• Se denotan por letras mayúsculas . funciones. MATRICES

MATRICES

Herramientas útiles por su valor estructural y operativo Una matríz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas. Colocados entre corchetes

• Sus elementos: Números reales, complejos, funciones.

• Se denotan por letras mayúsculas .

• Sus elementos a_{i j} se designan con letras minúsculas

seguidas de dos subíndices que corresponden a

“i” = fila y “j” = columna^.

Una matríz no tiene valor numérico. Es solo una manera de ordenar números.

A las filas y las columnas se les llama líneas, cuando no hay necesidad de distinguirlas.

El conjunto de matrices definen un espacio vectorial, pues con ellas podemos verificar todas las propiedades que se satisfacen en los espacios vectoriales.

Rosa Cristina De Pena Olivares



























mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

...

. ...

. .

. ...

. .

. ...

. .

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matríz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento

(i,j)-ésimo de la matríz.

Se llama matríz de dimensión m x n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

La dimensión, orden o tamaño de una matríz se identifica con el número de filas primero y el número de columnas después.

Una matríz con m filas y n columnas se le denomina matriz de orden m×n

Matríz ^{B =} _



 





3 0 2

1 Es una matríz de orden 2x2 o de orden dos.























3 0

2

5 4

0

3 2

1

A Es una matríz de orden 3x3 o de orden tres

Rosa Cristina De Pena Olivares

• Cuadradas

• Rectangulares Filas

Columnas

• Nulas

Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.

En las matrices cuadradas tenemos:

Diagonal principal formada por los elementos de la forma a_ii Diagonal secundaria formada por los elementos de la forma a_ij

Rosa Cristina De Pena Olivares

Matrices Cuadradas

Una matríz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas. Si una matriz no es cuadrada tiene que ser rectangular.

Matríz Nula: Es aquella matríz cuyos elementos son iguales a cero

Ejemplo:

Matriz Rectangular

Si el número de filas de una matríz es uno, dicha matriz se llama matríz de una fila o vector fila.

^{2 8 3}

 A

Si el número de columnas de una matríz es uno, dicha matríz se llama matríz columna o vector columna.

















 0 1 2 B

Matríz fila

Matríz columna

Rosa Cristina De Pena Olivares

.

Traza de una matríz : Es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A. tr(A)

ann

a a

a A

tr( )  ₁₁  ₂₂  ₃₃ ...

La traza de la matriz A será igual:

tr(A) = 4 + 9 + 8 = 21.

 

A B 

 

^{A  B}^{ a}_ij ^b_ij

Igualdad de Matrices

Dos matrices A y B son iguales si se cumple que:

•A tiene el mismo orden de B.

•Cada elemento de A es igual al elemento correspondiente de B simbólicamente:

Dada las matrices

.

A A 



 



^{A B} ^{ B  C} ^{ AC}

Propiedades de la Igualdad de Matrices

Propiedad Reflexiva Propiedad Simétrica

PropiedadTransitiva

Operaciones con Matrices.

Para sumar o restar matrices deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matríz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar.

• Suma

• Resta

• Multiplicar una matríz por un escalar

• Multiplicar matrices

• Determinar inversa de matríz cuadrada

• Elevar a una potencia una matríz cuadrada





B

A  

Suma:

 

A B

A

C     

Resta:

Multiplicación de una Matríz por un Escalar:

k.A = [ ka_ij]_mxn

Multiplicación de dos Matrices:

  i j i j ip pj pj

j j

ip i

i

ij a b a b a b

b b b

a a

a

C    

























 ...

. .

... . _{1 1 2 2}

2 1

2 1

Operaciones con Matrices.

Potencia entera de una matríz cuadrada

Rosa Cristina De Pena Olivares

Sumamos cada término de la matríz A con su correspondiente de la matríz B

Para realizar la sustracción de matrices procedemos a sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

Rosa Cristina De Pena Olivares

Multiplicación de una Matríz por un Escalar

Multiplicación de dos Matrices

  i j i j ip pj

pj j j

ip i

i

ij a b a b a b

b b b

a a

a

C    

























 ...

. .

... . _{1 1 2 2}

2 1

2 1

•Sólo es posible multiplicar AB si son conformes respecto al producto. Esto es que el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

• La matríz C= AB posee el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B.

•Cada elemento del producto es la suma de los productos encontrados de la i-ésima fila por la j-ésima columna .

Rosa Cristina De Pena Olivares

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

B C AB AC

A   





   

A 

BA AB 

 0 AB

AC AB 

Propiedad Distributiva

Propiedad Asociativa

En general no se cumple la propiedad conmutativa.

Esto no implica necesariamente que A = 0 ó B = 0

Esto no implica necesariamente que B = C

Multiplicación de dos Matrices Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Rosa Cristina De Pena Olivares

Potencia Entera Positiva de una Matríz Cuadrada

Sea ^{A }

 

Una matríz cuadrada de orden “n”.

La potencia de A se obtiene multiplicando la matríz dada por si misma, tantas veces como lo indique la potencia.















 



1 0

1

2 1

0

1 1 2

A

                    

                 

                  ^















































































 















 





1 1 2 0 1 1 0

1 1 0 1 1 1

1 0 0 2 1

1 2 2 1 1 0 0

2 1 1 1 0 1

2 0 1 2 0

1 1 2 1 1

2 0 1 1 1 1

2 1 1 0 1 2

2

1 0 1

2 1 0

1 1 2

1 0 1

2 1 0

1 1 2

2 AA

A























2 1 3

4 1 2

1 3 5

A2 A³  A² A 























3 4 8

8 1 8

0 8 11

Tipos Especiales de Matrices

Una matríz triangular superior posee los elementos situados por debajo de la diagonal principal igual a cero.



















44 34 33

24 23

22

14 13

12 11

0 0

0

0 0

0

a a a

a a

a

a a

a a

A

B=

Rosa Cristina De Pena Olivares

Matríz Triangular Superior

Tipos Especiales de Matrices

En una matríz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros



















44 43

42 41

33 32

31

22 21

11

0 0 0

0 0

0

a a

a a

a a

a

a a

a A

B=

Matríz Triangular Inferior

Una matríz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matríz identidad es un caso particular de matríz diagonal.

Es una matríz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno.



















44 33 22 11

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

a a a a

D B=

B=

Rosa Cristina De Pena Olivares

Matríz Diagonal

Matríz Unidad

Es toda matríz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, y los restantes elementos son ceros. La matríz identidad es un caso particular de una matríz escalar.

Se llama matríz simétrica a toda matríz cuadrada que coincide con su transpuesta. En una matríz simétrica cualquier par de elementos equidistante respecto a la diagonal principal son iguales.

B=

B=

Matríz Escalar

Matriz Simétrica

Se llama matríz antisimétrica a toda matríz cuadrada que coincide con la opuesta de su transpuesta y cuya diagonal principal es cero. En una matríz simétrica cualquier par de elementos equidistante respecto a la diagonal principal son opuestos.























0 1

3

1 0

7

3 7

0

B=

Matrices Conmutativas y Anticonmutativas

Si A y B son dos matrices cuadradas y se verifica que ^{AB  BA}

, entonces dichas matrices se llaman Conmutativas.

BA

AB   Las matrices A y B se llaman Anticonmutativas

Rosa Cristina De Pena Olivares

Matríz Antisimétrica

Matríz Inversa. Matrices Inversibles

Se dice que una matríz cuadrada A es inversible si existe una matriz B con la cual se satisfaga la relación

I BA AB  

,

Donde I es la Matríz Unidad. En estas condiciones, la matríz B se llama la inversa de A . Es decir :

B  A

Importante:

No todas las matrices poseen inversa, pero si la tienen, es única.

Dependencia Lineal de las Filas y las Columnas de una Matríz

2 1

3 3F 2F

F  



























2 5

4 3

5 2

1 0

4 3

2 1

A

Combinación lineal de varias líneas de una matríz es otra línea que resulta de sumar sus elementos después de multiplicarlos por ciertos números llamados coeficientes.

Una línea (fila o columna) de una matríz es linealmente dependiente de otras paralelas cuando es una combinación lineal de ellas.

La tercera fila es linealmente dependiente de las dos primeras

F₁ = ( 1 -2 3 4) 3F₁ = ( 3 - 6 9 12) F₂ = ( 0 1 -2 -5) 2F₂ = ( 0 2 - 4 -10)

F₃ = ( 3 - 4 5 2 ) 3F₁ + 2F₂ = ( 3 - 4 5 2 ) = F₃

En cambio , diremos que varias líneas paralelas son linealmente independientes. Ninguna se puede expresar como combinación lineal de las otras.



























2 5

4 0

5 2

1 0

4 3

2 1

B

Sus tres filas son linealmente independientes

Rango o Característica de una Matríz

Es el máximo número de líneas (filas o columnas) linealmente independientes que hay en una matríz.

Si una línea de una matríz es combinación de otras paralelas a ella, al suprimirla se obtiene otra matríz de igual característica.

Son operaciones que se efectúan con las líneas (filas o columnas) de una matríz que no modifican ni su orden ni su característica. Las tres operaciones

elementales sobre líneas son:

• Intercambio de dos líneas (filas o columnas).

• Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar  0 .

• Suma de los elementos de una línea con los correspondientes de otra línea, luego de

multiplicarlos por un escalar  0 .

Operaciones Elementales en Matrices

Matrices Equivalentes

Dos matrices A y B se denominan equivalentes, A ~ B, si una de ellas se deduce de la otra como consecuencia de la aplicación de una o varias operaciones elementales de líneas.

Las matrices equivalentes tienen el mismo orden e igual característica.

Una matríz está en la forma escalonada si:

• Todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte inferior de la matriz.

• El primer número distinto de cero (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no consista únicamente de cero es igual a la unidad.

• Si dos filas sucesivas no consisten únicamente de ceros, entonces el primer uno esta mas a la derecha que el primer uno de la fila superior.

Matríz Escalonada



















6 5

3

5 4

2

3 2

1 C

Escalonar una Matríz C Mediante Operaciones Elementales.





















3 1 0

1 0 0

3 2 1

3 2

3 1

2 1

1

F F

F F

F





















1 0 0

3 1 0

3 2 1

3 2

2 3

1

F F

F F



















6 5 3

5 4 2

3 2 1

3 2 1

F F F

Identificamos las líneas

Matriz

escalonada

Determinación del Rango o Característica de una Matríz

• Se obtiene expresando dicha matríz en su forma escalonada mediante las operaciones elementales .

• Viene dado por el número de filas que no consista únicamente de ceros.

• Es el número de filas linealmente independiente de la matríz .

.

;



 



 

3 7

2 A 5



Determinar el rango la matríz A



 





3 7

2 5

2 1

F

F 



 



 

3 7

0 1 2

3

2 2 1

F F F



 





 0 3

0 1 7 ₁

2 1

F F

F

Identificamos las líneas

Matríz

escalonada

 

F F



Rango de la matríz escalonada es dos: r(A) =2

Cálculo de la Inversa de una Matríz Cuadrada A aplicando las Operaciones Elementales de Filas

*Si al aplicar las operaciones por filas se obtiene alguna fila de ceros a la izquierda de la barra vertical, la matriz A no es invertible.

• Utilizar las operaciones elementales para reducir la matriz aumentada A a su forma escalonada reducida.

• Decidir si la matriz A es invertible:

*Si A puede ser reducida a la matriz identidad I, entonces la inversa de 𝐴 𝐴⁻¹ es la matriz que esta a la derecha de la barra vertical .

• Escribir la matriz aumentada 𝐴 𝐼

La inversa de A es:

HALLAR LA INVERSA DE A:



 



 

3 7

2 A 5



 







 2 1 1 1

0 1

2 5

1 2

1

F F

F



 











1 1 1

2

2 3

0 1 2

2 2 1

F F F



 









 0 1 7 5

2 3

0 1 2 ₁

2 1

F F

F



 







 



5 7

2

1 3 A

La ecuación matricial: A+X = B

Donde A y B son matrices del mismo orden tienen la solución única: X = B + (-A)

La ecuación matricial: AX= B

Donde A y B existen para 𝑋 = 𝐴⁻¹ B Si 𝐴⁻¹ existe

La ecuación matricial: XA = B

Tiene solución única 𝑋 = 𝐵𝐴⁻¹ Siempre que 𝐴⁻¹ exista.

Ecuaciones que contienen Matrices

 

 



 

 



 





3 7

0 2

7 6

4

2 X

Consideramos X como la matríz :

Hallar X :

X= 0 4

−1 4

𝑋 = 2 4

6 7 + −2 0

−7 −3

 

 







 

 

 





5 4

2 3

3 7

2 X 5

X= ^{3 −2}

4 −5 5 2

7 3

−1

X= ^{3 −2}

4 −5 3 −2

−7 5

X= 23 −16 47 −33

Hallar X :

























mn m

m m

n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

...

. .

. .

.

. .

. .

.

. .

. .

.

...

...

3 2

1

2 23

22 21

1 13

12 11



















































m

n b

b b

x x x

. . . .

. .

2 1 2

1

Sistema de Ecuaciones Lineales

Diferentes tipos de sistemas de ecuaciones:

No homogéneo: B≠ 0 Homogéneo: 𝐵 = 0

• m = n

• m < n

• m > n

Un sistema puede escribirse:

B X

A. 

m= número de ecuaciones

Consiste en determinar los valores de las variables

que satisfacen las ecuaciones del sistema considerado.

x

x x

x

,

,

,...,

Rosa Cristina De Pena Olivares

Resolver un sistema:

Identificamos la matriz:

• Del sistema (A)

• De las incógnitas (x)

• Del término independiente (B )

Expresar en forma matricial un sistema de ecuaciones lineales

Matríz Ampliada

Es la matríz formada por los coeficientes de las incógnitas del sistema e incluye la columna de los términos independientes.

Sistema Dado

Matriz Ampliada

Matriz de los

coeficientes del Sistema

Matriz de las incógnitas

Matriz del término independiente

Forma matricial

Rosa Cristina De Pena Olivares

















 2 12

3 2

5 4

5 2

3 1

2 1

Matriz Ampliada

Matriz de las incógnitas.

Matriz del término independiente Matriz de los coeficientes del

Sistema

Sistema Dado















  

0 6

2 3

0 4

2 1

0 4

6 5

Mediante:

• Teorema de Rouche Frobenius

• Método de Gauss

• Inversa

El sistema puede ser:

• Compatible

*Determinado con solución única *Con infinitas soluciones

• Incompatible o indeterminado.

Rosa Cristina De Pena Olivares

EVALUACION DE LA SOLUCION EN UN SISTEMA

DE ECUACIONES LINEALES

TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS

Facilita calcular las soluciones de un Sistema de

Ecuaciones lineales en función del rango o característica del sistema conocido.

• Compatible : Matriz coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada poseen el mismo rango.

*Determinado :Numero de ecuaciones coincide con el numero de incógnitas.

*De infinitas soluciones: Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas.

• Incompatible o Indeterminado: Matriz coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada poseen diferentes rangos.

MÉTODO DE GAUSS

Rosa Cristina De Pena Olivares

En este método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se:

• Reduce la Matriz Ampliada a la forma escalonada.

• Despeja la última incógnita .

• Usa la sustitución hacia atrás para

despejar las otras incógnitas.

Resolver el sistema utilizando el método de Gauss

4 2

3

24 6

5 4

18 6

4 2



















z y

x

z y

x

z y

x



















































 4

24 18

2 1

3

6 5

4

6 4

2

z y x SEL en forma matricial

Rosa Cristina De Pena Olivares

Operaciones elementales:

















 2 4

1 3

24 6

5 4

18 6

4 2

3 2 1

F F F





















4 2

1 3

12 6

3 0

9 3

2 1 2

3 2 1

12

F F F

F

















 2 4

1 3

12 6

3 0

9 3

2 1

3 3 1

2

F F

F

















 0 0 1 3

4 2

1 0

9 3

2 1

5 ₂

3 2 1

F F

F F

Matríz ampliada :

Matríz escalonada:





















































3 4 9 1

0 0

2 1 0

3 2 1

z y x



 ²

z=3

De



9 3

2  

 y z

x  ¹

4 2 

 z

y  2

 3

z  ³

4 2 

 z

 y

2 6

4 )

3 ( 2 4 2

4      

 z y

4 )

3 ( 3 )

2 ( 2 9

3 2

9       

 y z

x

9 3

2  

 y z x

De



2

 y

 4 x

Conjunto Solución : ( x, y, z ) = ( 4, -2, 3 )

El Sistema equivalente es:

0 3

6

0 5

4

0



















z y

x

z y

x

z y

x

























































0 0 0

3 1

6

5 1 4

1 1

1

z y x

Rosa Cristina De Pena Olivares

Resolver el sistema























0 3

1 6

0 5

1 4

0 1

1 1

3 2 1

F F F

























0 9

5 0

0 1

3 0

0 1

1 1

6 4

1 3

1 2

1

F F

F F

F















 

 0 0 0

0 1

0

0 1

1 1

5 ⁹₅

13 2

3 3 1

2

F F

F

F

  ^













 

0 1

0 0

0 1

0

0 1

1 1

13

9 3 5

2 1

F F F

Matríz ampliada :







Operaciones elementales^:

Matríz

escalonada^:

















































 

0 0 0

1 0

0

13 1

0

1 1

1

z y x



 0 y

 0



 y z

x ^{ 1}

 

 z

y ^{ 2}

 0

z ^{ 3} 

 0 x

De (1) De (2)

Conjunto Solución: ( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 )  Solución Trivial

Sistema Equivalente

Analizar si el sistema de ecuaciones lineales es:

compatible o incompatible

Rosa Cristina De Pena Olivares

4 5

2

12 2

3 2

5 4

5 2

3 2

























z y

x

z y

x

z y

x

z y

x

















 

5 1

2

2 3

2

4 5

2

1 2

1

A

















 z y x

X 













 4 12

5 3 B

Matriz del término independiente

Matriz de los coeficientes del Sistema

Matriz de las incógnitas^.























4 5

1 2

12 2

3 2

5 4

5 2

3 1

2 1



Matriz Ampliada

Rosa Cristina De Pena Olivares

   _^























113 52 13 4

1 2 3 1

2 1

1 0 0

1 0 0

1 2

1 0

3 1

2 1

F F F

F

























 ³₆

52 4

3 3 2 1

0 0 0

1 0 0

1 2

1 0

3 1

2 1

F F

F F

F

























1 0

0 0

1 0 0

1 2

1 0

3 1

2 1

2

52 4

3 2 1

F F F F

En este caso el sistema es incompatible no posee solucion pues:

r(A) = 3 y r(A’) = 4