INSTITUTO TECNOL ´OGICO DE COSTA RICA 10 de enero del 2 006 ESCUELA DE MATEM ´ATICA Total: 35 puntos C ´ALCULO Y ´ALGEBRA LINEAL Tiempo: 2 h. 30 m.
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (Per´ıodo Intensivo)
1. Resuelva el siguiente sistema: (5 puntos)
x − y − 3z − 2w = 1 2x + 3y + z + 3w = 2 5x + 5y − z + 4w = 5
2. Si A =
−1 1 −3
2 2 2
−1 2 0
y adem´as B =
3 0 4
−16 16 0
calcule A−1 · Bt + 2I3.
(5 puntos) 3. Encuentre los valores de k, de manera que el sistema:
x − 3z = −3 2x − ky − z = −2 x + 2y − kz = 1 (a) no tenga soluci´on
(b) tenga soluci´on ´unica (c) tenga infinitas soluciones
(5 puntos) 4. Si (a − 1, 2 − b, c + 2) es la soluci´on del sistema dado por
0 1 4
1 1 1
5 0 −1
x y z
=
1
−1
−2
Utilice la regla de Cramer para calcular el valor de c.
(3 puntos)
5. Si A y B son matrices de 4 × 4, tales que det(A) = −3 y det(B−1) = 5, calcule det(2A−1 · B)
(2 puntos) 6. Encuentre el n´umero complejo z que resuelva el siguiente sistema
de ecuaciones: (5 puntos)
|z − 3| = 5 Arg(z − 2) = 3π
4 7. Resuelva la ecuaci´on
x4 − 6x3 + 15x2 − 18x + 10 = 0
si se sabe que 2 + i es una soluci´on. (3 puntos) 8. Calcule las ra´ıces cuartas de z = 1, y expr´eselas en la forma a+bi.
(3 puntos) 9. Calcule y exprese en la forma a + bi la expresi´on
1 + i31 − 2i−73+ 1 + i
3 − i + (−√
3 − i)15
(4 puntos)
