SISTEMA DE ENCRIPTACIÓN DE SEÑALES BASADO EN WAVELETS Y CAOS. Jorge Iván Marín, Alexander López, Antonio Ramos, Germán Augusto Ramírez

SISTEMA DE ENCRIPTACIÓN DE SEÑALES BASADO EN WAVELETS Y CAOS

Jorge Iván Marín, Alexander López, Antonio Ramos, Germán Augusto Ramírez

Grupo de Procesamiento Digital de Señales y Procesadores - GDSPROC Centro de Estudios e Investigaciones de la Facultad de Ingeniería – CEIFI

Universidad del Quindío, A.A. 460, Armenia-Colombia email: [email protected]

Abstract: Se presenta un sistema para la transmisión de señales encriptadas basado en la transformada wavelet sobrecompleta (OCWT) que hace uso de una señal caótica como función wavelet madre. Se discute el sistema de decodificación y el algoritmo de implementación, además, de las pruebas de desempeño realizadas al sistema.

Keywords: Encriptación, Transformada Wavelet, OCWT, Caos.

1. INTRODUCCIÓN

La codificación de la información para su transmisión segura a través de un canal, ha sido una de las principales preocupaciones del hombre a lo largo de la historia, pero principalmente el último siglo, dada la masificación e incorporación de las telecomunicaciones en la sociedad. En este campo son bastante conocidos los algoritmos de cifrado digital, sin embargo, la encriptación analógica de señales ha sido un tema de relativa complejidad.

Ciertos autores (Pecora et al., 1990; Strogatz, 2001) plantean como alternativas de solución a este problema, el uso de moduladores/demoduladores caóticos, sin embargo, la sincronización entre el transmisor y el receptor es muy compleja y en algunos casos impráctica (Álvarez, 2000), además, la calidad de la señal recuperada no es lo suficientemente aceptable.

Por otra parte, recientemente se han mostrado las bondades del empleo de las Wavelets en la implementación de sistemas de comunicación (Feng, 1998; Teolis 1998; Akansu, 1999), dando lugar a lo que se denomina multiplexación por paquetes wavelet

(WPMA). Esta técnica, se basa en el empleo de paquetes wavelet como sustitutos de los moduladores SSB en un sistema de multiplexación por frecuencia (FDMA), mostrando superior desempeño, en cuanto a que hace posible administrar más eficientemente el ancho de banda y, para la aplicación aquí descrita, codificar la información de cada canal, dependiendo de la wavelet madre elegida. Dado que los paquetes wavelets requieren que las funciones básicas de descomposición sean una base ortonormal, el conjunto de posibles wavelets candidatas para la encriptación es limitado. Sin embargo, existe una alternativa para el uso de

“cualquier tipo” de función básica de descomposición, la Transformada Wavelet Sobrecompreta (OCWT) (Teolis, 1998). Con la OCWT, Teolis ha mostrado la posibilidad de encriptar señales digitales usando wavelets tipo Morlet. Por lo anterior, se plantea en este trabajo, el uso de la OCWT y una señal caótica como wavelet madre, para la construcción de un sistema analógico de encriptación de señales confiable, de fácil sincronización y buena calidad en la señal decodificada.

2. MARCO TEÓRICO

La representación de la transformada Wavelet en tiempo continuo viene dada por el producto interno (Teolis, 1998):

 

 



 − τ ψ

=

τ s

t t s

f s

F 1

), ( ) , (

(1)

dondef(t) es la señal a la cual se le aplica la transformada,

ψ (t )

es la Wavelet madre o función básica de descomposición y las variables

s

y τ corresponden a la escala¹ y el desplazamiento respectivamente. Para la Wavelet madre son condiciones fundamentales el ser una señal de energía, y oscilar alrededor de cero, pero no necesariamente debe formar una base ortogonal.

Cuando

ψ (t )

es una señal de energía arbitraria de base no ortogonal, la Transformada Wavelet se denomina Sobrecompleta (OCWT: Overcomplete Wavelet Transform), y tiene un costo computacional elevado que puede ser reducido al reescribir la ec. (1) como un banco de filtros de la forma:

) (

* ) ( ) ,

( s τ = f τ ψ

s

− τ

F

(2)

con

ψ

_s

(t )

la versión escalada de la wavelet madre.

La ec. (2) indica que la representación frecuencia- tiempo F se puede generar a partir del filtrado de la señal f por medio de un conjunto finito de filtros, donde cada filtro tiene una respuesta al impulso

)

s

( t −

ψ

. Además con el fin de introducir redundancia en la información que facilite el proceso de cálculo de la inversa, se escogen escalas de la forma

s

_m

= a

0^−m con

m ∈ Z

^.

Por otra parte, la transformada wavelet sobrecompleta inversa (IOCWT) se puede calcular a partir de la representación en marcos de la OCWT (Teolis, 1998), sin embargo, los algoritmos resultantes son computacionalmente muy costosos y exigen la existencia de la inversa de la matriz de correlación de la función wavelet madre. Como alternativas de solución, de menor precisión pero de factible implementación, está la discretización de la expresión para la Transformada Wavelet Continua Inversa

1 La escala se puede concebir como inversamente proporcional a la frecuencia.

) ˆ ( ) , ˆ ( )

ˆ ( γ =

⁻¹

∑ τ ψ

^sm

γ

m

s

m

F C f

(3)

con

f ˆ ( γ )

,

F ˆ ( s

m

, τ )

,

ψ ˆ

s_m

( γ )

las transformadas de Fourier de la señal, coeficientes de transformada wavelet, y wavelet madre respectivamente, y C calculado a través de:

)

2

∑ ^ψ ( ^γ

=

m s

m _m

s

C )

₍₄₎

Por lo anterior, la complejidad computacional de las ecuaciones (2) y (3) se reduce con el empleo de la Tranformada Rápida de Fourier (FFT) y la convolución rápida.

3. ESQUEMAS DE ENCRIPTACIÓN PROPUESTO

El esquema de encriptación propuesto en este trabajo se ilustra en la Figura 1. Puede notarse que la información a encriptar se introduce al sistema como los coeficientes wavelet, de allí que el tipo de fuente de información más fácilmente adaptable al esquema, y para efectos de decodificación, es la información digital. De esta forma, la información que se transmite sobre el canal es una señal unidimensional fácilmente transportable por cualquier medio de transmisión.

Fig. 1. Sistema de encriptación propuesto

Tanto para el cálculo de la IOCWT como de la OCWT se emplearon 64 escalas y una longitud en el tiempo de 2048 datos por cada escala, usando un valor de

0

= a

1.04.

La wavelet madre caótica empleada en la síntesis de la señal a transmitir y la recepción se generó con el sistema dinámico

x ( k + 1 ) = x ( k )

²

+ a

tomando a

= -0.93, y diferentes condiciones iniciales. A partir de esta función se generan 2048 elementos que

IOCWT Señal de

entrada en patrón binario 2D

Canal de

transmisión OCWT

wavelet madre caótica wavelet

madre caótica

Decodi- ficador

posteriormente se enventanan con hamming y se filtran con un IIR elíptico pasabanda de orden 4. El enventamiento es con el fin de reducir el efecto Gibbs en el espectro en frecuencia del banco de filtros, así mismo, el filtro reduce el ancho de banda de la wavelet madre, ya que de no hacerlo, se introduce una alta redundancia en la información de las escalas, imposibilitando la desencriptación, ya que en la OCWT del receptor, aparece información en escalas en las cuales no se transmitieron bits.

Con el método descrito anteriormente se genera la wavelet madre para la escala m=64 (

ψ

₆₄), y para las restantes escalas, se diezma

ψ

₆₄ y se añaden ceros para generar un nuevo vector de 2048 datos, que corresponden a la wavelet de la escala deseada. En la Fig. 2 se muestran las wavelets para las escalas m=64 y m=1, así como sus respectivas transformadas de Fourier que muestran el carácter selectivo del banco de filtros de la OCWT.

0 200 400

0 5 10 15 20 25

k ψ ^64 (k)

0 500 1000

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

n ψ64(n)

0 200 400

0 0.5 1 1.5 2

k ψ^1 (k)

0 500 1000

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

n ψ1(n)

Fig. 2. Funciones wavelet caóticas para dos escalas y sus respectivos espectros en frecuencia.

Por otra parte, el esquema de la Fig. 1 sugiere que la cantidad de bits de información que se pueden transmitir es 64x2048, pero debido al conjunto finito de escalas e intervalo de muestreo, el número de bits efectivos es mucho menor, por lo cual se hizo necesario determinar en los coeficientes del transmisor, las escalas-tiempo en las cuales es posible enviar información y su respectiva localización en la matriz entregada por la OCWT del receptor. Esta información es de vital importancia para la construcción del bloque decodificador de la Fig. 1.

Con el estudio de la localización escala-tiempo de la señal desencriptada se encontró que solamente es posible transmitir 59bits por bloque de procesado, dado a que un único bit en los coeficientes de entrada a la IOCWT conducen a un conjunto muy amplio de valores en la OCWT. Así que, para garantizar la adecuada desencriptación, el conjunto de bits a transmitir debe estar bastante esparcido en la matriz de entrada a la IOCWT. En la Fig. 3 se presentan las regiones escala-tiempo en las cuales es posible transmitir bits en forma segura. Nótese que el número de regiones cambia con la escala y las escalas superiores a 40 no son útiles, dado a que al transmitir información en dichas escalas, en la en la OCWT aparece información en las escalas más bajas. Así mismo, con el fin de evitar la mezcla de la información entre escalas, se dejaron 5 escalas de guarda para la transmisión de bits.

Tiempo

Escala

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10

20

30

40

50

60

Fig. 3. Localización de las regiones escala-tiempo para la decodificación en el receptor

Finalmente, para el proceso de decodificación, se calcula la energía de los valores ubicados en las regiones indicadas en la Fig. 3, si dicha energía supera cierto umbral, el bit es reconocido como uno, caso contrario en cero.

4. PRUEBAS DE DESEMPEÑO

Con el fin de verificar la efectividad de la encriptación, la señal encriptada fue decodificada empleando como funciones wavelet madre la Morlet, y diferentes wavelet caóticas con diferente condición inicial. En la Fig. 4 se presentan los espectrogramas para cada uno de los coeficientes obtenidos en la OCWT.

Puede apreciarse entonces, que el sistema propuesto es confiable ya que no es posible obtener la misma distribución escala-tiempo para la decodificación con una wavelet caótica de diferente condición inicial o con la wavelet Morlet.

Por otra parte, se analizó el comportamiento de la decodificación ante diferentes relaciones señal a ruido (SNR), determinándose que el ruido afecta principalmente a las escalas más bajas, además, y como consecuencia del ruido, cuando se transmite información únicamente en las escalas más altas, aparece información errónea en las escalas más bajas.

La escala m=2, es la más susceptible de ruido, para la cual se encontró que con una SNR inferior a 35dB, los coeficientes de la OCWT de dicha escala se interpretan como unos. Este valor de SNR indica que la decodificación es posible en la mayoría de los canales de comunicación tradicionales.

5. CONCLUSIONES

El sistema de encriptación de señales basadas en OCWT, y que hace uso de una señal caótica enventanada como señal wavelet madre, muestra un buen desempeño de calidad (valor SNR). Además,

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -1

-0.5 0 0.5 1

Tiempo

Amplitud

Tiempo

Escala

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10

20 30 40 50 60

Tiempo

Escala

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10

20 30 40 50 60

Tiempo

Escala

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 10

20 30 40 50 60

Wavelet caótica original

Wavelet caótica con diferente condición inicial

Wavelet Morlet

Fig. 4. Señal caótica transmitida y coeficientes de la OCWT para diferentes wavelet madre

empleando wavelet madre Morlet y la misma señal caótica con diferente condición inicial, es imposible tener una decodificación de la señal, dado que los bits transmitidos se ubican en diferentes escalas del mapa frecuencia-tiempo.

RECONOCIMIENTOS

Este trabajo se pudo realizar gracias al apoyo financiero de la Universidad del Quindío a través de su proyecto 222.

REFERENCIAS

Akansu, Ali N. and Medley, Michael J (1999).

Wavelet, Subband and Block Transforms in Communications and Multimedia. Kluwer Academic Publishers

Álvarez, G. et al. Criptoanálisis de sistema Criptográfico. Basado en la sincronización de osciladores caóticos (2000). Mundo Electrónico Marzo 2000, 307.

Feng, Jiang (1998). Wavelet Packet Division Multiplexing. Tesis Doctoral McMaster University.

Pecora, L. M. and Carroll, T. L. Synchronization in chaotic systems . (1990) Phys. Rev. Lett. 64, 821- 824.

Strogatz, Steven H (2001). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Perseus Book Group

Teolis , M. (1998). Computational Signal Processing with Wavelets. Birkhauser, Boston.