CI 3725 Clase 05 pdf
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(2) Agenda • Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Minimización de Autómatas. • Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(3) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Recordando…. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(4) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Recordando… • Se esperaban la imagen de siempre, ¿no?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(5) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Ahora sí, recordando… • Queremos demostrar la equivalencia entre los AFND’s/AFD’s y los Lenguajes Regulares. – Una dirección ya fue probada (todo Lenguaje Regular tiene un AFND que lo reconozca). – Ahora vamos a probar el converso (todo AFND/AFD reconoce un Lenguaje Regular).. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(6) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Para esto, propondremos un Algoritmo que permite construir una Expresión Regular, a partir de cualquier AFND.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(7) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Para esto, propondremos un Algoritmo que permite construir una Expresión Regular, a partir de cualquier AFND. • Consideremos una modificación sobre la función de transición, para que ahora opere sobre Expresiones Regulares.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(8) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Paso 1: Construir un autómata extendido. – Crear dos (2) nuevos estados qi y qf, que corresponderán a estados iniciales y finales del autómata respectivamente. – Colocar una λ-transición, desde qi, hasta el estado inicial del autómata original. – Colocar una λ-transición, desde cada estado final del autómata original, hasta qf. – El único estado final debe ser ahora qf. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(9) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Paso 2: Eliminación de estados. – Mientras existan estados correspondientes al autómata original: w. qi1 u1. v1. qd1. qx um un. qdm. qin Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(10) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Paso 2: Eliminación de estados. – Mientras existan estados correspondientes al autómata original: qd1. w. qi1 u1. v1. qd1. qi1 qdm. qx um un. qin. qdm. qd1 qin qdm. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(11) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Paso 2: Eliminación de estados. – Unir transiciones que compartan los mismos estados de partida y de llegada.. u1. qi. qi1 uk Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(12) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Paso 2: Eliminación de estados. – Unir transiciones que compartan los mismos estados de partida y de llegada.. u1. qi. qi1. qi. uk Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal. u 1 + ⋯ + uk. qi1.
(13) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares. • Paso 3: Extracción de la Expresión Regular. – Al finalizar el paso 2, la expresión regular que vincule qi con qf, es la expresión regular buscada.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(14) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares • ¿La Expresión Regular representa el mismo lenguaje que reconocía el AFND? – Demostrar que L(M) = sem(e).. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(15) Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares • ¿La Expresión Regular representa el mismo lenguaje que reconocía el AFND? – Demostrar que L(M) = sem(e). – Una vez más, les queda como ejercicio…. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(16) Minimización de Autómatas • ¿Cuál es el menor? b q’0 a a. q’1. a. q’2 a, b. a, b. q0. q2 a, b. b q1. q’3 b a, b. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(17) Minimización de Autómatas • ¿Cuál es el menor? b q’0 a a. q’1. a. q’2 a, b. a, b. q0. q2 a, b. b q1. q’3 b a, b. • ¿Por qué? Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(18) Minimización de Autómatas • Se dice que dos estados de un AFND son equivalentes, si para cualquier cadena w, correr el autómata con cada estado como estado inicial, resulta en la aceptación o rechazo de w independientemente.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(19) Minimización de Autómatas • Se dice que dos estados de un AFND son equivalentes, si para cualquier cadena w, correr el autómata con cada estado como estado inicial, resulta en la aceptación o rechazo de w independientemente. • Cualquier AFD, que reconozca el mismo lenguaje, tendrá como mínimo la cantidad de clases de equivalencias formadas por la definición anterior. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(20) Minimización de Autómatas • Paso 1: Crear clases de equivalencia inicial.. 0 {F , Q F} ¡Trabajaremos sobre AFD’s, sin perder generalidad!. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(21) Minimización de Autómatas • Paso 1: Crear clases de equivalencia inicial.. 0 {F , Q F} • Paso 2: Inicializar un contador i, en 0. Y hacer: – Para cada A ∈ ≡i : • Separar A, de forma que si x, y ∈ A:. x i 1 y (a : a : ( x, a) i ( y, a)). – Incrementar el contador i. – Si ≡i ≠ ≡i-1 , repetir el paso 2. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(22) Minimización de Autómatas • Paso 3: Creación del AFD mínimo. – Construir un autómata M (, Q' , ' , q0 ' , F ' ) , donde: • Q' i , siendo i el último valor que tuvo en la iteración anterior. • ' ( X , a) Y x X ( x, a) Y • q0 ' X q0 X • X F ' (q : q X : q F ). Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(23) Minimización de Autómatas • Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y…. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(24) Minimización de Autómatas • Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y… ya saben que hacer.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(25) Minimización de Autómatas • Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y… ya saben que hacer. • Ahora… ¿Cómo haríamos para calcular un AFD mínimo, dada una Expresión Regular?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(26) Minimización de Autómatas • Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y… ya saben que hacer. • Ahora… ¿Cómo haríamos para calcular un AFD mínimo, dada una Expresión Regular?. ER → AFND → AFD → AFDmínimo Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(27) Minimización de Autómatas • Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y… ya saben que hacer. • Ahora… ¿Cómo haríamos para calcular un AFD mínimo, dada una Expresión Regular?. ER → AFND → AFD → AFDmínimo Claro…. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(28) Minimización de Autómatas • Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y… ya saben que hacer. • Ahora… ¿Cómo haríamos para calcular un AFD mínimo, dada una Expresión Regular?. ER → AFND → AFD → AFDmínimo ¿?. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(29) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Recordando…. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(30) Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(31) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Recordando… • Dado un lenguaje L sobre un alfabeto Σ y un símbolo a en Σ, se define el operador DaL (derivada de L con respecto a a) como:. Da L {w aw L}. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(32) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Definiremos ahora, la derivada, pero sobre una Expresión Regular.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(33) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Definiremos ahora, la derivada, pero sobre una Expresión Regular. • ¡Pero primero! Construyamos una función que nos permita discernir si la semántica de una Expresión Regular contiene λ.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(34) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Definiremos ahora, la derivada, pero sobre una Expresión Regular. • ¡Pero primero! Construyamos una función que nos permita discernir si la semántica de una Expresión Regular contiene λ.. (Ø) Ø ( ) (a) Ø. (r s) (r ) ( s) (rs) (r )( s) (r*) Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(35) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ahora si…. Da (Ø) Ø Da ( ) Ø si a b Da (b) Ø si (a b) Da (r s ) Da (r ) Da ( s ) Da (rs) Da (r ) s (r ) Da ( s ) Da (r*) ( Da (r ))r * Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(36) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Igualmente, se puede extender la definición de derivada para trabajar sobre frases. r si w Dw r Da ( D y r ) si w ya. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(37) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Igualmente, se puede extender la definición de derivada para trabajar sobre frases. r si w Dw r Da ( D y r ) si w ya. • Y se cumple la siguiente propiedad:. w sem(r ) sem( Dwr ) Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(38) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Para una Expresión Regular e, Se construye el autómata M (, Q, , q0 , F ) , donde: • Q {Dwe | w *} • ( Dwe, a) Da ( Dwe) • q0 D e • F {Dwe | ( Dwe) } Por la propiedad que se mostró en la lámina anterior. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(39) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.. D0 e D0 (0 1)( 0 1) *11 (( 0 1)*)( D0 1)1 ( D0 0 D01)( 0 1) *11 ( D01)1 ( Ø)( 0 1) *11 Ø1 (0 1) *11 e D e Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(40) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.. D0 e D0 (0 1)( 0 1) *11 (( 0 1)*)( D0 1)1 ( D0 0 D01)( 0 1) *11 ( D01)1 ( Ø)( 0 1) *11 Ø1 (0 1) *11 Como el resultado es igual al de una derivada anterior, no es e necesario continuar con frases que empiecen con la frase “0”. D e Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(41) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.. D1e D1 (0 1)( 0 1) *11 (( 0 1)*)( D11)1 (0 1) *11 1 e 1. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(42) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.. D10e D0 ( D1e) D0 (e 1) e D e. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(43) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.. D11e D1 ( D1e) D1 (e 1) e 1 . Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(44) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.. D110e D0 ( D11e) D0 (e 1 ) e D e. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(45) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.. D111e D1 ( D11e) D1 (e 1 ) e 1 D11e. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(46) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11. ¡Y ÉSTE… ES… EL CONJUNTO DE ESTADOOOS!. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(47) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas 1. 1. D11e. D1e. 0. 0. Dλe. 0. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal. 1.
(48) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Este algoritmo permite obtener un AFD a partir de una Expresión Regular.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(49) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Este algoritmo permite obtener un AFD a partir de una Expresión Regular. • As usual, the proof is left to the students.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(50) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Este algoritmo permite obtener un AFD a partir de una Expresión Regular. • El AFD construido mediante este algoritmo tiende a ser el AFD mínimo…. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(51) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Este algoritmo permite obtener un AFD a partir de una Expresión Regular. • El AFD construido mediante este algoritmo tiende a ser el AFD mínimo… – Pero no necesariamente lo es.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(52) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Este algoritmo permite obtener un AFD a partir de una Expresión Regular. • El AFD construido mediante este algoritmo tiende a ser el AFD mínimo… – Pero no necesariamente lo es. – Si no es mínimo, tiende a ser una buena aproximación a éste.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(53) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Sabemos especificar los Lenguajes Regulares.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(54) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Sabemos especificar los Lenguajes Regulares. • Sabemos determinar si una frase cualquiera pertenece a un Lenguaje Regular.. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(55) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Sabemos especificar los Lenguajes Regulares. • Sabemos determinar si una frase cualquiera pertenece a un Lenguaje Regular. • Ahora solo falta saber si un lenguaje cualquiera es Regular o no…. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
(56) Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas • Sabemos especificar los Lenguajes Regulares. • Sabemos determinar si una frase cualquiera pertenece a un Lenguaje Regular. • Ahora solo falta saber si un lenguaje cualquiera es Regular o no… – ¡Eso será para la próxima clase!. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal.
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