Interpolaci´ on polinomial
M. Palacios
Interpolaci´on de Lagrange
Dados n+1 nodos distintos de [x0, xn] existe un ´unico polinomio de interpolaci´on, pn(x), tal que
f (xk) = pn(xk, k = 0, 1, 2, ..., n Primera forma:
pn(x) = a0L0(x) + a1 L1(x) + ... + an Ln(x) donde
ak = f (xk), Lk(x) =
n j=1,=k
x − xj
xk − xj
Segunda forma:
pn(x) = a0 + a1 x + ... + an xn donde
a0 + a1 xk + ... + an xnk = f (xk), k = 0, 1, ..., n
Tercera forma (de Newton):
pn(x) = f [x0] + f [x0, x1] (x − x0) + ...
... + f [x0, ..., xn] (x − x0) (x − x1)...(x − xn−1) donde
f [xk] = f (x0), k = 0, 1, ..., n
f [x0, x1, ..., xk] = f [x1, ..., xk] − f[x0, x1, ..., xk−1] xk − x0
El error de interpolaci´on polinomial
En la forma de Lagrange:
f (x) − pn(x) = f(n+1)(ξx) (n + 1)!
n j=0
(x − xj) En la forma de Newton:
f (x) − pn(x) = f [x0, x1, ..., xn, x]
n j=0
(x − xj)
Aplicaci´on: c´alculo de ra´ıces de ecuaciones no lineales
M´etodo de M¨uller Interpolaci´on inversa
Interpolaci´on de Hermite
Dados n+1 nodos distintos de [x0, xn] exis-
te un ´unico polinomio de interpolaci´on, H2n+1(x), tal que
f (xk) = H2n+1(xk), f(xk) = H2n+1 (xk), k = 0, 1, 2, ..., n
Primera forma:
pn(x) =
n j=0
f (xj) Hn,j(x) +
n j=0
f(xj) ˜Hn,j(x) donde
Hn,j(x) = [1 − 2(x − xj) Lj(xj)] L2j(x) H˜n,j(x) = (x − xj) L2j(x)
Segunda forma:
H2n+1(x) = f [z0] + f [z0, z1] (x − z0) + ...
... + f [z0, ..., z2n] (x − z0) (x − z1)...(x − z2n−1) f [z0, z1] = f(x0), f [z2, z3] = f(x1), ...
z = z = x , k = 0, 1, 2, ..., n
El error en la interpolaci´on de Hermite
En la forma de Lagrange:
f (x) − H2n+1(x) = f(2n+2)(ξx) (2n + 2)!
n j=0
(x − xj)2 En la forma de Newton:
f (x) − H2n+1(x) = f [z0, z1, ..., z2n, x]
n j=0
(x − xj)2
Interpolaci´on spline
Dados n+1 nodos ordenaddos y distintos de [x0, xn] existe una ´unica funci´on S(x), de clase 2 en [x0, xn], que es yuxtaposici´on de polinomios c´ubicos, que interpola a la fun- ci´on f en los nodos, dada por: S(x) =
=
S0(x) = d0 (x − x0)3 + c0 (x − x0)2+ b0 (x − x0) + a0, x ∈ [x0, x1] S1(x) = d1 (x − x1)3 + c1 (x − x1)2+
b1 (x − x1) + a1, x ∈ [x1, x2] . . .
Sn−1(x) = dn−1 (x − xn−1)3 + cn−1 (x − xn−1)2+ bn−1 (x − xn−1) + an−1, x ∈ [xn−1, xn]
Condiciones de continuidad =⇒ A M = B
Spline natural
S”(x0) = S”(xn) = 0
A =
1 0 0
h0 2(h0 + h1) h1 0
0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .
0 0 0 0 hn−2 2(hn−2 + hn−1) hn−1
0 0 0 0 0 0 1
,
B =
0 3(f2 − f1)
h1 − 3(f1 − f0) h0
. . . 3(fn− fn−1)
hn−1 − 3(fn−1− fn2) hn−2 0
T
Spline forzado
S(x0) = f(x0), S(xn) = f(xn)
A =
2h0 h0 0
h0 2(h0 + h1) h1 0
0 h1 2(h1 + h2) h2 0 . . .
0 0 0 0 hn−2 2(hn−2+ hn−1) hn−1
0 0 0 0 0 hn−1 2hn−1
B =
3(f1 − f0)
h0 − 3f(x0) 3(f2 − f1)
h1 − 3(f1 − f0) h0
. . . 3(fn− fn−1)
hn−1 − 3(fn−1− fn2) hn−2
3f(xn)− 3(fn− fn1) hn−1
T
dj = Mj + 1 − Mj
6hj cj = Mj
2 bj = fj+1 − fj
hj − hj(Mj+1 + 2Mj) 3
a = f