 4, pp. 83-113 [13] Levin, J. J. y Levinson, N. (1954) “Singular Perturbations of Non-linear Systems of Differential Equations and an Associated Boundary Layer Equation”. Journal of Rational Mechanics and Analysis Vol. 3, pp. 247-270 [14] Pontryagin, L. S. y Rodygin, L. V. (1960) “Periodic solution of a system of ordinary differential equations with a small parameter in the terms containing derivatives”. Dokl. Akad. Nauk SSSR. Vol 132. no 3. pp. 537–540. [15] Bogoliubov, N.N. (1945) “On Some Statistical Methods in Mathematical Physics”. Izv.vo Akademiia nauk Ukrainskoi SSR, Kiev. [16] Kevorkian, J. y Cole, J.D. (1981) “Perturbation Methods in Applied Mathematics”. (libro) Springer-Verlag. New York [17] Safaryan, R. G. y Sarafyan, V. V. (1984) “Asymptotic behavior of the solution of the Dirichlet problem for a differential operator with a small parameter”. Ukr. Mat. Zh. Vol 36, no 6, pp. 734 – 737 [18] Goering, H.; Felgenhauer, A.; Lube, G.; Roos, H. G. y Tobiska, L. (1983) “ Singularly perturbed differential equations”. (Libro) Akademie-Verlag. Berlı́n. [19] Akhmetov, R. G. (2006) “Asymptotic behavior of the solution to a convectiondiffusion problem with bulk chemical reaction in the wake of a particle”. Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol 46, pp 796–809 . [20] Hovhannisyan, G. (2007) “Asymptotic stability and asymptotic solutions of second-order differential equations”. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 327, Pages 47-62.

(57) BIBLIOGRAFÍA. 55. [21] Klyuchnyk, I. H. (2010) “Asymptotic solutions of a linear system with a small parameter in the coefficients of a part of derivatives”. Nonlinear Oscillations. Vol 13, pp 35–44. [22] Garcı́a, J. M. (2013) “Study of the asynmptotic behavioru of the nonautonomous Navier-Stokes equations and some of their variations. ” Tesis doctoral. Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico. Universidad de Sevilla. [23] Hoppensteadt, F. (1971) “Properties of solutions of ordinary differential equations with small parameters”. https://doi.org/10.1002/cpa.3160240607 [24] DISHLIEV, A. B. y BAINOV, D. D. (1987) “ Continuous Dependence on the Initial Condition of the Solution of a System of Differential Equations with Variable Structure and with Impulses”. RIMS. Kyoto Univ. ,pp 923-936. [25] Kamocki, R. y Majewski, M. (2017) “On the Existence and Continuous Dependence on Parameter of Solutions to Some Fractional Dirichlet Problem with Application to Lagrange Optimal Control Problem”. ournal of Optimization Theory and Applications. Vol 174, pp 32–46 [26] Boroni, G. ; Lotito, P. y Clausse, A. (2006)“Estimación del error en sistema de ecuaciones algebraicos diferenciales perturbadas ”. Mecánica Computacional. Vol XXV, pp 1101-1112. Argentina. [27] Ilea, M.; Turnea, M.; Arotariţei, D. y Toma, C.M. (2010) “Differential equations with small parameter with applications in radioimmunotherapy.” Rev Med Chir Soc Med Nat Iasi. pp937-42. [28] Kamenskii, M. Quincampoix, M. y Pergamenchtchikov S. (2015) “Stochastic differential equations of second order with a small parameter”. Math.PR. [29] Yasinskii, V. K.; Yasinskaya, L. I. y Antonyuk, S. V. (2008) “Approximate synthesis of optimal control over quasilinear stochastic differential equations with a small parameter and Poisson perturbations”. Cybernetics and Systems Analysis archive. Vol 44. pp 341-347..

(58) BIBLIOGRAFÍA. 56. [30] Bourada, A. Guen, R. y Lakrib, M. (2015) “An Averaging Result for Fuzzy Differential Equations with a Small Parameter”. Annual Review of Chaos Theory, Bifurcations and Dynamical Systems. Vol. 5. [31] Mishchenko, F. (2012) “Differential Equations With Small Parameters and Relaxation Oscillations ”. (Libro) Editor Springer US. [32] Kamenskii, M.; Pergamenchtchikov, S. and Quincampoix, M. (2017) “Secondorder differential equations with random perturbations and small parameters”. Published online: https://doi.org/10.1017/S0308210516000354 [33] Lakrib, M. ; Kherraz, T. ; Bourada, A. (2016) “Averaging for ordinary differential equations perturbed by a small parameter”. Mathematica Bohemica. Vol. 141. pp. 143-151 [34] Kalas, J. (2017) “Periodic solutions of Liénard–Mathieu differential equation with a small parameter”. Published Online: https://doi.org/10.1515/gmj-20170001 [35] Ólafsdóttir,E. I.; Olde, A. B. y Vanneste, J. (2005) “Stokes-multiplier expansion in an inhomogeneous differential equation with a small parameter”. Proc. R. Soc. A 461. pp. 2243–2256 [36] Il’in, A. M.; Leonychev, Y. A. y Khachayb, O. Y. (2010) “The asymptotic behaviour of the solution to a system of differential equations with a small parameter and singular initial point”. Sbornik: Mathematics. Vol 201. no 1. ..

(59) Anexos Anexo 1 from math import e from math import sqrt x0 , x1 , a1 , a2 , y1 , y2 , eps = map ( float , raw_input () . strip (). split ( ’ ’ )) def err ( x ): return y1 + y2 / a1 -( y2 * e **( - a1 * x ))/ a1 -(( y2 / sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 ))+( y1 *( a1 + sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 )))/ (2* sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 )))* e **((( - a1 + sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 ))* x )/2)+( y1 *( - a1 + sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 )) /(2* sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 )) - y2 / sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 ))* e **((( - a1 - sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 ))* x )/2) def errmax (i , f ): if f -i <0.00000000001 : return ( f + i )/2 d =( f - i )*0.618 if err (f - d ) < err ( i + d ) : return errmax (f -d , f ) else : return errmax (i , i + d ) print. err ( errmax ( x0 , x1 )). Anexo 2 57.

(60) BIBLIOGRAFÍA. 58. from math import e from math import sqrt a2 , a1 , a0 , A0 , A1 , b , B0 , eps = map ( float , raw_input (). strip (). split ( ’ ’ )) # B0 = Y ’0(0) if - a0 / a1 >0: def err (): return eps * abs (( a2 *( A1 - B0 ))/( sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 * a0 ))) * e **( -1*( a0 / a1 )* b ) else : def err (): return eps * abs (( a2 *( A1 - B0 ))/( sqrt ( a1 **2 -4* eps * a2 * a0 ))) print. abs ( err ()). Anexo 3 from math import e from math import sqrt a3 , a2 , a1 , A0 , A1 , A2 , B0 , b , eps = map ( float , raw_input () . strip (). split ( ’ ’ )) # B0 = Y ’ ’0(0) if - a1 / a2 >0: def err (): return eps * b * abs (( a2 *( A2 - B0 )) /( sqrt ( a2 **2 -4* eps * a3 * a1 ))) else : def err (): return eps * b ** abs (( a2 *( A2 - B0 )) /( sqrt ( a2 **2 -4* eps * a3 * a1 ))) print. abs ( err ()). Anexo 4.

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