SENSADO EN TIEMPO REAL PARA NAVEGACION DE ROBOTS MOVILES

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL

MAESTRÍA EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

SENSADO EN TIEMPO REAL PARA NAVEGACIÓN DE ROBOTS MÓVILES

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A:

JAVIER RODRIGO MEDINA MORALES

BAJO LA DIRECCIÓN DE:

DR. LUÍS ARTURO GONZÁLEZ HERNÁNDEZ

NOVIEMBRE, 2006 TIJUANA, B.C., MÉXICO

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo representa un peldaño más, otro paso, la inevitable consecuencia del gran apoyo que he recibido por parte de muchas personas a lo largo de mi vida y a quienes agradeceré hasta el día de mi partida de éste inolvidable mundo.

A mis padres:

Por darme la vida, amor y apoyo incondicional y por compartir conmigo mis mejores momentos y su conocimiento.

A mi hermano:

Por ser mí mejor amigo y haber sido mi ejemplo a seguir, en las buenas y malas.

A mis familiares:

los llevo en mi corazón.

A mis maestros:

Por su paciencia, dedicación y amistad a largo de mi vida en la escuela y en especial por seguir forjando el futuro de México por amor a la docencia. Un país con educación, ciencia y tecnología, es un país con un futuro claro.

Especial agradecimiento para el M.C. José Jaime Esqueda Elizondo, por su amistad, apoyo y entre muchas otras cosas, aceptarme como alumno y encaminarme hacia un área de investigación que ha cambiado mi vida, Procesamiento Digital de Señales.

Infinitas gracias.

Al Dr. Juan García López †, por abrirme las puertas y darme apoyo en el laboratorio de PDS del Centro de Investigación y Desarrollo de Tecnología Digital CITEDI-IPN durante la universidad y permitirme ver más allá de la educación universitaria y pensar en el mundo de la investigación. En paz descanse.

Al Dr. Luís Arturo González Hernández, por depositar su confianza en mí y darme la oportunidad de participar en el proyecto que me hizo ver la ciencia con un enfoque humanitario por encima de todo.

Índice

Lista de acrónimos y símbolos vi

Resumen xii

Abstract xiii

Capítulo I. Introducción 1

Capítulo II. Antecedentes 3

II.1 Tecnologías para sensar rango 5

II.2 Percepción en ondas milimétricas 7

II.3 Operación de un sensor de rango 8

II.4 Componentes de un sensor ultrasónico y funcionamiento 10

II.5 Propiedades de la antena 12

II.6 La antena circular 13

II.7 Sonar de una sola lectura 14

II.8 Tipos de interpretación de datos para navegación de robots móviles 16

Capítulo III. Representación de datos de sonar por medio de imágenes con un arreglo lineal de transductores 18

III.1 Modelos físicos para planos y esquinas con un transductor 19

III.2 Modelos físicos para planos y esquinas con dos transductores 20

III.3 Ángulo de inclinación 24

III.4 Límites en la separación de los transductores 25

III.5 Arreglo lineal de transductores 26

Capítulo IV. Representación de rejilla para datos de sonar 30

IV.1 Modelo Guassiano de 2D para sonar 30

IV.2 Probabilidades de ocupación 31

IV.3 Representación de los mapas de ocupación 33 IV.4 Información de múltiples lecturas y actualización de los mapas 34 IV.4.1 Fórmula de adición probabilística 35

IV.4.2 Teorema de Bayes 36

IV.4.3 Método de actualización logarítmica 39

IV.5 Modelos Alternativos 40

Capítulo V. Descripción del sistema de sonar, plataforma, interfaz y

Experimentales 41

V.1 Descripción de la plataforma experimental 41

V.1.1 Sensores 41

V.1.2 Descripción de la interfaz visual 42 V.1.2.1 Panel de opciones generales 42 V.1.2.2 Panel de opciones para representación de rejilla

ocupacional 43

V.1.2.3 Panel de opciones para interpretación por método de

imágenes 44

V.1.3 Comunicación con el arreglo de sensores 45

V.2 Experimentaciones 45

Capítulo VI. Conclusiones 53

Apéndices

A. Síntesis de la ecuación de onda para una membrana circular 55 A.1 Ondas transversales en una cuerda 55 A.1.1 Ecuación de onda para una cuerda ideal estirada 55 A.2 Ecuación de onda en una membrana estirada 58 A.3 Ecuación de onda en una membrana circular 60

B. Distribución normal y probabilidades gaussianas comunes 64

B.1 Definición 64

B.2 Probabilidades gaussianas comunes 66

C. Descripciones Espaciales y Transformaciones 68

C.1 Introducción 68

C.2 Descripciones: posiciones, orientaciones y marcos 68 C.2.1 Descripción de una posición 69 C.2.2 Descripción de una orientación 69 C.2.3 Descripción de un marco 71

C.3 Mapeos 72

C.3.1 Mapeos para trasladar marcos 72 C.3.2 Mapeos para rotar marcos 73 C.3.3 Mapeos de marcos generale 74 C.4 Operadores de traslación, rotación y transformaciones 76 C.4.1 Operadores de traslación 76 C.4.2 Operadores de rotación 77 C.4.3 Operador de transformación 78 C.5 Transformaciones compuestas 78 C.6 Invirtiendo una transformación 79

Referencias y Bibliografía 80

Lista de Figuras

Fig. II.1 Diagrama esquemático de un sensor ultrasónico de uso en el aire 11 Fig. II.2 Forma de onda característica de un pulso de sonar y detección 12 Fig. II.3 Patrón de radiación para el modelo de pistón 14 Fig. II.4 Diagrama esquemático de principio de operación de un sensor

ultrasónico por medio de detección de umbral 15 Fig. III.1 Patrones de medición por tiempo de vuelo para planos y equinas

para un solo transductor 18

Fig. III.2 Modelo para reflectores especulativos con un transductor funcionando

como transmisor y receptor 20

Fig. III.3 Modelo para reflectores especulativos con dos transductores 20 Fig. III.4 Curvas de amplitud para los modelos de reflectores especulativos con

dos transductores: (a) plano (b) esquina 21 Fig. III.5 Curvas de amplitud con ruido (±3σ) incorporado para los modelos de

reflectores especulativos con dos transductores: (a) plano (b) esquina 23 Fig. III.6 Factor de corrección s y su geometría 25 Fig IV.1 Modelo de las probabilidades de ocupación del sensor 33 Fig IV.2 Probabilidades de ocupación de una medición. (a) Probabilidad

de celda desocupada PE. (b) Probabilidad de celda ocupada PO 34 Fig IV.3 Mapa de ocupación para una lectura actualizado mediante el Teorema

de Bayes 38

Fig. V.1 Panel de opciones generales 43 Fig. V.2 Panel de opciones para la interpretación de rejilla 44 Fig V.3 Panel de opciones para la interpretación por Imágenes 44 Fig. V.4 del barrido a 0-90º en intervalos de 5º para el método de imágenes 47 Fig. V.5 Rejilla de ocupación para un barrido de 0-90º en intervalos de 5º

(barrido hasta 15º parte superior, barrido hasta 30º parte inferior) 48 Fig. V.6 Rejilla de ocupación para un barrido de 0-90º en intervalos de 5º

(barrido hasta 45º parte superior, barrido hasta 60º parte inferior) 48

Fig. V.7 Rejilla de ocupación para un barrido de 0-90º en intervalos de 5º

(barrido hasta 75º parte superior, barrido hasta 90º parte inferior) 49 Fig. V.8 Rejilla de ocupación para un barrido de 0-90º en intervalos de 5º

c/3 sensores a 60º 0º -60º (barrido hasta 15º parte superior, barrido

hasta 30º parte inferior) 49

Fig. V.9 Rejilla de ocupación para un barrido de 0-90º en intervalos de 5º c/3 sensores a 60º 0º -60º (barrido hasta 45º parte superior, barrido

hasta 60º parte inferior) 50

Fig. V.10 Rejilla de ocupación para un barrido de 0-90º en intervalos de 5º c/3 sensores a 60º 0º -60º (barrido hasta 75º parte superior, barrido

hasta 90º parte inferior) 50

Fig. V.11 Rejilla de ocupación para una trayectoria recta en un pasillo (1.1 x 2 m) en intervalos de 15cm y ángulo 0º c/5 sensores a

90º 60º 0º -60º -90º (recorrido completo) 51

Fig. A.1 Segmento de la cuerda desplazada 56

Fig. A.2 Elemento desplazado de una membrana 59

Fig. A.3 Función Bessel ^Jm

( )

(a) Función densidad de probabilidad (b)Función densidad acumulativa 64 Fig. B. 2 Áreas bajo la curva de una FDP para una variable aleatoria gaussiana 65

Fig. C.1 Vector P en relación a un marco A 69

Fig. C.2 Localización de posición y orientación para el sensor central (s3)

de la plataforma con el arreglo lineal de transductores ultrasónicos 70 Fig. C.3 Ejemplo con tres marcos para los sensores s1 ys3 de la plataforma

con el arreglo lineal de transductores ultrasónicos 72

Fig. C.4 Mapeo de traslación 73

Fig. C.5 Rotación de la descripción de un vector 74

Fig. C.6 Transformación general de un vector 75

Fig. C.6 Marcos compuestos (cada marco es conocido relativo al marco previo) 79

Lista de Tablas

Tabla II.1 Comparación de tecnologías comunes aplicadas a robótica móvil 7

Lista de Acrónimos y Símbolos

Capítulo II

λ Longitud de onda

Γ Porción de de potencia incidente a un reflector dispersa de regreso al

receptor

Ω Ángulo sólido

( )

Ψ Amplitud de la onda de presión en función del ángulo Ψ max Amplitud máxima de la onda de presión

Ψ r Patrón de radiación angular del receptor Ψ t Patrón de radiación angular del transmisor a Radio de apertura de una antena circular c Velocidad del sonido en el medio D Directividad

f Frecuencia

G Ganancia

J1 Función Bessel de primer tipo

k Factor de eficiencia

presión

Lat Atenuación en la atmósfera debido a pérdida y dispersión Pr Amplitud de la onda de presión en el receptor ultrasónico P t Amplitud de la onda de presión en el transmisor ultrasónico R0 Distancia del sensor al objeto (Rango)

t0 Tiempo de vuelo redondo

Capítulo III

ε Error en la medición del ángulo

θ Ángulo

θ^~ Valor estimado del ángulo θ0 Ángulo de divergencia

θe Ángulo de ubicación del rango medido para el modelo de una esquina θ p Ángulo de ubicación del rango medido para el modelo de un plano θs Ángulo entre a’ (b’) y b (a) para el modelo de una esquina

2

σ i Varianza del i-ésimo par

'

A aa Amplitud de la señal recibida correspondiente al T/R’ aa’

'

A ab Amplitud de la señal recibida correspondiente al T/R’ ab’

'

A ba Amplitud de la señal recibida correspondiente al T/R’ ba’

'

A bb Amplitud de la señal recibida correspondiente al T/R’ bb’

d distancia entre los sensores a y b de un arreglo lineal dmin Mínima separación entre un par de transductores dmax Máxima separación entre un par de transductores i i-ésimo par de transductores

N Número de pares de transductores

'

R aa Rango medido del transmisor “a” al receptor virtual “a’”

'

R ab Rango medido del transmisor “a “ al receptor virtual “b’”

'

R ba Rango medido del transmisor “b” al receptor virtual “a’”

Rbb' Rango medido del transmisor “b” al receptor virtual “b’”

Rmin Rango mínimo que puede obtenerse con un par de transductores Rmax Rango máximo que puede obtenerse con un par de transductores s Término de corrección

T/R’ Transmisor-Receptor Virtual

w i Pesos para estimar ángulo y rango del arreglo lineal de transductores

Capítulo IV

δ Distancia de P a S.

εMAX Máximo error en la medición del sensor.

Ω Ángulo sólido del lóbulo principal de la función de sensitividad.

θ Ángulo entre el eje principal del sensor y el punto P (visto desde S) E a Parte angular de la función que describe las regiones probablemente

desocupadas

Er Parte radial de la función que describe las regiones probablemente

desocupadas

O a Parte angular de la función que describe las regiones probablemente

ocupadas

Or Parte radial de la función que describe las regiones probablemente

desocupadas

p e Región probablemente desocupada p o Región probablemente ocupada

(

P

)

) ) )

) )

)

, PE Probabilidad “celda vacía”

(

P Probabilidad de que R este presente dado el estado “celda vacía”

(

P Probabilidad “celda vacía” dado que se presentó R

(

P , PO Probabilidad “celda ocupada”

(

P Probabilidad “celda ocupada” dado que se presentó R

(

P Probabilidad de que R este presente dado el estado “celda ocupada”

R Medida de rango regresada por el sensor.

Rg Distancia al piso

Rmax Rango máximo del sensor R Rango útil del sensor u

(

S , , Posición del sonar

Apéndice A

∞ Infinito

Δ x Elemento o segmento de una cuerda λ0 Masa por unidad de longitud

η Desplazamiento en el eje y para una sola dimensión

θ Ángulo

( )

Θ Variable en función a θ

σ0 Densidad de masa por unidad de área para una membrana

τ0 Tensión constante

ω2

− Constante de separación

(

)

ζ Desplazamiento normal para cualquier posición y tiempo

c Velocidad de las ondas transversales de baja amplitud en una cuerda c m Velocidad de las ondas transversales en una membrana

f 0 Tensión superficial por unidad de longitud para una membrana rectangular y

f x

f₀Δ y ₀Δ Pares de fuerzas de tensión

( )

J_m Función Bessel (de primer tipo) de orden m

2

kx

− Constante de separación

2

ky Constante de separación m2 Constante de separación

( )

N_m Función Neumann (o función Bessel de segundo tipo) de orden m

r Radio

( )

R Variable en función a r

( )

T Variable en función de t

u Variable adimensional

( )

X Variable en función de x

( )

Y Variable en función de y

Apéndice B

( )

( )

Φ FDA de una variable aleatoria Gaussiana estándar

π Pi

σ Desviación estándar

σ Varianza 2

( )

f Función Densidad de Probabilidad

( )

F Función Densidad Acumulativa FDA Función Densidad Acumulativa

P Probabilidad

x Variable aleatoria

x Media

X Variable

(

)

~N x σ

X Variable aleatoria Gaussiana

Apéndice C

θ Ángulo

{A} Marco A

{B} Marco B

{C} Marco C

DQ Operador de traslación

Z y

x p p

p , y Elementos del vector P

AP

Vector P relativo al marco A

BORG

AP Origen de {B} relativa al marco {A}

q Magnitud de la traslación en la dirección del vector Qˆ

AQ

Vector de traslación relativo al marco {A}

R Operador de rotación

( )

Rk Operador rotacional (rotación de θ grados sobre la dirección del eje Kˆ)

AR

B Matriz de rotación que describe a {B} en relación de {A}

s n Sensor n

A^T Transpuesta de una matriz A T Operador de transformación

AT

B Matriz de transformación que describe a {B} en relación de {A}

ZˆA

ˆ y ˆ ,

A A Y

X Ejes del marco A

B A B A B

AXˆ , Yˆ y Zˆ Vectores unitarios del marco B, expresados en términos de {A}

RESUMEN

El estudio en el área de robótica, particularmente de robótica móvil, autónoma o semi-autónoma es extenso y complicado. Involucra sensado, planeación, navegación y mapeo entre otras tareas. La percepción del entorno es muy importante para un robot móvil y con los avances y desarrollo de diferentes tecnologías para sensar rango, su estudio y aplicación se convierte en un área de gran interés y potencialmente importante en la navegación de robots móviles.

Existen diversas tecnologías para sensar rango como el sonar, radar y lidar. Estas tecnologías varían en precisión según su aplicación. El problema surge en la diferencia entre los costos de estas tecnologías donde el sensor ultrasónico resulta ser más económico que un sensor lidar. Aunque el sensor lidar es más efectivo se puede limitar su uso hasta que los precios de dicha tecnología se deprecien, sin embargo, estos problemas no limitan la investigación y simulación de modelos para dichos sensores.

Pensando en la aplicación de sensado para navegación de robots móviles, este trabajo está enfocado en el sensado a través de sensores ultrasónicos como medio de reconocimiento del entorno de trabajo. Se proponen dos diferentes interpretaciones para los datos de un sensor sonar, conectándose en un arreglo lineal con cinco transductores ultrasónicos. Se completa el trabajo con resultados experimentales y conclusiones.

ABSTRACT

The study in the field of robotics, specifically mobile, autonomous and semi- autonomous robotics, is extended and complicated. It involves sensing, planning, navigation and mapping among other tasks. In particular, this theses focuses on the study of surroundings perception, where current research and development of technologies for sensing range becomes a field of great interest and potentially important in mobile robot navigation.

There are various technologies for sensing range like sonar, radar and lidar. These technologies vary in precision depending on the application. The problem emerges with the cost difference between technologies, where an ultrasonic ranger finder can be way less expensive than a lidar sensor. Even though a lidar sensor is more accurate, its use could be limited until prices on that technology decrease, nevertheless, these problems do not limit research on simulation of models for this kind of sensors.

Keeping in mind that the desired application is sensing for mobile robot navigation, this work is focused particularly on range sensing using an ultrasonic rangefinder as means of environment recognizing, that is, on the perception of the environment of a robot using two different sonar data interpretations. It consists on a quick introduction on the technologies used for range sensing, focusing particularly on a sonar rangefinder, followed by a description of two interpretations (certainty grid and geometric interpretation using images) for sonar data, the description and results of tests done using a visual interface developed for a linear array of five ultrasonic transducers, a section with conclusions on the tests and three appendixes with complementary information on this work.

CAPÍTULO I Introducción

La investigación que se realiza en el área de robótica móvil es extensa y fundamentalmente complicada, ya que incluye diversas tareas tales como: mapeo, planeación, navegación y sensado entre otras. En el caso particular de la robótica autónoma o semi-autónoma esto se complica más. Su meta es proveer sistemas complejos que tengan la habilidad de reaccionar y adaptarse a los diferentes ambientes de trabajo en forma autónoma, por lo que es necesario un sensado continuo y pertinente. En general un robot autónomo requiere de:

• Habilidad para percibir su entorno y deliberar sobre su propia relación con éste.

• La habilidad de razonar en forma espacial con respecto a un plan de trabajo, para encontrar rutas locales y completar su tarea.

• Una arquitectura de software confiable que provea de una comunicación rápida entre los procesos esenciales.

• Una plataforma de hardware y control motriz confiable.

La complejidad antes mencionada es la razón que motiva la investigación en esta área. La interacción entre software y hardware, el razonamiento multi-nivel que proporciona capacidad de reacción rápida y que además puede proporcionar una planeación más eficiente en ambientes complejos, son algunos ejemplos que motivan el estudio dentro de esta área. Este trabajo se encuentra motivado y enfocado particularmente al primer punto.

La percepción del entorno de trabajo en robótica móvil es importante, ya que de esta depende un robot móvil para interactuar con el medio y tomar decisiones con respecto a la planeación de rutas de navegación y otras tareas como la evasión de

Actualmente, existen diversas tecnologías utilizadas en el reconocimiento del entorno como lo son: el sonar, radar, lidar y visión estéreo. Cada una posee ventajas y desventajas sobre las demás. Por ejemplo, la visión estéreo, requiere de buena iluminación y evitar la oclusión en ambas cámaras de video. El lidar posee muy buena resolución pero su costo es muy elevado, lo que podría limitar su estudio a la simulación de modelos para este tipo de sensores. Para este trabajo se optó por el estudio de un sensor ultrasónico de rangos como medio para reconocer el entorno de un robot, debido a su bajo costo y a que aún con resolución limitada por un amplio haz de divergencia, este tipo de sensores pueden servir como auxiliares en la navegación de un robot en tareas como evasión de obstáculos y en situaciones donde un sistema de visión estéreo se vea limitada, por ejemplo, lugares con poca o ausencia de iluminación. El él, se presentan antecedentes sobre las tecnologías para sensar rango, enfocándose principalmente al sensado de rangos por medio de un sensor sonar. Se proponen dos interpretaciones diferentes para datos de sonar. En el trabajo, se propone un arreglo lineal de cinco transductores ultrasónicos y se complementa este con resultados experimentales para ambas representaciones y una sección de conclusiones.

El trabajo se divide en seis capítulos: En el capítulo II se presentan antecedentes sobre el papel del sensado en la robótica móvil, tecnologías para sensar rango, los componentes y funcionamiento de un sensor ultrasónico y los tipos de interpretaciones para datos de sonar. El tercer capítulo, presenta detalladamente una interpretación geométrica para datos de rango y amplitud de un sensor ultrasónico [4], con la finalidad de localizar dos tipos de objetivos (planos y esquinas). El cuarto capítulo presenta una interpretación diferente para datos de sonar llamada Rejilla de certeza (certanty grid) [1],[2], en la que el área de trabajo es dividida por medio de una rejilla bidimensional, calculándose la probabilidad de ocupación de cada elemento por medio del modelo del sensor y el mapa del entorno actualizado por las mediciones anteriores. El capítulo V muestra los resultados de experimentos realizados empleando ambas representaciones en una interfase visual. El sexto y último capítulo presenta las conclusiones sobre los resultados del trabajo. Adicionalmente, se anexan tres apéndices con información utilizada en la realización de este trabajo de investigación.

CAPÍTULO II Antecedentes

En los primeros trabajos realizados en el área de robótica móvil, la tarea de sensado fue separada de la planeación[1]. La meta era optimizar el desempeño en una escala global y por lo tanto requería que la información fuese lo más completa posible.

La meta del sensado es: construir un modelo completo del mundo. Una vez obtenido el modelo, era puesto a disposición de las tareas de planeación y control.

El “modelo del mundo”, era descrito regularmente en forma geométrica, en un marco de referencia externo al robot y a cualquier tarea en particular. Se guardaba en una estructura de datos global a la que se le daba el nombre de pizarrón (blackboard) [15], la cual podía ser actualizada por algunos procesos y leída por todos. Este pizarrón funcionaba como un depósito para todos los procesos de sensado. La planeación era estrictamente jerárquica, con acceso a los mismos datos por parte de todos los procesos de planeación. Con pleno conocimiento del entorno a su alrededor, el robot, ubicado en algún lugar del mapa, busca un plan óptimo de movimiento.

El éxito depende básicamente de la integridad del mapa. El sensado por medio de visión en estéreo es utilizado con mayor frecuencia, ya que en teoría, puede utilizarse para construir un modelo tridimensional del mundo a su alrededor. El procesamiento típico que se utiliza incluye: detección de orillas, correspondencia entre las dos cámaras y representación de primicias. Los sistemas de visión se mejoraban en ocasiones por medio de sensores de rango como un sensor de rango láser. Debido a que los datos se representaban en forma global, era difícil incluir datos obtenidos por medio de otra representación, como lo es el sonar.

El método es impráctico por dos razones:

• La incertidumbre en el sensado. Para tener un buen resultado, la visión en estéreo requiere de una buena iluminación y calibración. La oclusión, no solo significa que una imagen se encuentra obscurecida en una cámara, también representa una probable falla en la correspondencia entre las imágenes de ambas. También requiere de formatos que retengan la información necesaria para las diferentes tareas.

• Debido a la separación lógica y física entre los sensores y el sistema de control del robot, se obtenía una reacción a cambios externos. El tiempo para deliberar entre el sensado y la acción era muy lento, ambas debido a la labor de procesar una mapa completo del tamaño de la estructura de datos y por la necesidad de varios procesos, de tener acceso al mapa del mundo. La habilidad de reaccionar en forma rápida a cambios externos se perdía.

Existen varias formas de hacer esta arquitectura más práctica. Un ejemplo sería utilizar un “pizarrón” distribuido que incluya sensores para evasión de obstáculos que se comunicaran por medio de interrupciones. Un paradigma alternativo fue la introducción de la arquitectura “subsumption” [14]. Descartaba la idea de un mapa completo basado en una escala global y el “deposito de información” y enfatizó la reactividad local.

Cambió la relación entre el sensado y la planeación. Siguió una analogía biológica, observando que un conjunto de comportamientos aparentemente simples pueden resultar en logros significativos. Juntaba un conjunto de comportamientos tales como “evade el obstáculo”, “sigue la pared”, “sigue derecho”. Las tareas eran diseñadas para operar en forma independiente y cada una con acceso a un grupo de sensores simples que eran dirigidos según se requería. Una jerarquía entre capas determinaba la precedencia cuando existía un conflicto.

En la práctica, problemas con este tipo de arquitectura pueden surgir de la complejidad en las comunicaciones. Fundamentalmente la falta de consistencia en la percepción de cada nivel puede dar origen a comportamientos cíclicos. Además, todavía no ha sido comprobada la planeación dirigida por medio de tareas en un nivel alto. Su

interés principal es investigar la síntesis de sistemas biológicos. El campo de robótica evolutiva, estudia la síntesis de comportamientos complejos por medio de funciones simples basadas en sensores simples. La robótica evolutiva es un ejemplo de diseño ascendente (bottom up) [20]. Crea funciones simples y observa como se combinan. Las arquitecturas asociadas con el “pizarrón” son descendentes (top down). Especifica los requerimientos del nivel más alto y diseña un sistema que los satisfaga. Esta es la aproximación utilizada en los sistemas de ingeniería y tiene como ventaja un comportamiento predecible y útil.

La mejor práctica en los sistemas de robótica emplea sistemas descendentes pero conserva la idea de utilizar sensores diseñados para servir a una tarea en particular. El énfasis se basa en permitir al robot reaccionar rápido a eventos nuevos a nivel local, pero deliberar en las tareas de planeación. Los sensores participan en forma activa en la toma de decisiones y la planeación. En lugar de proveer la mayor cantidad de información posible, en forma general, los sensores proveen información de acuerdo a las necesidades de una tarea de planeación.

El concepto de sensado en el área de robótica es reemplazado por el de percepción [21]. El sensor no solo contiene hardware, también contiene software inteligente. Implica la construcción de representaciones que son la base para el reconocimiento, raciocinio y la acción a tomar. Su arquitectura es descentralizada y contiene un proceso de decisión.

El sensor puede decidir su participación en una tarea, qué partes del ambiente va a examinar o qué información obtendrá. Concentrando información de datos en el tiempo, el sensor activo puede proveer una respuesta rápida a nuevos ambientes y cambios inesperados. Buen hardware y procesamiento básico son esenciales en un sensor.

II.1 Tecnologías para sensar rango

Los sensores utilizados para planeación local, necesitan primordialmente regresar información de rango. La tecnología más común para medir directamente éste, utiliza eco-detección. El primer sensor de este tipo fue el sonar, desarrollado en la primera

guerra mundial para determinar la posición del suelo marino en la navegación de submarinos. El sonar sigue siendo el sensor principal en el uso de robots sub-acuáticos.

El sonido tiene una atenuación baja en el agua y a frecuencias bajas se propagará por varios kilómetros en la misma. En robótica móvil, dispositivos ultrasónicos de bajo costo diseñados para operar con aire como medio de propagación han sido populares para medir rangos y en evasión de obstáculos [18]. Se utilizan también en ambientes industriales, aunque su uso puede extenderse para aplicaciones automotriz y del hogar entre otros. Su diseño consiste de un microcontrolador, algunos periféricos y un par de transductores ultrasónicos. Su principal contraparte radica en que son limitados por la tecnología actual a rangos de entre 5 y 10 metros. La robótica sub-acuática utiliza sonares con frecuencias entre 200kHz y 2MHz. El uso de frecuencias más altas mejora la resolución; las frecuencias más bajas se desplazan más lejos.

Convencionalmente la tecnología que complementa al sonar en el aire es el radar, que se desarrolló en gran parte en la segunda guerra mundial. Los primeros sistemas producían una señal entre 300MHz -1000MHz utilizando modulación en frecuencia y compresión de pulso para mejorar la resolución. Los radares de ondas milimétricas operan con frecuencias alrededor de 90 y 100GHz. Algunos experimentos con este tipo de frecuencias para robots móviles en exteriores han sido reportados. [10]

Otro tipo de sensor de rango activo desarrollado más recientemente, utiliza frecuencias ópticas [17]. Los sensores de rango ópticos se hicieron más populares con la diversidad y abundancia de los diodos emisores de luz y los diodos láser. Aunque métodos basados en imágenes siguiendo una iluminación estructurada han estado disponibles desde hace un tiempo, su uso ha sido confinado en gran medida a inspección manufacturera. El rango máximo es bajo y limitado por los niveles de luz del ambiente.

Algunos sensores basados en tiempo de vuelo han sido desarrollados para robótica móvil desde hace una década y media, pero los modelos comerciales de bajo costo han sido comercializados hasta recientemente.

Todos estos sistemas se basan en la propagación de ondas y la detección de ecos del frente de onda transmitido. Las amplias diferencias entre las diversas tecnologías de sensado se pueden comprender al considerar las propiedades de estas ondas. A pesar de las diferencias en frecuencia y tipo (transversa y longitudinal) estas ondas se pueden expresar en términos de expresiones matemáticas. La diferencia en como perciben el ambiente radica en gran parte en la longitud de onda. La Tabla I.1 muestra algunos sistemas utilizados en robótica móvil.

Tipo de sistema Velocidad de la onda Longitud de onda

Sonar aéreo (45KHz) 340mseg^-1 7.56mm

Sonar sub-acuático (200KHz) 1470mseg^-1 7.35mm

Radar de 94GHz 3x10⁸mseg^-1 3.2mm

Sensor óptico (rojo) visible 3x10⁸ mseg^-1 0.8μm Sensor infrarrojo cercano 3x10⁸ mseg^-1 1.55μm

Tabla I.1 Comparación de tecnologías comunes aplicadas en robótica móvil

II.2 Percepción en ondas milimétricas

El sensor de ondas milimétricas más común en robótica móvil es el sonar.

Normalmente opera alrededor de los 45kHz (longitud de onda cercana a los 7mm), una frecuencia que permite un alcance de alrededor de 5m. El radar de alta frecuencia tiene características similares. El radar tiene la ventaja de tener menor atenuación en el aire, pero su costo es más elevado. Los sistemas que se ajustan para su uso en robótica son menos avanzados que los sistemas de sonar debido en parte al costo. Los sensores que utilizan longitudes de onda milimétricas ven el entorno en forma diferente de aquellos que utilizan luz. Esto se debe a que la longitud de onda es comparable a la dimensión del transductor y la variabilidad de la superficie de los reflectores típicos. Dos efectos muy notorios son [12]:

• Un patrón de interferencia resulta de la radiación a través de la apertura del transductor, que conlleva a haces relativamente amplios con picos y valles de potencia que varían con el ángulo. Este efecto tiene consecuencias en interpretación y resolución:

1) La resolución de una lectura decrementa si el ancho del haz se hace más amplio. La radiación se extiende típicamente 20º o más. Esto es útil para en el caso de un sensor para evasión de obstáculos, pero el costo es pérdida en resolución angular. Los haces amplios son necesarios debido a las propiedades de reflexión de las superficies y puede ser utilizado en sistemas con múltiples transductores.

2) Un haz amplio, tiene pérdidas significativas debido a la dispersión del haz, por lo que la señal del receptor es reducida. La consecuencia es, el deterioro en la resolución del rango debido a la relación señal-ruido.

• Muchas de las superficies que aparentan ser ásperas para el ojo humano, son suaves y como espejos para las longitudes de onda milimétricas. Se necesita una interpretación para relacionar las señales recibidas con la geometría de una superficie. La cantidad de radiación regresada de objetos más complejos esta más relacionado con el ángulo y la geometría de las superficies que con su tamaño físico.

Existen otros efectos directamente relacionados con la longitud de onda que afectan la resolución en el tiempo, pero serán omitidos debido a la naturaleza de este trabajo.

II.3 Operación de un sensor de rango

Para medir distancias con señales ultrasónicas se requiere un transductor funcionando como transmisor, el medio de propagación (aire o agua por ejemplo), una superficie reflectora u objeto, un transductor funcionando como receptor y un circuito de medición de tiempo de vuelo (TOF en inglés). Cuatro aspectos del sistema limitan la máxima distancia que puede ser medida: La amplitud de la onda de sonido, la textura de la

superficie reflectora, el ángulo de la superficie reflectora con respecto a la onda incidente y la sensitividad del transductor receptor. Por lo general, los sensores de rango cuentan con un amplificador lineal que varía con el tiempo, ésto con la finalidad de contrarrestar las pérdidas de amplitud en la señal. El proceso de sensado a través de la detección de ecos, sigue las siguientes etapas:

• El transductor convierte una señal eléctrica en otro tipo de energía.

• La energía se transmite a través de una apertura o antena.

• Se propaga la energía a través de la atmósfera hasta que se encuentra un reflector.

• Una proporción de la señal se dispersa de regreso al receptor y es captada por una antena.

• La energía se convierte de nuevo a una señal eléctrica y se guarda en una computadora.

Este proceso generalmente se describe en términos de potencia. Para el sonar, es más físico pensar en la propagación de la onda en términos de presión que en términos de potencia o intensidad. Para el sonar, la ecuación en términos de amplitud es la siguiente:

( ) ( )

t

r KP L

P = Ψ θ,φ Ψ θ,φ Γ (Ec. II.1)

donde

Constante

:

dispersión y

pérdida a

debido atmósfera

la en Atenuación

: L

) y de (depende receptor

del angular radiación

de Patrón

:

) y de (depende r

transmiso del

angular radiación

de Patrón

:

reflector un

desde receptor al

regreso de

dispersa Potencia

:

receptor el

en presión de

onda la de Amplitud

:

r transmiso el

en presión de

onda la de Amplitud

:

presión at

K P P

r t r t

φ θ

φ θ Ψ

Ψ Γ

El patrón de radiación y la ganancia están directamente relacionados. En la dirección del máximo valor:

kD

G= (Ec. II.2)

k : Factor de eficiencia D : directividad

donde:

( )

∫∫

( )

= ₂Ψ

2

π θ φ

φ θ π

4 ,

, max 4

d

D (Ec. II.3) la integral está dada sobre el ángulo sólido Ω.

La ecuación ignora cualquier modificación de la señal hecha por los transductores excepto por los efectos espaciales que resultan de la antena.

II.4 Componentes de un sensor ultrasónico y funcionamiento

En concepto, el sensor consiste de dos partes: un transductor que produce la onda de energía y una apertura o antena que irradia o recibe tal energía. Estas pueden ser integradas en un sólo componente. Los sensores a base de sonar que se utilizan para operación en el aire normalmente utilizan transductores electrostáticos y los que operan en agua utilizan cristales piezo-eléctricos. Los transductores comúnmente utilizados en robótica, combinan el transductor con una antena circular. Se puede pensar en el sensor como una capacitancia que consiste en una membrana y placa posterior de metal, que almacenan una carga cuando un voltaje se aplica en ellas (Fig. II.1). Para que el sensor opere como transmisor se aplica un voltaje con la misma frecuencia que la señal ultrasónica deseada. El cambio de la fuerza electrostática entre la placa posterior y la membrana causan que esta última vibre y envía la señal ultrasónica a través de la apertura circular. Cuando se utiliza como receptor, la membrana se polariza a un nivel de voltaje determinado. Cuando las ondas golpean la apertura, la capacitancia se modula. La modulación resultante en el voltaje de polarización es aproximadamente proporcional a la amplitud de la onda de presión (utilizando aproximaciones de pequeña señal).

Polarización y Señal a enviar

aire

membrana metálica placa posterior

Fig. II.1 Diagrama esquemático de un sensor ultrasónico de uso en el aire

Una medición es obtenida del tiempo de vuelo redondo, por medio de la siguiente fórmula:

2

R₀ =ct⁰ (Ec. II.4) donde

R0 : distancia del sensor al objeto c : velocidad del sonido en el medio t0 : tiempo de vuelo redondo

La velocidad del sonido en el aire a una temperatura de 20ºC es aproximadamente de 343.5 m/seg (1cm cada 29.112μseg). Doblando el tiempo (viaje redondo) tenemos, 1cm en 58.224μseg. El pulso recibido puede ser aproximado por medio de una señal senoidal envuelta por una campana de gauss (Fig. II.2).

0

t0

umbral

Tiempo

Amplitud

Fig. II.2 Forma de onda característica de un pulso de sonar y detección.

II.5 Propiedades de la antena

La función de una antena es recibir o transmitir potencia. Podemos ver una antena como un conjunto de elementos pequeños, que irradian una onda, en el caso del sonar, de presión, en el caso del radar, electromagnética. La interferencia entre estos elementos, significa que la onda total es no-isotrópica, pero presenta un patrón angular distintivo, llamado patrón de radiación. La variación en potencia transmitida angularmente que describe este patrón, da paso al patrón del haz o la selectividad direccional de la antena.

El patrón de radiación puede ser dividido en dos regiones. El campo cercano y el campo lejano. En la primera, el haz no diverge significativamente, pero la amplitud de la onda decae en relación al cuadrado de la distancia, por lo que la energía se extiende solo algunas longitudes de onda de la antena. La segunda zona o campo lejano es de más importancia en el uso de sonar y radar. En ella, la amplitud presenta un comportamiento inversamente proporcional a la distancia y el haz presenta un ángulo de divergencia.

La forma del patrón de radiación depende del tamaño y forma de la antena. Basta con comparar la forma del oído con la geometría simple del ojo. La forma del oído (dobleces) proporciona directividad y filtrado de frecuencias para longitudes de onda más grandes. Otro ejemplo es el oído de los murciélagos. Debido a que el ultrasonido es su

sensor más importante de navegación y captura de alimento, sus sistemas auditivos han evolucionado de manera especializada, incluidos sus oídos, que funcionan como receptores y su nariz, que funciona como transmisor. Esto con la finalidad de optimizar las tareas de detección y captura de presas diminutas en ambientes particulares. Tal complejidad es difícil de imitar, por lo que los transductores ultrasónicos normalmente son circulares.

II.6 La antena circular

Es la más importante en el área de robótica debido a su fácil fabricación. El patrón de interferencia que surge de la radiación sobre pequeños elementos adyacentes a través de la antena (ver apéndice A) para el campo lejano, considerando solo una dimensión, se encuentra dado por la expresión:

( ) ( )

θ θ θ

asen

1 asen

0 k

k Ψ J

=

Ψ (Ec. II.5) para una antena de radio “a” y k =2π λ, donde λ es la longitud de la onda de presión radiada. Ψ

( )

Ψ0

( )

Ψ es una función de Bessel de primer tipo. Las funciones de Bessel, son funciones que describen varios fenómenos de las ondas. La magnitud de una función de Bessel consiste en un lóbulo central y un grupo de lóbulos laterales en el patrón de radiación.

Cuando el radio de la apertura del sensor es más grande que la longitud de onda, la radiación forma un haz directo. Este tipo de transmisor es modelado por un pistón plano de radio “a” que vibra a una frecuencia f. Para el campo lejano que comienza en a²/λ el haz diverge con un ángulo

a 0.61λ sin

θ₀ = ⁻¹ (Ec. II.6) donde:

θ : Ángulo de divergencia 0

λ : Longitud de onda a: Radio de la apertura

Debido a que las funciones de Bessel son complicadas de manejar en términos algebraicos, generalmente son aproximadas empleando una función exponencial

( )

θ

θ =Ψ ⁻

Ψ_t (Ec. II.7) Pueden utilizarse varios valores de θ₀, dependiendo de la parte del patrón de radiación que se desee igualar. La extensión del primer lóbulo es la más importante ya que es la que afecta en grado mayor a la señal que es recibida y por lo general θ₀ se selecciona de acuerdo a ésta (Fig. II.3). La amplitud de la presión ^Ψ

( )

( )

−

Ψ

=

Ψ

θ

Fig. II.3 Patrón de radiación para el modelo de pistón

II.7 Sonar de una sola lectura

La mayor parte de los sensores ultrasónicos únicamente regresan una sola lectura, que pertenece al objeto más cercano a éste. Se envía una ráfaga de sonido de una sola

frecuencia. La distancia, como se mencionó anteriormente, se mide en base al tiempo de vuelo de la señal, desde que se transmite el pulso, hasta que la señal recibida rebasa un valor de umbral (Fig. II.4).

Este tipo de sistemas, dejan fuera mucha información respecto a la señal al ignorar todas las reflexiones siguientes. También ignoran la información sobre el objetivo y su orientación incluida en la amplitud de la señal, es sensible, particularmente a picos en el ruido y sólo puede ser calibrada para reflectores que reflejen suficiente energía.

Contador Comensar

Transductor Comensar

Receptor c/

detección de umbral Generador

de Pulsos

Detener

Medición Digital

Fig. II.4 Diagrama esquemático de principio de operación de un sensor ultrasónico por medio de detección de umbral

A pesar de estos problemas, este tipo de transductores tienen una amplia aplicación, en particular para la evasión de obstáculos, donde se requiere una resolución espacial aproximada. En la literatura se han presentado resultados favorables cuando los obstáculos son seres humanos, quienes se presentan como buenos reflectores en todas direcciones. Sin embargo, surgen problemas de especulación en presencia de varios objetos. Resultados más confiables se pueden obtener tomando un número mayor de mediciones para eliminar mediciones equivocadas.

II.8 Tipos de interpretación de datos para navegación de robots móviles

El trabajo de fusión de múltiples lecturas para sensores cae en dos categorías:

modelos para el rastreo de objetivos y los modelos de rejilla. Para la primera, una o más primicias geométricas del entorno son modeladas y rastreadas, esto es, su ubicación es estimada con cada nueva medición en los sensores. Estos métodos han sido utilizados con buenos resultados desde la década de los 80’s. Son apropiados cuando existe un número pequeño de objetivos y su interacción con el sensor es bien conocida, por ejemplo, la reflexión y geometría de los objetivos. En este trabajo los objetivos a reconocer son dos:

planos y esquinas. Un problema importante en el paradigma de este tipo de interpreta- ción es la asociación de datos entre el objetivo y la lectura de los sensores, o dicho de otra manera, identificar el objetivo al que pertenece una determinada lectura. Seleccionar un objetivo equivocado es un error grande en contraste con el error en ruido inducido al sensor y error de ubicación de un robot y puede llevar a la divergencia de los estimados de posición de éste, teniendo como consecuencia para el caso de un robot móvil, el desconocimiento de su ubicación en el entorno.

El reconocimiento de múltiples objetivos es un buen método para la navegación de robots móviles que utilicen a estos como guías. En contraste, existen varias situaciones en las que se requiere no solo el reconocimiento de unas cuantas primicias, sino la geometría completa de la superficie del entorno. La evasión de obstáculos y el reconocimiento de un lugar son ejemplos claros de esta situación. Para estas aplicaciones, los métodos de reconocimiento de primicias son inapropiados ya que se basan en un grupo pequeño de marcas cuyas propiedades son previamente especificadas, siendo ineficientes en el caso de geometrías complejas o desconocidas.

Las representaciones de rejilla ocupacional, proporcionan un marco probabilístico de trabajo para la detección de objetivos. Determinan si una región de espacio se encuentra ocupada o no. Consiste en dividir el espacio o área de trabajo (el campo de vista del sensor) en celdas cuya probabilidad de encontrarse ocupadas es calculada, en

base al modelo espacial del sensor y un mapa, cuyas probabilidades de ocupación son utilizadas como el estado del mundo en un determinado momento.

Existen otros trabajos de investigación que intentan lidiar con objetos dinámicos utilizando interpretación de rejilla, empleando información temporal para filtrar mediciones antiguas. En 1991, se introdujo el histograma de campos vectoriales (Vector Field Histogram o VFH por sus siglas en inglés) [19], en el cual se emplea un histograma espacial de puntos de sonar a lo largo del eje del haz del sensor, para identificar áreas que probablemente contengan obstáculos. El histograma se actualiza en forma rápida con la llegada de nuevas mediciones, abandonando las más antiguas. El método puede trabajar bien con ambientes dinámicos, pero debido a que está poco relacionado a métodos probabilísticos no ha sido utilizado para construir mapas estables de un entorno.

En este trabajo se elaboró una interfase que emplea las primeras dos representaciones, sin descartar la posibilidad de expansión a futuro, para un arreglo lineal de sensores de rango ultrasónicos con un haz amplio. El arreglo de transductores fue montado en una plataforma giratoria para analizar los resultados de éstas, utilizando el mismo entorno y con la finalidad de facilitar y motivar un estudio incluyente que permita el desarrollo de investigación en el área de robótica móvil, por lo que los modelos de ambas representaciones ([4] y [1]) serán presentados en las siguientes secciones.

CAPÍTULO III

Representación de datos de sonar por medio de imágenes con un arreglo lineal de transductores

Para los métodos geométricos de interpretación de datos de sonar, un mapa se genera colocando un punto en el rango calculado sobre la línea de vista del sensor.

Después, el sensor es rotado a un nuevo ángulo, se transmite otro pulso y se repite el proceso. Un mapa equivalente se produce cuando, en lugar de rotar el sensor, varios transductores se montan en un arreglo en forma de anillo.

La Fig. III.1. muestra un ejemplo de patrones de mediciones de tiempo de vuelo (TOF) para un transductor ultrasónico realizando un barrido angular de un plano y una esquina. Ambos patrones son iguales en el caso de un solo sensor realizando el barrido.

Para el plano, θ indica el ángulo de la línea de vista del sensor a la línea normal del plano. Para la esquina, es el ángulo hacia la intersección de los planos que definen la esquina.

R0 θ

θ=0

T/R θ R0

θ=0

T/R

PLANO ESQUINA

Fig. III.1 Patrones de medición por tiempo de vuelo para planos y esquinas para un solo transductor

Cuando la magnitud del ángulo de inclinación es mayor al ángulo de divergencia, la amplitud del eco cae por debajo del umbral del sensor, en relación a la amplitud de incidencia normal, por lo que no se produce una lectura de tiempo de vuelo. Los sensores de rango usualmente incluyen amplificadores controlados por tiempo para compensar

pérdidas por dispersión debido a efectos de difracción y atenuación, por lo que la amplitud reflejada puede ser considerada como independiente al rango medido.

III.1 Modelos físicos para planos y esquinas con un transductor

Para un par de transductores, uno actuando como transmisor y otro como receptor, el producto de los patrones de radiación del transmisor y receptor determina la amplitud de la señal detectada

( )

22 2 02

12 2

max 2

1, ^θ

θ θ

θ

θ θ

−

−

= A e e

A (Ec. IIII.1) θ1 : Ángulo de divergencia del transmisor

θ : Ángulo de divergencia del receptor 2

θ0 : Ángulo de divergencia del sensor

Amax: Amplitud observada cuandoθ₁=θ₂ =0(incidencia normal)

El modelo del entorno consiste en reflectores compuestos de superficies lisas que funcionan como espejos, permitiendo así que un transductor pueda ser visto como un transmisor T y receptor virtual R’ separados (Fig. III.2). En forma similar al estudio de la reflexión de un haz de luz en un espejo para el caso de óptica geométrica, si se da seguimiento a los rayos, se puede observar que el ángulo del receptor virtual para un plano es opuesto al ángulo correspondiente para el caso de una esquina, esto es

esquina una

para

plano un para - y

2 1

2 1

θ θ θ

θ θ θ θ

=

=

=

=

Sustituyendo estos valores en Ec. IIII.1 se obtiene

( )

A . (Ec. II.2)

La Ec. IIII.2 proporciona el mismo resultado para ambos objetos, por lo que no es posible distinguir uno de otro. La amplitud A

( )

θ0 θ1 = +θ θ0 R’

T

PLANO ESQUINA

R’

θ1= + θ

T ^{θ2 = +θ}

θ2 = -θ

θ0

θ0

Fig. III.2 Modelo para reflectores especulativos con un transductor funcionando como transmisor y receptor

III.2 Modelos físicos para planos y esquinas con dos transductores

Para resolver el problema de equivalencia de los modelos entre un plano y una esquina se utiliza un par de transductores. La diferenciación entre un plano y una esquina radica en el signo del ángulo θ , por lo que un arreglo de dos transductores a y b puede ser empleado tal como se muestra en la Fig. III.3. Utilizando esta configuración, es posible calcular las amplitudes Aaa’, Aab’, Aba’ y Abb’ entre los cuatro pares transmisor/receptor’, utilizadas para la diferenciación.

(a) PLANO (b) ESQUINA

Fig. III.3 Modelo para reflectores especulativos con dos transductores

La forma exacta de cada curva de amplitud, está relacionada con la convolución de dos funciones Bessel. Como se señalo en el capítulo anterior, estas funciones, pueden ser aproximadas por funciones Gaussianas (Fig. III.4):

+θ

T/Ra -θ

T/Rb θs

Raa’ Rba’ R Rab’ Rbb’

a b’

a b

+θ

+θ

T/Ra T/Rb θs

Raa’

Rab’ Rbb’R Rba’

b’ a

a b

Para un plano

( )

'

θ θ

θ

−

=

= A A e

A_{aa bb} (Ec. IIII.3)

( )

42

max '

'

θ θ θ

θ

θ ⁻

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

= A A e e

A

s

ba b

a (Ec. IIII.4) donde

R

s 2d

tan⁻1

θ = (Ec. IIII.5) y d es la separación entre ambos transductores.

Para una esquina

( )

'

θ θ θ

θ A e ^s

A_aa

−

−

= (Ec. IIII.6)

( )

'

θ θ θ

θ A e ^s

A_bb

+

−

= (Ec. IIII.7)

( )

( )

'

θ

θ θ

θ = A = A e⁻

A_{ab ba} (Ec. IIII.8)

Fig. III.4 Curvas de amplitud para los modelos de reflectores especulativos con dos transductores: (a) plano (b) esquina

Para el caso de un plano y tomando como referencia Fig. III.3(a) y Fig. III.4(a), se puede observar que ambos transmisores a y b presentan incidencia normal con los receptores virtuales a’ y b’ respectivamente cuando θ =0, por lo que las amplitudes correspondientes presentan un valor máximo A_aa'= A_bb'= A_max. Las amplitudes _' presentan una atenuación de

'y _ba

b

a A

A

02 42

max '

max

θ θ

−

= A e

A debido al ángulo θ_sexistente entre los transmisores y los receptores virtuales opuestos. La amplitudA_max^' depende de la relación

R

d 2 que puede apreciarse en la Ec. IIII.5. A medida que θ se desvía de 0, el ángulo entre las normales de cada par de se incrementa 2θ . Las cuatro curvas de amplitud para un plano son simétricas alrededor de θ =0 pero difieren en amplitud para el caso de receptores virtuales opuestos.

Considerando la configuración de los receptores virtuales para una esquina (Fig.

III.3(b) y Fig. III.4(b)), a (b) presentan incidencia normal con b’ (a’) y las amplitudes

' presentan el valor máximo cuando

'y _ba

b

a A

A A_max θ =0. El receptor a’ (b’) se encuentra

a un ángulo θ_s de a (b), por lo tanto las amplitudes se ven atenuadas cuando la inclinación es cero. Dicho de otra manera, para el caso de una esquina, todas las amplitudes presentan un valor máximo similar, pero el ángulo en el cual sucede esto se encuentra determinado por la Ec. IIII.5.

' 'y _bb

a

a A

A

Al modificar los valores d y/o R de la Ec. IIII.5, la relación que determina el valor de θ_sse ve afectada. Si esta relación es decrementada, las curvas para el modelo del plano incrementan su valor máximo y por lo tanto existe un mayor traslape entre los patrones de los transductores correspondientes. Para el caso de una esquina, el traslape ocurre sin cambios en las amplitudes ya que el corrimiento es angular. Si la relación

' 'y _ba

b

a A

A

R

d 2 se incrementa, se presenta el efecto opuesto en ambos casos.

El ruido es un efecto presente en el sistema de transductores debido a diversas causas entre las cuales se encuentran fluctuaciones en los voltajes de polarización del transductor, errores de cuantificación debido al muestreo con un número finito de bits y

ruido térmico en los dispositivos electrónicos. Debido a ésto, las mediciones de amplitud muestran una variación estadística que puede ser modelada por ruido aleatorio aditivo n de media cero y varianza σ².

( ) ( )

A_med θ = θ + (Ec. IIII.9) Considerando estadísticas Gaussianas, las mediciones de amplitud se encontrarán dentro del rango ±3σ del valor medio el 99.7% de las ocasiones (ver Apéndice B). La Fig. III.5 muestra las curvas para ambos modelos con el efecto del ruido incluido.

Fig. III.5 Curvas de amplitud con ruido (±3σ) incorporado para los modelos de reflectores especulativos con dos transductores: (a) plano (b) esquina

La identificación del reflector se lleva a cabo comparando las cuatro amplitudes antes mencionadas. Una magnitud se considera más grande que otra, solo si la diferencia entre ambas es mayor a 6σ, lo cual implica robustez estadística. Las condiciones para decidir si el reflector es un plano o una esquina son las siguientes:

Si

( ) ( )

( )

( )

A

A A

b a bb

b a

aa elreflector esun

6 y 6

' '

' '

⎭⎬

⎫

>

−

>

−

σ θ θ

σ θ θ

(Ec. IIII.10) Si

( ) ( )

( )

( )

A

A A

bb ab

a a b

a elreflector esuna

6 o 6

' '

' '

⎭⎬

⎫

>

−

>

−

σ θ θ

σ θ θ