<£˛˛ mn0,Nn,Nm   nm + 1nm   !0!.m!mmm nm - nmm   == ;1!m.!0!m0m =  nm -= )!nm(!n!mnm  ˛ Nn,m

Texto completo

(1)

Teoría de Combinatoria Página 1

TEORÍA DE COMBINATORIA

NÚMEROS COMBINATORIOS . BINOMIO DE NEWTON





 n

m se lee “m sobre n” “m” se llama numerador y determina el orden

“n” se llama denominador.

Ejemplos:

! 3 .

! 2

! 5 2 5=



=10 5

! 4 .

! 1

! 5 1

5= =



1

! 5 .

! 0

! 5 0

5= =



Obsérvese que sólo hay seis números combinatorios de orden 5:





 0

5 ; 



 1

5 ; 



 2

5 ; 



 3

5 ; 



 4

5 ; 



 5 5

Y en general, hay “m+1” números combinatorios de orden “m”.

Por otra parte: 1 ;

! m .

! 0

! m 0

m = =



! 0

!.

m

! m m

m=



=1 ; 1

! 0 .

! 0

! 0 0

0= =



Observación 1: los números combinatorios 



 n

m y 



−n m

m que tienen

igual

numerador y denominadores cuya suma es igual al numerador, se dicen complementarios.

Ejemplo: 



 2

5 y 



 3

5 son complementarios

Observación 2: si los números combinatorios 



 n

m y 



 +1 n

m ,que tienen

igual orden y denominadores sucesivos, están ambos definidos, se llaman números combinatorios sucesivos. Para que estos dos números combinatorios estén simultáneamente definidos deberá ser:

m∈N, n∈N0 ,0≤n<m

Definición: sean m,n∈N0 y tales que m≥n. Se llama número combinatorio al número

)!

n m (

! n

! m n

m

= −





(2)

Teoría de Combinatoria Página 2

Por ejemplo, 



 3

5 y 



 4

5 son números combinatorios sucesivos .

Propiedades de los números combinatorios 1. Los números combinatorios complementarios son iguales.

En símbolos: 



 n

m = 



−n m

m

Demostración Por definición :

)!

n m (

! n

! m n

m

= −





(1)

y también por definición:

[

m (m n)

]

! (m n)!.(mm! m n)! (m mn!)! n!

)!

n m (

! m n

m m

= − +

= −

= −





(2)

De (1) y (2) se sigue que 

 

 n

m = 

 

−n m

m

A modo de ejemplo se toman los combinatorios de numerador 5 ordenados en forma creciente por sus denominadores:





 0

5 ; 



 1

5 ; 



 2

5 ; 



 3

5 ; 



 4

5 ; 



 5 5

Se observa que el primero y el último son complementarios y por lo tanto iguales.

Lo mismo sucede con el segundo y el anteúltimo, y también con los dos centrales:





 0

5 = 



 5

5 =1 



 1

5 = 



 4

5 =5 



 2

5 = 



 3 5 =10

Luego, los valores correspondientes a los combinatorios dados, son, ordenadamente:

1 5 10 10 5 1

Es evidente la simetría de los valores equidistantes de los extremos.

2. Los números combinatorios sucesivos cumplen la siguiente propiedad :



 

 n

m + 

 

 +1 n

m = 



 +

+ 1 n

1

m , para todo m∈N, n∈N0 ,0≤n<m

(analice el lector porqué se pide que 0≤n<m )

(3)

Teoría de Combinatoria Página 3

Demostración: por definición





 n

m + 



 +1 n

m =

[

+

]

= + + + =

+ +

− (n 1)!.(m n)!

! m ).

n m (

! m ).

1 n (

! ) 1 n ( m . )!

1 n (

! m )!

n m ( .

! n

!

m

m-n-1





 +

= +

− +

= +

− +

= +

− +

− +

= +

1 n

1 m )!

n m ( . )!

1 n (

)!

1 m ( )!

n m .(

)!

1 n (

! m . ) 1 m ( )!

n m ( . )!

1 n (

! m . ) n m 1 n (

Puede verse como partiendo del primer miembro de la igualdad se llegó al segundo, usando las definiciones de número combinatorio y de factorial, y efectuando la suma. Para obtener el denominador común en esta suma se debe tener en cuenta que:

(n + 1)! = (n + 1) n! ( (n + 1)! es múltiplo de n! ) y que :

(m - n)! = (m - n) (m – n – 1)! ( (m - n)! es múltiplo de (m – n – 1)! ) Luego, el menor denominador común es ( n + 1)! (m – n )!

Ejemplo: 



 3

5 + 



 4

5 = 



 4

6 (comprobarlo)

Nota: lo demostrado para dos números combinatorios sucesivos, en cuanto a que su suma es igual a otro número combinatorio, no se cumple, en general, para la suma de dos números combinatorios cualquiera (verificarlo).

3. Todo número combinatorio es un número natural.

En símbolos: N n m∈



, para todo m,n∈N0 y 0≤n≤m

Demostración:

En principio y en virtud de la definición, si el denominador es 0, se tiene que 1 N y

0

0= ∈



que 1 N

0

m = ∈



, para todo m∈N .

Resta demostrar que N n m∈



, para todo m ,n ∈N y 1≤n≤m, que se

hará por inducción sobre el orden ”m” .

i) Si m=1, como 1≤n≤m, es n=1 y = ∈N



 1

1

1

ii) Supongamos que N n k∈



, para 1≤n≤k ( hipótesis inductiva); se deberá

(4)

Teoría de Combinatoria Página 4

probar que N n

1 k ∈



 +

, para 1≤n≤k+1 ( tesis inductiva).

Para ello se puede expresar 



 +

n 1

k como suma de dos combinatorios sucesivos.

Así, y para 1≤n≤k, se tiene: 

 +





= −





 +

n k 1 n

k n

1

k , donde 0≤n−1≤k−1

Los dos combinatorios del segundo miembro son números naturales. En efecto,

N

n k∈



por la hipótesis inductiva; y N 1 n

k ∈



por i), cuando n-1=0, y por la hipótesis inductiva si 1≤n−1≤k; además, si n=k+1 , 1 N

1 k

1

k = ∈



 + +

Luego, ha quedado demostrado que N n m∈



, para todo m,n∈N0 y 0≤n≤m

Triángulo de Tartaglia

Las propiedades de los números combinatorios quedan plasmadas en un esquema con forma triangular, denominado Triángulo de Tartaglia ( o de Pascal). En él se colocan los números combinatorios de órdenes y denominadores sucesivos, como sigue:





 0 0





 0

1 



 1 1





 0

2 



 1

2 



 2 2





 0

3 



 1

3 



 2

3 



 3 3





 0

4 



 1

4 



 2

4 



 3

4 



 4 4





 0

5 



 1

5 



 2

5 



 3

5 



 4

5 



 5 5

. . .

Los números aparecen ordenados en forma creciente por el orden (numerador), de arriba hacia abajo; y también ordenados en forma creciente por el denominador, de izquierda a derecha; de modo que, en cada renglón, están la totalidad de los números de igual orden. Si se reemplaza cada número del triángulo por su valor, se obtiene:

(5)

Teoría de Combinatoria Página 5

1

1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . . .

Como puede verse, este triángulo es “infinito” hacia abajo y tiene una serie de particularidades:

Desde el punto de vista “geométrico” podríamos decir que es un triángulo

“equilátero” (sus tres lados tienen igual cantidad de números)

Los lados laterales están constituidos por unos ¿por qué?

Tiene un “eje de simetría” (trazado en línea punteada), ya que los números de cada línea ubicados a igual distancia del eje son iguales ¿por qué?

Cada elemento no perteneciente a los lados laterales es igual a la suma de los dos que tiene arriba, como lo muestran las flechas ¿por qué?

La suma de los números de cada renglón es igual a 2m, si “m” es el orden que corresponde al mismo ( la justificación de esta propiedad se verá luego)

Las propiedades mencionadas permiten construir este cuadro de números, aún sin conocer los números combinatorios; basta con comenzar con el 1 del primer renglón, colocar los dos unos del segundo renglón y luego, escribir los sucesivos renglones, poniendo un 1 en cada extremo y poniendo en los lugares restantes la suma de los dos que están arriba.

Potencias de un binomio- Fórmula del Binomio de Newton

La importancia de este triángulo es de orden práctico, ya que los números combinatorios (también llamados coeficientes binomiales) están directamente relacionados con los desarrollos correspondientes a las potencias de exponente entero no negativo de un binomio.

Si se observan los desarrollos de (a+b)n, para nN0 :

1 ) b a

( + 0 = , si a,b0 b

a ) b a

( + 1 = +

2 2

2 a 2ab b

) b a

( + = + +

3 2 2

3

3 a 3a b 3ab b

) b a

( + = + + +

. . .

(6)

Teoría de Combinatoria Página 6

La relación mencionada se evidencia en el siguiente cuadro:

n (a+b)n coeficientes

0 (a+b)0 =1 1

1 (a+b)1 =a+b 1 1 2 (a+b)2 =a2+2ab+b2 1 2 1 3 (a+b)3 =a3 +3a2b+3ab2 +b3 1 3 3 1

Si se observa el cuadro puede verse que los desarrollos se han ordenado por las potencias decrecientes de “a”, y que los coeficientes de cada uno de ellos corresponden a un renglón del triángulo, justamente al que contiene a los combinatorios cuyo orden es igual al exponente del binomio.

Hay fuertes razones para “sospechar” que esta relación se cumple también para exponentes naturales superiores a 3. Por ejemplo, que los coeficientes de (a+b)4 son

1 4 6 4 1 (combinatorios de orden 4) y que el desarrollo de (a+b)4es:

3 3 2

2 3

4

4 a 4a b 6a b 4ab b

) b a

( + = + + + +

expresión cuya validez puede comprobarse, por otra parte, efectuando

2 2.(a b) )

b a

( + + ; es claro, además, que puede escribirse así:

3 3

2 2 3

4

4 b

4 ab 4 3 b 4 2 a b 4 1 a a 4 0 ) 4 b a

( 

 

 +



 

 +



 

 +



 

 +



 

= +

La observación cuidadosa de la misma permite aventurar una fórmula para exponente “n” natural:

n 1

n 1 2

2 n 1

1 n 0

n

n b

n b n

1 a n ... n b

2 a b n 1 a

b n 0 a ) n b a

( 

 +





 + −

 +

 +



 +





=

+

que puede escribirse usando el símbolo

:

conocida como Fórmula del Binomio de Newton

Pero, por ahora, esto no es más que una “conjetura”; para demostrar que esta fórmula es válida para todo nN deberá utilizarse el Método de Inducción Completa

n i i

n

0 i

n a b

i ) n

b a

(

= 



= 

+

(7)

Teoría de Combinatoria Página 7

Demostración: P(1)

i) Se debe demostrar que (a+b)1 = 1 0 a0b1 1 b 1 . 0 a

1 

 +





es verdadera.

En efecto, (a+b)1 =a+b y a b a b 1

b 1 . 0 a

1 1 0 0 1

+

 =

 

 +



 

Luego, P(1) es verdadera

ii) Se debe demostrar que :

 ⇒



= 

+

=k k i i 0

i

k a b

i ) k

b a

( k 1 i i

1 k

0 i 1

k a b

i 1 ) k

b a

( +

+

=

+ 



 +

=

+

P(k) P(k+1) En efecto,

= + +

=

+b) + (a b) .(a b) a

( k 1 k k i i

k

0 i

b i a k

= 

 

 .(a+b)=

k 1

k 1 2

2 k 1

1 k 0

k b

k b k

1 a k ... k b

2 a b k 1 a b k 0 a

k 

 +





 + −

 +

 +



 +





. (a+b)=

=  +

 +





 + −

 +

 +



 +





k+1 0 k 1 k1 2 2 k1 k

k ab b k

1 a k ... k b

2 a b k 1 a b k 0 a

k

+ k 1 k 1 2 k 2 3 1 k bk 1

k b k 1 a k ... k b

2 a b k 1 a b k 0 a

k +



 +





 + −

 +

 +



 +





=

Observando este desarrollo se puede ver que, salvo el primer y último término, todos los restantes pueden “reducirse” de a dos. Se obtiene así:

= ak 1b0 0

k +





+ 

 +





1 k 0

k akb1 + 

 +





2 k 1

k ak1b2 + 

 +





3 k 2

k k 2 3

b

a + . . . . +

+ 

 +





− k

k 1 k

k a bk + bk 1 k

k +





=

(8)

Teoría de Combinatoria Página 8

Cada suma entre corchetes es la suma de dos combinatorios consecutivos y además:

0 1 1 k 0

k =



 +

=



y 1

1 k

1 k k

k =



 +

= +





; luego, el desarrollo puede escribirse:

= k 1 0 k 1 k 1 2 1 k bk 1

1 k

1 b k

k a 1 ... k

b 2 a

1 b k

1 a 1 b k

0 a 1

k + +





 + + +





 +

+

 +



 +

 +



 +

 +



 +

=

= k 1 i i

1 k

0 i

b i a

1

k +

+

= 



 +

Puede observarse que, partiendo del primer miembro de la tesis y usando la hipótesis y varias propiedades, se ha llegado al segundo miembro; luego, se ha demostrado que la fórmula vale para todo exponente natural. Las siguientes observaciones son de ayuda en la práctica:

1. El desarrollo consta de “n+1” términos

2. Las potencias de “a” decrecen de “n” a 0, a medida que las de “b” crecen de 0 a

“n” (ordenado en forma decreciente según las potencias de “a”) 3. Los coeficientes son, ordenadamente 

 

 0

n 

 

 1

n 

 

 2

n . . . 

 

−1 n

n 

 

 n n

4. La suma de las potencias de “a” y “b” en cada término es igual a “n”.

Ejemplo 1: Obtener el desarrollo de (a+2b)4

Las potencias de “a” decrecen de 4 a 0 y las de “2b” crecen de 0 a 4; y los coeficientes son, ordenadamente 



 0

4 



 1

4 



 2

4 



 3

4 



 4

4 . Luego, (a+2b)4=

= 



 0

4 a4(2b)0 + 



 1

4 a3(2b)1 + 



 2

4 a2(2b)2 + 



 3

4 a1(2b)3 + 



 4

4 0 4

) b 2 (

a =

= a4 +8a3b+24a2b2 +32ab3 +16b4

Ejemplo 2: Obtener el desarrollo de (2x−y)5

Aquí se escribirá la resta en forma de suma; el desarrollo constará de seis términos y los coeficientes serán los combinatorios de orden 5 (ver sexto renglón del triángulo)

[ ]

5 4 3

2 2

3 4

5 5

0 4

1

3 2 2

3 1

4 0

5 5 5

y xy 10 y x 40 y x 80 y x 80 x 32 ) y ( ) x 2 .(

1 ) y ( ) x 2 ( 5

) y ( ) x 2 ( 10 ) y ( ) x 2 ( 10 ) y ( ) x 2 .(

5 ) y ( ) x 2 .(

1 ) y ( x 2 ) y x 2 (

− +

− +

=

− +

− +

+

− +

− +

− +

=

− +

=

(9)

Teoría de Combinatoria Página 9

Es claro el motivo por el que, en el desarrollo de la potencia de una resta los signos de los términos son, alternadamente, positivos y negativos.

Ejemplo 3- Demostrar que 2n

n n 1 n ... n 2

n 1 n 0

n =

 +





 + −

+

 +



 +





Una forma sencilla es partir del segundo miembro, expresando 2=1+1, como sigue:

= +

= n

n (1 1)

2  =

 +





 + −

 +

 +



 +





n 0 n1 1 n2 2 1 n1 0 n

1 . n 1 1 n

. 1 1 n ... n 1

. 2 1 1 n . 1 1 1 n . 0 1 n



 +





 + −

+

 +



 +





=

n n 1 n ... n 2

n 1 n 0

n c.q.d.

Conjeture acerca del valor de

= 



− 

n

0 i

i

i ) n 1

( y demuestre su conjetura.

Fórmula del término que ocupa el lugar “k+1”

¿Porqué el lugar “k+1” y no “k”? Simplemente porque la expresión es más sencilla para recordar. Esta fórmula se obtiene con sólo analizar la fórmula general:

n 1

n 1 2

2 n 1

1 n 0

n

n b

n b n

1 a n ... n b

2 a b n 1 a b n 0 a ) n b a

( 

 +





 + −

 +

 +



 +





=

+

1º 2º 3º nº (n+1)º De la que se deduce que el término que ocupe el lugar “k+1” será an kbk

k n





.Se

escribirá:

, con n∈N,k∈N0 ,0≤k≤n

Observación: esta fórmula es válida siempre que el desarrollo se escriba ordenado por potencias decrecientes de “a”, tal como figura arriba.

Ejemplo 3:

a) hallar el sexto término del desarrollo de (2x+x2)10, ordenado por potencias decrecientes de “x”

6 (2x)5.(x 2)5 8064x 5 5

T 10 =

 

=

b) hallar el cuarto término del desarrollo de (2x+x2)10, ordenado por potencias crecientes de “x”

Para hallar el desarrollo en forma creciente bastará con escribir el binomio permutando sus términos:

k k n 1

k a b

k T+ n



=

(10)

Teoría de Combinatoria Página 10

(2x+x2)10= (x2 +2x)10 Y luego calcular el cuarto término de este último:

4 (x 2)7.(2x)3 960x 11 3

T 10 =



=

COMBINATORIA

Una gran cantidad de problemas prácticos requiere contar la cantidad de maneras diferentes en que pueden ocurrir ciertos sucesos. Por ejemplo, ¿de cuántas formas diferentes pueden ordenarse diez libros en un estante de una biblioteca? ¿cuántas ternas diferentes de profesores pueden seleccionarse entre ocho docentes? ¿cuántos automóviles pueden patentarse en nuestro país, si se mantiene el esquema vigente? (tres letras seguidas de tres dígitos, pudiendo repetirse cualquiera de ellos). Estos y otros muchos problemas se resuelven en el ámbito de la Combinatoria, que brinda herramientas que permiten “contar” sistemáticamente todas las posibilidades, sin necesidad de

“enumerar” (hacer un listado de las mismas)

Antes de entrar en el tema propiamente dicho, conviene rever algunos conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos y hacer algunos comentarios sobre principios básicos de conteo .

Operaciones con conjuntos. Definiciones

Recordamos a continuación algunos conceptos de la Teoría de Conjuntos, que provee al Álgebra (y a la Matemática en general) de un lenguaje propio. En especial recordamos la definición de las operaciones entre conjuntos y la relación de inclusión.

Operaciones con conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Complemento

Producto cartesiano

Relación de inclusión: se dice que A es un subconjunto de B, o que A está incluido en B, y se escribe si para todo x se cumple la implicación

La definición de unión nos dice que para que un elemento pertenezca a A∪Bbasta con que pertenezca a A, o bien a B.

La definición de intersección nos dice que para que un elemento pertenezca a B

A∩ debe pertenecer simultáneamente a A y a B.

La definición de diferencia entre A y B nos dice que para que un elemento pertenezca a A−Bdebe pertenecer a A, pero no a B.

} {

x/x A x B

B

A∪ = ∈ ∨ ∈

} {

x/x A x B

B

A∩ = ∈ ∧ ∈

} {

x/x A x B

B

A− = ∈ ∧ ∉

} {

x/x x A

A= ∈µ∧ ∉

} B b A a / ) b

; a {(

B x

A = ∈ ∧ ∈

B

A⊂ x∈A⇒x∈B

(11)

Teoría de Combinatoria Página 11

En cuanto al “complemento de A”, obsérvese que no es otra cosa que µ−A

La definición de producto cartesiano entre A y B no necesita aclaración, pero explica el nombre R2que se da al plano cartesiano. En efecto,

R2= RxR= {(a;b)/a∈R∧b∈R}

Si A es un conjunto finito, indicaremos # (A) su cantidad de elementos ; por ejemplo, # () = 0 . Admitimos que si A B = , entonces # ( AB) = # (A)+# (B). De ahí que si B

A , entonces # (A-B) = # (A) - # (B). Es fácil ver también que , en el caso general vale que # (AB) = # (A) + # (B) - # (AB).

Por ejemplo , ¿Cuántos números hay entre 1 y 100 que sean múltiplos de 3 o de 7 ? . Si A el conjunto de los múltiplos de 3 y B el de los 7 . Entonces # (A) = [100/3] = 33 y # (B) = [100/7] = 14 . Pero # (A B) = [100/21] = 4 , es decir que hay cuatro números que son múltiplos comunes de 3 y de 7. El número pedido es, pues 33 + 14 - 4 = 43 .

Es claro que se ha restado cuatro, pues si no estaríamos contando dos veces los mútiplos comunes de 3 y de 7.

Nota : [x] se usa para representar “parte entera de x” ; luego, [100/3] significa parte entera de 100/3

Otra cuestión a tener en cuenta es la siguiente: si cada elección de un objeto de A se puede combinar con una cualquiera de B entonces la cantidad total de elecciones combinadas es #(A). #(B) = #(A x B). Esta última fórmula puede generalizarse fácilmente para más de dos conjuntos y se llama Principio multiplicativo.

Por ejemplo, al comprar un tipo de cuaderno me ofrecen tres colores de tapa:

azul, verde y colorado; además, dos tipos de hoja: rayada o cuadriculada ¿cuántas elecciones posibles tengo? Es claro que el número de elecciones combinadas es 6 =3.2.

En términos generales puede decirse que el “Análisis Combinatorio” o

“Combinatoria” se ocupa de calcular la cantidad de configuraciones que pueden obtenerse eligiendo ‘k’ entre los “n” elementos de un conjunto dado, con diferentes solicitaciones. Por ejemplo, habrá problemas que llamaremos con repetición (cuando los elementos pueden repetirse); y también problemas sin repetición , en caso contrario.

Habrá problemas en los que el orden de los elementos no interese y también problemas en los que el orden sí interese. Se comenzará con problemas sin repetición .

Problemas sin repetición (s/r)

En lo que sigue , suponemos que el conjunto X tiene “n” elementos distintos por ejemplo X = { 1,2,3, ... , n}, y que un mismo elemento no puede repetirse en una misma configuración . Si elegimos “k” elementos de X en esta situación , obviamente debe ser 0 < k n . Se distinguirán dos casos , según interese o no el orden en una configuración; esto es , si por ejemplo, las configuraciones (a,b,c) y (c,a,b) se consideran distintas o iguales . Según sea el caso , hablaremos de Variaciones o Combinaciones .

Variaciones (s/r)

De un conjunto de n objetos distintos, se arman configuraciones de ‘k’ de ellos sin repetirlos y donde interesa el orden que ocupan. Estas configuraciones se denominan

(12)

Teoría de Combinatoria Página 12

Variaciones (sin repetición). Su número lo indicaremos con Vn,k ; es claro que dos variaciones son distintas si difieren en sus elementos o en el orden entre estos. Por ejemplo, las variaciones de cuatro objetos {a,b,c,d} tomados de a tres son :

(a,b,c) (b,a,c) (c,a,b) (d,a,b) (a,b,d) (b,a,d) (c,a,d) (d,a,c) (a,c,b) (b,c,a) (c,b,a) (d,b,a) (a,c,d) (b,c,d) (c,b,d) (d,b,c) (a,d,b) (b,d,a) (c,d,a) (d,c,a) (a,d,c) (b,d,c) (c,d,b) (d,c,b) Obsérvese que (a,b,c) difiere de (a,d,b) en sus elementos; en cambio (a,b,c) difiere de (b,a,c) en el orden de colocación de los mismos. En total, son 24 variaciones.

Ahora bien ¿cómo estar seguros de haber enumerado todas las configuraciones posibles? Es necesario plantear métodos que lo aseguren.

Una manera de obtenerlas es mediante los llamados “diagramas de árbol”; la idea es, en este caso, pensar que cada configuración tiene tres lugares: para ocupar el primer lugar hay cuatro elementos (a, b, c, d) disponibles; elegido el que ocupa el primer lugar, y debido a que no pueden repetirse los elementos, los candidatos a ocupar el segundo lugar son cada uno de los tres restantes. Análogamente, elegidos los que ocupan el primer y segundo lugar, los candidatos a ocupar el tercer lugar son cada uno de los dos restantes.

Pero, ¿cómo contar las configuraciones que se generan? El siguiente cuadro y el diagrama de árbol correspondiente ayudarán:

1º lugar 2º lugar 3º lugar

a

b

c d c

b d d

b c

b

a

c d c

a d d

a c

c

a

b d b

a d d

a b

d

a

b c b

a c c

a b

Diagrama de árbol

c b d b a c d b d c c a d a b c d a d c b a d a c b d a d b b a c a d b c a c b

(13)

Teoría de Combinatoria Página 13

En la tabla se ve que el número de elementos disponibles para el primer lugar es 4, que para el segundo lugar quedan 3 y para el tercero sólo quedan 2. El principio multiplicativo nos permite contar el total de configuraciones: 4.3.2 = 24

Con la idea desarrollada en este ejemplo, vamos a calcular Vn,k de la siguiente manera : supongamos que tenemos ‘k’ lugares para ubicar los elementos. Para el primer lugar, se dispone de los “n” objetos, de modo que se tienen “n” posibilidades. Para el segundo, y dado que ya se usó uno para el primero, sólo se dispone de “n-1”objetos, de manera que los dos primeros lugares pueden llenarse de n(n-1) maneras distintas.

Para el tercer lugar se dispone de “n-2” objetos , y por lo tanto los tres primeros lugares pueden llenarse con n(n-1)(n-2) . Así siguiendo , al llegar al k - ésimo lugar , se dispone de n - (k-1) = n - k +1 objetos, de manera el número de posibilidades de ubicar los “n” objetos en los “k” lugares es:

A partir de esta fórmula, multiplicando y dividiendo por (n-k)! se obtiene:

Vn,k =

)!

(

! )!

(

)!

).(

1 )...(

2 )(

1 (

k n

n k

n

k n k n n

n n

= −

− +

, equivalente a la anterior. Luego:

( Obsérvese la conveniencia de definir 0! = 1 : la fórmula para Vn,k sigue siendo válida aún en el caso k = n )

Ejemplo 1- La clave secreta para la tarjeta de un banco consta de 4 dígitos y no puede tener números repetidos ¿cuántos claves posibles hay?

La resolución del problema puede abordarse de dos maneras:

1) Ya que hay que elegir cuatro entre los diez dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e interesa el orden en que se coloquen ( la clave 3547 no es igual a la clave 7543), es un caso de variaciones de diez dígitos, tomados de a cuatro (ver definición). Al aplicar la fórmula correspondiente:

5040

! 6

!.

6 . 7 . 8 . 9 . 10

! 6

! 10 )!

4 10 (

! 10

4 ,

10 = = =

= − V

2) Otra forma es evocar el “diagrama de árbol” y usar el ”principio multiplicativo”. Como la clave tiene cuatro lugares, para elegir el dígito que ocupe el primer lugar hay 10 posibilidades; como no puede haber números repetidos, para ocupar el segundo lugar hay nueve dígitos posibles; análogamente, hay ocho para el tercero y hay siete para el

Nº de lugar ...

Nºde elementos disponibles

n n-1 n-2 ... n-k+1

Vn,k = n (n-1) (n-2) ... (n-k+1)

( )!

!

, n k

Vnk n

= −

(14)

Teoría de Combinatoria Página 14

cuarto.

Nº de lugar

Nº dígitos disponibles 10 9 8 7 Luego, el número de claves posibles es 10.9.8.7=5040

Permutaciones (s/r)

Un caso particular importante es cuando k = n . Es decir, de los ‘n’ objetos deben elegirse ‘n’, y como no se pueden repetir , en cada configuración están todos; de modo que las configuraciones se diferencian sólo por el orden de los elementos, en otras palabras, lo único que puede hacerse es permutar los ‘n’ elementos entre sí ; de ahí el nombre de Permutaciones para esta situación.- Su número se indica Pn y es igual a

n

Vn, Luego:

Pn = n (n - 1) (n - 2) ... 2.1 = n! : Luego:

Ejemplo 2- De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 6 libros diferentes en un estante de una biblioteca?

Los seis deben libros integrar cada configuración y la única manera de diferenciarlas es por el orden; luego, se trata de un problema de permutaciones , en particular las permutaciones de seis elementos. Se aplica la fórmula:

P6 =6!=6.5.4.3.2.1=720

Es claro que este problema también puede hacerse usando el principio multiplicativo.

Combinaciones (s/r)

Vamos a estudiar ahora las configuraciones en las que, sin repetir los objetos, el orden no interesa : dos configuraciones son distintas sólo si difieren en algún elemento . Estas configuraciones se denominan combinaciones, y su número se indica por Cn,k . Por ejemplo, las combinaciones de los cuatro elementos {a,b,c,d} tomados de a tres son:

(a,b,c) (a,b,d) (a,c,d) (b,c,d)

Hay en total cuatro combinaciones ; C4,3 = 4 (compare con las variaciones) . Para calcular Cn,k , se usará un método diferente al que se usó para las variaciones: en lugar de hacer el conteo directo como se hizo en ese caso, se analizará la relación entre Cn,k y Vn,k . En los ejemplos sobre el conjunto {a,b,c,d} dados más arriba , se observa que para pasar de la lista de las variaciones a la de la combinaciones se han quitado varias por tener los mismos elementos. P. ej. en las variaciones figuran las configuraciones (a,b,c) , (a,c,b) , (b,a,c) , (b,c,a) , (c,a,b) y (c,b,a) , en cambio en las combinaciones, de todas éstas sólo aparece (a,b,c) . La razón es que las seis variaciones son permutaciones de la única combinación (a,b,c) . En este ejemplo, cada combinación produce 6 = 3! variaciones que se originan por permutación de sus 3 elementos. Luego la cantidad total de variaciones será la cantidad de combinaciones multiplicada por la cantidad de permutaciones que produce cada una de ellas ( P3 = 3!)

Pn = n!

(15)

Teoría de Combinatoria Página 15

en este ejemplo).

3 3 , 4 3 , 4 3 3 , 4 3 ,

4 .

P C V P C

V = ⇒ =

De la misma forma se resuelve el caso general. Si de un total de “n” objetos se extraen “k”, cada combinación produce Pk=k! variaciones, de manera que :

k k n k n k n k n

k P

C V V

C

P . , = ,, = , = 



=

= −

k n k n k

n k

k n

n

)!

(

!

!

! )!

(

!

; luego, la fórmula es:

con m,nN y mn.

Nota: obsérvese que, si bien la fórmula para calcular Cn,k y 



k

n es la misma, ambos

símbolos no pueden identificarse totalmente, ya que el dominio de variación de “n” y “k”

no es igual en ambos casos. En el primer caso su mínimo valor es 1, mientras que en el segundo es 0

Ejemplo 3- ¿Cuántas ternas de profesores se pueden elegir para conformar una mesa examinadora, si hay nueve docentes disponibles?

Aquí, el orden no interesa, sólo interesa qué profesores la integran. Luego, es un problema de combinaciones, en este caso, de nueve elementos tomados de a tres. Se aplica la fórmula:

C9,3= = 84

! 6 . 2 . 3

! 6 . 7 . 8 . 9

! 6

!.

3

! 9 )!

3 9 (

! 3

!

9 = = =

= −

En el cálculo de Combinaciones no se puede usar el principio multiplicativo.

Nota: en el abordaje de los problemas de Combinatoria, es importante su “encuadre”;

esto es, diferenciar si se trata de un problema de variaciones, de combinaciones o de permutaciones. Estos últimos son inconfundibles, ya que el total de elementos integran cada configuración; luego, habrá que diferenciar variaciones de combinaciones.

Formularse esta pregunta ayudará:

k=

Cn, 



=

k

n k n k

n )!

(

!

!

SI Variaciones

¿ Importa el orden?

NO Combinaciones

(16)

Teoría de Combinatoria Página 16

Nota: para contar variaciones y permutaciones es posible usar el principio multiplicativo;

para contar combinaciones, no.

Permutaciones “en círculo”: un caso particular

Si se comparan los siguientes dos problemas:

1. ¿de cuántas formas diferentes pueden ordenarse tres personas en una fila?

2. ¿de cuántas formas diferentes pueden ordenarse tres personas en torno a una mesa circular?

En el primero, hay seis formas, que son las permutaciones de tres elementos.

¿Vale lo mismo para el segundo? Obsérvese el esquema siguiente:

abc cab bca acb bac cba

En la parte superior están las respuestas del primer problema: sin duda son seis, diferentes entre sí. Debajo de cada una se ve el correspondiente ordenamiento, pero “en círculo” ¿son también seis diferentes?. Fácilmente se advierte que no, ya que , por ejemplo, las tres primeras son una sola. Para comprenderlo tómese un elemento, por ejemplo “a” y obsérvese qué elemento hay a su derecha (c) y qué elemento hay a su izquierda (b); hágase lo mismo en la segunda y en la tercera configuración y se verá que ocurre lo mismo. Algo similar sucede con las tres últimas: en cada una de ellas, a la derecha de “a” está “b” y a su izquierda está “c”.

Hay, por lo tanto, sólo dos permutaciones “en círculo”. Pero ¿cómo se pueden obtenerse a partir de las permutaciones “en línea”? Basta con dejar fijo un elemento cualquiera y permutar entre sí a los restantes; así las permutaciones “en círculo” de tres elementos resultará igual a las permutaciones “en línea” de dos elementos. Si llamamos

3

PC al número de las mismas se tendrá que PC3=2!. En el caso general:

Problemas con repetición (c/r)

Ahora se tiene un conjunto con “n” elementos distintos entre sí, y se desean armar configuraciones de “k” objetos donde es posible usar un mismo elemento más de una vez en una misma configuración , de modo que “k” puede llegar a ser mayor que “n”.

Distinguiremos también entre variaciones y combinaciones según atendamos al orden o no.

c

b a

b

a c

a

c b

b

c a

c

a b

a

b c

)!

1

( −

= n PCn

(17)

Teoría de Combinatoria Página 17

Variaciones (c/r)

Son las configuraciones de “k” objetos elegidos de un conjunto de “n”, en las que interesa el orden y los elementos pueden repetirse. Por ejemplo, para el conjunto {a,b,c,d} algunas de las variaciones c/r de los cuatro elementos, tomados de a tres son las siguientes (no se han escrito todas por ser muchas):

(a,a,a) (b,a,a) (c,a,a) (d,a,a) (a,a,b) (b,a,b) (c,a,b) (d,a,b) (a,a,c) (b,a,c) (c,a,c) (d,a,c) (a,a,d) (b,a,d) (c,a,d) (d,a,d) (a,b,a) (b,b,a) (c,b,d) (d,b,a)

etc...etc...etc.

Es importante destacar que ahora “k” puede ser menor, igual o mayor que “n”. Por ejemplo, las variaciones c/r de los dos elementos de {a,b} , tomadas de a tres son:

(a,a,a) (a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) (a,a,b) (a,b,a) (b,a,a) (b,b,b)

El número de variaciones (c/r) de “n” objetos tomados de a “k” se indica con V’n,k , y se calcula usando el mismo esquema que en las variaciones (s/r). La diferencia es que antes, en cada paso, la cantidad de elementos disponibles bajaba una unidad (al no poderlos repetir), cosa que ahora no ocurre: en cada paso se dispone siempre de los

‘n’.

resultando, pues, V’n,k = n.n.n...n = nk

Luego,

Ejemplo 4- La clave secreta para la tarjeta de un banco consta de 4 dígitos,

ninguno de ellos puede ser 0 , pero puede haber cifras repetidas.

¿cuántos claves posibles hay?

La resolución del problema puede abordarse de dos maneras:

1) Hay que elegir cuatro entre nueve dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , interesa el orden en que se coloquen y además se pueden repetir cifras; luego, es un caso de variaciones c/r de nueve dígitos, tomados de a cuatro (ver definición). Al aplicar la fórmula se obtiene:

V´9,4 =94 =6561

2) Otra forma es evocar el “diagrama de árbol” y usar el ”principio multiplicativo”.

Como la clave tiene cuatro lugares, para elegir el dígito que ocupe el primer lugar hay nueve posibilidades; como las cifra pueden repetirse, para ocupar el segundo

Nº de lugar ... Nº elementos

disponibles n n n ... n

V’n,k = nk

Figure

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