Inferencia bayesiana para observaciones de ondas gravitacionales procedentes de fusiones de agujeros negros utilizando un nuevo modelo de señal

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(1)Título: Inferencia bayesiana para observaciones de ondas gravitacionales procedentes de fusiones de agujeros negros utilizando un nuevo modelo de señal. AUTOR: Mª Teresa Mateu Lucena. Memoria del Trabajo de Fin de Máster. Máster Universitario en Física Avanzada y Matemática Aplicada de la UNIVERSITAT DE LES ILLES BALEARS. Curso Académico 2018-2019. Fecha: 02 de setiembre del 2019. Nombre Tutor del Trabajo: Sascha Husa.

(2) 1.

(3) Resumen (Castellano) La detección de ondas gravitacionales abrió una nueva era de investigación, haciendo posible la detección de eventos jamás observados, relacionados con el ciclo de vida de las estrellas, como por ejemplo agujeros negros, estrellas de neutrones, el interior de las explosiones de supernova o el universo primigenio. A través de estas ondas, viaja gran cantidad de información, que describe caracterı́sticas muy relevantes sobre su fuente de emisión. Entre otras técnicas, la estimación de parámetros bayesiana permite obtener de manera estadı́stica las masas, los espines, la distancia o la posición a la que se encuentra. El trabajo desarrollado en este proyecto se basa en la estimación de parámetros de eventos ya detectados durante el primer y segundo periodo de observación, usando un nuevo modelo de forma de onda, IMRPhenomXHM. Este modelo, desarrollado recientemente por el grupo de la UIB, describe todas las fases de coalescencia de la fusión de agujeros negros mediante aproximaciones de las soluciones de relatividad general e introduce modos subdominantes de los armónicos esféricos. Esto último provoca que el análisis sea mucho más complejo, obligando a desarrollar un código de estimación de parámetros reconfigurado. Para ello, se utiliza el método de muestreo anidado que facilita la estimación de parámetros al tener distribuciones multimodales. En este proyecto, para desarrollar de manera más eficiente el código, se lleva a cabo un estudio de convergencia que permite estimar la cantidad de error cometido durante el proceso estocástico, haciendo posible el ajuste de la configuración más eficiente. Una vez implementado de manera correcta el código, se procede a realizar una comparativa de los resultados con otros ya publicados, cuya estimación de parámetros se desarrolló con otros modelos de forma de onda. Esta comparación demuestra que la estimación de parámetros reconfigurada es correcta aunque podrı́a mejorarse aumentando el número de puntos vivos reduciendo los errores de implementación. No obstante, se observa como el nuevo modelo proporciona resultados más precisos en la estimación de parámetros de eventos reales, al introducir modos subdominantes.. 2.

(4) Resum (Català) La detecció d’ones gravitacionals va obrir una nova era d’investigació, fent possible la detecció d’esdeveniments que mai havien estat observats, relacionats amb el cicle de vida de les estrelles, com per exemple forats negres, estrelles de neutrons, l’interior de les explosions de supernoves o l’univers primigeni. Mitjançant aquestes ones, viatja quan quantitat d’informació que descriu caracterı́stiques rellevants sobre la seva font d’emissió. Entre d’altres tècniques, l’estimació de paràmetres bayesiana permet obtenir de manera estadı́stica les masses, els espins, la distància o la posició a la que es troba. El treball desenvolupat durant aquest projecte està basat en l’estimació de paràmetres d’esdeveniments ja detectats durant el primer i segon perı́ode d’observació, emprant un nou model de forma d’ona, IMRPhenomXHM. Aquest model, desenvolupat recentment pel grup de la UIB, descriu totes les fases de coalescència de la fusió d’un sistema format per dos forats negres mitjançant aproximacions de les solucions de relativitat general i introdueix modes subdominants dels harmònics esfèrics. Això últim, provoca que l’anàlisi sigui molt més complexa, obligant a desenvolupar un codi d’estimació de paràmetres reconfigurat. El mètode de mostreig emprat s’anomena mostreig niat i facilita l’estimació de paràmetres quan es tenen distribucions multimodals. En aquest projecte, es realitza un estudi de convergència que permet estimar la quantitat d’error comés durant el procés estocàstic, fent possible l’ajust de la configuració de manera eficient. Una vegada implementat de manera correcta el codi, es realitza una comparativa dels resultats obtinguts amb altres ja publicats que varen ser duts a terme usant altres models de forma d’ona. Aquesta comparació demostra que l’estimació de paràmetres reconfigurada és correcta, tot i que podria millorar-se incrementant el nombre de punts usats al mostreig, reduint aixı́ més l’error d’implementació. No obstant, s’observa com el nou model proporciona resultat precisos a l’estimació de paràmetres per esdeveniments reals, pel fet d’introduir els modes subdominants.. 3.

(5) Índice 1. Introducción 2. Teorı́a de la relatividad general 2.1. Teorı́a de relatividad especial . 2.2. Teorı́a de relatividad general . 2.2.1. Geodésicas . . . . . . . 2.2.2. Tensor energı́a-momento 2.2.3. Tensor de Riemann . . . 2.2.4. Ecuación de Einstein . .. 6. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 8 9 9 10 11 11 12. 3. Ondas Gravitacionales 3.1. Linearización de las ecuaciones de Einstein . 3.2. Polarización de las ondas gravitacionales . . . 3.3. Ecuación de Einstein cuadrupolar . . . . . . . 3.3.1. Aproximación de campo débil . . . . . 3.3.2. Expansión para velocidades pequeñas 3.3.3. Polarizaciones cuadrupolares . . . . . 3.4. Fuentes astronómicas . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . 3.5. Señal procedente de ondas gravitacionales . . 3.5.1. Espacio de parámetros . . . . . . . . . 3.5.2. Expansión Post-Newtoniana . . . . . . 3.5.3. Caracterı́sticas de las formas de onda 3.5.4. Modos subdominantes . . . . . . . . . 3.5.5. Modelos de formas de onda . . . . . . 3.5.6. IMRPhenomXHM . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 13 13 15 16 16 17 18 19 20 22 23 23 25 27 28 29. 4. Análisis de datos 4.1. Detección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Detectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Señal detectada . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Procesamiento de los datos . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Correlación cruzada . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . 4.2.5. Densidad de probabilidad . . . . . . . . . 4.2.6. Estimación de la densidad espectral . . . 4.3. Inferencia estadı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Estimación de parámetros . . . . . . . . . 4.3.2. Ley de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Maximización de la función verosimilitud 4.3.4. Técnicas de muestreo estocástico . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 32 32 33 33 34 34 35 35 36 36 37 38 38 39 40 41. 5. Descripción y desarrollo del proyecto 5.1. Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Inyecciones del propio modelo . . . . . . . . . 5.1.2. Estimación de parámetros para eventos reales 5.1.3. Estudio de errores . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 45 45 45 46 47. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 4. . . . . . .. . . . . . ..

(6) 5.2. Resultados de la estimación de parámetros . . 5.2.1. Inyecciones del propio modelo . . . . . 5.2.2. Estudio de errores para eventos reales 5.2.3. Comparativa con otros modelos . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 48 48 49 52. 6. Conclusiones. 62. A. Linearización de la ecuación de Einstein A.1. Inversa de la métrica en campo gravitatorio débil A.2. Linearización de los sı́mbolos de Christoffel . . . A.3. Linearización del tensor de Riemann . . . . . . . A.4. Deducción del tensor y escalar de Ricci . . . . . .. 64 64 64 64 65. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. B. Filtrado adaptado óptimo 66 B.1. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 B.2. Cociente de señal ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66. 5.

(7) 1.. Introducción. La gravedad es una de las cuatro interacciones fundamentales de la fı́sica, la cual juega un papel muy importante en el dı́a a dı́a. Este hecho provocó que su descubrimiento tuviera lugar mucho antes que la electromagnética, la nuclear fuerte y la débil. Esta interacción es de largo alcance y la más débil de todas. Gobierna la organización del universo a grandes escalas, por lo que, entre otras cosas, las leyes fı́sicas de gravitación son el mecanismo central de entendimiento de fenómenos astrofı́sicos como agujeros negros, pulsares, cuásares, el final de estrellas muy densas, el big bang y el universo por sı́ mismo. En setiembre del 2015 la astrofı́sica observacional dio un vuelco con la primera detección de ondas gravitacionales. Esta detección fue posible gracias a la colaboración LIGO y Virgo, cuya red de interferómetros captó una señal procedente de la fusión de dos agujeros negros. Hasta la fecha, toda la información que se tenı́a de los fenómenos astrofı́sicos procedı́a de ondas electromagnéticas. Las ondas gravitacionales, son pequeñas perturbaciones del espacio-tiempo las cuales se propagan a la velocidad de la luz, aportando gran cantidad de información sobre la fuente que las genera. Toda esta información debe ser analizada cuidadosamente teniendo en cuenta que, al ser ondas con amplitud muy pequeña, la señal detectada por los interferómetros es una superposición de ruido y la señal astrofı́sica. De esta manera, la identificación de las fuentes de ondas gravitaciones, como la determinación de sus masas o espines, la distancia a la que se encuentra o su posición en el cielo, se basa en filtrado adaptado e inferencia bayesiana. Ası́ pues, es fundamental el uso de plantillas con las que se realiza un estudio de correlación con la señal y la estimación de los parámetros de la fuente. Estas plantillas o formas de onda son generadas mediante modelos, que usan aproximaciones de las soluciones de relatividad general y teorı́as alternativas. En este proyecto se pretende usar un nuevo modelo de forma de onda para la fusión de agujeros negros en la estimación de parámetros bayesiana. Para ello es necesaria la modificación del código usado en la estimación de parámetros. El modelo a usar, llamado IMRPhenomXHM, ha sido desarrollado por el grupo de la UIB. Este es un modelo fenomenológico, perteneciente a la familia de formas de onda IMRPhenomX, que describe todas las fases de coalescencia teniendo en cuenta los modos subdominantes de los armónicos esféricos. Al contar con estos modos subdominantes, su análisis se vuelve más complejo y por ello la estimación de parámetros debe ser reconfigurada. La estimación de parámetros es una técnica estadı́stica basada en el grado de creencia que se puede tener de un evento en particular. El método de muestreo más usado es el de las cadenas de Markov - Monte Carlo (MCMC), aunque tiene sus limitaciones si el análisis es complejo y se quiere obtener la evidencia. Por esta razón, en este trabajo se usará el método de muestreo anidado, capaz de abordar estas limitaciones. Esta técnica ha empezado a coger fuerza en los últimos años, pero al contrario que la de MCMC, no se conocen con tanta exactitud los errores que comete. Como consecuencia, una de las motivaciones de este proyecto es realizar un estudio de convergencia en la estimación de parámetros usando el muestreo anidado, haciendo posible una mejor reconfiguración. De esta manera, el trabajo está organizado de la siguiente forma: En primer lugar, en la sección 2 se realiza una breve introducción sobre la teorı́a de relatividad general. Esta es la base de todos los estudios realizados, ya que las ondas gravitacionales son predicciones de esta teorı́a. En este apartado se introducen los conceptos básicos de dicha teorı́a y los necesarios para el desarrollo del resto del trabajo. Por otro lado, en la sección 3 se lleva a cabo una explicación del concepto de ondas gravitacionales y todo lo que ello implica. Se realiza su deducción a partir de las ecuaciones introducidas por la teorı́a de relatividad general y también se hace referencia a los tipos de fuente, centrándose en los sistemas binarios compactos. Seguidamente, se introduce el concepto de agujero negro, fundamental para el procedimiento del trabajo. Y finalmente, se hace 6.

(8) referencia a las formas de onda teóricas y los métodos necesarios para desarrollar un modelo que sea capaz de generarlas. La sección 4 se centra más en la parte analı́tica del problema. Aquı́ se explica cómo son detectadas este tipo de ondas y cómo realizar una estimación de los parámetros que describen la fuente de donde provienen. Para dicha estimación estadı́stica, son necesarios métodos de muestreo, en esta sección se explica en qué consiste el usado para este proyecto, el muestreo anidado, y qué errores comete. En la sección 5 se explica en qué consiste el trabajo realizado, cuyo objetivo es realizar un análisis de un nuevo modelo de forma de onda. En primer lugar, se comprueba su valı́a realizando inyecciones de la forma de onda en ruido procedente de los interferómetros. En segundo lugar, se estudia la configuración más óptima para llevar a cabo el muestreo anidado. Finalmente se realiza la estimación de parámetros para dos eventos reales y relevantes que ya fueron publicados para ser más fácil su comparación. Los resultados obtenidos en esta sección son presentados y discutidos. Finalmente, en la sección 6 se comentan las conclusiones a las que se ha llegado después de realizar todo el estudio.. 7.

(9) 2.. Teorı́a de la relatividad general. En 1687, Isaac Newton anunció las leyes del movimiento, que son los pilares de la fı́sica newtoniana, explicando el cómo y el porqué del movimiento de los objetos. 1. Todo objeto se mueve uniformemente en lı́nea recta a menos que sobre él actúe una fuerza, X F = 0. (2.1) 2. Cuando una fuerza actúa, la velocidad del objeto cambia a un ritmo proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa inercial (mi ), F = mi a.. (2.2). 3. Si dos objetos interaccionan, la fuerza que ejercen uno sobre el otro es igual pero de signo contrario, F12 = −F21 . (2.3) Toda acción tiene una reacción igual y contraria. Estas tres leyes las combinó junto con la ley de gravitación universal, la cual describe la gravedad como una fuerza espontánea debido a un campo gravitatorio, para explicar las leyes de Kepler que describen el movimiento planetario. La ley de gravitación universal asegura que, entre dos objetos cualquiera en el universo, actúa una fuerza gravitatoria que es proporcional al producto de la masa que genera el campo y la que se ve atraı́da por él (mg ), e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta ley puede expresarse en términos del potencial gravitatorio escalar (φ), describiendo el movimiento de una partı́cula en presencia de un campo gravitatorio, tal que: Fg = −mg ∇φ.. (2.4). Otra forma equivalente de expresar dicha ley, la cual facilita los cálculos en muchas ocasiones, es la ecuación de Poisson, ∇2 φ = 4πρ,. (2.5). siendo ρ la densidad de masa de la que genera el campo gravitatorio. Durante el siglo XIX muchos de los fenómenos del universo eran capaces de explicarse con manipulaciones matemáticas de estas leyes, como por ejemplo hechos cotidianos como la caı́da libre de un objeto, las mareas e incluso el movimiento de los planetas alrededor del Sol. El espacio absoluto de Newton corresponde al espacio tridimensional común. Lo mismo ocurre con su tiempo absoluto, el cual solo transcurre hacia delante, de manera sincronizada para todos los objetos. En 1865, Maxwell publicó un conjunto de ecuaciones capaces de unificar el electromagnetismo definiendo las ondas electromagnéticas, las cuales se propagan a la velocidad de la luz. En ese siglo se creı́a que dichas ondas se propagaban, al igual que otro tipo de ondas conocidas, a través de un medio, el éter, definido como el sistema de reposo natural para dichas ecuaciones. En todos los sistemas de referencia inerciales, la velocidad de la luz debı́a ser corregida respecto a la velocidad relativa al éter. En 1887, Michelson y Morley realizaron un experimento cuyo propósito era medir la velocidad relativa de la Tierra respecto a este medio. Este desarrollo no mostró las propiedades del éter, sino que demostró que la velocidad de la luz no experimentaba ninguna alteración. Este hecho provocaba que las ecuaciones de Maxwell no fueran equivalentes para todos los observadores en distintos sistemas de referencia inerciales, contradiciendo ası́ el principio de relatividad de Galilei. Este principio asegura que la fı́sica en cualquier sistema de referencia inercial debe ser equivalente. Esta contradicción hizo que Einstein se cuestionara la validez de la fı́sica newtoniana, dando paso a la formulación de la teorı́a de la relatividad especial en 1905 y la de relatividad general en 1915. 8.

(10) 2.1.. Teorı́a de relatividad especial. La teorı́a de relatividad especial se basa en dos principios: 1. El principio de carácter absoluto de la velocidad de la luz. De acuerdo con los resultados del experimento de Michelson y Morley, el espacio-tiempo está constituido de tal manera que hace que la velocidad de la luz sea la misma en cualquier dirección e independientemente del observador. 2. El principio de relatividad. Las leyes de la fı́sica son equivalentes en cualquier sistema de referencia inercial. Esto implica que no hay observadores predilectos, por lo que las transformaciones inerciales deben ser compatibles con todas las leyes fı́sicas incluyendo las del electromagnetismo de Maxwell. Ası́ pues, las transformaciones de Galilei son sustituidas por las de Lorentz que sı́ cumplen este principio. Mediante esta teorı́a, Albert Einstein rechaza el tiempo y espacio absoluto dados por las leyes de la fı́sica newtoniana, asegurando que estos son conceptos relativos. Las medidas del espacio dependen del movimiento del objeto respecto al observador y el flujo de tiempo depende de la trayectoria del observador. La gravedad deja de verse como una fuerza instantánea para convertirse en una acción que se propaga por el espacio-tiempo a la velocidad de la luz mediante ondas. La teorı́a de relatividad especial define el espacio-tiempo como una variedad con geometrı́a plana y de cuatro dimensiones (R4 ), una temporal y tres espaciales. Las variedades están compuestas de manera continua por eventos, los cuales vienen representados por puntos del espacio en cada instante de tiempo. Toda la información sobre la estructura del espacio-tiempo viene dada por su métrica. En esta teorı́a, al suponer una geometrı́a plana, se utiliza la métrica de Minkowski ηµν = diag(−1, 1, 1, 1), que es la generalización espacio-temporal del producto interno en un espacio Euclı́deo plano. De esta forma, el elemento de lı́nea para esta variedad, que expresa la distancia infinitesimal entre dos puntos, viene dado por: ds2 = ηµν dxµ dxν = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 .. 2.2.. (2.6). Teorı́a de relatividad general. Maxwell consiguió, con sus ecuaciones, unificar las fuerzas electromagnéticas clásicas. Einstein querı́a hacer lo mismo con la otra fuerza fundamental conocida entonces, la gravitatoria. Para ello desarrolló la teorı́a de relatividad general. Esta teorı́a es una interpretación de la gravitación como consecuencia de la geometrı́a del espacio-tiempo. Este se curva debido a la presencia de materia y energı́a haciendo que viajen a través de su curvatura. La teorı́a de relatividad general se basa en dos ideas fundamentales. En primer lugar, el principio de equivalencia. Este tiene su origen en el experimento que realizó Galilei a finales del siglo XVI. Galilei se percató de que todos los cuerpos caen con la misma aceleración en la Tierra, independientemente de su masa. A partir de esta conclusión, Newton enunció el principio de equivalencia conocido como débil, donde se asegura la imposibilidad de distinguir la masa inercial (mi ), dada por la segunda ley de Newton (2.2) que mide la fuerza necesaria para obtener una determinada aceleración, y la masa gravitatoria (mg ), dada por la fuerza gravitatoria (2.4) que mide la atracción que sufre una partı́cula debido al campo gravitacional. Einstein, gracias a este principio pudo relacionar la gravedad e inercia mediante su principio de equivalencia general. El resultado de cualquier experimento local en un laboratorio en caı́da libre es independiente a la velocidad de este y su ubicación en el espacio-tiempo. Ası́ pues, este principio asegura que en los sistemas de referencia de caı́da libre no se puede percibir la existencia de un campo gravitatorio en regiones del espacio-tiempo suficientemente pequeñas para poder considerar un campo gravitatorio homogéneo, haciendo de la gravitación un efecto inercial. 9.

(11) En segundo lugar, en la teorı́a de relatividad especial, al igual que en la fı́sica newtoniana, el movimiento inercial y no-rotatorio no se ve influenciado por la materia en el universo. Este hecho no convencı́a a Einstein, provocando la formulación de una nueva teorı́a donde el espacio-tiempo sı́ se ve afectado por los cuerpos presentes en este, relacionando ası́ la gravedad con la variedad 4dimensional (R4 ). Ası́ pues, el espacio-tiempo viene definido por una métrica (gµν ) Lorentziana, cuya signatura es (1,3) correspondiendo a una variedad con una dimensión temporal y tres espaciales. Dicha variedad puede ser curva en presencia de campo gravitatorio. De esta forma, en la teorı́a de relatividad general, el campo gravitatorio viene dado por la desviación de la geometrı́a del espacio-tiempo respecto a la variedad plana, a causa de la presencia de cuerpos masivos en este. Las leyes fı́sicas dadas por dicha teorı́a están gobernadas por dos principios básicos: 1. Según el principio de covarianza general, la métrica Lorentziana (gµν ) y las cantidades derivadas de ella son las únicas del espacio-tiempo que pueden aparecer en las ecuaciones fı́sicas debido a su correlación en diferentes sistemas de referencia. 2. Dichas leyes en el caso de espacio-tiempo plano, deben ser equivalentes a la fı́sica descrita por la teorı́a de relatividad especial. 2.2.1.. Geodésicas. El camino que sigue una masa prueba en caı́da libre en el espacio-tiempo curvo se denomina geodésica. Este camino corresponde a la ecuación de movimiento que maximiza el tiempo propio de la partı́cula durante el recorrido entre dos puntos distintos del espacio, haciendo referencia a las lı́neas más rectas posibles. En un espacio-tiempo plano las geodésicas equivalen a la generalización de las lı́neas rectas. Estas    ∂ a a pueden ser consideradas como trayectorias cuyo vector tangente T = ∂t permanece paralelo a sı́ mismo en todos los puntos de dicha trayectoria, es decir, este es transportado paralelamente haciendo que la derivada alrededor de la curva sea proporcional a sı́ misma. La ecuación geodésica, usando una parametrización afı́n para que el vector transportado siga siendo el mismo, viene dada por la expresión: T a ∇a T b = 0, (2.7) siendo ∇a la derivada covariante, un operador que permite expresar la derivada a lo largo de los vectores tangentes de una variedad. La derivada covariante en una variedad, mapea un campo tensorial diferenciable del tipo (k, l) a otro diferenciable (k, l + 1). Este operador satisface las siguientes propiedades: linealidad: ∇a (v b + wb ) = ∇a v b + ∇a wb , la regla de Leibnitz: ∇a (f v b ) = (∇a f )v b + f (∇a v b ), no tiene torsión. 1. y coincide con la derivada parcial para escalares. Para tensores generales viene definido por: ∇a T b1 ...bkc1 ...cl = ∂a T b1 ...bkc1 ...cl +. X. Γbad T b1 ...d...bkc1 ...cl − Γdacj T b1 ...bkc1 ...d...cl ,. i 1. ∇a ∇b f = ∇b ∇a f. 10. (2.8).

(12) siendo Γµνλ los coeficientes de conexión denominados sı́mbolos de Christoffel. Estos vienen expresados por: 1 Γαβγ = g αδ (∂β gγδ + ∂γ gδβ − ∂δ gβγ ) . 2. (2.9). La ecuación (2.7) puede escribirse también de la siguiente forma: λ ν d2 xµ µ dx dx + Γ = 0. νλ dt2 dt dt. (2.10). A partir de la ecuación (2.10) se puede derivar la fuerza de marea entre dos puntos cercanos mediante la aceleración entre dos partı́culas en caı́da libre. Dicha aceleración viene descrita por la curvatura del espacio-tiempo en la ecuación de la desviación geodésica [3]: a aa = −Rcbd X bT cT d,. (2.11). a. ∂ siendo X b = ∂s el vector desviación correspondiente al desplazamiento infinitesimal cerca de la c geodésica y T el vector tangente definido anteriormente.. 2.2.2.. Tensor energı́a-momento. El tensor energı́a-momento (Tµν ) engloba toda la información sobre la energı́a y momento de los campos de materia que actúan como fuente para la gravedad. Las componentes de dicho tensor corresponden al flujo de la componente µ del momento en la dirección ν,    π1 π2 π3 π1 p1 σ12 σ13   Tµν =  (2.12) π2 σ12 p2 σ23  , π3 σ13 σ23 p3 siendo  la densidad de energı́a que contiene la densidad de la masa en reposo y otras formas de energı́a, πi la densidad de momento lineal en la dirección i, pi el esfuerzo normal en la dirección i, finalmente σij hace referencia al esfuerzo de cizalladura en la dirección j. Este tensor es simétrico y debe mantener de manera local la conservación de las cantidades fı́sicas, ya que el tensor energı́a-momento debe tener divergencia nula: ∇ν T µν = 0. 2.2.3.. (2.13). Tensor de Riemann. Existe un tensor que está relacionado con la imposibilidad de un vector de volver a su valor inicial después de ser transportado paralelamente alrededor de una curva cerrada, estando ası́ relacionado con la curvatura de la variedad. Este recibe el nombre de tensor de Riemann, es un tensor antisimétrico y está definido por los sı́mbolos de Christoffel (2.9) en la siguiente expresión: µ Rναβ = ∂α Γµνβ − ∂β Γµνα + Γµλα Γλµβ − Γµλβ Γλµα .. (2.14). La traza de este tensor recibe el nombre de tensor de Ricci: α Rµν = Rµαν ,. (2.15). y de la misma manera se puede definir el escalar de curvatura mediante la traza del tensor anterior (2.15): R = Rµµ . 11. (2.16).

(13) 2.2.4.. Ecuación de Einstein. La ecuación de Einstein describe la relación entre la geometrı́a del espacio-tiempo y la distribución de la materia. En la fı́sica newtoniana el campo gravitatorio viene descrito por el potencial φ (2.4) y las fuerzas de marea que sufren dos partı́culas cercanas es proporcional a ∇2 φ (2.5). No obstante, en relatividad general dichas fuerzas vienen dadas por la desviación geodésica (2.11), por lo que se puede deducir cierta correspondencia: a ∇2 φ ←→ Rcbd X bT cT d.. (2.17). Otra analogı́a considerable entre las leyes de Newton y Einstein, son la densidad de masa (ρ) y el tensor energı́a-momento (Tµν ). Ambas correspondencias sugieren que: Rcd = 4πTcd .. (2.18). Dicha relación entra en conflicto al imponer la condición de divergencia nula para el tensor energı́amomento, ya que en general ∇ν Rµν 6= 0. Mediante las identidades de Bianchi se puede construir un tensor a partir del tensor de Ricci el cual sı́ satisface la condición de divergencia nula [3], el tensor de Einstein: 1 Gµν = Rµν − gµν R. 2. (2.19). De esta manera, la ecuación que describe la relación entre la geometrı́a del espacio-tiempo y la energı́a y masa viene dada por: Gµν = 8πTµν ,. (2.20). donde la constante de proporcionalidad ha sido escogida de manera que en el lı́mite newtoniano coincida con la ecuación de Poisson (2.5). La expresión tensorial (2.20) puede interpretarse como un sistema de 10 ecuaciones en derivadas parciales ligadas y no lineales. Esto las convierte en ecuaciones difı́ciles de resolver analı́ticamente, aunque existen soluciones exactas como la de Schwarzschild o de Kerr cuya métrica describe objetos con simetrı́a esférica o axial, sin carga y sin o con rotación respectivamente.. 12.

(14) 3.. Ondas Gravitacionales. Como ya ha sido introducido en la sección anterior, de acuerdo con la teorı́a de relatividad general de Einstein, la curvatura del espacio-tiempo se ve afectada por la energı́a y la materia. Cualquier cambio en dicha curvatura introduce pequeñas perturbaciones en la variedad espacio-temporal, que se propagan a la velocidad de la luz, conocidas como ondas gravitacionales. La primera detección de este tipo de ondas fue llevada a cabo el septiembre del 2015 por la red estadounidense de detectores de interferometrı́a láser de la colaboración LIGO, situados en Handford (Washington) y Livingston (Lousiana). Estos interferómetros, con brazos de 4 Km, detectaron una onda gravitacional emitida por la fusión de un sistema binario de agujeros negros. Anteriormente la única información que se recibı́a del universo, procedı́a de las ondas electromagnéticas y muchos eventos astrofı́sicos no pudieron ser observados debido al débil transporte energético que acarrean este tipo de ondas. Con la posibilidad de detectar ondas gravitacionales, el mundo de la observación astrofı́sica dio un giro, haciéndolas merecedoras del Premio Nobel de Fı́sica en 2017, ya que, con muy pequeña amplitud, estas ondas son capaces de transportar gran cantidad de energı́a a través del espacio-tiempo. Ası́ pues, con esta nueva rama de la observación astronómica, se pueden llegar a detectar eventos muy energéticos no observados hasta el momento, debidos por ejemplo a una explosión de supernova, la fusión de sistemas binarios compactos, o estrellas de neutrones en rotación. Actualmente se dispone de una red de tres interferómetros Michelson, los dos detectores LIGO en Estados Unidos, y uno Virgo situado cerca de Pisa (Italia) cuyos brazos miden 3 Km de longitud. Dichos interferómetros han ido aumentando su resolución, haciendo posible un aumento en el número de eventos que pueden ser observados, ya que son capaces de detectar cada vez señales cuya frecuencia es menor. A finales del 2019 esta red aumentará con la incorporación del detector KAGRA en Japón [16] y en un futuro se prevé la integración de otros detectores como LIGO en India [17], el telescopio Einstein o el detector espacial LISA [11]. El mundo de la detección de ondas gravitacionales no ha hecho más que empezar y está evolucionando muy rápidamente. En un futuro seremos capaces de observar gran cantidad de eventos que nos lleguen de manera simultánea, información procedente de todos los puntos imaginables del universo, que nos permitirá entender y descubrir fı́sica hasta ahora desconocida, como por ejemplo los instantes posteriores al Big Bang.. 3.1.. Linearización de las ecuaciones de Einstein. La teorı́a de perturbaciones es un método matemático capaz de obtener una solución aproximada de un problema, resolviendo uno más simplificado. Este tipo de método solo se aplica si el problema puede ser aproximado por una suma de un problema con solución exacta y una pequeña perturbación. Esta perturbación corresponde a un pequeño desplazamiento del problema inicial. Este método será usado para obtener las ecuaciones del movimiento de una perturbación del espacio - tiempo (hµν ). Para ello se realizará una linearización, mediante teorı́a de perturbaciones, de la ecuación de Einstein (2.20). Esta viene dada en función del tensor y escalar de Ricci, Rµν (2.15) y R (2.16) respectivamente, y el tensor de energı́a - momento Tµν (2.12). Como ya se ha mencionado, para poder aplicar teorı́a de perturbaciones el problema debe poder expresarse como la suma de un problema con solución exacta y una pequeña perturbación. Para que sea posible, se hace la suposición de campo débil, el cual puede variar con el tiempo sin ninguna restricción en el movimiento de las partı́culas.. 13.

(15) Al suponer un campo gravitatorio débil, la métrica del espacio - tiempo puede descomponerse en una métrica plana (la métrica de Minkowski, ηµν = (−1, 1, 1, 1)) y una pequeña perturbación (|hµν |  1), tal que: gµν = ηµν + hµν .. (3.1). Para poder llevar a cabo la linearización de la ecuación de Einstein (2.20), detallada en el Apéndice A, se debe aplicar teorı́a de perturbaciones a cada una de las cantidades que aparecen en dicha expresión. Para ello, en primer lugar, es necesario derivar la expresión de la métrica inversa. Mediante la suposición de que la perturbación es pequeña, la inversa de (3.1) a primer orden viene dada por: g µν = (gµν )−1 = η µν − hµν + O(h2 ).. (3.2). Una vez se conoce la expresión de la métrica inversa, se puede llevar a cabo la linearización de la expresión del tensor de Riemann (2.14) y con ella la del tensor de Ricci (2.15) y su escalar (2.16). No obstante para desempeñar tal desarrollo es necesario linearizar la expresión de los sı́mbolos de Christoffel (2.9) que queda reducida a: 1 Γαβγ = η αδ (∂β hγδ + ∂γ hδβ − ∂δ hβγ ) . 2. (3.3). Al ser la expresión de los sı́mbolos de Christoffel de primer orden en h, en la fórmula del tensor de Riemann solo deben contribuir los términos del orden de O(Γ), los demás son negligibles. De esta manera, la expresión (2.14) linearizada se resume en: Rαβµν =. 1 (∂µ ∂β hνα − ∂µ ∂α hβν − ∂ν ∂β hµα + ∂ν ∂α hβµ ) . 2. (3.4). Contrayendo los ı́ndices, se puede deducir fácilmente que el tensor de Ricci y el escalar de curvatura linearizados vienen dados respectivamente por: Rij =.  1 ∂j ∂l hli + ∂m ∂i hm − ∂ ∂ h − h j i ij , j 2 R = ∂i ∂j hij − h,. (3.5) (3.6). definiendo el operador d’Alembertiano en una métrica plana como  = −∂t2 + ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 = η αβ ∂α ∂β . Finalmente, el tensor de Einstein (2.19), puede escribirse mediante teorı́a de perturbaciones como: Gµν =.  1 ij ∂l ∂ν hlµ + ∂m ∂µ hm − ∂ ∂ h − h − η ∂ ∂ h + η h . ν µ µν µν i j µν ν 2. (3.7). Para resolver esta ecuación de manera más sencilla, se define el potencial gravitacional h̄µν , también conocido como métrica de traza inversa (h̄µµ = −hµµ ), 1 h̄µν = hµν − ηµν h. 2. (3.8). Esta definición simplifica la ecuación de Einstein (2.20), tal que Gµν = R̄µν a primer orden. Por otro lado, se puede imponer la condición de gauge análoga al gauge de Lorentz, xµ = 0 → g µν Γρµν = 0.. 14. (3.9).

(16) De esta manera se obtiene la siguiente condición: 1 g µν Γρµν = η µν η ρδ (∂µ hνδ + ∂ν hδµ − ∂δ hµν ) 2  1 = η ρδ ∂µ hµδ + ∂ν hµδ − ∂δ h 2 1 = ∂µ hµδ − ∂δ h = 0 2. (3.10). 1 ∂µ hµδ − ∂δ h = 0 2. (3.11). En términos de la métrica de traza inversa esta expresión se simplifica:   1 1 1 µ µσ ∂µ hδ − ∂δ h = ∂µ η h̄σν + ησν h − ∂δ h = 0, 2 2 2 ∂µ h̄µν = 0 .. (3.12) (3.13). Aplicando dicha condición en la ecuación de Einstein linearizada (3.7) en términos de la métrica inversa, se obtiene una ecuación de onda, siendo el tensor de energı́a - momento la fuente de esta: 1 Gµν = h̄µν = 8πTµν , 2. (3.14). h̄µν = −16πTµν .. (3.15). Ası́ que finalmente se puede concluir que, realizando una linearización en campo débil de las ecuaciones de Einstein anunciadas en la teorı́a de relatividad general se obtienen soluciones de onda las cuales son transversales, viajan a la velocidad de la luz y se generan debido a la presencia de masa y energı́a en el espacio-tiempo.. 3.2.. Polarización de las ondas gravitacionales. En este apartado se estudiará un caso particular sencillo de solución de onda gravitacional, suponiendo geometrı́a plana. Esta hipótesis implica que el tensor energı́a-momento es cero y, con él, el tensor y escalar de Ricci, simplificando el problema a: h̄µν = 0.. (3.16). Para afrontar dicha situación se propone como ansatz una onda plana cuya forma es: σ. h̄µν = Cµν ei(kσ x ) ,. (3.17). donde la constante (Cµν ) es un tensor de traza nula, simétrico y puramente espacial que describe la radiación gravitatoria, teniendo ası́ diez componentes independientes. Por otro lado, el vector de onda viene definido por el tensor kσ = (w, k 1 , k 2 , k 3 ), cuya componente temporal corresponde a la frecuencia de onda. Introduciendo la solución prueba en la ecuación (3.16), se deduce que la onda se propaga a la velocidad de la luz al ser el vector de onda nulo (kσ k σ = 0):. 15.

(17) h̄µν = η ρσ ∂ρ ∂σ h̄µν = −η ρσ kρ kσ h̄µν. (3.18). σ. = −kσ k h̄µν , h̄µν = −kσ k σ h̄µν = 0. (3.19). Suponiendo también que la onda se propaga en dirección z, el vector de onda se reduce a kσ = (w, 0, 0, w). Finalmente, al ser una onda transversal debe cumplirse que ∂µ h̄µν = 0, lo cual implica que kµ C µν = 0, es decir, que el vector de onda es ortogonal a C µν . Fijando estas condiciones, lo que se consigue es reducir el problema a uno con solo dos componentes independientes. De esta manera se llega a la conclusión de que una onda transversal plana con el gauge de Lorentz, la cual se propaga en el vacı́o en dirección z , tiene dos estados independientes de polarización, h+ y h× , con un ángulo entre ellas de π4 : . h̄µν. 0 0 0  0 h+ h× =  0 h× −h+ 0 0 0.  0 0   ei(kσ xσ ) . 0  0. La información en la métrica h̄µν se puede reescribir en términos de escalar complejo refiriéndose a este como la señal: h(t) = h+ − ih× .. (3.20). Posteriormente, en la Sec. 4.1.2, se verá como la señal del detector puede expresarse directamente en términos de esta (3.20).. 3.3.. Ecuación de Einstein cuadrupolar. La fórmula cuadrupolar de Einstein corresponde al término menor de la expansión multipolar sobre un espacio-tiempo plano. Para deducirla, se utiliza la aproximación de campo débil y se expande a velocidades pequeñas. Durante las últimas fases de coalescencia, las cuales se explican más detalladamente en el apartado posterior, deja de ser posible esta aproximación debido a que la velocidad de los cuerpos aumenta y también el efecto del campo gravitatorio sobre la curvatura haciendo necesario introducir correcciones a dicha expansión. 3.3.1.. Aproximación de campo débil. Para cada una de las componentes de la perturbación, la ecuación de onda (3.15), al ser una ecuación diferencial lineal, se resuelve introduciendo las funciones de Green del operador d’Alembertiano, G(x − x0 ) = δ 4 (x − x0 ), tal que: Z 16πG d4 x0 G(x − x0 )Tµν (x0 ). (3.21) h̄µν (x) = − 4 c Imponiendo que solo se deben tener en cuenta los modos salientes de la ecuación de onda, la función de Green se reduce a la función de Green retardada: G(x − x0 ) = −. δ(ctret − ct0 ) , 4π|x − x0 |. 16. (3.22).

(18) 0. | siendo tret = t − |x−x el tiempo retardado. Como consecuencia la solución para la ecuación de c onda viene dada por   Z |x − x0 | 0 4G 1 3 0 (3.23) h̄µν (x) = 4 d x Tµν t − ,x . c |x − x0 | c. Realizando una proyección de dicha solución fuera de la fuente, utilizando el gauge hTijT = Λij,kl hkl = Λij,kl h̄kl para que la onda gravitacional venga dada en términos de las componentes espaciales, se obtiene:   Z 1 4G |x − x0 | 0 TT 3 0 (3.24) h̄µν (x) = 4 Λij,kl (n̂) d x Tkl t − ,x , c |x − x0 | c siendo Λij,kl (n) = Pik Pjl − 12 Pij Pkl función del operador de proyección Pij = δij − ni nj . Debido a que las distancias a las que se encuentran los objetos que forman el sistema binario (x) son mucho mayores a su radio (d) se puede expresar de manera aproximada:  2 d 0 0 |x − x | = |x| − x · n + O , (3.25) |x| para |x0 | << |x|. Ası́ pues, introduciendo la aproximación (3.25) en la expresión de la solución de la ecuación de onda (3.24) se obtiene:   Z 4G 1 |x| x0 · n 0 TT 3 0 h̄µν (x) = Λij,kl (n̂) d x Tkl t − + ,x . (3.26) |x|c4 |x − x0 | c c Por otro lado, reescribiendo el tensor de energı́a-momento en términos de su transformada de Fourier se obtiene:   Z |x| x0 · n 0 d4 k ˜ 0 0 Tkl t − + ,x = Tkl (w, k)e−iw(t−r/c+x ·n/c)+ik·x . (3.27) 4 c c (2π) 3.3.2.. Expansión para velocidades pequeñas. Suponiendo que las fuentes se mueven a una velocidad mucho menor que la de la luz (v << c), se puede realizar una expansión en serie de Taylor del tensor de energı́a-momento en el espacio de Fourier (3.27). Para ello se define la frecuencia de movimiento máxima de la fuente, ws , y el radio de esta, d. Usando las leyes de la fı́sica Newtoniana se obtiene que v ∼ ws d << c. De este modo es posible realizar una aproximación mediante series de Taylor, ya que: wx0 · n ws d . << 1. c c Como consecuencia la exponencial de la expresión (3.27) se expande a:. −iw(t−r/c+x0 ·n/c). e.   w 0i i 1  w 2 0ix0j i j n n + ... , = e iw(t − r/c) 1 − i x n + −i x c 2 c −. 17. (3.28).

(19) o lo que es equivalente:   |x| x0 · n 0 |x| 0 x0i ni 1 Tkl t − + , x ' Tkl (t − ,x ) + ∂t Tkl + 2 x0i x0j ni nj ∂t2 Tkl + . . . c c c c 2c. (3.29). Esto hace posible la expansión de la solución de la ecuación de onda (3.26) en términos de los momentos de la parte espacial del tensor energı́a-momento (S ij (t), S ij,k (t), S ij,kl (t), ...) evaluadas en el tiempo retardado (tret ):   1 1 4G 1 kl kl,mp TT kl,m Λij,kl (n) S + nm Ṡ + ... hij (t, x) = + 2 nm np Ṡ (3.30) |x| c4 c 2c tret Las componentes únicamente espaciales del tensor energı́a-momento son difı́ciles de obtener, para facilitar la situación, los momentos de estas pueden expresarse en función de la densidad de energı́a (T 00 ) y la densidad de momento lineal (T 0i ), definiendo respectivamente:. M. =. Mi = M ij. P. =. =. Pi = P ij. =. Z 1 d3 xT 00 (t, x), c2 Z 1 d3 xT 00 (t, x)xi , c2 Z 1 d3 xT 00 (t, x)xi xj , c2 Z 1 d3 xT 0i (t, x), c Z 1 d3 xT 0i (t, x)xi , c Z 1 d3 xT 0i (t, x)xi xj , c. (3.31) (3.32) (3.33). (3.34) (3.35) (3.36). y ası́ sucesivamente. Al conservarse el tensor de energı́a-momento, y cumplirse que ∂0 T 00 = −∂i T 0i y ∂0 T 0i = −∂j T ij , es posible relacionar los momentos de la parte espacial de dicho tensor con los anteriormente definidos obteniendo que [1] : 1 S ij = M̈ ij , 2. (3.37). siendo Ṁ = c∂0 M . De esta manera, al quedarse con los ordenes dominantes, la expresión (3.30) viene descrita por la ecuación cuadrupolar: hTijT (t, x) = 3.3.3.. 1 2G Λij,kl (n)M̈ ij (t − |x|/c). |x| c4. (3.38). Polarizaciones cuadrupolares. La propagación de la onda gravitacional se lleva a cabo en la dirección z convirtiendo al operador de proyección en una matriz diagonal, tal que Pij = diag(1, 1, 0). De esta manera, se obtienen de la misma forma que en la expresión (3.20), dos polarizaciones: h+ = h× =. 1 G (M̈11 − M̈22 ), |x| c4 2 G M̈12 . |x| c4 18. (3.39) (3.40).

(20) Para obtener una expresión general de la propagación de onda en la dirección n se relacionan el sistema de coordenadas de la fuente {x, y, z} con otro sistema de coordenadas cartesiano {x0 , y 0 , z 0 } siendo z’ la dirección de propagación de la onda. Dicha relación viene dada por dos rotaciones de Euler:    cos φ sin φ 0 1 0 0 R = − sin φ cos φ 0 0 cos θ sin θ  . 0 0 1 0 − sin θ cos θ Ası́ pues, las componentes del tensor M se relacionan con las del tensor M’, tal que Mij0 = (RT M R)ij , generalizando las polarizaciones (3.39) y (3.40) a:. h+ (t; θ, φ) =. 1 G [M̈11 (cos2 φ − sin2 φ cos2 θ) |x| c4 + M̈22 (sin2 φ − cos2 φ cos2 θ) − M̈33 sin2 φ. (3.41) 2. − M̈12 sin 2φ(1 + cos φ) + M̈13 sin φ sin 2θ + M̈23 cos φ sin 2θ] ,. h× (t; θ, φ) =. 1 G [(M̈11 − M̈22 ) sin 2φ cos θ |x| c4 + 2M̈12 cos 2φ cos θ. (3.42). − M̈13 cos φ sin θ + 2M̈23 sin φ sin θ] .. 3.4.. Fuentes astronómicas. Cualquier cuerpo con masa que esté acelerado de manera no esférica, genera ondas gravitacionales. El hecho de que estas sean de gran magnitud viene determinado por la masa del objeto que las produce, su velocidad y el campo gravitatorio que este provoca. El universo está lleno de objetos masivos que se mueven con gran aceleración como los sistemas binarios de agujeros negros o estrellas de neutrones, generando un gran número de eventos candidatos a ser observados mediante la red de interferometrı́a láser de la colaboración LIGO y Virgo. Con la finalidad de poder entender mejor los tipos de ondas gravitacionales que estos objetos pueden emitir, se realiza la siguiente clasificación: Ondas gravitacionales continuas. Este tipo de ondas son producidas debido a un objeto masivo en rotación, como por ejemplo una estrella de neutrones. Cualquier imperfección en su superficie axisimétrica provoca la emisión de ondas gravitacionales. La frecuencia de rotación del objeto determina la frecuencia de la onda que se detecta, como consecuencia, al mantener aproximadamente constante la velocidad rotacional, la frecuencia de las ondas que llegan también es aproximadamente constante debido su grado de debilidad. Ondas gravitacionales estocásticas. Estas ondas hacen referencia a todas aquellas pequeñas perturbaciones que viajan por todo el espacio-tiempo y están mezcladas de manera aleatoria entre sı́. Las ondas estocásticas podrı́an aportar información muy relevante del universo primigenio. Ondas gravitacionales transitorias. En este caso, las ondas son debidas a eventos de duración muy corta con respecto al tiempo de observación, que oscila entre fracciones de 19.

(21) segundo y algunas decenas. Dichos eventos proceden de acontecimientos astrofı́sicos muy violentos como por ejemplo la fusión de dos agujeros negros o dos estrellas de neutrones, supernovas u otro tipo de circunstancias muy energéticas. En este trabajo se llevará a cabo un estudio de dos fusiones de agujeros negros, correspondientes a señales transitorias, las cuales fueron observadas en el primer y segundo periodo de observación de LIGO (O1 y O2 respectivamente). La coalescencia de este tipo de objetos se divide en tres fases: Fase inspiral. Durante millones de años, ambos cuerpos orbitan de manera casi circular, uno alrededor del otro, perdiendo energı́a en forma de ondas gravitacionales. Al encontrarse a distancias muy lejanas, la atracción gravitatoria de los objetos es menor. No obstante, el hecho de perder energı́a hace que la órbita decaiga, aumentando la velocidad orbital y la cantidad de energı́a perdida. Fase de fusión. Acercarse cada vez más y a mayor velocidad provoca que finalmente ambos cuerpos colisionen violentamente y como consecuencia se generen ondas gravitacionales muy intensas. Fase de estabilización. Dicha explosión finaliza con la formación de un objeto compacto, único y fluctuante que radia el exceso de energı́a en ondas gravitacionales. Al estar perdiendo energı́a, la amplitud disminuye y se produce la estabilización del objeto. En el caso de un sistema binario de dos agujeros negros, el objeto resultante es otro agujero negro, sin embargo, en los sistemas binarios de estrellas de neutrones se forma una sola estrella de neutrones hipermasiva la cual colapsa y acaba transformándose en un agujero negro.. Figura 1: Estimación de la amplitud de la onda gravitacional GW150914 e indicación de las diferentes fases del proceso. [12]. 3.4.1.. Agujeros negros. Los agujeros negros son objetos muy compactos tales que, en dicha región del espacio-tiempo, la gravedad es tan fuerte que nada puede escapar de ella, ni siquiera la luz. Estos objetos astrofı́sicos surgen del colapso de estrellas al llegar a su etapa final. Muchas estrellas como el Sol, se encuentran en la secuencia principal de la vida estelar, donde la energı́a que las ayuda a contrarrestar la gravitatoria viene dada por la fusión de hidrógeno en su núcleo, formando helio. Al terminarse el hidrógeno, las estrellas empiezan a aumentar su tamaño, hasta unas 100 veces el tamaño de su radio en la secuencia principal. Si la estrella es suficientemente masiva, cada vez que terminan el combustible, inician un nuevo proceso de fusión con otros nucleones más pesados, siendo cada vez más cortas las fases. Al terminarse el hidrógeno, el helio se fusiona creando carbono, seguidamente 20.

(22) este fusiona para dar lugar a oxı́geno, luego neón, magnesio, silicio y finalmente hierro. A partir de ese momento, la presión de degeneración es la que mantiene el equilibrio con la fuerza gravitatoria evitando el colapso, únicamente si la masa del objeto es superior o equivalente al lı́mite de Chandrasekhar (M ≤ 1.44M en el caso de enanas blancas y M ≤ 2M en el de estrellas de neutrones). En el momento en que este lı́mite se supera, la estrella colapsa totalmente formando un agujero negro. En relatividad general, los agujeros negros son objetos muy simples debido a que son caracterizados por un número muy pequeño de parámetros. Bajo la suposición de que el espacio-tiempo cerca de un agujero negro es asintóticamente plano, el teorema sin pelo [3] asegura que las ecuaciones de Einstein vienen descritas por tres cantidades fı́sicas: la masa M, la carga eléctrica Q y el momento angular J, también conocido como espı́n. Existe un tensor métrico con simetrı́a axial que describe los diferentes tipos de agujeros negros que pueden encontrarse según su rotación y carga, la métrica de Kerr-Newman. Esta métrica engloba los agujeros negros de Reissner-Nordström que tienen rotación nula, los de Kerr que sı́ tienen rotación pero no están cargados y finalmente los de Schwarzschild que ni tienen carga ni espı́n. La existencia de agujeros negros cargados es posible, pero, el hecho de que los objetos astrofı́sicos de los que proceden tengan carga nula, hace que estos tampoco tengan, convirtiendo las soluciones de Schwarzschild y Kerr en las más relevantes. 3.4.1.1. Solución de Schwarzschild. La solución de Schwarzschild es una solución exacta sencilla de las ecuaciones de Einstein, que describe un espacio-tiempo en el vacı́o (Tµν = 0), con simetrı́a esférica, sin rotación ni carga, y estática, es decir, sin dependencia temporal. La solución también es asintóticamente plana, haciendo que al alejarse de la fuente gravitatoria la métrica sea plana. El elemento de lı́nea usando la métrica de Schwarzschild, con unidades geométricas (G = c = 1),viene dada por:    2M dr2 2  + r2 dθ2 + sin2 θdψ 2 , ds = − 1 − dt2 + (3.43) 2M r 1− r donde r, θ y ψ corresponden a las coordenadas radial, de latitud y azimutal respectivamente. Al examinar la ecuación (3.43) se puede deducir que existen dos singularidades radiales en la métrica de Schwarzschild. En r = 0 la singularidad es independiente de las coordenadas  elegidas ya que abcd los invariantes de curvatura tienden a infinito en este punto Rabcd R → ∞ , convirtiéndolo en una singularidad fı́sica. Por otro lado, en r = 2M se tiene una singularidad debida al sistema de coordenadas, la cual con un cambio de coordenadas desaparece. El hecho de que la singularidad de coordenadas desaparezca dependiendo del sistema usado no significa que r = 2M no tenga significado fı́sico. Este radio es conocido como radio de Schwarzschild y da lugar al horizonte de sucesos, una superficie de no retorno del agujero negro. Cualquier partı́cula en el interior de esta superficie no puede escapar, ya que pierde el contacto causal con el exterior, siendo condenada a caer en la singularidad r = 0. Ası́ pues, el horizonte de sucesos es la superficie a partir de la cual ningún observador puede mantenerse estático respecto a un sistema de referencia inercial. 3.4.1.2. Solución de Kerr. La solución de Kerr corresponde a una generalización de la de Schwarzschild que describe objetos en rotación, con simetrı́a axial y sin carga eléctrica. Es la solución más fı́sicamente realista de todas las soluciones exactas de la relatividad general de Einstein, ya que los objetos astrofı́sicos no suelen ser estáticos pero tampoco tienen carga. 21.

(23) Dicha geometrı́a viene descrita por el siguiente elemento de lı́nea:    rrs  2 2rrs a sin2 θ Σ rrs a2 sin2 θ sin2 θdψ 2 , ds2 = − 1 − dt − dtdψ + dr2 + r2 + a2 + Σ Σ ∆ Σ. (3.44). siendo a ≡ J/M , Σ ≡ r2 + a2 cos2 θ y ∆ ≡ r2 − rrs + a2 . Al no tener rotación a = 0, se recupera la simetrı́a esférica y con ella la métrica de Schwarzschild. Por otro lado al no tener masa que genere campo gravitatorio, M = 0, se recupera la métrica plana de Minkowski en coordenadas esféricas. La métrica de Kerr no es estática, sino que es estacionaria. Dicha métrica no se mantiene invariante bajo inversión temporal sino que se debe recurrir a la inversión angular simultánea. Por otro lado, contiene una singularidad fı́sica en r = 0, θ = π/2 y cuatro singularidades de coordenadas, dos horizontes de sucesos y dos superficies delimitadoras. Los horizontes de sucesos dados por la métrica de Kerr vienen descritos por: p 1 R± = rs ± rs2 − 4a2 , 2. (3.45). siendo R− el horizonte interior y R+ el exterior. En el caso en que a > M , para R− < r < R+ no se puede llevar a cabo una trayectoria estacionaria hasta que se llega al segundo horizonte y esta es recuperada. El hecho de estar relacionados el tiempo y el ángulo azimutal por la métrica, implica que el espaciotiempo gira en la dirección de rotación del agujero negro y cualquier objeto que se acerque a este sufre un arrastre rotatorio inversamente proporcional a la distancia a la que se encuentra de su centro. En el plano ecuatorial, la fuerza de arrastre viene dada por: w=. (r2. +. 2M ar . − a2 ∆ sin2 θ. a2 )2. (3.46). Esta fuerza de arrastre provoca que a partir de cierta distancia, un sistema dejará de ser estático respecto de un observador lejano y comenzará a girar con el agujero negro. Dicha distancia corresponde a la superficie de lı́mite estacionario. En el caso de los agujeros negros de Kerr existen dos distancias de lı́mite estacionario: S± =.  p 1 rs ± rs2 − 4a2 cos2 θ . 2. (3.47). La superficie que se encierra entre los horizontes de sucesos y dichas superficies de lı́mite estacionario recibe el nombre de ergoesfera.. 3.5.. Señal procedente de ondas gravitacionales. Existen gran variedad de modelos que describen las ondas gravitacionales procedentes de la fusión de objetos compactos. Estos modelos generan formas o patrones de onda introduciendo un vector de parámetros (λ) y devolviendo la señal, h(t, λ).. 22.

(24) 3.5.1.. Espacio de parámetros. Como ya se ha mencionado anteriormente, los agujeros negros son unos objetos astrofı́sicos muy sencillos que, según el teorema sin pelo, vienen caracterizados por sus masas (mi ) y espines (si ). Estas cantidades individuales para cada uno de los agujeros negros que forman el sistema binario corresponden a los parámetros intrı́nsecos de la señal. Para el caso de los espines, se definen las magnitudes adimensionales, χi =. ~ s~i · L . ~ m2 |L|. (3.48). i. No obstante, existen otros parámetros que describen la geometrı́a de la fuente respecto de los detectores, los extrı́nsecos. Estas cantidades son la distancia luminosa a la que se encuentra el sistema binario (dL ), los ángulos de ascensión (α) y declinación (δ) que describen la posición a la que se encuentra la fuente, el ángulo de inclinación entre el momento angular orbital del sistema ~ y la lı́nea de visión, (ι); el ángulo de polarización que describe la orientación de la proyección (L) del vector momento angular orbital en el plano del cielo (ψ), el ángulo de inclinación del momento ~ respecto a la lı́nea de visión, (θJN ); los ángulos de inclinación entre los angular del sistema (J) espines de los objetos y el momento angular orbital (t1 y t2 ), el ángulo azimutal complementario que separa los espines vectores (φ12 ), la posición azimutal del momento angular orbital (φJL ), el momento en que tiene lugar la coalescencia (tc ) y finalmente la fase orbital del sistema binario en el tiempo de coalescencia (φc ). En el caso de que el sistema binario no sea precesante, es decir, que los espines se encuentren alineados o anti-alineados con el momento angular, los cuatro ángulos de orientación orbital son fijos y θJN coincide con ι, por lo que son usadas las magnitudes de espı́n.. Figura 2: Espacio de parámetros de ondas gravitacionales procedentes de un sistema binario de objetos compactos. [27]. 3.5.2.. Expansión Post-Newtoniana. La aproximación cuadrupolar (3.38) tiene ciertas limitaciones ya que en presencia de cuerpos masivos el espacio-tiempo deja de ser plano. Por ello, es necesario incluir una expansión teniendo en cuenta el comportamiento de la fuente más allá de la aproximación newtoniana. Al realizar la linearización de las ecuaciones de Einstein anteriormente, se llevó a cabo en el lı́mite newtoniano. La expansión Post-Newtoniana (PN) se basa en llevar dicha linearización a ordenes más allá. Para ello se define el tensor de energı́a-momento efectivo, τ ab = T ab + tab siendo tab una. 23.

(25) corrección, el cual también es conservado. Introduciendo este nuevo tensor en la ecuación (3.15) se obtiene: hµν = −16πτ µν .. (3.49). Al usar el tensor de energı́a-momento efectivo, la ecuación pasa a ser una forma exacta con la cual no se pierde ningún tipo de información. Sin embargo, no hay necesidad de resolver la ecuación (3.49) de manera exacta, sino que se puede resolver mediante una expansión de potencias en términos de la constante de gravitación G, hµν = k0µν + Gk1µν + G2 k2µν + .... (3.50). llamada post-Minkowski ya que introduce correcciones del espacio-tiempo plano. El orden cero de µν esta expansión debe recuperar el espacio de Minkowski haciendo que hµν 0 = k0 = 0. Para los demás ordenes, la amplitud de la onda se calcula relajando la condición de conservación del tensor energı́a-momento. Para el primer orden: µν hµν 1 = −16πτ0 ,. (3.51). y ası́ sucesivamente. Una vez se obtiene el orden deseado, se aplica la condición de conservación del tensor de energı́a-momento efectivo ya que la solución no debe perder el sentido fı́sico. De esta forma, la solución para la ecuación de Einstein relajada viene descrita de manera similar a la de la expresión cuadrupolar, por funciones de onda retardadas:   0| 0 Z , x τ µν t − |x−x c . (3.52) ψ(t, x) = d3 x0 |x − x0 | Aplicando la condición de que la velocidad de la fuente es mucho menor que la de la luz (v << c), se obtiene que la distancia a la que se encuentra es mucho menor a su longitud de onda, ya que v = r/t y λ = ct, haciendo posible la expansión en términos de (1/c):   |x − x0 | 0 1 ∂τ µν µν τ t− , x ' τ µν (t, x0 ) − |x − x0 | + ... (3.53) c c ∂t obteniendo una expresión para la señal multipolar similar a la del cuadrupolo pero más allá del lı́mite newtoniano. A partir de esta aproximación se obtiene la siguiente expresión de hamiltoniano, usando la notación   ∂LADM Arnowitt–Deser–Misner (ADS) basada en los momentos conjugados Pi = ∂Vi [5]: H. ADM.  Gm1 m2 P12 1 P4 G2 m1 m2 =− + + 2 − 13 + + 2 2R12 2m1 c 8m1 2R12     Gm1 m2 1 N12 P1 N12 P2 3 P12 7 P1 P2 1 + − +O 4 , 2 R12 4 m1 m2 2 m1 4 m1 m2 c. (3.54). 2 siendo Vi la velocidad y N12 = Y1R−Y , donde Yi corresponden a las trayectorias en esta notación. Di12 cha expresión (3.54), como era de esperar, está compuesta por la suma del hamiltoniano newtoniano con una serie de correcciones que introducen la relatividad general.. Por otro lado, el flujo de energı́a, definido como F = dE/dt, se expande en PN, tal que:        32c5 2 5 2927 5 293383 380 1 2 F= v γ 1+ − − v γ+ + v γ +O 6 5G 336 4 9072 9 c siendo γ =. Gm rc2. y v la velocidad. 24. (3.55).

(26) 3.5.3.. Caracterı́sticas de las formas de onda. Se puede demostrar que, deduciendo la expresión del tiempo de coalescencia del sistema a partir de la expresión cuadrupolar (3.38) y la radiación de energı́a [1], existe una relación entre la frecuencia de la onda gravitacional y la masa del sistema, son inversamente proporcionales: fGW. 1 = π. . 5 256(tc − t). 5/8 . GM c3. −5/8 ,. (3.56). siendo M la masa de chirp. Esta masa es una combinación de las masas individuales, M=. (m1 m2 )3/5 , (m1 + m2 )1/5. (3.57). la cual corresponde al único parámetro intrı́nseco de la señal que aparece en las expresiones de la aproximación cuadrupolar, como puede verse en las expresiones explı́citas de las polarizaciones de la amplitud de onda (3.39 y 3.40) [2]:    GM 5/3 πfGW 2/3 1 + cos2 θ cos(2πfGW tret + 2φ) c2 c 2     4 GM 5/3 πfGW 2/3 cos θ sin(2πfGW tret + 2φ), h× (t) = r c2 c. 4 h+ (t) = r. . (3.58) (3.59). La relación entre la frecuencia de la onda gravitacional y la masa del sistema dada por la expresión (3.56) se puede observar con claridad en la Figura 3. A medida que la masa aumenta, la frecuencia de la onda es cada vez más pequeña. De este modo, debido a la sensibilidad de los interferómetros, al tener masas muy elevadas, solo se es capaz de detectar las últimas fases de coalescencia. Por lo contrario, para sistemas con masas muy pequeñas, los detectores solo captan la fase inspiral. En el caso de los agujeros negros, al encontrarse en el vacı́o, la señal solo depende de las constantes G y c que no son suficientes para definir un sistema de unidades, haciendo que la masa actúe como un parámetro de escala desplazando la señal hacia frecuencias mayores o menores.. Figura 3: Dependencia de la señal con la masa y la frecuencia. [28] En la Figura 4 también se observa de manera cualitativa la dependencia (3.56). Al tener masas pequeñas, de 10M para cada objeto (Figuras 4a y 4d), la amplitud de la onda es menor debido a que el espacio-tiempo es perturbado con menor intensidad. Los objetos se atraen con menor fuerza y por ello la fase inspiral es mucho más larga y hay gran número de oscilaciones. Al disponer de un sistema de masa mayor, de 35M para cada objeto (Figuras 4b y 4e), la intensidad de la onda aumenta al perturbarse mucho más el espacio-tiempo. No obstante, disminuye su duración al ser un sistema mucho más atractivo, haciendo que la fase inspiral sea mucho más breve. 25.

(27) No obstante, la masa no es el único parámetro que hace variar la forma de onda. En la aproximación PN explicada anteriormente, el término dominante del hamiltoniano de espı́n-órbita viene descrito por el producto escalar entre el espı́n y el momento angular del sistema [26]: HSO = 2. ~ χef ~ f ·L , r3. (3.60). siendo χef f una combinación entre los espines de cada uno de los objetos que forman el sistema binario: χef f =. m1 χ1 + m2 χ2 . m1 + m2. (3.61). (a). (b). (c). (d). (e). (f). Figura 4: Dependencia de los parámetros intrı́nsecos de formas de onda de un sistema binario de agujeros negros generadas mediante IMRPhenomPv2. (a) Masa pequeña (m1 = m2 = 10M ), espı́n alineado en el dominio temporal, (b) masa grande (m1 = m2 = 35M ), espı́n alineado en el dominio temporal, (c) masa pequeña (m1 = m2 = 10M ), espı́n anti-alineado en el dominio temporal, (d) masa pequeña (m1 = m2 = 10M ), espı́n alineado en el dominio de frecuencia, (e) masa grande (m1 = m2 = 35M ), espı́n alineado en el dominio de frecuencia, (f) masa pequeña (m1 = m2 = 10M ), espı́n anti-alineado en el dominio de frecuencia. De este modo, si los espines están anti-alineados con el momento angular, el hamiltoniano (3.60) es negativo haciendo que tenga un potencial atractivo y la fusión sea muy rápida. Por el contrario, si están alineados el potencial es repulsivo haciendo que el número de oscilaciones aumente. Este hecho puede verificarse de manera cualitativa en la Figura 4, donde se observa claramente como la intensidad de la onda es la misma ya que las masas ambos sistemas son iguales, pero la duración es mucho menor para el caso de espines anti-alineados (Figuras 4c y 4f) disminuyendo el número de oscilaciones. Finalmente, un factor que debe tenerse en cuenta al tratar con formas de onda, es la degeneración de sus parámetros. Hay parámetros que vienen acompañados de otros en el mismo orden de la 26.

(28) aproximación, provocando una reducción del espacio de parámetros que debe ser muestreado reduciendo el coste computacional, pero complicando la estimación de parámetros ya que estos están ligados entre sı́. 3.5.4.. Modos subdominantes. Normalmente se descompone tı́picamente la señal en términos de los armónicos esféricos, aunque solo un número reducido de modos contribuye significativamente en la señal. La señal (3.20) codifica la información de un tensor, por lo que estos armónicos serán tensores, Y −2l,m . De esta manera, la señal gravitatoria puede expresarse como: h(t; λ, θ, φ) =. ∞ X l X. Y −2l,m (θ, φ)hl,m (t; λ),. (3.62). l=0 m=−l. siendo hl,m (t; λ) los modos de la forma de onda. Normalmente, cada multipolo suele expresarse en función de su amplitud (Al,m ) y su fase (φl,m ), tal que: hl,m (t) = Al,m (t)eiφl,m (t) ,. (3.63). como se ve reflejado en las figuras 6a y 6b.. (a). (b). Figura 5: Representación de la amplitud (a) y fase (b) de los modos dominantes y subdominantes de los armónicos esféricos. [10]. Los modos dominantes corresponden a los modos cuadrupolares l = 2 y m = ±2 donde la forma de onda es más fuerte y simple. Cuanta más asimetrı́a, más contribuyen los modos subdominantes. De esta manera, durante la fase inspiral, los modos (2,2) tienen gran relevancia frente a los demás, por lo contrario durante la fusión y la fase de estabilización, los modos subdominantes tienen más contribución como se ve ilustrado en la Figura 6a. Por otro lado, debido a la sensibilidad de los detectores, como a mayor masa mayor frecuencia orbital, en el caso de objetos muy masivos solo se detecta la amplitud correspondiente a las últimas dos fases de coalescencia como se aprecia en la Figura 3, haciendo que los modos subdominantes para estos casos sean de gran importancia. No obstante, la contribución de los modos subdominantes también puede darnos información al−2 ternativa sobre la orientación del sistema binario. Los armónicos esféricos Y2,2 tienen su máximo en θ = 0 y su mı́nimo en el plano ecuatorial, θ = π/2; mientras que en los otros modos ocurre lo contrario. Al ser la señal igual pero más débil en los modos subdominantes, se puede deducir la distancia a la que se encuentra la fuente y su localización. 27.

(29) 3.5.5.. Modelos de formas de onda. En el proceso de detección de señales de ondas gravitacionales procedentes de la fusión de sistemas binarios compactos, la creación de modelos capaces de generar familias de formas de onda, resolviendo con aproximaciones las ecuaciones de Einstein, es fundamental tanto para filtrado adaptado como para la estimación de parámetros. Como ya se ha mencionado, existen soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein pero solo para objetos compactos individuales. En el caso de tener un sistema binario, se debe recurrir a otros métodos, diferentes para cada una de las fases de la coalescencia. En primer lugar, para la fase inspiral, la dinámica orbital de los dos objetos masivos viene perfectamente descrita por la expansión Post-Newtoniana (PN), explicada anteriormente. Esta expansión es un método perturbativo válido si la atracción gravitatoria entre los dos cuerpos que forman el sistema binario es débil. La expansión viene dada en términos de O(v/c) siendo válido solo para velocidades no relativistas [5]. En segundo lugar, en la fusión la razón v/c se vuelve grande y la expansión converge muy lentamente. De esta manera, se recurre al mapeo del problema real de dos objetos compactos orbitando uno alrededor del otro, a un problema efectivo de un sistema binario compacto con coeficiente de masa extremo. El objeto más masivo se considera un agujero negro de Kerr deformado y el más pequeño una partı́cula rotatoria efectiva. Este método recibe el nombre de cuerpo efectivo (Effective One Body, EOB) [6] y dicho mapeo viene dado por el hecho de que la dinámica efectiva es equivalente a la expansión PN original. Finalmente, la fase de estabilización también viene descrita por un método perturbativo, el de modos oscilantes casi-normales (Quasi-Normal Modes, QNM) [7] de los agujeros negros. En esta fase se considera una pequeña perturbación del agujero negro resultante, del cual sı́ existe una solución exacta, obteniendo ası́ sus oscilaciones. Estas oscilaciones no son armónicas ya que al emitir ondas gravitacionales la energı́a no se conserva y con ella la amplitud no es constante. Como consecuencia, la señal viene dada por una parte real, fring , que describe la frecuencia de oscilación y una imaginaria, fdamp , que caracteriza el amortiguamiento: hlm = Alm. X. n. n. e2πifring t e−2πfdamp t ,. (3.64). n. siendo n el número de excitación, aunque suele usarse el estado fundamental (n=0). Para el análisis de las señales, son necesarios modelos completos de la señal que combinan las técnicas de cada una de las fases de coalescencia en una única expresión, los modelos IMR (Inspiral Merger Ringdown, las distintas fases de coalescencia en inglés). Estos modelos se engloban en tres grupos diferentes. En primer lugar, existen los modelos EOBNR, los cuales utilizan la técnica anteriormente enunciada EOB y la calibran mediante comparación con soluciones obtenidas con relatividad numérica. Una vez calibrado, se interpola sobre el espacio de parámetros para obtener una familia de formas de onda continua. Esta técnica es más rápida que utilizar simplemente soluciones de relatividad numérica, pero el hecho de tener que resolver ecuaciones diferenciales en cada una de las iteraciones hace que sea computacionalmente costosa la estimación de parámetros. En segundo lugar, existe otra técnica usada en muchos otros campos, el modelado de orden reducido (ROM, siglas en inglés). Estos modelos reducen la complejidad del problema numérico disminuyendo la dimensión del espacio de parámetros mediante interpolación. Por último, existen los modelos fenomenológicos los cuales proporcionan expresiones para formas de onda, describiendo la radiación emitida durante toda la coalescencia en el espacio de frecuencias. Esto simplifica el procesamiento de los datos debido a que la señal de los detectores viene en el mismo dominio. Al contrario que EOBNR, el modelo devuelve conjuntos de expresiones analı́ticas de formas de onda 28.

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