1. ECUACIÓN LINEAL

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MAR DEL PLATA

Facultad de Ingeniería ALGEBRA A

Sistemas Lineales – Página 1

TEORÍA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. ECUACIÓN LINEAL

Resolver la ecuación significa hallar n valores numéricos de las incógnitas (solución) que la satisfagan, esto es, que al reemplazarlos en la misma, resulta una identidad.

Por ejemplo, la ecuación lineal x₁- 2x₂ = 3 tiene dos incógnitas y admite infinitas soluciones, como ser x₁ = 0 y x₂ = -3/2; o x₁ = 3 y x₂ = 0; o x₁ = 1 y x₂ = -1 etc.

En cada caso, bastó con dar un valor arbitrario a una de las incógnitas, para obtener el valor de la otra. Diremos entonces que, tanto el par (0;-3/2), como el (3; 0) y el (1; -1) son soluciones de la ecuación dada.

Puede darse el caso de no haber soluciones como en 0x₁+ 0x₂ = 3 ó tener una sola, como en 2x₁ = -4, dónde x₁= -2.

Análogamente, para obtener una solución de la ecuación lineal −x₁+x₂+2x₃ +x₄ =1 es suficiente con dar valores a tres de las incógnitas , por ejemplo x₂ =1, x₃=2, x₄ =−5 , para que el valor de la cuarta quede unívocamente determinado; en efecto, al sustituir los valores en la ecuación x₁+1+4−5=1 se obtiene x₁ =1 y podemos decir que (1; 1; 2; -5) es una solución.

Es claro que, con el mismo criterio, pueden hallarse infinidad de soluciones para esta ecuación.

Este ejemplo permite ver que, cuando la ecuación tiene “n” incógnitas, sus soluciones serán conjuntos ordenados de “n” valores (s₁;s₂;Ls_n) que llamaremosn-upla

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de la forma















= +

+ +

= + + +

m n mn 2

2 m 1 1 m

2 n n 2 2

22 1 21

1 n n 1 2

12 1 11

b x a ...

x a x a

...

b x a ...

x a x a

b x a ...

x a x a

(1)

Y una solución del sistema es una n-upla (conjunto ordenado de n números) que satisfaga, simultáneamente a todas las ecuaciones del sistema.

En (1), el doble subíndice usado para los coeficientes indica, el primero de ellos, a qué ecuación pertenece, y el segundo, a qué incógnita corresponde. Por ejemplo, el coeficiente a₃₂es el coeficiente de la tercera ecuación y de la segunda incógnita. Análogamente, el único subíndice usado para el término independiente, indica en qué ecuación está. Por ejemplo b₃ es el término independiente de la tercera ecuación.

Se llama ecuación lineal con “n” incógnitas y coeficientes reales a toda expresión de la forma ₁â x₁ +x₁ â₂x₂ +… + â ⁿx_n = ^b , donde

a1,_…,, ^a ⁿ_∈ ^R son los coeficientes, ^b _∈ ^R es el término independiente y x1, x2, …,xn son las indeterminadas o incógnitas.

(2)

Llamaremos a cada una de las tres siguientes matrices

: modo siguiente

del

b b b

B

x x x

X

a ...

a a

...

a ...

a a

a ...

a a

A

m 2 1

n 2 1

mn 2

m 1 m

n 2 22

21

n 1 12

11













=













=













= M M

A: matriz de los coeficientes del sistema (de orden m x n)

X: matriz columna de las incógnitas o vector incógnita (de orden n x 1) B: matriz columna o vector de los términos independientes (de orden m x 1)

Nota: cuando los sistemas sean chicos (no más de tres ecuaciones y tres incógnitas), a veces usaremos letras sin subíndices, como x, y, z para las incógnitas y sin o con un subíndice para los coeficientes, p. ej. a,b,c o a₁,a₂,a₃ a fin de simplificar.

Con respecto a la existencia de soluciones se pueden presentar siguientes casos:

1) Que el sistema tenga soluciones (sistema compatible); y con respecto a éste, 1.1) Que tenga solución única (sistema compatible determinado) C.D.

1.2) Que tenga infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) C.I.

2) Que el sistema no tenga solución (sistema incompatible) I.

No se puede presentar una situación intermedia entre 1.1 y 1.2, esto es, no puede haber soluciones en cantidad finita mayor que 1.

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones, en caso de que las tenga (caso 1); o bien, demostrar que no las tiene (caso 2).

Veamos algunos ejemplos simples de estas situaciones y tratemos de ver el porqué del comportamiento en cada caso.



=

−

= +

2 y x

8 y ) x i

( 

= +

−

=

− 4 y x

4 y ) x ii (





= +

−

=

− 2 y x

4 y ) x iii (

Una forma de resolver ()i

es simplemente sumar las dos ecuaciones para que desaparezca el término en “y”, quedando 2x = 10 por lo que x = 5, y reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones resulta y = 3. Un minuto de meditación (trascendental) basta para convencerse de que ésta es la única solución por lo que el sistema es determinado. Se dice que la única solución es el par (5; 3) y se escribe el conjunto solución ^S=

{ }

⁽⁵^;³⁾ .

(3)

Realizar el mismo procedimiento en (ii), nos lleva a 0 = 0, lo que no es novedad alguna, pero nos hace sospechar que algo raro sucede con el sistema. Observando el mismo con más detenimiento notamos que la ecuación de abajo es la misma de arriba disfrazada ya que se la multiplicó por -1, resultando que si dos números satisfacen una de ellas necesariamente satisface a la otra, por lo que una de las ecuaciones no da más información que la que da la otra.

Digamos que una de ellas es redundante y el sistema tiene, en realidad, una sola ecuación independiente, por ejemplo x−y=−4. No es difícil darse cuenta de que hay infinitas soluciones (por ejemplo, x=−4, y=0 ó x=2,y=6, etc.). Es imposible dar un listado de todas las soluciones pero es posible dar un esquema que permita calcularlas expresando una de las incógnitas en función de la otra, por ejemplo x=−4+y(sistema indeterminado). El conjunto solución puede escribirse por comprensión: ^S=

{

⁽^x^;^y⁾^/^x=−⁴+^y

}

.

Finalmente, en ( i i i)

y usando la misma idea, al sumar se obtiene 0 = -2 que en realidad significa 0x+0y=−2 que obviamente no tiene solución. También acá debe pasar algo raro, y mirando detalladamente el sistema se ve que los primeros miembros de ambas ecuaciones son opuestos, pero no los segundos, lo que no puede ser (sistema incompatible). Es claro que el conjunto solución es S=φ

2. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA

Antes de avanzar con casos más generales, veamos cómo puede escribirse un sistema en forma matricial. Para ello analicemos esta igualdad:

_







=

















− 2

8 y . x 1 1

1 1

Si efectuamos el producto en el primer miembro obtenemos una matriz columna de 2x1

_







=









− +

2 8 y x

y

x

y aplicando la definición de igualdad de matrices, resulta





=

−

= +

2 y x

8 y

x

que es el primero de los sistemas resueltos en el apartado anterior. Este ejemplo nos muestra que este sistema puede escribirse como producto entre la matriz de los coeficientes (A) y la matriz columna de las incógnitas (X), igualada a la matriz columna de los términos independientes (B). En términos generales, será

A.X=B

donde, si la matriz A es cuadrada e inversible, podrá premultiplicarse por su inversa en ambos miembros con el fin de despejar el vector incógnita:

A .(A..X) A .B (A .A).X A ¹.B X A ¹.B

Id 1 1

1 − − − −

− = ⇒123 = ⇒ =

En el caso del ejemplo, A es inversible ya que det a = -2; además, 









−

= −

1 1

1 ' 1

A y

(4)









−

= −

1 1

1

adjA 1 , luego 









= −

−









−

− =

2 / 1 2 / 1

2 / 1 2 / 1 2

1 1

A ¹ .

Por lo tanto, 







=

















= −







=

3 5 2 . 8 2 / 1 2 / 1

2 / 1 2 / 1 y

X x

de donde se sigue que los valores de las incógnitas son : x=5 ; y=3 , en coincidencia con los ya obtenidos. Se dice que el par (5; 3) es la única solución y se escribe ^S=

{ }

⁽⁵^;³⁾

En el caso general de un sistema de orden m x n















= +

+ +

= + + +

m n mn 2

2 m 1 1 m

2 n n 2 2

22 1 21

1 n n 1 2

12 1 11

b x a ...

x a x a

...

b x a ...

x a x a

b x a ...

x a x a

también puede expresarse matricialmente en la forma A.X=B, donde A, X y B son, respectivamente, las matrices definidas como

A: matriz de los coeficientes, de orden m x n X: vector columna de las incógnitas, de orden n x 1

B: vector columna de los términos independientes, de orden m x 1

3. MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA: SISTEMAS CRAMERIANOS

Es inmediato que el método empleado en el último ejemplo puede aplicarse solamente a aquellos sistemas de la forma A.X=B, en el que la matriz A de los coeficientes es una matriz cuadrada e inversible, cualquiera sea su orden.

El procedimiento empleado se llama Método matricial de la matriz inversa, y una sistematización de este método da lugar a una regla conocida como la Regla de Cramer; por este motivo también se denomina a este tipo de sistemas Sistemas Cramerianos

Recordamos esta regla, aplicándola a ese mismo sistema; en este caso, la solución está dada por:

x=

A det

A det ₁

; y=

A det

A det ₂

dónde A es la matriz de los coeficientes, A₁ es la matriz que se obtiene de A, sustituyendo su columna 1 por la columna de los términos independientes; y A₂ es la matriz que se obtiene de A, sustituyendo su columna 2 por la columna de los términos independientes.

En el caso del ejemplo, se obtiene:

(5)

5 2 10 1

1 1 det 1

1 2

1 det 8

x =

−

=−









−









= − ; 3

2 6 1 1

1 det 1

2 1

8 det 1

y =

−

=−









−









=

Solución que coincide con la ya hallada. A continuación, la enunciamos para el caso general.

4. REGLA DE CRAMER

5. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS (O DE TRIANGULACIÓN)

Es claro que la Regla de Cramer dista bastante de resolver el problema de la resolución de sistemas lineales, ya que se limita al caso de sistemas con igual número de ecuaciones que incógnitas y cuya matriz de coeficientes es no singular.

En lo que sigue plantearemos un método que permite resolver por completo este problema; para ello necesitaremos introducir algunos conceptos.

Vamos a decir que dos sistemas son equivalentes si toda solución de uno de ellos es también solución del otro; es decir, si ambos tienen exactamente las mismas soluciones. La estrategia es operar con un sistema para producir otro equivalente cuya estructura más simple (en un sentido que precisaremos después) permita estudiarlo fácilmente.

Las operaciones con ecuaciones que permiten hacer esto son: (i) permutar dos ecuaciones entre sí; (ii) multiplicar (o dividir) una ecuación por un número distinto de cero; (iii) sumar a una ecuación otra cualquiera previamente multiplicada por un número.

Es fácil advertir que las “operaciones elementales sobre las filas de una matriz”, que ya habíamos definido, no son otra cosa que el reflejo de las mencionadas operaciones con ecuaciones sobre matriz ampliada del sistema.

Ejemplo:

Sea el sistema

Si A.X =B es la expresión matricial de un sistema de n ecuaciones con n

incógnitas tal que det A ≠0

, entonces:

A det

A x₁= det ¹ ;

A det

A x₂ = det ² ;

A det

A

x₃ = det ³ . . .

A det

A x_n = det ⁿ

donde A_j ( j=1, 2, ….n)es la matriz que se obtiene de A, reemplazando su columna j por la columna de los términos independientes







= + +

= +

3 3

2 1

2 3

2 1

1 3

2 1

F 3 x

x x

F 0 x 4 x 3 x

F 4 x x 2 x

- -

-

(6)

Donde F_j indica la fila j = 1, 2, 3. Vamos a usar x₁de F₁ para eliminar x₁de F₂ para lo cual sustituimos F₂ por −F₁+F₂, y luego hacemos lo mismo con F₁ y F₃ , resultando

→^F²^→^{− +}^{F F}¹ ² →^F³^→^{− +}^F¹ ^F³

Ahora a F₃ le sumamos F₂ y se obtiene

→^F³^→^F²⁺^F³

Se obtiene así un sistema escalonado y el último sistema, equivalente al original, se resuelve fácilmente de abajo hacia arriba obteniéndose sucesivamente, x₃=11 , x₂=29 y

43

x₁=− . Observe que es la única solución, por lo que este último sistema, y por ende el original, son compatibles determinados.

Por razones obvias el método se llama de triangulación (o de Gauss). Como las operaciones se hacen sobre los coeficientes (las x están de adorno), puede simplificarse el algoritmo usando sólo los coeficientes (el espectro del sistema).

Observe que las operaciones entre ecuaciones enumeradas al principio, se corresponden con las operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Aquí trabajaremos sobre la matriz de orden 3x4 que se obtiene agregándole a la matriz de los coeficientes como última columna la de los términos independientes.

3 0 4 1 1 1

4 3 1

1 2 1

 −







−

→

3 4 4 1 1 1

3 1 0

1 2 1

−

 −







−

→

7 4 4 2 1 0

3 1 0

1 2 1

−

 −







−

→

11 4 4 1 0 0

3 1 0

1 2 1

−

 −







−

F₂→F₂−F₁ F₃ →F₃−F₁ F₃→F₃−F₂

Durante el proceso de triangulación puede suceder que una o más filas se reduzcan a ceros; en esos casos desaparecen las ecuaciones correspondientes, de manera que si el sistema original tiene “m” ecuaciones, la cantidad que tiene el sistema triangulado es r≤m. Por otra parte, si el sistema original tiene “n” incógnitas, el triangulado también, pues las columnas no desaparecen. Obsérvese, además, que si en el sistema triangulado, la enésima ecuación tiene el coeficiente de la última columna no nulo, los coeficientes de las restantes ecuaciones, si las hubiera, pueden anularse (salvo, eventualmente, las del término independiente). De modo que también r≤ n.

La idea es llevar el sistema a la forma







−

= + +

=

− +

=

− +

3 x x x

0 x 4 x 3 x

4 x x 2 x

3 2 1







−

= + +

−

=

−

=

− +

3 x x x

4 x 3 x

4 x x 2 x

3 2 1

3 2

3 2 1







−

= +

−

=

−

=

− +

−x 2x 7

4 x 3 x

4 x x 2 x

3 2

3 2 1







−

= +

−

=

−

=

− +

−x 2x 7

4 x 3 x

4 x x 2 x

3 2

3 2 1







−

=

−

=

−

=

− +

−x 11 4 x 3 x

4 x x 2 x

3 3 2

3 2 1

(7)















= +

+

=

= +

+ + + +

= +

+ +

+

r n rn r

rr

2 n n 2 r

r 2 3

23 2 22

1 n n 1 r

r 1 3

13 2 12 1 11

' b x ' a ...

x ' a

....

...

' b x ' a ...

x ' a ...

x ' a x ' a

' b x ' a ...

x ' a ...

x ' a x ' a x ' a

donde r≤n, r≤m(como dijimos) y a'_jj≠0para 1≤j≤r^. Durante la triangulación pueden ocurrir dos accidentes:

• puede suceder que se anulen todos los coeficientes de una ecuación incluidos los términos independientes lo que significa que dicha ecuación es combinación de las anteriores y no aporta más información de la que ya se tenía, por lo que simplemente se la ignora (y el sistema tiene una ecuación menos);

• o bien que se anulen todos los coeficientes de las incógnitas pero no el término independiente respectivo, en cuyo caso el sistema es incompatible, no tiene soluciones.

Si r=n el sistema es determinado y puede resolverse fácilmente de abajo hacia arriba como vimos en el ejemplo anterior.

Si r<n las “r” primeras incógnitas pueden resolverse en función de las n−r últimas; el sistema es indeterminado y si bien no es posible dar una lista de sus (infinitas) soluciones, éstas quedan expresadas, como dijimos, en función de las últimas que juegan el papel de parámetros.

En tal caso, diremos que el sistema tiene n−r grados de libertad, ya que es la cantidad de incógnitas a las que podemos dar valores arbitrarios.

Digamos que el número de grados de libertad de un sistema es la diferencia entre la cantidad de incógnitas y la de ecuaciones independientes.

Es claro que el número

r

del párrafo anterior es el rango de la matriz A, rg(A), ya que es el número de filas no nulas luego de triangular la matriz A , que se corresponde con el número de ecuaciones independientes del sistema

Observe que el rango de la matriz no depende de los términos independientes sino tan sólo de sus coeficientes. Los términos independientes sólo influyen en la compatibilidad del sistema.

Si un sistema es compatible, una vez triangulado queda en la forma

r 3 2 1

rn rr

n r 2

2 22

n 1 r

1 12

11

b b b b

a a

0 0

a a

a 0

a a

K K

K

K K

K

K O

K K

y si es incompatible, toma el aspecto (al menos las r +1 primeras filas)

(8)

0 b 0 0

0 0

b b b b

a a

0 0

a a

a 0

a a

1 r r 3 2 1

rn rr

n r 2

2 22

n 1 r

1 12

11

+ ≠ K

K

K K

K

K K

K

K O

K K

siendo, en ambos casos, a_jj≠0 1≤j≤r.

En consecuencia: si a la matriz A (de orden m x n ) le agregamos la columna de términos independientes obtenemos una matriz que se denomina matriz ampliada y simbolizamos

) b a (

´

A = _ij _i de m x (n+1). Obviamente, rg(A)≤rg(A´) y el sistema es compatible si, y sólo si rg(A) = rg(A´). Estas reflexiones se formalizan en el enunciado del siguiente

6. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS (Teorema de compatibilidad)

Se cumplen, además, las siguientes equivalencias:

• rg(A)=rg(A´)=n, si y sólo si el sistema es compatible determinado

• rg(A)=rg(A´)<n, si y sólo si el sistema compatible indeterminado, con n-rg(A) grados de libertad

Del teorema se sigue que, rg(A) ≠ rg(A´) si y sólo si el sistema es incompatible.

Ejemplos Sean los sistemas:







= +

−

= +

− + =

−

4 x 4 x 2 x 3

0 x 3 x x 2

4 x x x ) i (

3 2 1

y







= +

−

= +

− + =

−

5 x 4 x 2 x 3

0 x 3 x x 2

4 x x x ) ii (

3 2 1

y consideremos (i), donde puede observarse que la tercera ecuación es suma de las dos primeras por lo que está de más. Si no se advierte, no es grave: al triangular (como se ve a continuación) llega un momento en que las dos últimas líneas son iguales y en la siguiente etapa

) F F

(− ₂+ ₃ la última se anula.

4 0 4 4 2 3

3 1 2

1 1 1







−



 →

^F²^→⁻²^F¹⁺^F²

4 8 4 4 2 3

1 1 0

1 1 1

 −







−



 →

^F³^→⁻³^F¹⁺^F³

8 8 4 1 1 0

1 1 0

1 1 1

−

 −





 −



 →

^F³^→⁻^F²⁺^F³ Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas de la forma A.X=B es compatible si y sólo si el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada rg(A)=rg(A´).

(9)

0 8 4 0 0 0

1 1 0

1 1 1

 −





 −

. Al rearmar el sistema se obtiene





−

= +

−

8 x x

4 x x x

3 2

3 2 1

El sistema (i)es equivalente al último, que es indeterminado ya que hay más incógnitas que ecuaciones independientes y tiene 1 grado de libertad. Si a x₃ le damos un valor arbitrario, digamos x3 =α podemos resolver el sistema en función de α: de la segunda ecuación se obtiene

α

−

= 8

x₂ , y sustituyendo en la primera se obtiene x₁=−4−2α, por lo que la solución general del sistema está dada por el esquema:

α

−

= 4 2

x₁ ; x₂=−8−α ; x3 =α

y para cada valor concreto que se dé a α, se obtiene una solución particular del mismo. Por ejemplo, si α=0 se tiene x₁ =−4;x₂ =−8; x₃ =0como se puede comprobar reemplazando estos valores en el sistema original .

El conjunto solución es ^S⁼

{

⁽^x¹^;^x²^;^x³⁾^/^x¹ ⁼^-⁴^-²^α^; ^x² ⁼^-⁸^-^α^; ^x³ ⁼^α^; ^α^∈^R

}

O bien ^S⁼

{

⁽⁻⁴⁻²^α^,⁻⁸⁻^α^,^α⁾^/^α^∈^R

}

que es otra manera usual de expresar la solución general Nota: Insistimos que antes de contestar a la pregunta ¿cuántos grados de libertad tiene este sistema? hay que depurarlo, quitando las ecuaciones que pudieran estar de más, mediante la triangulación.

Vamos ahora al sistema (ii). Los primeros miembros de las ecuaciones son iguales a los de (i) y lo mismo pasa con los términos independientes excepto el correspondiente a la tercera ecuación.

Es decir, el primer miembro de la tercera ecuación es suma de los de las dos anteriores, pero su término independiente no tiene el mismo parentesco con los dos anteriores. Esto conduce a que el sistema sea incompatible, como puede verse en la triangulación que ahora toma el siguiente aspecto:

5 0 4 4 2 3

3 1 2

1 1 1







−



 →

^F²⁻²^F¹⁺^F²

5 8 4 4 2 3

3 1 0

1 1 1

 −







−



 →

^F³⁻³^F¹⁺^F³

7 8 4 1 1 0

1 1 0

1 1 1

−

 −





 −



 →

^F³⁻^F²⁺^F³

1 8 4 0 0 0

1 1 0

1 1 1

 −





 −

y acá termina el proceso, ya que la última ecuación es incompatible y, por lo tanto el sistema es incompatible ya que rg (A) = 2 ≠ 3 = rg (A ´). El conjunto solución es S=Ø

(10)

7. MÉTODO DE GAUSS – JORDAN (DOBLE TRIANGULACIÓN)

El método de triangulación puede refinarse continuando con una triangulación de abajo hacia arriba. Como veremos, este refinamiento nos será útil más adelante con un sistema compatible determinado (por lo tanto, cuadrado), así que es el único caso que trataremos, aunque puede extenderse al caso general. Tomemos el ejemplo de la página 6 donde se había llegado a







−

=

−

=

−− = +

11 x

4 x 3 x

4 x x 2 x

3 3 2

3 2 1

cuyo espectro es

11 4 4 1 0 0

3 1 0

1 2 1

−

 −







−

Si triangulamos hacia arriba con la secuencia F₂ →−3F₃+F₂;F₁ →−F₃ +F₁;F₁→−2F₃+F₁:

11 4 4 1 0 0

3 1 0

1 2 1

−

 −







−

→

11 29 4 1 0 0

0 1 0

1 2 1

 −







−

→

11 29 15 1 0 0

0 1 0

0 2 1

 −







−

→

11 29 43 1 0 0

0 1 0

0 0 1

−







−

Y si multiplicamos la última línea por -1 (F₁ (-1).F₁), llegamos a la matriz

11 29 43 1 0 0

0 1 0

0 0

1 −







que representa al sistema







=

==− 11 x

29 x

43 x

3 2 1

que está directamente resuelto. La moraleja es que, por la doble triangulación, llegamos al esquema que damos en la página siguiente, donde se ve claramente que los términos independientes se transforman en la (única) solución del sistema.

Como las operaciones para triangular solo dependen de la matriz del sistema y no de los términos independientes que sólo sufren las consecuencias, si se tienen varios sistemas con la misma matriz y distintos términos independientes, es posible disponerlos en un bloque para su resolución simultánea.

















n 2 1

nn 2

n 1 n

n 2 22

21

n 1 12

11

b ...

b b

a ...

a a

...

a ...

a a

a ...

a a

→

















n 2 1

c ...

c c

1 ...

0 0

...

0 ...

1 0

0 ...

0 1

Por ejemplo, supongamos que la matriz común de los sistemas es A=(a_ij)y los respectivos términos independientes son b,b',b'',de la disposición original se obtiene la forma triangulada;

esquemáticamente

' ' b

' b

b b b

a a

a

a a

a

a a

a

n 2 1

nn 2

n 1 n

n 2 22

21

n 1 12

11

M M M K

K K K K

K K

→

' ' c

' c

c c c

1 0

0

0 1

0

0 0

1

n 2 1

M M M K

K K K K

K K

donde c,c',c''son las soluciones de los respectivos sistemas. Por ejemplo, sean los sistemas

(11)

que sólo difieren en los términos independientes. A continuación damos el esquema original y el final proponiendo al lector los detalles del pasaje de uno al otro

0 2 1

3 2 1

3 0 4

1 1 1

4 3 1

1 2 1

−

→

0 1 1

1 0 2

11 29 43

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−

de manera que x₁ =−43;x₂ =29; x₃ =11 es solución de (i), x₁=2;x₂=0; x₃=1 lo es de (ii) y 1

x₁= ;x₂=−1; x₃=0 de (iii). De modo que:

( )

{

⁴³^,²⁹^,¹¹

}

S₁ = ; ^S2=

{ (

²^,⁰^,¹

) }

; ^S3 =

{ (

¹^,¹^,⁰

) }

8. SISTEMAS HOMOGÉNEOS

Hemos clasificado los sistemas como determinados, indeterminados e incompatibles según la cantidad de soluciones.

Otra clasificación importante se basa en los términos independientes: diremos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos sus términos independientes son nulos y en caso contrario (esto es, al menos un término independiente distinto de cero) no homogéneo.

Para estos sistemas valen las generales de la ley, esto es, se manejan de la misma manera. La única novedad es que

Luego,

Para un sistema homogéneo de orden n podemos decir que es determinado si, y sólo si el rango r de su matriz verifica r = n.

Resulta la siguiente e importante consecuencia:

Un sistema homogéneo que tiene más incógnitas que ecuaciones, siempre es indeterminado.







−

= + +

=

− +

=

− +

3 x x x

0 x 4 x 3 x

4 x x 2 x ) i (

3 2 1







= + +

−

=

− +

=

− +

3 x

x x

2 x

4 x 3 x

1 x

x 2 x ) ii (

3 2 1







= + +

−

=

− +

−

=

− +

0 x

x x

2 x

4 x 3 x

1 x

x 2 x ) iii (

3 2 1

Un sistema homogéneo nunca es incompatible pues siempre admite la solución nula o trivial x₁=x₂=K=x_n=0.

(12)

9. CASO PARTICULAR DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO DE “n” ECUACIONES CON

“n” INCÓGNITAS

Sea el sistema homogéneo de igual número de ecuaciones que incógnitas:















= + + +

0 x a ...

x a x a

...

0 x a ...

x a x a

0 x a ...

x a x a

n nn 2

2 m 1 1 n

n n 2 2

22 1 21

n n 1 2

12 1 11

Por ser homogéneo nunca es incompatible; luego, el análisis de este sistema se limita a determinar si tiene una sola solución o si tiene infinitas soluciones.

Su expresión matricial es A.X = 0

Como la matriz A de los coeficientes es cuadrada, el mismo tiene solución única (solución trivial) si y sólo si A es inversible, es decir, det A≠0.

Ya que para despejar X debe existir A^-1

A^-1 . A . X = A^-1 . 0, de donde se sigue X = 0 (solución trivial)

Es claro que, en el caso contrario, es decir cuando det A=0, el sistema es compatible indeterminado (tiene soluciones no triviales).

Dado que los sistemas homogéneos nunca son incompatibles y la solución trivial la poseen todos, lo único que interesa en estos sistemas es averiguar si tienen o no infinitas soluciones. Luego, es importante registrar la siguiente conclusión:

Ejemplo Hallar los valores de “k” para que el sistema homogéneo siguiente tenga soluciones no triviales







= + +

−

= +

=

− +

−

0 x x 2 x

0 x 3 x 2 x 5

0 x 4 kx x

3 2 1

Para que tenga soluciones no triviales, deberá ser

det

















−

1 2 1

3 2 5

4 k 1

=0 ⇒2+3k-40-8+6-5k=0 ⇒ -2k=40 ⇒k=-20

Un sistema homogéneo A.X=0, de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene soluciones no triviales sii det A=0