Programa de Inducción Académica - Matemáticas

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Programa de Inducci´ on Acad´ emica - Matem´ aticas

Unidad 01, Segunda Parte: Divisores y M´ultiplos

Universidad de O’Higgins

Marzo 2022

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Objetivos de la Unidad

1. Revisar los conceptos de divisores y m´ultiplos.

2. Revisar el concepto de número primo y la descomposición prima de números naturales.

3. Repasar el concepto de Máximo común divisor y M´ınimo común múlti- plo, y su cálculo usando descomposición prima.

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Contenidos

Motivaci´on

Divisores de un n´umero natural

Descomposici´on prima

Divisores Comunes

M´ultiplos

(4)

Nos concentraremos en los naturales

▶ Para estudiar divisores y múltiplos, lo haremos sólo con los números naturales, es decir,

N = {1, 2, 3, . . .}.

▶ En caso de tener un entero k ∈ Z distinto de cero, estudiamos los divisores y m´ultiplos de su valor absoluto |k|, que es un n´umero natural.

▶ Para dos n´umeros a y b, vamos a escribir su multiplicaci´on de tres formas (ocuparemos la que funcione mejor)

a × b, a · b y ab.

La ´ultima (ab) la reservaremos exclusivamente para cuando estemos ocupando letras (´algebra).

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Contenidos

Motivaci´on

Divisores Comunes

M´ultiplos

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Definici´ on de divisor

▶ Sean dos n´umeros naturales n, a ∈ N. Decimos que a es divisor de n, o equivalentemente, que a divide a n, si existe un n´umero natural b ∈ N tal que

n = a × b.

▶ Ejemplos:Tenemos que

▶ 9 es divisor de 45, pues 45 = 9 × 5.

▶ 10 es divisor de 100, pues 100 = 10 × 10.

▶ 5 no es divisor de 21, pues no existe ning´un n´umero natural b ∈ N tal que 21 = 5 × b.

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Representaci´ on de divisores: Agrupar

▶ Si tengo dos n´umeros naturales n, a ∈ N, que a sea divisor de n significa que puedo agrupar un grupo de n unidades en subgrupos de tama˜no a.

▶ Ejemplo: a = 4 divide a n = 24, pues puedo agrupar 24 unidades en b = 6 grupos de 4 unidades.

4 divide a 24

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Usar divisi´ on para verificar divisores

▶ Para dos naturales n, a ∈ N tenemos que a divide a n si y sólo si el resultado de la división n ÷ a es también un número natural.

▶ Aqu´ı, la propiedad fundamental que ocupamos es n = a × (n ÷ a)

| {z }

b

.

▶ Observaci´on importante: Si a es divisor de n, entonces b = n ÷ a tambi´en es divisor de n.

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Ejemplo visual

▶ 4 divide a 24, pues 24 ÷ 4 = 6. As´ı, podemos escribir 24 = 4 × 6.

Podemos agrupar 24 en 6 grupos de a 4.

▶ Entonces, 6 tambi´en divide a 24, pues podemos escribir 24 = 6 × 4.

Podemos agrupar 24 en 4 grupos de a 6.

4 divide a 24

6 divide a 24

(10)

¿C´ omo calcular todos los divisores de un n´ umero?

▶ Para un numero natural n ∈ N cualquiera, podemos calcular todos sus divisores de la siguiente manera:

1. Para cada k ∈ {1, . . . , n} calculamos n ÷ k.

2. Si n ÷ k es entero, entonces k es divisor de n.

3. Si n ÷ k no es entero, entonces lo descartamos.

▶ Esto puede ser tedioso, pero siempre funciona. Una forma más eficiente es simultáneamente ir anotando los divisores de menor a mayor y de mayor a menor, y parar cuando lleguemos a un punto común.

▶ Ejemplo: Los divisores de 30 son

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

(11)

¿C´ omo calcular todos los divisores de un n´ umero?

▶ Ejemplo: Los divisores de 30 son 1,

2, 3, 5, 6, 10, 15,

30.

(12)

¿C´ omo calcular todos los divisores de un n´ umero?

▶ Ejemplo: Los divisores de 30 son 1, 2,

3, 5, 6, 10,

15, 30.

(13)

¿C´ omo calcular todos los divisores de un n´ umero?

▶ Ejemplo: Los divisores de 30 son 1, 2, 3,

5, 6,

10, 15, 30.

(14)

¿C´ omo calcular todos los divisores de un n´ umero?

▶ Ejemplo: Los divisores de 30 son

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

(15)

Ejemplos

▶ Calcular los divisores de 21. Tenemos que probar todos los n´umeros entre 1 y 21.

1. Los divisores de 21 son {1, 3, 7, 21}.

2. El resto de los n´umeros {2, 4, 5, 6, 8, . . . , 20} no dividen a 21.

1. Los divisores de 13 son {1, 13}.

2. El resto de los n´umeros {2, . . . , 12} no dividen a 13.

▶ Todo n´umero n ∈ N mayor que 1 tiene al menos dos divisores: 1 y n.

▶ Un número primo p ∈ N es un número mayor que 1 que sólo es divisible por 1 y por si mismo.

▶ Ejemplo: Los n´umeros primos menores que 100.

../PrimeNum.png

Rojo: Números primos. Verde: números compuestos. Los números 0 y 1 son casos especiales.

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Contenidos

Motivaci´on

Divisores Comunes

M´ultiplos

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Descomposici´ on prima

▶ Todo n´umero natural n ∈ N mayor que 1 se puede escribir como producto de n´umeros primos (admitiendo repeticiones):

n = p₁p₂p₃· · · p_k.

▶ Esta forma de escribir n se llama descomposici´on prima.

▶ Ejemplos:

1. 15 = 3 · 5.

2. 17 = 17 (17 es primo, as´ı que es s´olo un n´umero).

3. 40 = 5 · 8 = 5 · 2 · 2 · 2 = 2³· 5 (Cuando hay repeticiones ocupamos potencias).

(24)

¿C´ omo encontrar la descomposici´ on prima?

Para encontrar la descomposici´on prima de un n´umero natural n ∈ N mayor que 1, podemos proceder de la siguiente manera:

1. Buscamos un n´umero primo p entre 2 y n que sea divisor de n.

2. Guardamos p y calculamos k = n ÷ p.

3. Si k es igual a 1, terminamos. Si k es mayor que 1, repetimos el proceso anterior reemplazando n por k.

La descomposición prima está dada por el producto de todos los números primos que guardamos en el paso 2.

(25)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

N´umero que estamos dividiendo N´umero primo divisor

56 2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

La descomposici´on prima de 56 es

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(26)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

N´umero que estamos dividiendo N´umero primo divisor 56

2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(27)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(28)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28

2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(29)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(30)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14

2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(31)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(32)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(33)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(34)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7 7

1

FIN La descomposici´on prima de 56 es

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(35)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(36)

Ejemplo: Descomposici´ on prima de 56

56 2

28 2

14 2

7 7

1 FIN

56 = 2 · 2 · 2 · 7 = 2³· 7.

(37)

Otra t´ ecnica: ´ arbol

1. Ponemos n en un c´ırculo. Si n es primo, lo pintamos.

2. Si n no es primo, buscamos una descomposici´on de n, de la forma n = m × k. Encerramos k y m en c´ırculos. 3. Dibujamos dos l´ıneas, una entre n y k y otra entre n y

m.

4. Marcamos n como finalizado.

5. Repetimos el proceso para cada uno de los c´ırculos no marcados. Si todos los c´ırculos están marcados o pintados, entonces la descomposición prima está dada por los c´ırculos pintados.

n

m k

m

(38)

Otra t´ ecnica: ´ arbol

2. Si n no es primo, buscamos una descomposici´on de n, de la forma n = m × k. Encerramos k y m en c´ırculos. 3. Dibujamos dos l´ıneas, una entre n y k y otra entre n y

m.

n

m k

m

(39)

Otra t´ ecnica: ´ arbol

2. Si n no es primo, buscamos una descomposici´on de n, de la forma n = m × k. Encerramos k y m en c´ırculos.

3. Dibujamos dos l´ıneas, una entre n y k y otra entre n y m.

n n

m k

m

(40)

Otra t´ ecnica: ´ arbol

n n

m k

m

(41)

Otra t´ ecnica: ´ arbol

n n

m k

m

(42)

Otra t´ ecnica: ´ arbol

n n

m k

m

(43)

Otra t´ ecnica: ´ arbol

Divisores comunes entre varios n´ umeros

Partamos con la definici´on: Si tenemos un conjunto de n´umeros naturales S = {n1, n2, . . . , nk} ⊂ N,

decimos que un número natural a es divisor común de S, si es divisor de cada uno de los números del conjunto. Es decir, si

a es divisor de n₁ a es divisor de n₂

...

a es divisor de n_k

(57)

Ejemplos:

▶ Divisores comunes de {28, 100}.

1. Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

2. Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. R: Divisores comunes: 1, 2, 4.

▶ Divisores comunes de {20, 30, 45}.

1. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

3. Divisores de 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. R: Divisores comunes: 1, 5.

(58)

Ejemplos:

1. Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

2. Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. R: Divisores comunes: 1, 2, 4.

1. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

(59)

Ejemplos:

1. Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

2. Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

R: Divisores comunes: 1, 2, 4.

1. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

(60)

Ejemplos:

1. Divisores de 28:1,2,4, 7, 14, 28.

2. Divisores de 100:1,2,4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

1. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

(61)

Ejemplos:

1. Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

2. Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

1. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

(62)

Ejemplos:

1. Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

2. Divisores de 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

1. Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

2. Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Supongamos que una compa˜n´ıa hace cajas para empaquetar tornillos y pro- vee a dos productores de tornillos. El primer productor produce 200 tornillos al d´ıa. El segundo productor produce 300.

¿De qué tamaño pueden ser las cajas (en número de tornillos que caben) para que ambos productores puedan empaquetar todos los tornillos que producen en un d´ıa sin que sobre espacio?

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Soluci´ on

▶ Si en la caja caben n tornillos, para que ambos productores puedan empaquetar toda su producci´on, necesitamos que n sea divisor de 300 y de 200.

▶ Divisores de 300: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300.

▶ Divisores de 200: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200.

▶ Divisores comunes: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

▶ R: Las cajas pueden ser de 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 o 100 tornillos.

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M´ aximo com´ un divisor

▶ Todo conjunto S = {n1, n2, . . . , n_k} tiene al menos un com´un divisor:

el 1. Este es el divisor m´as peque˜no.

▶ La pregunta natural es entonces cu´al es el divisor m´as grande.

▶ El divisor común más grande de un conjunto S se llama máximo común divisor (m.c.d.).

▶ Ejemplo:Los comunes divisores de S = {200, 300} son 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Por lo tanto, el m´aximo com´un divisor es 100.

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Calcular m.c.d. usando descomposici´ on prima

▶ Para calcular el m.c.d. de un conjunto, podemos enlistar todos los divisores comunes y tomar el m´as grande. Pero esto puede ser tedioso.

▶ Otro m´etodo es usar la descomposici´on prima:

1. Para S = {n1, . . . , nk}, anotamos la descomposici´on prima de cada n´umero.

2. Guardamos todos los números primos que se repiten. Si algún número en las descomposiciones tiene exponente, lo guardamos con el exponente más pequeño.

3. El m.c.d. es el producto de todos los n´umeros que guardamos.

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Ejemplo: m.c.d. de {200,300}

▶ Calculamos las descomposiciones primas:

N´umero Divisor

200 2

100 2

50 2

25 5

5 5

1 FIN.

Resultado: 200 = 2³· 5².

N´umero Divisor

300 2

150 2

75 3

25 5

5 5

1 FIN.

Resultado: 300 = 2²· 3 · 5².

▶ El máximo común divisor está dado por:

2²· 5²= 100.

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Contenidos

Motivaci´on

Divisores Comunes

M´ultiplos

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M´ ultiplos de un n´ umero

▶ Los m´ultiplos son el concepto rec´ıproco de los divisores.

▶ Sean dos números naturales n, a ∈ N. Decimos que n es múltiplo de a, si existe un número natural b ∈ N tal que

n = a × b.

▶ Tenemos la siguiente equivalencia:

a es divisor de n ⇐⇒ n es m´ultiplo de a.

▶ El conjunto de múltiplos de un número natural a está dado por:

{a, 2a, 3a, 4a, . . .}.

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M´ ultiplos comunes

▶ Si tenemos un conjunto de n´umeros naturales S = {a₁, a₂, . . . , a_k} ⊂ N,

decimos que un número natural n es múltiplo común de S, si es múltiplo de cada uno de los números del conjunto. Es decir, si

n es m´ultiplo de a1

n es m´ultiplo de a₂ ...

n es m´ultiplo de a_k

▶ Los m´ultiplos comunes son infinitos, pero siempre hay uno que es f´acil de calcular:

n = a₁× a₂× · · · × a_k.

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M´ınimo com´ un m´ ultiplo

▶ Para un conjunto de números naturales S = {a₁, a₂, . . . , a_k}, la cantidad de múltiplos comunes es infinita. En efecto, si n es múltiplo común de S, entonces también lo son 2n, 3n, 4n,etc...

▶ El m´ınimo común múltiplo (m.c.m.) es el múltiplo común de S más pequeño.

▶ Tambi´en podemos calcular el m.c.m. usando la descomposici´on prima:

1. Para S = {n1, . . . , nk}, anotamos la descomposici´on prima de cada n´umero.

2. Guardamos todos los números que aparecen en alguna de ellas. Si algún número en las descomposiciones tiene exponente, lo guardamos con el exponente más grande.

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Ejemplo: m.c.m. de {120, 48}

▶ Calculamos las descomposiciones primas:

N´umero Divisor

120 2

60 2

30 2

15 5

3 3

1 FIN.

Resultado: 120 = 2³· 3 · 5.

N´umero Divisor

48 2

24 2

12 2

6 2

3 3

1 FIN.

Resultado: 48 = 2⁴· 3.

▶ El m´ınimo común múltiplo está dado por:

2⁴· 3 · 5 = 240.

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Problema de Modelamiento

Como nuevo miembro de la universidad, usted desea realizar una fiesta para sus compa˜neros del PIA, y ha decidido preparar completos. Para eso, va al supermercado y observa que las vienesas se venden en paquetes de 20 unidades, mientras que el pan de completo se vende en paquetes de 6 unidades.

¿Cu´al es la m´ınima cantidad de completos que puede preparar sin que sobre ninguna vienesa ni ning´un pan?

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Soluci´ on

▶ Supongamos que la cantidad de completos es n. Entonces, n debe ser múltiplo de 20, pues no pueden sobrar vienesas, y n debe ser múltiplo de 6, pues no puede sobrar pan. Entonces, n debe ser el m´ınimo común múltiplo de 20 y 6.

▶ 20 = 2²· 5.

▶ 6 = 2 · 3.

▶ M´ınimo com´un m´ultiplo: 2²· 3 · 5 = 60.

▶ R: La cantidad m´ınima de completos que puede preparar es 60.

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¿Qu´ e aprendimos en esta Unidad?

1. Los divisores de un número están dados por la relación n = a × b.

2. Vimos los números primos, que son divisibles únicamente por 1 y por si mismos. Son los átomos de los números naturales.

3. Repasamos la descomposición prima, que es la forma de escribir un número en sus partes atómicas (como producto de números primos).

4. Revisamos divisores comunes y m´aximo com´un divisor.

5. Revisamos el concepto de m´ultiplo de un n´umero natural,que es rec´ıpro- co a divisores.

6. Revisamos múltiplos comunes y m´ınimo común múltiplo.