CAPITULO 2 MAQUINA DE INDUCCIÓN

CAPITULO 2

MAQUINA DE INDUCCIÓN Prof. Waldemar Godoy V

.

2.1.- Introducción

Estudiaremos dentro de ellas las máquinas trifásicas y a continuación las monofásicas, naturalmente pueden tener mas de tres fases.

Las máquinas de inducción que estudiaremos, en general van a ser motores, debido a que en este campo tiene mayor aplicación. También será posible establecer a través de nuestro estudio, la semejanza de estas máquinas con los transformadores.

El motor bifásico de inducción es usado en control y el motor monofásico, se usa para potencias fraccionarias.

2.2. - Descripción de una máquina de inducción trifásica.

2.2.1.- Estator

Conjunto trifásico simétrico de bobinas. Estas bobinas son idénticas entre sí y se puede conectar en estrella o triángulo. El número de bobinas por fase con circuito magnético independiente establece el número total de polos de la máquina a través de las relaciones conocidas (ej. : máquina de 2 bobinas por fase es máquina de 4 polos). El estator es alimentado por un sistema equilibrado de tensiones sinusoidales.

2.2.2.- Rotor

Puede presentar cualquiera de las dos formas siguientes :

a) Rotor bobinado: compuesto de un enrollado similar al del estator con el mismo número de fases y de polos que él. Los terminales de estos enrollados se conectan a anillos aislados montados en el eje, de modo que, mediante escobillas de carbón, estos terminales se cortocircuitan entre sí a tra vés de las resistencias externas.

b) Rotor tipo jaula de ardilla : está compuesto de barras conductoras alojadas en ranuras del fierro del rotor, cortocircuitadas en ambos extremos mediante anillos conductores. La disposición de lasa barras es simétrica en toda la perisferia del rotor.

c)

2.3. - Funcionamiento de la máquina de inducción.

Supongamos una máquina de inducción, con enrollados concentrados en el estator y de dos polos, a la cual se aplica una tensión trifásica equilibrada, simétrica y sinusoidal.

La fig. 2.1, muestra esquemáticamente esta situación.

Los enrollados de cada fase están desplazados 120º entre sí alrededor de la periferia del entrehierro con los extremos de las bobinas indicadas como a, -a; b, -b; c, -c.

Bajo estas condiciones, cada enrollado produce una onda de f.m.m., cuya distribución en el entrehierro es sinusoidal, centrada en el eje magnético de su fase respectiva.

Por otra parte, cada fase es excitada por una corriente alterna la cual varia sinusoidalmente en el tiempo, de modo que bajo condiciones de régimen balanceado, se tiene:

t I

I

_a

=

_m

cos ω (ref.)

(

^o

)

m

b

I t

I = cos ω − 120 (2.1)

(

^o

)

m

c

I t

I = cos ω + 120

I

m

= es el valor máximo de la corriente.

La figura 2.2 muestra gráficamente la forma y secuencia de estas tres corrientes.

Fig. 2.2.- Forma y secuencia de la corriente, en las tres fases, en el motor de inducción

La onda de f.m.m. correspondiente varía sinusoidalmente con el tiemp o. Cada componente de f.m.m. es una pulsación sinusoidal, estacionaria, distribuida alrededor del entrehierro con un valor máximo localizado justamente en el eje magnético de su fase, con una amplitud proporcional a la corriente instantánea de la fase. Cada componente puede ser

dibujada como un vector de longitud variable, y proporcional a la corriente de fase, ubicada en el eje magnético de la fase.

La f.m.m. resultante es, por supuesto, la suma de las tres componentes de cada una de las fases.-

Realizaremos un estudio de los campos magnéticos rotatorios, desde 2 puntos de vista: gráfico y analítico.

i) Análisis Gráfico: con relación a la figura 2.2, los valores instantáneos de corriente en cada una de las fases, respectivamente es, en t = 0

( ) ^{t a} ( ) ( ) ^a

a t i Fmm a F a F

i = I ^m cos _ω ^{= 0} ⇒ = I ^m ⇒ = ^máx =

( ) ^{t b} ( ) ( ) ^b

b t i Fmm b F b F

i = − = ⇒ = m ⇒ = − máx =

0 m

2 1 2

º I 120 I cos ω

( ) ^{t c} ( ) ( ) ^c

c t i Fmm c F c F

i = ^m + ^{= 0} ⇒ = I ^m ⇒ = − 1 ^máx =

º 120

I cos ω

La figura 2.3.a, muestra esta situación, en que los vectores de f.m.m se han dibujado respectivamente en sus ejes magnéticos correspondientes, resultando en el eje de la fase “a” una f.m.m resultante igual a (3/2)Fmáx.

Si consideramos un instante más tarde,

1

π 3

ω t = , se tiene: 60 º 3 = π

( ) ( )

( )

^{máx c}

c

máx b

a b

a

F F

c Fmm i

F F

F b Fmm a

Fmm i

i

=

−

=

⇒

−

=

 

= 

=

=

=

⇒

 



 



=

=

m m m

I

2 1 2

I 2 I

(2.3)

Estos tres vectores dibujados sobre sus respectivos ejes magnéticos, da una resultante entre los ejes magnéticos de las fases “a”y “b”, una f.m.m. resultante igual a:

max

2 3  F



 





( fig. 2.3b )

Análogamente, en el instante posterior en que

º 3 120

2

2 = ⇒ t =

t π ω

ω

( ) ( )







 





−

=

=

=

=

⇒

 



 





−

=

=

−

=

máx c

a

c b a

F F

F c Fmm a

Fmm i

i i

2 1

2 I I

2 I

m m

m

(2.4)

( ) ^{b F}

^máx

^F

^b

Fmm = =

En estas condiciones, se encuentra en al eje magnético de la fase “b” una f.m.m. resultante igual a:

_max

2 3  F



 



 ( Fig.2.3.c )

La figura 2.3, muestra esta secuencia, para estos tres valores de ω t ^.

Considerando un periodo completo, estaremos nuevamente en el caso inicial, y habremos generado una f.m.m. constante en

magnitud en el entrehierro y de distribución sinusoidal.

Fig. 2.3.- Producción de un campo magnético mediante corrientes trifásicas.

En otras palabras, para cualquier ω t , se tiene una f.m.m. resultante constante en magnitud y su dirección varía con una velocidad angular ω = constante (ctte.).

Así la distribución de la f.m.m. a lo largo del entrehierro es sinusoidal. – Consideremos, por ejemplo, la velocidad de giro de la f.m.m. resultante entre los dos primeros casos, es:

Angulo recorrido: 60º= π/3

Tiempo empleado:

ω π ω

π

0 3 0 3

1 − t = − = t

Luego, la velocidad angular, es :

veloc.angular = .

3

3

ctte

tiempo ANG

empleado

rec = =ω=

π ω π

Este campo magnético es el que recibe el nombre de CAMPO MAGNETICO ROTATORIO (C.M.R).

ii) Estudio Analítico

Con relación a la figura 2.1, supongamos un punto del entrehierro ubicado a un ángulo “θ” de la fase “a”. Todas

las fases contribuyen a la f.m.m. total en dicho punto., de modo que:

Fase a: ^F

^a

^cos ( ) ^θ

Fase b: ^F

^b

^cos ( ^{θ − 120 º} ) (2.5) Fase c: ^F

^b

^cos ( ^{θ + 120 º} )

Llamando F, a la f.m.m. resultante, se tiene:

( ) ^{θ = F}

^a

^cos ( ) ^{θ + F}

^b

^cos ( ^{θ − 120 º} ) ^{+ F}

^c

^cos ( ^{θ + 120 º} )

F (2.6)

Pero, como es un sistema 3φ balanceado, las f.m.m. son sinusoidales, así:

( ) ( )

( ) _

 

 +

=

−

=

=

º 120

º 120

cos cos cos

máx máx máx

t F

F

t F

F

t F

F

c b a

ω ω ω

(2.7)

Luego,

( ) ( ) ( ) ( _{1 42 4 3} ) ( _{1 42 4 3} )

β α

ω θ

θ , t = F

^máx

cos cos t + F

^máx

cos θ − 120 º cos ω t − 120 º

F

( _{1 42 4 3} ) ( _{1 42 43} )

β α

ω

θ 120 º cos 120 º cos

máx + +

+ F t (2.8)

El término en θ, indica la distribución espacial como una sinusoide estacionaria; y el término en “t”, indica que la amplitud varia con el tiempo.

Usando la identidad trigonométrica:

( α β ) ( α β )

β

α cos = cos − + cos +

cos 2

1 2

1 (2.9)

Se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) _ ^{ }



 







+ + +

− +

− + +

+ +

−

=

º 2 240

1

2 º 1 2 240

1

2 1 2

, 1

cos

cos cos

cos cos

t F

t F

t F

t F

t F

t F

máx

máx máx

máx máx

ω θ

ω θ ω

θ

ω θ ω

θ θ

(2.10)

Nótese que los términos en (θ+ωt), resulta desfasados entre sí en 120º, por lo que, su suma, como son de la misma amplitud, resulta ser nula.

Así, la ec. (2.10) queda reducida:

( ) ^{t F} ( ^t )

F θ =

^máx

cos θ − ω 2

, 3 (2.11)

Esta ecuación representa una onda viajera, de distribución sinusoidal, que se desplaza a lo largo del entrehierro con velocidad angular

ω

=ctte. A esta onda, con tales características, se le llama C.M.R. de amplitud constante.

En términos generales, este análisis realizado para una máquina elemental, puede ampliarse a un sistema q-fásico simétrico de tensiones, que alimenta a un devanado de q -fases simétricamente dispuesto.

La amplitud de este C.M.R. será

2

q veces la contribución máxima de una fase cualesquiera y la velocidad de

rotación será : ω=2πf [rad. eléctr./seg.].

Considerando una máquina de “p” polos, se tendrá que cada ciclo eléctrico se efectuara en 2 2

π p

grados mecánicos; con lo que recordando las expresiones (1.5) y (1.7) :

mec elec

mec elec

p p

ω ω

θ θ

2 2

=

=

se tendrá:

p n

f 60

2

2 π = 2 π (2.12)

p f p

n 120 f ω

^s

4 π

=

⇒

= (2.12.a)

Esta velocidad, que representa la velocidad de rotación del C.M. producido por el estator, es la llamada velocidad síncrona.

2.4.- Funcionamiento del motor de inducción

Suponga el estator excitado por un sistema 3

φ

equilibrado de tensiones y que el rotor está girando en el mismo sentido de giro que el C.M.R. con una velocidad “n”. Como “n” es menor que la velocidad síncrona ( n

s

) el rotor comienza a deslizar con una velocidad (ns-n). Esta velocidad relativa se conoce como deslizamiento “s”. Normalmente se da en porcentaje o en por unidad (p.u.)

En otras palabras, el rotor atrasa al C.M.R. del estator en el valor del deslizamiento.

Se define la magnitud llamada deslizamiento “S”,del motor, como:

s r s

n n

s = n − (2.13)

en donde,

( )

s n n n y

s n n

s r s

s r

=

−

−

= 1

como

s rel

veloc r

s n sn

n 2 − 3 = 1

.

.

linea

r f

s p p f

120

120 = (2.14)

linea rotor sf

f = (2.14a)

Es decir, a la frecuencia “f” de la alimentación del estator, en el rotor se inducen tensiones de frecuencia “fr”,(frecuencia de deslizamiento) que según (2.14a) a velocidad de trabajo que es del orden de 1 a 5 ciclos por segundo (cps) para una frecuencia de 50 ciclos. Esto permite utilizar la máquina de inducción como una fuente de frecuencia variable.

Se puede vislumbrar así, la similitud de comportamiento de esta máquina con un transformador con secundario en cortocircuito, pero se aprecia también que la frecuencia en ambos enrollados es distinta.

En la partida S=1 y f

rotor

= f

estator

,con lo que en el rotor se inducen corrientes que generan otro C.M.R. que gira con la misma velocidad y sentido que el C.M.R. del estator. -La interacción de estos dos C.M.R., genera un torque que tendrá el mismo sentido de giro que ellos.- Si este torque es mayor que el torque resistente, se tendrá como resultado un movimiento.

Cuando el rotor está girando en la misma dirección que el C.M.R. del estator, como ya se hiciera presente, sus corrientes inducidas tiene una frecuencia f r y la componente del campo del rotor viaja con velocidad

Sn

s

n = [r.p.m.], con respecto al rotor en la misma dirección. Adicionalmente, superpuesta con esta velocidad, está la rotación mecánica del rotor a " n

_r

" [r.p.m.]. La velocidad del campo del rotor en el espacio será entonces la suma de estas dos velocidades:

( ) ^s

s s r

t n n sn n s n

n = ¹ + = + 1 − = (2.15)

De esta manera, los campos del rotor y el estator, son es tacionarios, uno con respecto al otro, creándose un torque permanente, manteniéndose la velocidad. Este torque existe a cualquier velocidad “n

_s

”, distinta de la velocidad síncrona, y de acuerdo a la expresión (1.15) es:

( ) ^r

F

r

e

p

sr

T ^π sen ^δ

2

2

2 Φ

= 



 



 (2.16)

En que el signo menos se ha omitido, en el entendido de que el torque electromagnético actúa en la dirección requerida para alinear los campos magnéticos del rotor y el estator.

Por otra parte, el flujo resultante en el entrehierro es aproximadamente constante., cuando el voltaje aplicado al estator y la frecuencia lo son. Además, la F.m.m. del rotor es proporcional a la corriente del rotor Ir, como se estableció anteriormente. Bajo estas consideraciones, la ec. (2.16) se reduce a:

r KI

T = r sen δ (2.16.a) Donde, K es constante.

La corriente del rotor está determinada por la tensión inducida en el rotor y su impedancia de fuga, ambas a la frecuencia de

deslizamiento ” f r ^”.

Un análisis más acabado, podemos hacerlo considerando una una máquina de inducción tipo jaula de ardilla, de 2 polos y 16 barras.

Observación .- El número de barras debe ser un múltiplo par del número de polos.

El número de `polos de estator y rotor, para una máquina de inducción de rotor bobinado (M.I.R.B.) debe ser el mismo. Sin embargo, el número de fases del estator y rotor no tienen necesariamente que ser el mismo.

La figura 2.4a, muestra los valores de tensión inducidos en cada una de las barras, por la onda de densidad de flujo “ B

_sr

”.

Un instante más tarde, como se muestra en la figura 2.4b, la corriente en las barras tiene los valores instantáneos indicados, con un tiempo de atraso, correspondiente al ángulo de factor de potencia φ 2, del rotor. En este intervalo de tiempo, la onda de densidad de flujo ha viajado en su dirección de rotación en un ángulo φ 2 con respecto al rotor. La onda resultante de F.m.m. del rotor y la fundamental obtenida por un desarrollo de Fourier, se muestran en la figura 2.4c.

De este análisis se puede concluir que el número de polos de un rotor en jaula de ardilla, queda determinado por la onda de flujo inducido.

De las figuras anteriores, a modo de resumen, se puede concluir que:

i) δ ^r = 90 + φ 2

Con φ 2 , ángulo de desfase de B

_sr

o tensiones instantáneas en las barras, es decir, el cos φ del circuito del rotor.

ii) Esta relación también es aplicable al caso de máquinas con rotor bobinado, de acuerdo con 2.16a, se tiene Torque máximo, si F

2

= 0

iii) Esto se cumple, aproximadamente, ya que como “ f r ”,es baja, el circuito del rotor es

preponderantemente resistivo.

Fig. 2.4.- Motor de inducción jaula de ardilla de dos polos y 16 barras.

2.5. - Circuito Equivalente de la máquina de inducción

Para su estudio, en primer lugar, veremos como referir las magnitudes del rotor el estator de la máquina.

2.5.1. - Magnitudes del rotor referidas al estator

Como hemos visto el rotor de la máquina reacciona ante el campo magnético rotatorio del estator produciéndose otro

campo magnético rotatorio del mismo número de polos, viajando con igual velocidad y sentido y formando un ángulo de

torque δ ^r = 90 º + φ 2 ^.

Desde el punto de vista del estator, el funcionamiento de la máquina de inducción es detectado por medio del flujo en el entrehierro y de la onda de F.m.m. del rotor. Entonces, si el rotor es reemplazado por otro equivalente que produzca la misma F.m.m. y flujo a la misma velocidad, el estator no notaría ninguna diferencia. Bajo estas consideraciones, es posible referir las magnitudes del rotor al estator.

Consideremos un rotor bobinado con el mismo número de fases y polos que el estator. El número de vueltas efectivas por fase en el enrollado del estator es “a” veces el número en el devanado del rotor. Comparemos los efectos magnéticos de este rotor con otro que sea magnéticamente equivalente, con el mismo número de vueltas que el estator. Para el mismo flujo y velocidad las relaciones entre el voltaje inducido en el rotor “Er ” y el voltaje inducido en el rotor equivalente “E

_2s

” por fase, es:

r rs a E

E & = & (2.17)

Como ambos son magnéticamente equivalentes, sus amperes - vueltas deben ser los mismos, con lo que la relación entre el rotor y su equivalente es:

2 1 I N N

I & ^rs = & ^r (2.18) O bien,

r

rs I

I & = a ¹ & (2.18a)

Si reemplazamos Z&

_rs

como la impedancia de fuga del rotor equivalente, a frecuencia de deslizamiento en función de

Z&

r

, impedancia del rotor, se tiene:

r r

r rs

rs rs a Z

I a E a I

Z E &

&

&

&

&

& ^{= =} = ² (2.19)

De esta manera, las tensiones, corrientes e impedancias, en el rotor equivalente, se definen como los valores del rotor real

“referidos al rotor”. Así se tiene :

r r

rs

r r

r

a x js a r

Z

jsx r

Z

2

2 +

= +

=

&

&

(2.20)

Donde:

r

r

a ² : resistencia efectiva del rotor, referida al estator, es decir, r rs = a ² r r ^.

x r : reactancia obtenida para s=1, es decir, a frecuencia “ f l ^{”,o sea,} x ^rs = a ² x ^{r .}

sx rs : reactancia de fuga a la frecuencia de deslizamiento referida al estator, sx rs = s a ² x r ^.

El circuito equivalente del rotor, referido al estator por fase, a la frecuencia de deslizamiento se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5.- Circuito equivalente del rotor, referido al estator, por fase

2.5.2. - El Circuito Equivalente

Considerando las cantidades del rotor, referidas al estator, es posible tener el circuito equivalente por fase, en régimen permanente de una máquina de inducción. Consideremos una máquina trifásica y para simplificar asumamos una conexión en Y, de modo que las corrientes sean valores de línea, y las tensiones entre fase y neutro.

Con relación al estator, el C.M.R. induce una contra fuerza electromotriz (c.f.e.m.) balanceada en las fases del estator. La tensión nominal en el estator será entonces:

( ^{1 1} )

1 1

1 E I r jx

V & = & + & + (2.21) En que:

V& 1 : tensión en terminales del estator.

E& 1 : c.f.e.m. generada por el flujo resultante en el entrehierro.

I&

1

: corriente en el estator.

r 1 : resistencia efectiva del estator.

X

1

: reactancia de fuga del estator.

Al igual que en el transformador, la corriente del estator tiene dos componentes:

- Una componente de carga I& 2 , que produce una F.m.m. inducida por la corriente del rotor.

- Una componente de excitación I& e , que crea el flujo resultante del entrehierro y es una función de E& 1 . A su vez, la corriente de excitación tiene dos componentes:

a) I& c , que involucrará las pérdidas en el núcleo, en fase con E& 1 ^.

b) ?& m ,componente de magnetización, que crea el flujo y atrasa a E& 1 ^{en 90º}

En el circuito equivalente I& e , se representa como una rama paralela, formada por la conductancia g c ^{y la}

susceptancia b m , en paralelo ambos con la c.f.e.m. E

1

, como se muestra en el circuito

Figura 2.6.- Circuito equivalente del estator, del motor de inducción trifásico, por fase.

equivalente del estator de la figura 2.6.

Para completar el circuito equivalente, debemos incorporar los efectos del rotor.

El estator ve una onda de flujo y un C.M.R. que gira a la velocidad sincrona. La onda de flujo induce el voltaje E& rs ^del rotor y la c.f.e.m. E&

1

del estator; a pesar que el número de espiras es el mismo, las tensiones no son iguales debido a que la velocidad relativa da la onda de flujo con respecto al estator es “S” veces su velocidad con respecto al estator.

La relación de los valores efectivos de las fuerzas electromotrices de estator y rotor son:

E & ^rs ₌ s E & 1 (2.22)

Además, la f.m.m. del rotor se opone a la componente I& 2 y la balancea, de modo que los valores eficaces son los mismos :

I & ^rs ₌ I & 2 (2.23) Dividiendo 2.22 por 2.23 miembro a miembro y recordando la expresión 2.20, se puede escribir:

r

r rs rs

rs rs

rs jx

s Z r

s I

s E I

E I

s E I

E = ⇒ = = & = +

&

&

&

&

&

&

&

& ₁

2 1 2

1 (2.24)

En que:

s :

r

^r

Representa la acción combinada de la carga en el eje y la resistencia del rotor, es decir, es una función del

deslizamiento y de la carga.

Bajo estas consideraciones, el circuito equivalente del motor de inducción se muestra en la figura 2.7, en que las

magnitudes del rotor, referidas al estator, se han acoplado al circuito equivalente del estator mostrado en la figura 2.6.

Figura 2.7.- Circuito equivalente del motor de inducción trifásico, por fase.

Alternativamente, también se representa el circuito equivalente, separando la resistencia del rotor, referida al estator y la resistencia equivalente de origen mecánico; así se tiene el circuito equivalente que muestra la figura 2.8.

Figura 2.8.- Circuito equivalente del motor de inducción trifásico, por fase, separando la resistencia del rotor y la de origen mecánico.

2.6. - Análisis del Circuito Equivalente

2.6.1. - Potencia y Pérdidas en la máquina de inducción

Entre los aspectos más importantes del comportamiento de la máquina de inducción, en régimen permanente, están las variaciones de corriente, velocidad y pérdidas, cuando varían los requerimientos de torque de carga, torque de partida y torque máximo. Todas estas características pueden ser obtenidas, a partir del circuito equivalente.

Así, puede verse que la potencia transferida a través del entrehierro, Pg

1

, es:

s I r q

P ^{g 1} = ^{1 2} ₂ ² (2.25) Donde, q

1

: es el número de fases del estator

Las pérdidas totales en el Cu del rotor son:

( ) P cu rotor = q 1 I ² 2 r ² (2.26)

Entonces, la potencia mecánica interna desarrollada por el motor es, (potencia convertida):

( ) _



 



=  −

−

=

−

= s

r s q I I r

s q I r q P

P

P ^{g 1 r cu 1 2} ₂ ^{2 1 2} ₂ ^{2 1 2} ₂ ^{2 1} (2.27)

o bien:

^P = ^{P g 1} ( ¹ − ^s ) Potencia Electromagnética (2.28)

De la expresión (2.28), puede verse que de la potencia total proporcionada al rotor, la fracción (1-s) es convertida en potencia mecánica y la fracción “s” es disipada en el Cu del circuito del rotor, así, una máquina de inducción con un elevado deslizamiento es ineficiente.

La expresión anterior, se suele entregar en función del torque electromagnético interno, recordando que según(1.24) :

r T e

P = ω

( ^s ) ^{s T e}

P = ¹ − ω (2.29) En que ωs es la velocidad angular sincrónica del rotor en [rad.mec./seg.] y T, en [N-m].

( ^{P s} )

T

s e

= −

∴ ω 1 (2.30)

y según (2.28) y (2.25)

( )

( ) [ ^{New m} ]

s I r s q

s T P

s e g

electromag = −

−

= ¹ − ^{1 1} ₂ ^{2 2}

1 1

ω

ω (2.31)

En que según (2.12a),

polos º

n

s

π f

ω = ⁴ (2.32)

Nótese que la potencia y el toruqe no son los valores de salida en el eje de la má quina, se debe descontar las pérdidas

debido a roce y ventilación y pérdidas por cargas errantes (stray load).

2.7.- Determinación Experimental de los parámetros del circuito equivalente

Los parámetros de la máquina de inducción se determinan por medio de dos pruebas análogas a las del transformador.

i) Prueba de vacío: Se conecta la máquina a una fuente 3φ simétrica de alimentación a tensión y frecuencia nominales, y se hace girar en vacío. Bajo este régimen de operación se tiene:

∞

 →



 



⇒  −

=

⇒

≈ s

r s s

n

n ^{r s} 0 ^{2 1}

En otras palabras el circuito equivalente queda abierto en el secundario. De acuerdo con esto, el circuito equivalente de las figuras 2.7 y 2.8, queda reducido al que se muestra en la figura siguiente:

Figura 2.9.- Circuito equivalente de la prueba de vacío

Se supone que r

1

y x

1

son despreciables frente a los parámetros del circuito de excitación; por lo tanto, recordando que:

R P V

= 2 ;

G = R ¹

Se tiene:

2 o

o c

V

g = P (2.33)

o o

o

o V I

cos ϕ = P (2.34) Del circuito, se tiene:

( ^{c m} )

o

o V g jb

I & = & − (2.25)

Tomando modulo en ambos miembros y dividiendo por V& o ^:

g b I

I V

I o c m

o o

o = = 2 + 2

&

&

De donde:

g V

b I _c

o o m

2 2 2 = 2 −

Por ecuación (2.33)

( )

V P V I

V Po V

b I

o o o o

o o

o

m

2

2 2 2 2 2

2

2 −

=

 

 



− 

=

Finalmente:

( )

o o o o

m V

P V b I

2 − 2

= (2.36)

Observación : Nótese que en todas estas expresiones, los valores de tensión y corriente son valores eficaces. El valor leído de potencia, Po, incluye las pérdidas en el núcleo y las debido a roce y ventilación.

Po es del orden de 5% de Pmm.

Io es del orden de 30-50 % de la corriente nominal.

ii) Prueba de Rotor Bloqueado: Es análoga a la prueba de cortocircuito en un transformador. A frecuencia nominal se aplica tensión reducida y corriente nominal con el rotor bloqueado. Como la tensión es reducida (del orden de un 20% de la tensión nominal), las pérdidas en el núcleo son pequeñas frente a las de los devanados, es decir, Rm y Xm son elevadas. De esta manera el circuito equivalente es:

Figura 2.10.- Circuito equivalente de la prueba de rotor bloqueado

Como n=0 ⇒ s=1 ⇒ 2 ¹ _ ^ = 0





 



 −

s

r s (2.37)

Además, Icc=Inom

2 2 1

cc q cc

e

I r P r

R = + = (2.39)

Tomando módulo en ambos miembros:

X I R

V

eq cc eq

cc = 2 + 2

&

&

(2.40)

De donde:

I R X V

X

X _eq

cc cc

eq 2

2 2

1  −



 



=  +

= (2.41)

Es difícil separar r 1 ^y r 2 como también x 1 ^y x 2 , pero existe la posibilidad de medir r 1 con corriente continua y determinar a partir de ella la resistencia efectiva considerando el efecto pelicular, ya que Req se determina con corriente alterna.

La siguiente aproximación es muy usada, ya que por diseño:

2 1

2 1

r r

x x

≈

≈

Por otra parte en un motor de inducción con rotor bobinado, se puede medir la razón “a”; en que la tensión debe medirse cuando ambos devanados están alineados.

En ambas pruebas, debe usarse un wáttmetro de bajo factor de potencia.

2.8.- Simplificaciones en el Circuito Equivalente

Una de las simplificaciones que se usan, es llevar la rama paralelo de excitación a los bornes de entrada, pero esta aproximación conlleva un error demasiado grande, la corriente de excitación es alta (del orden de 30-50% de la corriente nominal).

Usaremos la siguiente aproximación, que es bastante razonable y que simplemente consiste en omitir g c , pero agregando las pérdidas del núcleo a las de roce y ventilación. Así se tiene el siguiente circuito equivalente aproximado:

Figura 2.11.- Circuito equivalente aproximado

( ) _{( )}

e e abierto a

ab c

x x j r

X j V

V

V = = + +

1 1

1 1

&

&

& (2.42)

Además:

( ) _{( )}

1 1

1

1 r jx

I V I _{ab coci}

= +

= &

&

& (2.43)

Finalmente:

( )

( ) ⁽ ( e ⁾ ) ^{th th}

e

c c ab

c a ab

th R jX

x x j r

jx r

jx I

V

Z = +

+ +

= +

=

1 1

1

& 1

&

& (2.44)

De este modo se tiene, el siguiente circuito equivalente, válido en régimen permanente balanceado, por fase:

Figura 2.12.- Circuito equivalente de Thévenin

2.9. - Análisis en Régimen Permanente

A partir del equivalente de Thévenin, y reconsiderando la expresión encontrada para el torque,

[ ^{New m} ]

s I r q

T _electromag ^e = ^{1 1} ₂ ^{2 2} − ω

De acuerdo al circuito equivalente se tiene para el módulo de I

2

:

( )

[ ^{N m} ]

x s X

R r I V

I

th th

a −

+

 +



 



 +

=

=

2 2 2

2 1 2

2

&

& (2.45)

De donde:

( ) [ ^{N m} ]

x s X

R r

s V r q T

th th

a

s e

electromag

−

+

 +



 



 +

=

2 2 2

2 2 2 1

1 1

ω

(2.46)

Esta expresión, que muestra el torque, usualmente se puede representar en forma gráfica, para distintos valores de la velocidad del motor de inducción o del deslizamiento.

La figura 2.13 muestra esta curva y la figura 2.14 muestra la curva de potencia y torque internos, y la componente de la corriente de carga en el estator I

₂

, como una función del deslizamiento.

Figura 2.13.- Torque en función de la velocidad, o del deslizamiento

Esta curva muestra el comportamiento de la máquina de inducción como motor, como generador y como freno.

Se puede observar que cuando la máquina trabaja como generador el deslizamiento es negativo. Esto implica que la máquina debe ser impulsada a una velocidad mayor que la velocidad síncrona. En estas condiciones se tiene que n

r

> n

s

Cuando la máquina trabaja como motor el deslizamiento varía entre cero y uno. El valor máximo del deslizamiento

se tiene cuando el rotor está detenido, es decir, n

r

es cero.

Figura 2.14.- Curva de potencia y torque interno

En la práctica, la región de freno se utiliza para el frenado rápido en máquinas de gran inercia. Se consigue intercambiando dos fases de la alimentación, con lo que se cambia la secuencia y el C.M.R. viaja en sentido inverso, de modo que la máquina tiende a girar en sentido contrario, debiendo desconectarse de la línea antes de que comience a girar en la otra dirección.

Los valores de torque máximo y potencia máxima, que ocurren para distintos valores del deslizamiento, pueden obtenerse por consideraciones circuitales. El torque interno será máximo, cuando la potencia suministrada a

s

r ₂ sea máxima. De acuerdo al principio de máxima transferencia de potencia, en acoplamiento de circuitos (cuadripolos), esto ocurre si:

Z s

r ² = & entre

s r _{2 y}

V & ₁ a

Es decir:

( 2 ) ²

2 R 2 X x

s r

th th

máx T

+ +

= (2.47)

y el deslizamiento, para este torque máximo, será entonces:

( 2 ) ²

2

2

x X

R s r

th th

máx

T = + + (2.48)

Reemplazando (2.47) en (2.46), se tiene:

( )

( )

( ) ^{( )}

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

[ ^{2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2} ]

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 1 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 1 2

2 1

2 1

1

x X R R x

X R

x X R V q

x X x

X R x

X R R R

x X R V q

x X x

X R R

x X R V T q

th th

th th

th

th th

a s

th th

th th

th th th

th th

a s

th th

th th

th th

a s

máx

+ +

+ +

+

+

= +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

= +

+ +

+ +

+

+

= +

ω ω ω

finalmente:

( ) [ ^{N m} ]

x X

R R

V q T .

th th

th

a s

máx −

+ +

= +

2 2 2

2 1

5 1

0 1

ω (2.49)

Esta expresión resulta independiente de r 2 , pero sin embargo, es posible graficar el comportamiento de una

máquina para distintos valores de r 2 , en cuanto al torque interno. En otras palabras, en una máquina de rotor bobinado el torque máximo no se puede variar, pero lo que se logra es variar la velocidad a la que este torque ocurre.

Figura 2.15.- Desplazamiento del torque máximo, para distintos valores de r

2

, en un motor de inducción

rotor bobinado.

En los motores tipo jaula de ardilla r 2 es constante, por lo que sólo se tiene una curva. Bajo esta consideración son motores de velocidad

≈

ctte.(5% de variación entre vació y carga máxima). Es cambio, en los M.I.R.B. se puede servir un mismo torque a velocidades diferentes mediante la inserción de una resistencia externa en el rotor.

2.10.- Curvas Normalizadas

Las ecuaciones características se suelen escribir en forma adimensional, usando parámetros expresamente definidos para este objeto, de esta manera es posible obtener las llamadas curvas normalizadas que tienden a simplificar los problemas que se presentan en las expresiones (2.46) y (2.49); dividiendo miembro a miembro, se tiene:

[ ( ) ]

( 2 ) ²

2 2

2 2 2

2 2

x s X

R r

s x r

X R

R T

T

th th

th th

th

máx  + +



 



 +

+ +

= + (2.50)

Si se define :

th th

R x

Q = X + ² y se reemplaza r 2 , en función de S T máx , ecuación (2.47), puesto que el

resultado final debe ser función de

máx

S

T

S , en lugar de serlo simplemente de “S” :

[ ]

( ) ^{( )}

[ ]

( ) ( )

[ ]

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

1 1

2

1 1 2

1 1

1 2

1 1

1 2

1 1 2

1 1 1

1 2

s Q Q s

s s

Q

s Q Q s

s Q s

s Q Q s

x X Q

s R s s

Q R

R s R

Q R

s s Q R

T T

máx T máx

T

máx T máx

T

máx T

th th

máx th T

máx T th th

th máx T th

máx

+ +

+ +

+

= +

 +



 

 +  + + +

+ +

= +

+ +

 +



 

 +  + +

+ +

= +

Finalmente :

 

 



 +

+ +

+

= +

s s s

Q s

Q T

T

máx T máx

T

máx 2

2

2 1 1 1

1

1 (2.51)

También puede demostrarse que:

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

1 1

1 1

Q s Q

s

Q Q

I I

máx máx T

T  +



 



 + +

+ +

= + (2.52)

Las curvas normalizadas se muestran en los gráficos siguientes:

Figura 2.16.- Curvas normalizadas, relación de torques y deslizamientos

Figura 2.17.- Curvas normalizadas, relación de corrientes y deslizamientos

De estas curvas se puede apreciar que la variación de Q, no trae aparejado cambios significativos. En general, la mayoría de los M.I. están comprendidos en el rango entre 3

≤

Q

≤

7. Considerando esta situación, una simplificación que se realiza a menudo, en ausencia de datos más exactos, es hacer Q =

∞

, en otras palabras despreciar el valor de la resistencia de Thévenin (Rth).

Así se tiene:

s s s

T s T

Tmax máx

T

máx

= 2 + (2.53)

1 2

2 2

2

 +



 



= 

s I s

I

máx Tmax

(2.54)

2.11.- Efecto de la Resistencia del Rotor

Para el caso del motor de inducción rotor bobinado, diferentes valores de r 2 , permiten obtener las características siguientes:

- r 2 baja: mejor rendimiento (disminuyen las pérdidas)

- r ₂ alta: mayor torque de partida con menor corriente de partida y mejor factor de potencia, cos ϕ ^.

En condiciones normales de funcionamiento, la resistencia adicional “

r ₂

ad

” se elimina, con lo que la velocidad aumenta.

Además, de las curvas mostradas en la figura 2.15, se ve que es posible, obtener el

T

máx

a la velocidad más conveniente. Nótese, por otra parte, que la disipación de calor de “ r ₂ ad ” no afecta a la máquina, su única desventaja es el costo, que sólo para aplicaciones especiales justifica su uso.

La anterior consideración, ha llevado al desarrollo de motores tipo J. A. que tengan características similares a los de rotor bobinado.

Entre éstos se tienen los de doble jaula y jaula de Ardilla profunda que se han diseñado considerando la variación de frecuencia de las corrientes del rotor.

Obs: La resistencia secundaria r ₂ ' no tiene influencia en la magnitud del par motor máximo debido a que r 2 ^{no tiene}

influencia en la potencia del campo giratorio. La magnitud de r ₂ ' tiene influencia únicamente al deslizamiento en el que

ocurre el par motor máximo.

2.12.- Jaula de Ardilla Doble

La figura 2.18, muestra este tipo de máquina, que consta de 2 barras de distinto material y diferentes secciones.

Figura 2.18.- Motor de inducción de doble jaula de ardilla

Las barras de las Jaulas, se construyen de modo que:

 



>

>

ext int

int ext

x x

r r

2 2

2

2

(2.55) - En la partida:

linea

r f

f s = 1 ⇒ =

Reactancia rotor

> Resistencia rotor ⇒

Z rotor ≈ X rotor

^⇒

I _rotor circula mayoritariamente por la barra exterior, por lo que la barra interior no juega prácticamente ningún papel (alta reactancia).

- Velocidad de régimen : ^s ≈ 5 ^% ⇒ ^f r ≈ 2 − 5 [ ] ^cps ⇒ reactancia rotor baja ⇒ R

_rotor

> X

_rotor

⇒

Z rotor ≈ R rotor

^⇒

I _rotor circula mayoritariamente por la barra interior, ya que r ₂ ext . mayor que r ₂ int . ^.

Jaula externa : latón, aluminio, bronce (tienen alta resistividad, permeancia baja) ⇒ Jaula de partida

Jaula interna: cobre, (alta permeancia para los flujos de dispersión, reactancia de fuga > que jaula exterior ⇒ Jaula de

funcionamiento.

2.13.- Jaula de Ardilla profunda

La figura 2.19, muestra el tipo de Jaula de Ardilla profunda y la distribución aproximada de flujo.

Figura 2.19.- Rotor Jaula de Ardilla profunda

Está basada en el efecto pelicular que depende del medio magnético y la frecuencia de la excitación , que en condiciones normales es de tres a cinco ciclos por segundo.

Durante la partida, toda la corriente actúa sobre la parte superior, ya que la reactancia de la parte inferior es mayor. Cuando se alcanza la velocidad normal de trabajo, la corriente se distribuye en la totalidad de la barra debido a la disminución de la reactancia, es decir, como en el caso anterior, se tiene un efecto similar al producido por la eliminación de la resistencia externa adicional, en el caso del motor de rotor bobinado.

2.14.- Métodos de Partida y Control de Velocidad del Motor de Inducción 2.14.1.- Método de partida

Debido a la baja resistencia del rotor, la corriente en la partida es alta. Desde este punto de vista, se pretende reducir la corriente de partida. Para la elección del método de partida, tiene la mayor importancia el tipo de máquina involucrada y el costo de la solución.

En el caso del M.I. de R.B. el método más conveniente es el uso de resistencia adicional en el rotor, con lo que además se logra un mayor torque de partida.

Para las máquinas de tipo jaula de ardilla, el método más usado es reducir la tensión aplicada, con lo que se logra disminuir la corriente de partida. La desventaja es que el torque de partida, se reduce a su vez en forma proporcional al cuadrado de la tensión.

Existen 2 métodos para reducir la tensión :

- Uso de Auto transformador de partida: En que la tensión se va regulando en forma gradual, lo que redunda en una partida suave, pero es también de costo elevado.

- Uso de Arrancador Υ − ∆: Es un dispositivo que mecánicamente conecta los devanados en estrella a la partida y en triángulo cuando se alcanza la velocidad normal. Este método es ampliamente usado en máquinas pequeñas y requiere que los terminales del estator estén accesibles.

Se cumple que:

( ) ( )

3 1

3 1

=

=

∆

∆

T T I I

Y L L Y

2.14.2.- Letra Código

Para los motores de inducción jaula de ardilla, la corriente de partida puede variar ampliamente, dependiendo primero de la potencia nominal del motor y de la resistencia efectiva del rotor en condiciones de partida.

Para calcular la corriente de partida la corriente de partida del motor , todos los motores de inducción jaula de ardilla actualmente tienen una “letra código” para el arranque, en su placa característica. La letra código limita la cantidad de corriente que el motor puede tomar de la línea en el momento de partida.

Estos límites se expresan en términos de potencia aparente de partida del motor en función de sus H.P. de potencia nominal.

Para determinar la corriente de partida de un M.I., debe identificarse el voltaje nominal , los H.P. de potencia y la letra código en su placa característica. Entonces, la potencia aparente de partida del motor será :

(S)part = (H.P. de potencia) x ( factor de letra código )

Y la corriente de partida, puede determinarse dividiendo los (S)part por raíz de tres y por el voltaje nominal del motor.

2.15.- Control de velocidad en motores de inducción

El motor de inducción proporciona una velocidad prácticamente constante; sin embargo, muchas aplicaciones requieren contar con velocidad variable, dentro de un cierto rango. Analizando las expresiones (2.12a) y (2.13):

( )

( ) _ ^{ }



−

=

−

= p s n f

s n

n _s

120 1 1

(2.56)

Se puede ver, que es posible tener un control sobre “ n ^{” si:}

a) Se cambia el número de polos del motor

Se consigue con un adecuado diseño del estator de modo que cambiando las conexiones de las bobinas, se logra cambiar el número de polos, en relación 2:1.

Los motores, en general, son del tipo J.A., puesto que su rotor reacciona creando un C.M.R. del mismo número de polos del estator.

El principio del cambio de polos se muestra en la figura 2.20 (a) y (b) en que se muestran dos bobinas con terminales a, - a; y a’, - a’.

La primera conexión, figura 2.20a, produce un campo de cuatro polos. En la figura (b) se ha invertido la corriente

en la bobina a’, -a’, obteniéndose de este modo un campo con sólo dos polos, este cambio se consigue permutando la

conexión de las bobinas de serie a paralelo, con lo que las conexiones de las fases han pasado de Υ a ∆ o viceversa.

Figura 2.20.- Cambio del número de polos

Figura 2.21.- Cambio del número de polos y características de torque

La figura 2.21 muestra tres posibilidades de cambio de número de polos y las características de torque como una

función de la velocidad, teniendo los tres las mismas características en la conexión de alta velocidad.

El mostrado en (a), tiene prácticamente el mismo torque en alta y baja velocidad, se usa en casos en que el roce predomina, por ejemplo, el (b) prácticamente duplica el torque en alta velocidad. Es usado cuando se requiere potencia ctte, como en máquinas herramientas, etc.

El indicado en (c), tiene menor torque en baja velocidad que en alta; se usa en ventiladores, bombas centrífugas, etc.

b) Control de velocidad por frecuencia de línea

Se basa en el cambio de la velocidad sincrónica. Sin embargo, se debe procurar mantener aproximadamente ctte la densidad de flujo, por lo que debe variarse simultáneamente la tensión de línea, con lo que se consigue mantener el torque máximo aproximadamente ctte.

Recuérdese que el valor máximo del voltaje inducido es:

E _máx = ω N φ = 2 π fN φ (2.57) De donde su valor eficaz es:

= = fN = fN Φ

E máx eficaz

E 4 . 44

2 2 2

1 π φ (2.58)

Con lo que:

Nf .

E

_ef

44

= 4

φ (2.59)

Un motor de inducción, usado en estas condiciones tiene características similares a una máquina de C.C. de excitación separada con tensión de armadura variable.

El inconveniente de este método, es la fuente de frecuencia variable. Se puede usar una máquina de inducción de rotor bobinado como convertidor de frecuencia de estado sólido. Se tiene en estas condiciones de operación, del motor de inducción, un control continuo de velocidad.

c) Control por tensión de alimentación

El torque interno de un M.I. es proporcional al cuadrado de la tensión aplicada a sus terminales primarias, como se vió en el estudio del circuito equivalente. Este método es usado frecuentemente en pequeños motores tipo J. A. en que las características de torque de la carga son conocidos. La figura 2.21 muestra un caso típico de control de velocidad por tensión de alimentación en que las solicitaciones de torque de la carga se indic an en el mismo gráfico.

Figura 2.21.- Control de velocidad por tensión de alimentación.

d) Control de la Resistencia del Circuito del Rotor

En este método se logra modificar la característica torque – velocidad, intercalando una resistencia externa en el rotor, pero manteniéndose el torque máximo.

La figura 2.22, muestra estas características, para una carga mecánica dada.

Figura 2.22.- Desplazamiento del torque máximo

Puede verse que una variación de la resistencia del rotor, involucra una variación de la velocidad, para servir la carga. Sin embargo este método presenta bajo rendimiento a velocidades reducidas de acuerdo a la carga aplicada.

La regulación de velocidad que se tiene, es similar al caso de la máquina de C.C. Shunt controlada por resistencia de armadura.

e) Uso de Dispositivos Auxiliares

En síntesis es un control del deslizamiento. Se estableció que la fracción “S” de la potencia absorbida desde el estator, es transformada en potencia eléctrica en el rotor que se pierde en el cobre de éste si está cortocircuitado.

Los esquemas básicos para recuperar esta potencia eléctrica, a frecuencia de deslizamiento “ f r ”, se muestran en la figura 2.23.

Figura 2.23.- Cambio de frecuencia

En (a), se toma potencia a frecuencia “ f r ” del motor principal, mediante el cambiador de frecuencia se

devuelve a la red a frecuencia f ^.