Simulación Computacional y Análisis del Flujo para Generadores de Vapor de Recuperación de Calor (HRSG) Edición Única

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(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE GRADUADOS E INVESTIGACIÓN PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL Y ANÁLISIS DEL FLUJO PARA GENERADORES DE VAPOR DE RECUPERACIÓN DE CALOR (HRSG).. TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE: MAESTRO EN CIENCIAS ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA. MIGUEL ÁNGEL GALLARDO ARTEAGA. JULIO DEL 2000.

(3) DEDICATORIA. Dedico esta Tesis: A la Sra. Pilar Arteaga Ramos, mi madre y amiga, quien con su apoyo moral y económico a lo largo de mi vida me ha ayudado una vez más a concluir otra etapa'de mi formación profesional. A mis hermanos, Isabel y Alejandro, esperando ser para ellos un ejemplo de superación y profesionalismo.. -1-. Al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. el cual por.

(4) AGRADECIMIENTOS. Deseo extender mi agradecimiento: •. A mi asesor, maestro y amigo, el Dr. Alberto A. Hernández Luna por sus comentarios acertados y la invaluable ayuda para la elaboración de este trabajo de tesis.. •. A mi co-asesor, el M.C. Isaías Hernández Ramírez, por su apoyo, paciencia infinita, interés mostrado a cada momento y sabias sugerencias que fueron muy significativas en la realización de la presente tesis, además de brindarme su amistad.. •. A mi sinodal, el Dr. Guillermo E. Morales Espejel, por sus consejos y apoyo para la culminación de esta tesis.. •. Al Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, el cual, por medio del Centro de Diseño e Innovación de Productos me brindó los recursos necesarios para el desarrollo del presente trabajo de investigación.. •. A mis amigos que de una u otra manera influyeron positivamente en mi vida y colaboraron para que me esforzara a culminar mi proyecto de tesis con éxito.. A todos y cada uno de los compañeros y amigos que me proporcionaron incondicionalmente su apoyo y que compartieron conmigo aquellos momentos y experiencias inolvidables, prefiero no mencionarlos porque puedo cometer el error de omitir alguno. A todos, MUCHAS GRACIAS. - ii-.

(5) Resumen. RESUMEN. En el presente trabajo de tesis se presenta un modelo computacional que nos permite simular el flujo de un modelo a escala de una caldera de recuperación de calor HRSG, el cual está basado en la solución de la ecuación generalizada de transporte, empleando modelos matemáticos desarrollados para la caracterización de los fenómenos físicos para cerrar los sistemas de ecuaciones gobernantes. Se desarrollaron las correlaciones para modelar los equipos y accesorios con que cuenta en el interior el modelo del HRSG, que por medio de la teoría de medios porosos moderados se emplearon para obtener la caída de presión como una función de la velocidad, estas correlaciones son utilizadas en el término fuente de la ecuación de momentum y fueron implantadas por medio de la subrutina sormom.f en el software de dinámica de fluidos computacional CFD. El modelo computacional tridimensional fue desarrollado para estimar los perfiles de velocidad y presión con el fin de obtener información del comportamiento del flujo que es de interés para el diseño y fabricación de los dispositivos utilizados en los HRSG, así como para la placa deflectora de flujo. El modelo computacional fue desarrollado en una estación de trabajo Silicon Graphics mediante el código computacional Star-CD. El modelo final que se utilizó para los análisis estuvo constituido por 216318 celdas y 230794 vértices. Los resultados obtenidos en el presente trabajo de investigación son: •. Los patrones del flujo del fluido de trabajo (aire a condiciones estándar) en el modelo del HRSG de Altamira.. •. Se replicaron las tablas de velocidades normalizadas para los puntos T4 (entrada al ducto de quemadores), T5 (entrada a los sobrecalentadores) y T6 (salida de los sobrecalentadores).. •. Se determinaron las presiones estáticas y totales, de manera similar a el Table 7 del reporte de NELS, estas mediciones se efectuaron en el punto TI (salida de la turbina) y el punto T4 (entrada al ducto de quemadores). Se propone como conclusión que el análisis numérico en los modelos computacionales puede ser empleado para la estimación de los patrones de flujo de fluidos y de esta manera tener la confiabilidad de poder emigrar del análisis experimental en modelos a escala hacia la simulación computacional.. - lll -.

(6) Resumen Una propuesta de mejora consiste en pasar de la simulación computacional de modelos a escala a la simulación computacional de los HRSG en tamaño real, con todas las condiciones de trabajo a las cuales son sometidos. Para esto es necesario determinar el comportamiento en los bancos de tubos lisos, y opcionalmente para tubos aletados, desarrollando un modelo que permita determinar los coeficientes convectivos de transferencia de calor y caída de presión.. - IV-.

(7) CONTENIDO DEDICATORIA. i. AGRADECIMIENTOS. ü. RESUMEN. ni. CONTENIDO. v. LISTA DE FIGURAS. viii. LISTA DE TABLAS. xii. NOMENCLATURA. xiii CAPITULO UNO. INTRODUCCIÓN 1.1 ASPECTOS GENERALES. 1. 1.2 INTRODUCCIÓN. 2. 1.3 ESPECIFICACIÓN DEL PROBLEMA INGENIERIL. 4. 1.4 OBJETIVO. 6. 1.5 HIPÓTESIS. 6. 1.6 METODOLOGÍA. 6. 1.7 JUSTIFICACIÓN. 7. 1.8 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS. 7 CAPITULO DOS. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 2.1. ECUACIONES GOBERNANTES DEL FLUJO DE FLUIDOS Y TRANSFERENCIA DE CALOR. 2.2. 9. 2.1.1 Conservación de la masa en tres dimensiones: Ecuación de continuidad. 11. 2.1.2 Ecuación de Momentum en tres dimensiones. 14. 2.1.3 Ecuación de Energía en tres dimensiones. 17. 2.1.4 Ecuaciones de Estado. 21. 2.1.5 Ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos. 29. 2.1.6 Ecuaciones gobernantes del flujo de fluidos en forma Conservativa. 31. 2.1.7 Forma Diferencial e Integral de la ecuación Generalizada de Transporte. 32. TURBULENCIA Y SU MODELACIÓN. 33. 2.2.1 ¿Qué es turbulencia?. 34. - v-.

(8) 2.2.2 Efecto de la turbulencia promediada en el tiempo para las ecuaciones de Navier-Stokes 2.3. 35. MODELOS DE TURBULENCIA. 37. 2.3.1 Modelo k-e. 39. Conclusión. 52 CAPITULO TRES. MODELOS 3.1. MODELO FÍSICO A ESCALA. 53. 3.1.1 Secciones Generales del Modelo del HRSG. 54. 3.1.2 Arreglo General del Prototipo y Ubicación de las Pruebas. 58. 3.1.3 Detalles Generales del Modelo. 60. 3.2 MODELO COMPUTACIONAL. 61. 3.2.1 Simulación computacional del sobrecalentador No. 2 y el sobrecalentador No. 1. 61. 3.2.2 Simulación computacional del evaporador de alta presión. 69. 3.2.3 Simulación computacional del economizador y del evaporador de baja presión. 74. 3.2.4 Simulación computacional de la Placa Deflectora. 84. 3.2.5 Modelo computacional del HRSG integrando todos los componentes y accesorios. 87. Conclusión. 92. ,. CAPITULO CUATRO. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 4.1 HERRAMIENTAS PARA EL ANÁLISIS COMPUTACIONAL. 93. 4.2 CONDICIONES DE TURBULENCIA. 94. 4.3 MODELO DE TURBULENCIA. 94. 4.4 CONDICIONES DE FRONTERA. 95. 4.5 DISEÑO DE PRUEBAS DE SIMULACIÓN. %. 4.6 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA. 96. 4.7. RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN EN EL MODELO COMPUTACIONAL DEL HRSG ALTAMIRA. 99. 4.7.1 Perfiles de velocidad y de presión en el HRSG 4.8 DISCUSIÓN Y VALIDACIÓN DE LOS RESULTADOS. 99 101. 4.8.1 Comparación de la distribución de velocidad normalizada con losplates 23, 24y 27.... 103. 4.8.2 Determinación de las presiones estática y total en la configuración final del modelo.... 109. -Vi-.

(9) DISCUSIÓN. 110 CAPITULO CINCO. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1 CONCLUSIONES SOBRE LOS MODELOS DE TURBULENCIA. 113. 5.2 CONCLUSIONES SOBRE LOS MEDIOS POROSOS MODERADOS. 114. 5.3 CONCLUSIONES SOBRE LA SIMULACIÓN NUMÉRICA Y LOS RESULTADOS. 115. RECOMENDACIONES. 115. REFERENCIAS. 116. APÉNDICES A. Subrutina del término fiiente de la ecuación de momentum. 120. B. Cálculo de las velocidades normalizadas. 128. C. Distribución de velocidad y presión relativa. 131. -vil-.

(10) Capítulo 1. Introducción. CAPITULO UNO INTRODUCCIÓN. 1.1 ASPECTOS GENERALES. La tendencia actual en la industria es aprovechar eficientemente los recursos energéticos y preservar el medio ambiente. Ejemplos de este aprovechamiento y transformación de recursos en los procesos industriales son la utilización de los ciclos combinados y los ciclos de cogeneración(>). En los ciclos combinados, un compresor inyecta aire a presión junto con gas natural a un quemador, en el cual se efectúa la combustión. La presión y temperatura a la que salen los gases se utilizan para mover los alabes de una turbina que está acoplada a un generador eléctrico. Después de que se ha generado energía eléctrica, el calor de los gases de salida de la turbina son aprovechados para la producción de vapor en las calderas conocidas como "calderas de recuperación", las que aprovechan la energía calorífica de los gases para transferir calor a los bancos de tubos por donde circula agua, transformándola en vapor, que será utilizado otra vez para la producción de energía eléctrica. El sistema de cogeneración es muy similar al del ciclo combinado, en donde la diferencia principal estriba en que el proceso no es específicamente para la generación de energía eléctrica. Existe una gran gama de procesos industriales en los cuales no necesariamente se requiere cerrar el ciclo de vapor. Este vapor puede utilizarse para el transporte de materias primas, para dosificación, para calentamiento de equipos, para uso de limpieza continua, etc. [Rojo, A., 1998]. Para finales del siglo XIX y principios del siglo XX, la industria de la cogeneración generaba cerca de la mitad de la energía utilizada. En los años 50's, la cogeneración suministraba aproximadamente el 15 por ciento de la energía utilizada en los Estados Unidos. Durante los años 60 s, debido a que bajaron los costos de los combustibles, el uso de la cogeneración bajo y para 1977 solamente el 4% de la energía se generaba mediante cogeneración. Sin embargo en Europa los altos costos del combustible han obligado a las industrias a utilizar la tecnología de la cogeneración [Butler, C. H., 1984].. La cogeneración es la producción simultánea de electricidad y energía térmica (vapor y agua caliente) de una misma fuente de combustible. En todos los sistemas de generación de energía eléctrica donde hay quema de combustible, hay un elevado nivel de "energía de desecho " generalmente descargada al ambiente. Con la cogeneración, la energía de desecho es utilizada para propósitos útiles en algunos lugares tales como calentadores, enfriadores o en procesos industriales [UCI, 1998].. -1-.

(11) Capítulo 1. Introducción. Desde 1981, la utilización de la cogeneración ha vuelto a ser de gran interés para la industria, especialmente tiene un gran potencial en las ramas química (incluyendo petroquímica, productos de química básica y fertilizantes), del azúcar y plantas de pulpa y papel. Los escenarios de cogeneración suponen que las plantas nuevas utilizarán la tecnología de cogeneración de energía en sus procesos industriales, donde se usan combustibles como el gas, petróleo y otras fuentes, de una manera más eficiente en los procesos industriales [INE, 1998]. Entre los beneficios que se pueden obtener con la cogeneración se deriva principalmente el de mejorar la eficiencia del ciclo. Una turbina de gas por si misma tiene una eficiencia de ciclo de 40%, colocándola entre la más eficiente transformadora en el mundo; los Generadores de Vapor Recuperadores de Calor, conocidos como calderas HRSG*, pueden utilizar hasta el 70% de la energía contenida en los gases de desecho de la turbina de gas. Al utilizar el mismo combustible para proveer dos salidas de energía útil, con la cogeneración se podría operar con una eficiencia de ciclo de 70% y una eficiencia en el generador eléctrico de 99% [Cimar, 1998]. Por otro lado, el medio ambiente, el cual es afectado por las emisiones contaminantes generadas durante el proceso, recibe un beneficio importante en la reducción de la destrucción de VOC (compuestos orgánicos volátiles); así como reducir considerablemente la generación de NOx (óxidos de nitrógeno), SOX (óxidos de azufre), PM (partículas de material provenientes de combustiones incompletas), y CO (dióxido de carbono) [AEI, 1998]. En resumen los ciclos de cogeneración y los ciclos combinados deben su importancia de estudio, debido a que son más factibles y financieramente recuperables en las aplicaciones que requieren de un gran consumo de gas natural y energía, tales como la industria petroquímica, la industria del papel y refinerías. 1.2 INTRODUCCIÓN. La empresa CERREY, S.A. de C.V. es una industria manufacturera que se dedica a la fabricación de Sistemas Generadores de Vapor. Entre los modelos que fabrica se encuentra el Generador de Vapor Recuperador de Calor (HRSG) del tipo de configuración horizontal, el cual aprovecha la energía calorífica de los gases de desecho que se obtienen al generar energía eléctrica en un ciclo combinado o de cogeneración. Uno de los modelos de HRSG que ha fabricado CERREY es el que ocupa este estudio y el cual se encuentra ubicado en un proyecto de cogeneración de Altamira, Tamps., que opera con un flujo de gas de desecho de 2,889,610 lb/h a una temperatura de 1022°F, que salen de una Turbina de Gas Westinghouse modelo 501D5A, que produce 120 MW nominales de energía [NELS, 1997]. (*)Heat Recovery Sieam Generator. -2-.

(12) Capítulo 1. Introducción. Se ha llevado a cabo la simulación en un HRSG del tipo horizontal, para obtener información del desempeño del diseño, en base a un modelo a escala que fue fabricado por NELS, INC., a solicitud de CERREY. Este modelo fue construido en material acrilico transparente de 4 mm de espesor y a una escala geométrica de 1/12 [NELS, 1997]. La simulación consiste en reproducir en el modelo a escala las condiciones de trabajo que se aproximen a la realidad, con algunas restricciones. La información de los resultados obtenidos se emplea para diseñar los dispositivos que se encuentran en el interior de esta caldera. Como la finalidad de las calderas HRSG es generar el vapor requerido según los requerimientos de diseño, esto solamente se logra en base al aprovechamiento de la energía calorífica remanente en los gases recuperados. Para asegurar una eficiente transferencia de calor de los gases recuperados hacia los bancos de tubos, uno de los dispositivos diseñados como producto de varias simulaciones para la caldera HRSG, es la placa deflectora de flujo, esta placa es el resultado de una investigación realizada por la compañía NELS. La placa deflectora, es una placa perforada, la cual está constituida por diferentes secciones de porosidad, es un aditamento comúnmente usado para la uniformización del flujo de gases antes de que lleguen hacia los bancos de tubos de las calderas de Recuperación. La simulación que se efectúa en el modelo a escala trata de reproducir algunas de las condiciones del flujo de trabajo de la caldera; para ello, se efectúan algunas suposiciones, tales como, despreciar los efectos de cambio de temperatura en el fluido de trabajo. El fluido que se utiliza es aire a temperatura ambiente y no gases como los generados de manera real, lo anterior es porque el modelo, por la naturaleza de su material no soportaría las condiciones reales y se fundiría en las pruebas, además de que estas condiciones serían difíciles de reproducir para el modelo, por lo que únicamente se pretende simular el comportamiento del fluido dentro del sistema [Velázquez, 1998]. Los experimentos realizados en Canadá por NELS se replicaron en el ITESM, para conseguir un método experimental confiable para la elaboración del diseño de placas deflectoras de flujo, basado en la metodología de diseño factorial fraccionado y la metodología de superficie de respuesta. En el modelo de acrilico que se recibió en el ITESM por parte de CERREY, se tuvieron que hacer algunas consideraciones para empezar a realizar los experimentos debido a que faltó el simulador de la turbina, así como también el plenum y el ventilador. Se mando a fabricar el simulador de la turbina pero se le hicieron algunos cambios, eliminando los componentes que simulaban el efecto de girar el flujo, se fabricó el plenum, que es un equipo necesario para conectar el simulador de la turbina y el ventilador, el cual se fabricó de madera. También se mandó a fabricar un ventilador que debería ser de una capacidad de 5,100 pies cúbicos por minuto (ftVmin), para que se diera una velocidad a la salida de la turbina tal y como se indica en el reporte de NELS.. -3-.

(13) Capítulo 1. Introducción. Este método experimental realizado con modelos de acrílico a escala en lugar de prototipos de tamaño real, es una manera de analizar y predecir el comportamiento de algunas variables relacionadas con el desempeño de los fenómenos de flujo de fluidos (velocidades, presiones, características del flujo, etc.), con el fin de optimizar los diseños de los generadores de vapor. En lo que se refiere al uso de dinámica de fluidos computacional (CFD, por sus siglas en inglés) para predecir flujos internos y externos, éste se ha elevado dramáticamente. En la década de los 80's la solución de problemas de flujo de fluidos mediante la dinámica de fluidos computacional fue dominada por los académicos, investigadores de posgrado o por especialistas con muchos años de experiencia en el área. La amplia disponibilidad de las estaciones de trabajo en ingeniería junto con algoritmos eficientes de solución y sofisticados pre y post procesadores permiten facilitar el uso de códigos de CFD comerciales por graduados en ingeniería para la investigación, desarrollo y diseño en las tareas industriales, permitiendo emigrar de los modelos experimentales hacia la simulación computacional. Estos programas de computo desarrollados a la fecha pueden ser extremadamente poderosos, pero su operación requiere un alto nivel de habilidad y entendimiento de los principios fundamentales y algoritmos utilizados de quien los usa, para obtener los mejores resultados en el análisis de problemas complejos. Los flujos que frecuentemente se simulan en los problemas de ingeniería tal como el flujo dentro de generadores de vapor son casi siempre de naturaleza turbulenta y su simulación directa con modelos no turbulentos no puede desempeñarse en altos números de Reynolds. Por lo tanto, algunos modelos de turbulencia son indispensables para la simulación de flujo en altos números de Reynolds. Un modelo de turbulencia consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales,. ecuaciones algebraicas y constantes. asociadas, cuya solución en conjunto con las ecuaciones de Navier-Stokes, se acercan al comportamiento real de los flujos turbulentos [Launder y Spalding, 1974], de manera que más o menos una amplia variedad de problemas de flujo se puedan calcular. Entre los modelos de turbulencia que ampliamente se aplican en la simulación computacional de fluidos en la industria se enfoca la atención en el modelo k-e, el cual es muy popular y tiene una extensa universalidad, además de no ser demasiado complejo para desarrollar o usar. Esta universalidad implica que un simple conjunto de constantes empíricas o funciones, insertadas en el modelo, proveen una acercada simulación de gran variedad de problemas de flujos encontrados en las prácticas ingeníenles. 1.3 ESPECIFICACIÓN DEL PROBLEMA INGENIERIL. Una caldera HRSG tiene una geometría que no favorece la uniformización del flujo. Al iniciar el proceso de generación, los gases provenientes de la salida de la turbina, recorren la geometría interna del HRSG pasando por las diferentes secciones de éste, que a cada cierta distancia cambia de manera radical en cuanto a sus dimensiones y sección transversal. Posteriormente estos gases inciden sobre los bancos de tubos, al inicio. -4-.

(14) Introducción. Capítulo 1. de esta incidencia se produce una desviación general del flujo y posteriormente esta desviación provoca una turbulencia con un movimiento en espiral hacia atrás o en sentido contrario al que inicialmente traía, esto genera un remolino en la parte superior del primer banco de tubos (Figura 1.1).. Figura 1.1: Generación de la turbulencia en espiral en el interior de la caldera.. Una vez que el flujo de los gases se ha estabilizado, estos recorren la caldera siguiendo un patrón desfavorable para la transferencia de calor, ya que los gases se desplazan en su mayor parte y de manera constante por la parte baja de la caldera (Figura 1.2).. Figura 1.2: Recorrido de los gases de combustión a través de la caldera.. Este comportamiento de los gases que entra de la caldera ocasiona que el aprovechamiento de la energía remanente de desecho en los HRSG, en la transferencia de calor no se logre de manera eficiente, esto es,. -5-.

(15) Capítulo 1. Introducción. principalmente a que no se proporciona un flujo uniforme de gases en la zona de intercambio de calor (banco de tubos). De acuerdo con los reportes de BMA (Brais, Malouin et associés inc) [BMA, 1997], desde marzo de 1997 se han efectuado varias simulaciones numéricas para analizar pérdidas de carga en bancos de tubos. Como mencionan en sus reportes, no es concebible discretizar todos los tubos de un banco debido a las consideraciones de limitación memoria computacional y tiempo de CPU. La problemática que se pretende abordar en esta tesis, corresponde a la realización de un modelo computacional para simular el comportamiento del flujo de gases dentro del HRSG utilizando un paquete computacional de dinámica de fluidos y replicar lo que se desarrolla de manera experimental con los modelos de acrílico. 1.4 OBJETIVO. Desarrollar un modelo computacional que permita simular el comportamiento del flujo de gases dentro del HRSG utilizando un paquete computacional de dinámica de fluidos y replicar los experimentos realizados en el modelo de acrílico con la configuración final del dispositivo de distribución para los gases (placa deflectora). 1.5 HIPÓTESIS Es posible sustituir de manera eficaz y eficiente la utilización de modelos a escala por modelos computacionales que permitan determinar el comportamiento del flujo de gases dentro del HRSG. Además, simular dentro de la cadera las restricciones de flujo para la predicción de las pérdidas de presión, adicionando mediante técnicas de solución numérica un apropiado término fuente en la ecuación de momentum. 1.6 METODOLOGÍA. Para el desarrollo de la presente investigación se realizará un estudio de los principios generales y las relaciones constitutivas de los modelos de turbulencia, para obtener una visualización del comportamiento de este fenómeno, se analizarán los resultados obtenidos con los modelos a escala, para establecer las variables más importantes que afecta al comportamiento del flujo. Posteriormente, llevar a cabo un análisis con un modelo computacional que reproduzca el comportamiento del fluido considerando las condiciones de frontera y las variables de interés, tales como velocidad, presión y turbulencia, entre otros, utilizando el software de. -6-.

(16) Capítulo 1. Introducción. dinámica de fluidos STAR-CD® (Simulation for Turbulents flows in Arbitrary Regions-Computational Dynamics).. 1.7 JUSTIFICACIÓN. Para el diseño de los dispositivos en una caldera HRSG, actualmente se obtiene información por medio de la investigación experimental, la cual involucra modelos a escala para explicar cómo se comporta el equipo bajo condiciones de trabajo. En los modelos a escala, el costo variable de un experimento, en términos de recursos financieros y/o costos de horas-hombre, es proporcional a el número de datos y el número de configuraciones probadas. El uso de un paquete computacional de dinámica de fluidos permitiría implantar una forma más eficaz y eficiente para simulación y estudio de las calderas HRSG, con el fin de sustituir la simulación de los modelos de acrílico, ya que al contrario con los modelos experimentales a escala, la investigación con los códigos CFD pueden obtener una gran cantidad de resultados que virtualmente no agregan costos, por lo que es muy adecuada para desempeñar estudios paramétricos, por ejemplo para optimizar el diseño, dando detallada y completa información del desempeño de equipos. Las simulaciones computacionales pueden proveer información adicional en las características locales y globales del flujo en las calderas, conduciendo a varias ventajas prácticas como: reducción de tiempo en diseño y desarrollo, simulación de condiciones no reproducibles en experimentos, facilidad en las pruebas para nuevas geometrías y los mas bajos costos. Estos factores motivan el uso de la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) como una herramienta de diseño. Como ya se ha mencionado, aunque el CFD ha sido empleado como parte del ciclo de diseño y desarrollo en la industria aerospacial, automotriz y otras industrias de alta tecnología, existe evidencia de que el CFD se está empleando en el diseño de calderas o para mantenimiento y modificación de plantas de potencia existentes [Zdravistch, 1997]. 1.8 ORGANIZACIÓN DE LA TESIS. El presente trabajo de tesis muestra los análisis computacionales del flujo en una caldera de recuperación para la configuración final, es decir con la placa deflectora de flujo. Esta configuración de acuerdo a lo presentado por NELS en su informe, y cuyos experimentos fueron replicados también de manera experimental en el ITESM. Este trabajo de Tesis consta de cinco capítulos, los cuales están organizados de la siguiente manera:. -7-.

(17) Capítulo 1. Introducción. En el capítulo 1, se muestra una descripción general del problema que presenta el comportamiento del flujo de los gases al entrar en la caldera y el efecto que esto ocasiona en el aprovechamiento de la energía remanente en el interior del HRSG, también se menciona el objetivo, hipótesis y justificación del presente trabajo de investigación. En el capítulo 2, se tiene una descripción de las ecuaciones gobernantes del flujo de fluidos y transferencia de calor, así como un estudio de los principios generales y relaciones constitutivas de los modelos de turbulencia, para obtener una visualización del comportamiento del fenómeno. Se hace énfasis en el modelo de turbulencia k-e, del cual se hace una clasificación de sus modificaciones de acuerdo con las necesidades de su aplicación. En el capítulo 3, se hace la descripción física del modelo a escala para entender como fue construido y como están modelados sus componentes y accesorios. También se describe brevemente las características de la herramienta computacional y se explica como se realizo la construcción del modelo computacional, con la metodología empleada para simular sus componentes y accesorios utilizando medios porosos moderados. Se presentan algunas comparaciones de los resultados obtenidos mediante las. simulación empleando. correlaciones obtenidas utilizando a partir del paquete computacional Star-CD y correlaciones publicadas en la literatura. Al final del capítulo se presenta la discretización geométrica del modelo a escala y como se encuentran ubicadas las zonas porosas dentro de este. En el capítulo 4, se muestran los resultados obtenidos mediante la simulación del flujo en el modelo computacional del HRSG, además se presentan algunas figuras y tablas en donde se comparan los resultados obtenidos mediante la simulación computacional de la presente tesis y los que se reportaron en los experimentos para cada uno de los casos (ITESM en sus mediciones experimentales y los presentados por NELS en su reporte). En el capítulo 5, se hacen las conclusiones pertinentes de la tesis, así como algunas recomendaciones para trabajos futuros relacionados con la simulación numérica.. -8-.

(18) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. CAPITULO DOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS Este capítulo tiene como objetivo presentar los fundamentos teóricos necesarios para entender lo concerniente al flujo de fluidos en tres dimensiones y turbulencia. Se da una descripción de las ecuaciones gobernantes del flujo de fluidos y transferencia de calor,. se hace insistencia en las semejanzas de las. ecuaciones resultantes de conservación para llegar a la ecuación generalizada de transporte, la cual es la base en el desarrollo de los algoritmos numéricos. También se presenta el desarrollo de los conceptos de turbulencia que son necesarios para la apreciación en los detalles de dinámica de fluidos computacional en algunas aplicaciones ingenieriles. Se muestra la representación física de la turbulencia y las consecuencias de la aparición de fluctuaciones aleatorias en las ecuaciones de flujo. Las ecuaciones resultantes no forman un conjunto cerrado a menos que se introduzca un modelo de turbulencia. Se discuten las diferentes clasificaciones de modelos de turbulencia y se enfoca la atención en el modelo de turbulencia k-e, el cual es el mas empleado actualmente para el estudio de flujos turbulentos, en base a esto, se hace una clasificación de sus modificaciones de acuerdo con las necesidades de su aplicación.. 2.1 ECUACIONES GOBERNANTES DEL FLUJO DE FLUIDOS Y TRANSFERENCIA DE CALOR Las ecuaciones gobernantes del flujo de fluidos representan matemáticamente la relación de las leyes físicas de conservación, las cuales están descritas por: •. La conservación de la masa del fluido.. •. La rapidez de cambio de momentum, que es igual a la suma de las fuerzas que actúan en una partícula del fluido (segunda ley de Newton).. •. La rapidez de cambio de la energía, que es igual a la suma de la cantidad de calor adicionado a una partícula de fluido y la cantidad de trabajo realizado por la misma partícula (Primera ley de la termodinámica). Para la obtención de las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, el fluido será considerado. como un continuo. Para el análisis de flujo de fluidos en escala macroscópica (1 u.m y mas grandes) la estructura molecular de la materia y los movimientos moleculares pueden ser ignorados. Se describirá el comportamiento del fluido en términos de propiedades macroscópicas, tales como; velocidad, presión, densidad y temperatura, y sus derivadas espaciales y temporales. Estas pueden ser tomadas como un promedio sobre un conveniente número grande de moléculas. Una partícula de fluido o punto en un fluido es entonces el posible elemento más pequeño de un fluido cuyas propiedades macroscópicas no son influenciadas por moléculas individuales.. -9-.

(19) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2 Consideremos un elemento de fluido con lados ék, ¿iy, & (Figura 2.1).. Figura 2.1: Elemento de fluido para las leyes de conservación.. Las seis caras son llamadas N, S, E, W, T, B (por las siglas en ingles de Norte, Sur, Este, Oeste, Arriba, Abajo respectivamente). También se muestran las direcciones positivas de los ejes coordenados. El centro del elemento se localiza en la posición (x, y, z). A causa de los cambios sistemáticos en la masa, momentum y energía del elemento del fluido debido a el flujo de fluido a través de sus fronteras y, cuando sea apropiado, debido a la acción de fiientes dentro del elemento, guían a las ecuaciones del flujo de fluidos [Patankar,1980]. Todas las propiedades son función del tiempo y del espacio así que podría ser estrictamente necesario escribir p(t, x, y, z), p(t, x, y, z), T(t, x, y, z) y u(t, x, y, z) para la densidad, presión, temperatura y vector de velocidad respectivamente. Para evitar indebidamente incómodos en la notación explícitamente no se indicará la dependencia entre las coordenadas espaciales y el tiempo. Por ejemplo, la densidad en el centro (x, y, z) de un elemento de fluido en el tiempo t se denotará por p y la x-derivada, para la presión p en (x, y, z) en el tiempo t por 5p/5x. Esta práctica también se seguirá para las otras propiedades del fluido. El elemento bajo consideración es tan pequeño que las propiedades del fluido en las caras se pueden expresar con suficiente exactitud por medio de los primeros dos términos de una serie de Taylor. Así por ejemplo, la presión en las caras E y W , las cuales están a una distancia de l/2ác del centro del elemento, se puede expresar como:. -10-.

(20) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. 2.1.1 Conservación de la masa en tres dimensiones: Ecuación de continuidad. La ley de la conservación de la masa establece que la masa no puede ser ni creada ni destruida. Con respecto a un volumen de control, se puede enunciar la ley de conservación de la masa en la forma siguiente:. rapidez de acumulación de masa dentro del volumen de control. 'flujo músico* que entra al. ' flujo músico^ que sale del. volumen de control. volumen de control. La ecuación de continuidad es desarrollada a partir del balance anterior dentro de un volumen de control diferencial ácóySz, como el mostrado en la Figura 2.2.. Figura 2.2: Flujo másico entrando y saliendo del volumen de control.. La rapidez de acumulación de masa en el elemento de fluido está dado por:. -11-.

(21) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. dt. (1). {p&cSySz)^dxSy& dt. El flujo másico a través de una cara del elemento está dado por el producto de la densidad, del área y de la componente normal de la velocidad a la cara. De la Figura 2.2, se puede observar que el flujo másico del elemento a través de sus fronteras está dado por:. 5(pu) i . V .. a(Pu) i . V .. f. pu——'-—8x 8ySz- pu+ y —8x 8y8z dx 2 J { dx 2 ) pv —Z-—L—8y 8x8z - pv + ^ '—8y 8x8z dy 2 J \ dy 2 J dipw) 1 _ V „ f 5(pw) 1 . 1 . pw ————8z 8x8y- pw+ VK ' — 8z 8x8y. (2). Los flujos que están entrando al elemento produce un incremento de masa en el elemento y tienen signo positivo y los flujos que están saliendo del elemento tienen signo negativo. La rapidez de acumulación de masa dentro del elemento de fluido (1) se iguala con el cambio de flujo másico en el elemento a través de sus caras (2). El balance de masa del fluido queda representado de la siguiente manera:. pu^8x>y8zípu dx 2 J {. +. % s x dx 2 J. {. dy 2. 5(pv) 1 . 1 . ( d(pw) 1 . 1 . ( a(pw) 1 - ^ - S y 8x8z+ p w — ^ - 8 z 8x8y- pw + - ^ ¿ -. Y. ). Reordenando los términos de la Ecuación (3) y dividiendo entre el volumen diferencial, SxSydz, y tomando el límite de esta dimensión aproximarse a cero, se tiene:. |. dt. djpu) dx. |. d{pv) dy. |. d{pw) = dz. Q. usando notación vectorial, se tiene:. (5). -12-.

(22) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. Ahora, las leyes de conservación de momentum y energía tienen una relación importante con los cambios de las propiedades de una partícula de fluido. Sin embargo, cada propiedad de las partículas del fluido son una función de la posición (x, y, z) de la partícula y el tiempo (t). De esta manera, si se denota a la propiedad por unidad de masa como ^con respecto al tiempo, queda determinada como: Dé _d(/> dé dx Dt dt dx dt. dé dy dy dt. .,. dé dz dz dt. de manera que:. Dé. dé. dé. dé. dé. dé. X7¡,\. Dt. dt. dx. dy. dz. dt. '. v. ,_.. Ahora, si el cambio de la propiedad se considera por unidad de volumen, es necesario realizar el producto Rí-, y la densidad p, de manera que:. Sin embargo, para fines computacionales, es más útil la ley de la conservación del flujo de fluido considerando los cambios de la propiedad del fluido, el cual se encuentra en un elemento diferencial estacionario en el espacio. De manera que tomando en cuenta la ecuación de la conservación de la masa por unidad de volumen (e.g. la densidad p) como la cantidad conservada. Entonces, la suma de la rapidez del cambio de la densidad y el término convectivo en la ecuación de la conservación de la masa para un elemento diferencial de fluido, Ecuación (5) es:. (9). oí. La generalización de este término para una propiedad arbitraria en la ley de conservación es:. -13-.

(23) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2 2.1.2 Ecuación de Momentum en tres dimensiones.. De manera similar a la empleada para obtener la ecuación de continuidad, se obtiene la ecuación de momentum, la cual se realiza a partir de un balance de momentum en el elemento de fluido (volumen diferencial), por lo que:. rapidez de acumulación del momentum en el volumen de control. cantidad de momentum que. cantidad de momentum. entra al volumen de control. que sale del volumen de control. suma de fuerzas que actúan en el volumen de control. (11). El último término incluye dos tipos de fuerzas que actúan sobre la partícula de fluido en el volumen de control, •. •. Fuerzas de Superficie >. Fuerzas debidas a la presión. >. Fuerzas viscosas. Fuerzas de Cuerpo >. Fuerzas de gravedad. >. Fuerzas centrífugas. >. Fuerzas de Coriólis. >. Fuerzas Electromagnéticas. La rapidez en el incremento del momentum por unidad dayvolumen de una partícula de un fluido para cada una de las componentes x, y, z, está dado por: Du Dt'. Dv Dt'. Dw Dt'. (12). Por otro lado la contribución de las fuerzas de cuerpo aplicadas en la partícula en la ecuación de momentum, son incluidas en el término fuente de la ecuación. Por lo tanto, el estado de esfuerzos en el elemento diferencial del fluido queda determinado por la presión y las nueve componentes del esfuerzo viscoso, tal y como se muestra en la Figura 2.3. La presión queda denotada por p y los esfuerzos viscosos son. -14-.

(24) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. denotados por t. La notación con índices T¡J se aplica para indicar la dirección de los esfuerzos viscosos. Los subíndices / y j en Ty indican que la componente del esfuerzo actúa en la j-dirección sobre una superficie normal en la i-dirección.. Figura 2 3 : Componentes de los esfuerzos en tres caras del volumen de control.. Primero se considera la x-componente de la fuerza debido a la presión y las componentes de los esfuerzos txx, V y tzx mostrados en la Figura 2.4. La magnitud de una fuerza resultante por un esfuerzo en la superficie es el producto del esfuerzo y el área. Las fuerzas alineadas con la dirección de un eje coordenado tienen signo positivo y aquellas en la dirección contraria tienen signo negativo. La fuerza total en la dirección x es la suma de las componentes de la fuerza actuando en esa dirección en el elemento de fluido.. Figura 2.4: Componentes de los esfuerzos en la dirección x.. -15-. 589538.

(25) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. Sobre las caras (E, W) se tiene:. dx. dx J. La fuerza neta en la dirección x en el par de caras (N, S) es:. q y 2 l. 1. (14). dy 2 J. Finalmente la fuerza neta en la dirección x en las caras T y B están dadas por. dy 2 J. [. dy 2 ). dy. Sumando los términos de (13), (14) y (15), y dividiendo entre el volumen diferencial &Sy¿k, se tiene:. dx. dy. dz. Por lo tanto, incluyendo los términos de acumulación de momentum en el elemento diferencial, Ecuación (12), fuerzas debidas a los esfuerzos superficiales, Ecuación (16) y el término fuente, donde en éste último se incluyen todas las fuerzas de cuerpo que actúan en el elemento diferencial, y el cual se denotará como SMx para la componente en x. De manera que la componente x de la ecuación de momentum queda determinada como: Dt. 8x. 8y. dz. Mx. De una manera similar se obtienen las componentes de y y z de la ecuación de momentum;. Dt. dx. dy. dz. -16-.

(26) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. (19). Dt. Donde SMy y S ^ son las componentes del término fuente que incluyen las fuerzas de cuerpo; por ejemplo, la fuerza debido a la gravedad se tendría SMx= 0, SMy=-pg y SM^O. Finalmente, conjuntando las tres componentes del momentum en una representación vectorial, se obtiene:. (20). M. 2.1.3 Ecuación de Energía en tres dimensiones. La ecuación de la energía se deriva a partir de la primera ley de la termodinámica, en cuyos estados de la rapidez de la energía de una partícula de fluido, está dada por el calor adicionado a la partícula de fluido y el trabajo hecho por la partícula. Esto se puede representar de la siguiente forma: r. Rapidez del ^ incremento de la energía del fluido en el volumen de control. ' calor neto "* adicionado al fluido en el volumen de control. trabajo neto realizado por el fluido en el volumen. (21). de control. La rapidez del incremento de la energía del fluido en el volumen de control está dado por: DE ' Dt. (22). Ahora, como se mencionó en la Ecuación (21) la energía puede transferirse a un sistema mediante dos procesos diferentes: calor y trabajo. Por lo tanto, es necesario deducir los términos involucrados en la ecuación de la energía de una manera separada para mayor facilidad. Inicialmente, se determinan los términos de la ecuación de la energía debidos al trabajo realizado por las fuerzas de superficie, el cual está relacionado con el trabajo realizado por el fluido en el volumen de control. Considerando las fuerzas que actúan en la dirección x, y debido a que el trabajo en esta dirección está. -17-.

(27) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. determinado por las fiierzas que actúan en la misma dirección, Ecuación (13), y la componente de la velocidad en la dirección de la fuerza, se tiene:. - pu +. v. / . A * I _L I T. II _L,. dx 2 dy 2 oz. v. ^^. dx •yx". 7. dydz +. __^ Q%. 2 ) dy 2. (23) ¿kSz-. >»«)— oz 1 SxSy dz 2. 2. Sumando los términos de la Ecuación (23) y dividiendo entre el volumen diferencial de control ácSy&, se tiene:. dy. dx. (24). dz. de una manera similar se realiza el balance para las componentes y y z, de manera que se tiene:. dx. dx. (25). dz. dy. - p + r2 dz. dy. (26). Sumando las Ecuaciones (24), (25) y (26), Reordenando términos, se tiene el término del trabajo total hecho sobre el volumen de control del fluido debido a los esfuerzos de superficie, el cual se puede expresar en forma vectorial de la siguiente manera:. dx d(vrxy) dx dx. dy dy dy. -18-. dz dz dz. (27).

(28) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. Ahora, es necesario obtener el término de la ecuación de energía debido a la conducción de calor. Para esto, se considera un elemento diferencial en el cual se realiza un balance de calor a través de sus caras, tal y como se muestra en la Figura 2.5. d. 2. 2-8Z \. 1. ¡i 2. 5x. 5z\ z\. !y de. Figura 2.5: Representación del volumen de control para el balance de transferencia de calor.. Tomando en cuenta la Figura 2.5, sumando las aportaciones del flujo de calor en cada una de las caras del volumen de control diferencial, se tiene:. dx 2 Sx& +. (28). & 2 donde reduciendo términos y dividiendo entre el volumen de control diferencial SkSydz, se tiene:. dx. dy. 8z. (29). Ahora, aplicando la ley de Fourier de conducción de calor, donde se relaciona el gradiente de temperatura local con el flujo de calor,. -19-.

(29) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. (30) se tiene que la Ecuación (29) en función de la temperatura se expresa como:. (31). Con esta última ecuación, se tienen todos los términos de la ecuación de la energía (E) del volumen de control diferencial, de manera que ésta queda conformada por el término de acumulación de energía, Ecuación (22), y un término fuente adicional, en el cual se pueden incluir las aportaciones a la ecuación de energía debidas a los cambios en la energía potencial, SE.. Dt. = _ V . (pu)+V. f * Vr. d(utyx). djura)]. dx. dy. dz. dx. dy. d(vrxy) dx. dy. dz. (32). Sin embargo, en la Ecuación (31) la energía está representada por E, donde ésta es definida por la suma de la energía interna, i; energía cinética, -(« 2 + v2 + H>2); y la energía potencial gravitacional. Por tal motivo, es común extraer los cambios de la energía cinética, con el fin de obtener solo una ecuación para la energía interna o temperatura. Para esto, se multiplican cada una de las componentes de la ecuación de momentum, Ecuaciones (17), (18) y (19), por su respectiva componente de velocidad («, v, w) y sumándolos entre si, se obtiene la ecuación de la conservación de la energía cinética:. !. .#• Dt xy. dx. |. yy. dy. ). 3a. = -u • V p + u\ —— dz). dx. dy. -+^ \ + dz. (33). dy. Ahora restando la Ecuación (33) de la Ecuación (32), se tiene:. "ñ"1. dv_ dx. du. du. du_ y dy. dv. dv. dw ~dx. -20-. dw dy. dw a. dz. (34).

(30) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2 donde S¡ = SE - u • Su.. Para el caso especial de fluidos incompresibles, i=cT, donde c es el calor específico y V • u = 0, por lo que la Ecuación (34) se modifica a: du. DT dv. V. dv. du. dv dx. du. dw. dw. ~dx'. ~dy. (35). dw. Sin embargo, para el caso de fluidos incompresibles, es común reordenar la ecuación de la energía con p. relación a la entalpia. Donde la entalpia específica es definida como /» = / + — y la entalpia específica total se p. define como h = -\u2 +v +w2j, de manera que la entalpia total puede definirse como ho = E + —, y sustituyendo ésta última relación en la Ecuación (32), se obtiene la ecuación de la energía con relación a la entalpia total:. d(urj dx d(vTxy). d^Tyy). dx. dy. d(wTxz) dz. dx. dz. dy. d(wtyz) dy. ¡. (36). dz. 2.1.4 Ecuaciones de Estado. En los requerimientos de diseño y operación de la mayoría de los equipos y procesos industriales es muy importante conocer las propiedades termodinámicas de los fluidos involucrados, tales como la energía interna y la entalpia, mediante los cuales se puede calcular el calor y el trabajo requerido o desarrollado por los equipos o procesos en cuestión. Estas propiedades normalmente son evaluadas con base en datos volumétricos. Mas aún, la presión (P), el volumen (V) y la temperatura (T) tienen una relación importante entre si mismos y con las propiedades termodinámicas, con el propósito de medir el comportamiento de los fluidos en los equipos y procesos.. -21-.

(31) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. Los fluidos homogéneos son divididos principalmente en dos clases, líquidos y gases. Sin embargo, la distinción entre ellos no siempre puede hacerse, principalmente, porque las dos fases llegan a ser indistinguibles en el punto crítico. En la Figura 2.6, se presenta el diagrama de Presión-Temperatura para una sustancia pura, en ella se pueden observar los estados que ésta puede tomar como una función de estas variables. Así también se observa que las curvas de sublimación, fusión y vaporización se unen en el punto triple, donde las tres fases coexisten y donde quizás es el punto de mayor incertidumbre para caracterizar el estado de la substancia. Por otro lado, Pe y Te (Presión y Temperaturas críticas respectivamente) son la mayor condición posible en la cual la substancia pura puede existir en equilibrio de líquido y vapor.. Pe. 1. Curva de Fusión. Región de Fluido. Presión. Curva de Vaporización /. Región de Líquido. Región de Sólido. 1. ^H. /. /. Región de Gas. unto Triple. "T5úrvade. Sublimación Temperatura. Te. Figura 2.6: Diagrama Presión-Temperatura para una substancia pura.. La figura anterior no proporciona información acerca del volumen, por lo que es necesario conocer la relación que éste tiene con la temperatura y la presión. En la Figura 2.7, se presenta el diagrama de PresiónVolumen para una substancia pura. En esta figura, se observan cada uno de los estados en los cuales puede existir la substancia y su relación con la presión y el volumen. Ahora, para las regiones el diagrama donde existe una sola fase, implica una relación de conexión entre P, V, y T las cuales pueden ser expresadas por la siguiente ecuación funcional:. f(P,V,T) = 0. (37). En la ecuación relaciona la presión, el volumen molar o específico, y la temperatura para un fluido homogéneo puro en un estado de equilibrio, y es conocida como ecuación de estado. La forma más simple de representar la relación entre la presión, el volumen y la temperatura de una substancia pura es mediante el concepto de gas ideal, el cual obedece a la ecuación de estado siguiente:. -22-.

(32) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. PV = RT. (38). Donde R está definido como la constante del gas; su valor depende del gas en particular que sea considerado. El valor de R para cada gas es determinado de la ecuación,. (39). M. Los valores para el peso molecular M y la constante del gas de algunos gases comunes están dados en la Tabla 2.1, y el valor de la constante universal de los gases (/?) está determinada como:. Figura 2.7: Diagrama Presión-Volumen para una substancia pura.. IkgmolK %3\AkJ/kgmol K 8314Mw IkgmolK Una ecuación de estado puede ser resuelta para cualquiera de las tres cantidades; P, V o T como una fimción de las otras dos. Por ejemplo, si V es considerada como una fimción de T y P, entonces V=V(T,P), es decir:. = ffl dT + í^l dP. -23-. (40).

(33) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. Donde las derivadas parciales en esta ecuación tienen una idea física y son cantidades medibles. Estas son relacionadas con dos propiedades que son comúnmente tabuladas para los líquidos: Tabla 2.1: Valores de R para algunos gases comunes.. Peso Molecular. Gas. R(J/kgK). Oxígeno (O2). 32. 260. Nitrógeno (N¡). 28. 297. Hidrógeno (H2). 2. 4157. Helio (He). 4. 2079. Monóxido de Carbono (CO). 28. 297. Bióxido de Carbono (CO2). 44. 189. Metano (CH4). 16. 520. Bióxido de Azufre (SO2). 64. 130. Aire. 29. 287. Expansión Volumétrica. P. ~vKdT)t. Compresibilidad Isotérmica. v{dTjT Por lo tanto, y con base a lo anterior, se tiene que;. ~. =. pdT-KdP. (43). En la Figura 2.7, se observa que los isotermas de la fase líquida están cercanamente separados. Por lo que, los valores de P y K son pequeños. Este comportamiento es característico de los líquidos (fuera de la región del punto crítico) permite realizar una idealización, esto es comúnmente hecho en la mecánica de fluidos y es conocida como la suposición de los fluidos incompresibles, pero para los cuales P y K son cero. Sin embargo, los fluidos reales no son totalmente incompresibles, pero la idealización es útil, puesto que para una gran cantidad de cálculos el modelo de líquidos proporciona un comportamiento suficientemente aproximado para propósitos prácticos. Es decir, para líquidos reales P y K son funciones débiles de la presión. -24-.

(34) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. y temperatura, por lo que, para cambios pequeños de T y P introduce un error pequeño en los cálculos si consideramos estos constantes. Para el caso de gases reales la ecuación de un gas ideal predice el comportamiento, siempre y cuando la presión crítica o la temperatura del gas sea en forma significativa mayor que su temperatura crítica. Por lo que una pregunta aparece de forma natural, ¿Cuál ecuación de estado deberá utilizarse cuando un gas se encuentra en un estado que no puede describirse de manera adecuada por la ecuación del gas ideal? La desviación de la ecuación de estado de gas ideal del comportamiento P-V-T verdadero de un gas real, puede volverse importante conforme la presión del gas aumenta y la temperatura disminuye. En otras palabras, la ecuación de gas ideal se vuelve menos exacta conforme el estado del gas se acerca más a la región saturada. La ecuación de estado de gas ideal describe en forma exacta el comportamiento de un gas cuando las fuerzas entre moléculas individuales del mismo son despreciables. Conforme la presión del gas se reduce o la temperatura aumenta, la principal trayectoria libre entre moléculas adyacentes se vuelve mayor y la suposición de comportamiento de gas ideal se vuelve más exacta. Conforme la presión aumenta y la temperatura disminuye, las moléculas se consolidan en forma más estrecha, y las fuerzas de atracción entre las moléculas son mas importantes. Bajo estas condiciones la densidad real excederá aquella predicha por la ecuación de estado de gas ideal. Como se mencionó anteriormente, no en todos los casos se puede utilizar la ecuación de estado de gas ideal, puesto que los errores que se introducen en los cálculos pueden ser considerables. Por esta razón deben examinarse otras ecuaciones de estado que sean más exactas sobre grandes escalas de presión y temperatura. Una ecuación de estado conveniente en forma particular es: PV = ZRT. (44). La cual define el factor de compresibilidad Z. Una comparación de esta ecuación de estado con la ecuación de estado de gas ideal revela que el factor de compresibilidad puede visualizarse como una medida de que tan cerca un gas se aproxima al comportamiento del gas ideal. Cuando Z es igual a 1.0, el gas se comporta de manera ideal. En aquellos estados para los cuales Z no es igual a 1.0, el gas no es estrictamente ideal, y su comportamiento es más no ideal conforme el valor de Z se desvía de 1.0. Actualmente, se dispone del factor de compresibilidad para muchos gases, los cuales pueden encontrarse en la bibliografía de termodinámica.. -25-.

(35) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. En un intento por describir el comportamiento P-V-T en forma analítica de una sustancia, se han desarrollado un gran número de ecuaciones de estado. Sin embargo, ninguna de ellas es adecuada para la escala total de temperaturas y presiones, pero la exactitud de las predicciones proporcionadas por la ecuación de estado pueden ser mejoradas. Estas ecuaciones pueden clasificarse como ecuaciones generalizadas, empíricas o teóricas. Las ecuaciones de estado generalizadas, por lo general ecuaciones de dos constantes, son las de forma matemática menos complicada. Debido a su relativa simplicidad, su escala de aplicabilidad se limita a estados para los cuales la densidad es mucho menor que la densidad en el estado crítico. Las dos constantes que aparecen en las ecuaciones se evalúan con base en el comportamiento generalizado de una substancia. Puesto que la isoterma crítica en un diagrama P-V tiene un punto de inflexión en el estado crítico, la pendiente (la primera derivada parcial) y la segunda derivada parcial de la presión con respecto al volumen específico son cero en estado crítico. Estas dos condiciones son suficientes par evaluar dos constantes arbitrarias. La primera de las ecuaciones de estado generalizadas, es la ecuación de van der Waals,. (45). La ecuación de van der Waals representa un intento por mejorar la ecuación de estado de gas ideal con base en un razonamiento físico. Por ejemplo, la constante b está dedicada a responder un poco del volumen ocupado por las moléculas de gas, y el término involucrando la constante a, es incluido para corregir las fuerzas intermoleculares entre moléculas. Ambos términos son despreciados en el modelo de gas ideal. Las derivadas en el estado crítico empleadas para evaluar las constantes a y b pueden expresarse como:. f im De la ecuación de estado de van der Waals y las derivadas parciales anteriores, las constantes a y b pueden determinarse por las siguientes expresiones,. -26-.

(36) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. (49). 8/>c. Con estos valores de a y b el factor de compresibilidad en el estado crítico predicho por la ecuación de van der Waals está dado por:. (50). KTr. Este valor es mayor que el factor de compresibilidad para el estado crítico observado en la forma experimental para cualquier sustancia conocida. Por lo general, el factor de compresibilidad en el estado crítico es menor o cercano a 0.3. La exactitud de las predicciones proporcionadas por la ecuación de van der Waals pueden mejorarse si a y b son, en su lugar, evaluadas de mediciones de P-V-T experimentales. Cuando esta ecuación se realiza, los parámetros a y b se encuentran como dependientes de la temperatura más que de valores constantes. Entre las otras ecuaciones de estado generalizadas, con dos constantes se tiene la ecuación de Berthelot.. V. TV J. (51). (V-b)=RT. y la ecuación de Redlich-Kwong,. P = ^T~ , \. r. (52). Las constantes a y b de las ecuaciones anteriores son diferentes de las constantes de la ecuación de van der Waals, pero también pueden determinarse del comportamiento descrito por la primera y segunda derivada parcial anteriormente mostradas. Entre los ejemplos de las ecuaciones de estado empíricas son la ecuación de Beattien-Bridgeman, la cual tiene cinco constantes.. -27-.

(37) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. V y. (52). VT-. donde. (53). = B O | 1 - =|. (54). y la ecuación de Benedict-Webb-Rubin, la cual tiene ocho constantes,. (55). Estas ecuaciones difieren de las ecuaciones generalizadas en que son matemáticamente más complejas y en que las constantes se determinan de datos experimentales más que del comportamiento generalizado. Una ecuación de estado teórica bien conocida es la ecuación virial, la cual se desarrolló partiendo de los principios de la teoría cinética. En esta ecuación PV se expresa como una serie infinita de la forma,. ^. ^. \. (56). Los coeficientes B, C, D,... en esta ecuación no son constantes, más bien son funciones de la temperatura y son llamados coeficientes viriales. El primer coeficiente virial está dado por el producto RT.. Las. expresiones para los otros coeficientes viriales podrán desarrollarse partiendo de la teoría cinética o de la mecánica estática y de mediciones experimentales, aunque la evaluación de los coeficientes es bastante compleja. La ventaja de la ecuación de estado virial es que es exactamente para una mayor escala de densidades que las ecuaciones generalizadas y las ecuaciones empíricas discutidas anteriormente.. -28-.

(38) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. 2.1.5 Ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos. Las ecuaciones gobernantes anteriores contienen como incógnitas adicionales las componentes de los esfuerzos viscosos T¡J. Para poder utilizar las ecuaciones de conservación para el flujo de fluidos, es necesario introducir un modelo conveniente para los esfuerzos viscosos T¡J. En muchos flujos de fluidos los esfuerzos viscosos se expresan como funciones de la rapidez de deformación local. En flujos en tres dimensiones la rapidez de deformación local se compone de la rapidez de deformación lineal y la rapidez de deformación volumétrica. Esto considerando que la mayoría de los líquidos y todos los gases son isotrópicos. La rapidez de deformación lineal de un elemento de fluido en tres dimensiones tiene nueve componentes denotadas por e,y, seis de las cuales son independientes para fluidos Newtonianos [Schlichting, 1979]. Donde las componentes de la elongación lineal son: du_ dx. dv_. (57). <„ = ". ~dy dw. las componentes de la deformación lineal al corte,. _Udu_ 5v '~Cyx~ 2{dy+ dx 2 yaz dx) 1 f dv dw dz dy y la deformación volumétrica esta dada por: du dx. dv dy. dw dz. En un fluido Newtoniano los esfuerzos viscosos son proporcionales a la rapidez de deformación. La forma tridimensional de la ley de Newton de viscosidad para flujos compresibles implica dos constantes de proporcionalidad: la (primera) viscosidad dinámica, u, para relacionar los esfuerzos a las deformaciones. -29-.

(39) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. lineales, y la segunda viscosidad, X, para relacionar los esfuerzos a la deformación volumétrica. Las nueve componentes de los esfuerzos viscosos, de la cuales seis son independientes son: dx. •u. dy 7 dw í-ylV r A V ~dz" (du dv -M {dy' f dx (du. (60). dw. = Á! ¥ H V~dx V !(dv dw La segunda viscosidad k, es poco conocida, pero en la práctica su efecto es pequeño. Para muchos gases, una buena aproximación se obtiene. tomando el valor de/l = | / /. [Schlichting, 1979]. Sustituyendo las. Ecuaciones (57)-(60), en las ecuaciones de las componentes del momentum, Ecuaciones (17), (18), (19), se obtienen las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes:. Du dp 5 L du ,\7 p— = —-+—\2fi — + AV »u + Dt. dx. dx\. dx. Dv — Dt. dp d — +— dy dx. du. dy. f2/í. dv. du dy. dy\. dv dx. du. dv dz. dz. dy. (61). dw dy. + SMy. Dw dp d \ (du dw} d dv dw + p = - — + — u\ — + — + — dz\_ dz Dt dz dx[ {dz dx)\ dy Los términos del esfuerzo viscoso se pueden reagrupar como sigue: d — dx. du — dx. du dy. 5 — dy. dv dx. dx{M dx)+dy{M d du dx. d dy. dz dz. dv dx. dw dx. u\ + S.Mx. -30-. >Mz. du dz. dw dx. (62). (63).

(40) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. Las componentes de las ecuaciones de los esfiierzos viscosos en la dirección y y z, se desarrollan de una manera similar; reagrupando e incluyendo el término relacionado con la viscosidad volumétrica, las ecuaciones anteriores pueden ser descritas de la siguiente forma:. (64). P. (65). 'My. Dt. Dt. (66). 'Mz. dz'. y donde la ecuación de la energía interna queda determinada como:. (67). donde O se conoce como el término de disipación, el cual se determina por:. <D = /l(V«uJ +2// du. dv). í du. dz dw ) (dv. dw. (68). 2.1.6 Ecuaciones gobernantes del flujo de fluidos en forma Conservativa. En la Tabla 2.2, se presentan en forma conservativa el sistema de. ecuaciones gobernantes,. temporalmente dependientes para el flujo de fluidos y transferencia de calor para fluidos compresibles Newtonianos.. -31-.

(41) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. Tabla 2.2. Ecuaciones gobernantes para el flujo de fluidos Newtonianos compresibles.. (69). Masa. a. Momentum. W. +. v. y >. + v < í. V. dt. Ecuaciones de Estado. , ). (70). M. v.. + v.r*VrVo + s. 5(p/)+v dt. Energía. v. 1. J. (e.g.)para gas ideal, /? = /J^r e i = cvT. '. (71). (72). 2.1.7 Forma Diferencial e Integral de la ecuación Generalizada de Transporte. Se observa que en la Tabla 2.2, que las ecuaciones tienen una forma similar. Si se introduce una variable general <> | , la forma constitutiva de todas las ecuaciones de flujo de fluidos, incluyendo ecuaciones para cantidades escalares de velocidad, temperatura, concentración de especie, etc., pueden escribirse en la siguiente forma:. (73). donde T es el coeficiente de difusión. De manera que cada uno de los términos representa: 1. rapidez del "* incremento de <f> del fluido en el volumen de control. rapidez neta*. rapidez del. del flujo de (/> del fluido saliendo del volumen de control. incremento de $ debido a la difusión en el volumen. la fuente en el volumen. de control. de control. rapidez del incremento de (f> debido a. (74). La importancia de esta ecuación estriba en la relativa fecilidad de solución mediante procedimientos computacionales y en la cual se basa el método de volumen finito. Por tal motivo, es necesario integrarla en el volumen de control (CV), de manera que esta ecuación se representa como:. -32-.

(42) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. cv. ot. J. + J\SádV. J. cv. cv. (75). cv. donde los términos convectivo y difusivo son reescritos usando el teorema de la divergencia de Gauss ,. J. dt *cv. J. J. En el primer término de esta ecuación el orden de la integración y la diferenciación se han cambiado, esto se debe a una razón física, siendo el significado del término, la rapidez del cambio de la cantidad total de la propiedad <> j en el volumen de control. El segundo término está relacionado con la rapidez del decremento de la propiedad <(» del fluido en el volumen de control debido a la difusión. Por último, el cuarto término representa el incremento de la propiedad <(> del fluido en el volumen de control debido a la mente. Para problemas dependientes del tiempo, es necesario integrar todos los términos con respecto al tiempo, de manera que la ecuación anterior toma la siguiente forma:. I— jp<fidv\dt + JJn»0*u)¿4dr= J Jn»(rV¿)<¿4«¿f+j js^dvdt Af. \CV. ). At A. btA. (77). Ai CC. donde At es un pequeño intervalo de tiempo en el cual se está integrando. 2.2 TURBULENCIA Y SU MODELACIÓN Todos los flujos encontrados en la práctica ingenieril, ya sean flujos en dos dimensiones como el flujo de chorro, estelas, flujo en tuberías y capa límite en placas planas, hasta los más complicados en tres dimensiones, llegan a ser inestables arriba de cierto número de Reynolds [Re = ~) [Versteeg y Malalasekera, 1995]. Los flujos con bajos números de Reynolds son laminares y en altos números de Reynolds tienden a ser turbulentos, este es un estado caótico y aleatorio de movimiento desarrollado en el cual la velocidad y presión cambian continuamente con el tiempo dentro de regiones considerables de flujo. Los flujos en régimen laminar son completamente descritos por las ecuaciones generales de transporte. En casos simples, las ecuaciones de continuidad y Navier-Stokes pueden resolverse analíticamente.. J v»adV= ¡ntadA, donde a es un vector arbitrario. CV. A. -33-.

(43) Capítulo 2. Fundamentos Teóricos. Flujos más complejos pueden tratarse numéricamente con técnicas de dinámica de fluidos computacional (CFD), tales como el método de volumen finito sin aproximaciones adicionales. Por lo anterior, el estudio del comportamiento del flujo en el régimen turbulento en problemas de ingeniería tiene aplicaciones prácticas en el diseño y operación de equipos. La modelación del fenómeno de turbulencia es uno de los tres elementos clave en la dinámica de fluidos computacional. Teorías matemáticas muy precisas se han realizado para los otros dos elementos clave: la generación de malla y el desarrollo de algoritmos. Sin embargo, por su propia naturaleza, la creación de modelos matemáticos que se aproximen al comportamiento físico de flujos turbulentos ha sido muy difícil, se han tenido avances importantes, pero aún no se ha desarrollado un modelo generalizado que prediga el comportamiento de tan complejo fenómeno. Este campo es muy extenso, investigadores como Prandtl, Taylor, von Kármán y muchos más han desarrollado aproximaciones y modelos que tratan de describir la complejidad de flujos físicos. Simplificaciones en combinación con observaciones físicas han sido la característica común de estos investigadores. 2.2.1 ¿Qué es turbulencia?. La turbulencia en el flujo de fluidos es un fenómeno que ha sido estudiado por gran cantidad de investigadores, los cuales coinciden con la definición de Taylor y von Kármán [Wilcox,1993]: "Turbulencia es un movimiento irregular que aparece en los fluidos, gases o líquidos, cuando éstos encuentran un sólido o cuando capas vecinas del mismo o diferente fluido se entremezclan ". Debido a este movimiento irregular y aleatorio, se tiene una gran dificultad para la modelación de este fenómeno. Actualmente se han desarrollado una gran cantidad de modelos matemáticos que permiten predecir con una buena aproximación el comportamiento de turbulencia para ciertos casos en particular. El número de Reynolds es un parámetro que mide la importancia que tienen las fuerzas inerciales (asociadas con efectos convectivos) y las fuerzas viscosas que actúan en el flujo de un fluido. Generalmente se observan algunos cambios del comportamiento del flujo de fluido, cuando el valor del número de Reynolds es crítico (Re^it); es decir, este parámetro indica cuando un flujo cambia de comportamiento laminar (flujo suave y en forma de laminas) a un comportamiento turbulento (flujo con movimiento caótico y aleatorio). En este último, el movimiento llega a ser inestable, aún cuando las propiedades del flujo varían en una forma aleatoria. Las ecuaciones de movimiento turbulento son no lineales por naturaleza, así que cada patrón de flujo particular tiene ciertas características únicas asociadas con sus condiciones iniciales y de frontera. Es por esto,. _ _.

(44) Fundamentos Teóricos. Capítulo 2. que no existe una solución general para las ecuaciones de Navier-Stokes. Todos los flujos son diferentes, sin embargo, la mayoría de ellos tienen características comunes. Estas características dependen del ambiente donde se presenta la turbulencia y por esto se es posible tratar todos los flujos de una manera general. La turbulencia consiste de un espectro continuo de diferentes órdenes de escala de torbellinos desde muy grandes hasta muy pequeños. En la Figura 2.8, se presentan las escalas de torbellinos consideradas en la idealización del flujo turbulento. Una forma de visualizar el flujo turbulento dentro de un espectro de escalas de torbellinos consiste en sobreponer en el espacio grandes torbellinos considerando que estos realizan un acarreo de pequeños torbellinos a su alrededor.. Larga Escala de Torbellinos s. ^Paquefta Escala de Torbellinos. / juaiaht .-. ((?). [', •- 'i ) <b. I.S 1, 'Í 1 ' ,' 4-l-LMiU.i.iJi.U.Mj.l.i.l^lU.iJ. Figura 2.8: Esquema de grandes y pequeños torbellinos en la idealización de flujo turbulento.. 2.2.2 Efecto de la turbulencia promediada en el tiempo para las ecuaciones de Navier-Stokes. Reynolds en 1895 introdujo el concepto de promedio como un método para manejar matemáticamente la variabilidad de las propiedades de flujo a través del tiempo. En general, Reynolds asumió en el promedio de las propiedades una variedad de formas que consideraban una integral o sumatoria. Se define la propiedad media O de una propiedad de flujo cp como: At. (78). Ai. Esta definición de la media de una propiedad de flujo es adecuada para flujos medios estables. En flujos dependientes del tiempo la media de una propiedad en el tiempo t se toma como el promedio de los valores instantáneos de una propiedad sobre un gran número de experimentos idénticos repetidos: llamados "promedio del conjunto".. -35-.