3 Potencias y raíz cuadrada
ACTIVIDADES INICIALES
3.I. El siguiente esquema muestra las relaciones que existen en un grupo de 8 personas.
B A
C D
E F
G
H
Encuentra las cadenas más cortas que relacionan A con D y B con E.
ABCD, BCDE
3.II. ¿Participas en alguna red social? Si es así, ¿cuántos contactos tienes? Si cada uno de ellos tiene tantos contactos como tú, ¿cuántos contactos con un grado de separación tendrás como máximo? ¿Y con dos?
Si todos tienen n contactos y estos no están repetidos, una persona tendrá n2 contactos con un grado de separación y n3 con dos.
3.III. Enumera al menos dos ventajas y dos inconvenientes de participar en redes sociales, y ponlos en común con tus compañeros.
Respuesta abierta.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
3.1. Actividad resuelta.
3.2. Indica la base y el exponente de las siguientes potencias y calcula su valor.
a) 24 c) 43 e) 35 g) (–10)4
b) 34 d) 53 f) (–2)5 h) – (62) a) Base 2, exponente 4; 24 = 16 e) Base 3, exponente 5; 35 = 243 b) Base 3, exponente 4; 34 = 81 f) Base –2, exponente 5; (–2)5 = –32 c) Base 4, exponente 3; 43 = 64 g) Base –10, exponente 4; (–10)4 = 10 000 d) Base 5, exponente 3; 53 = 125 h) Base 6, exponente 2; – (62) = –36
3.3. Copia en tu cuaderno y completa:
a) 2 = 128 c) 5 = 625 e)
( )
−4 = 16b) 3 = 243 d)
( )
−3 = –27 f)( )
−2 = 1024a) 27 = 128 c) 54 = 625 e) (–4)2 = 16 b) 35 = 243 d) (–3)3 = –27 f) (–2)10 = 1024
3.4. Indica el valor de las siguientes expresiones.
a) –34 c) – (5)4 e) – (–2)7 b) (–3)4 d) – (–5)5 f)– (–2)8
a) –34 = –81 c) –(5)4 = –625 e) –(–2)7 = 128 b) (–3)4 = 81 d) –(–5)5 = 3125 f) –(–2)8 = –256
3.5. Copia en tu cuaderno y completa esta tabla:
3.6. Un palé de un supermercado contiene 16 cajas de leche, y cada una de ellas tiene 16
envases de 1 litro. Expresa el número total de litros de leche del palé, en forma de potencia 2 y en forma de potencias de 4.
El palé contiene 16 · 16 = 162 cajas de leche: 162 = (42)2 = 44 = (22)4 = 28 cajas de leche.
3.7. Actividad interactiva.
3.8. Actividad resuelta.
3.9. Calcula (4 · 2 · 7)2 como producto de potencias.
(4 · 2 · 7)2 = 42 · 22 · 72 = 16 · 4 · 49 = 3136
3.10. Efectúa esta división (12 : (–4))4 mediante un cociente de potencias.
[12 : (–4)]4 = 124 : (–4)4 = 20 736 : 256 = 81
3.11. Realiza estas operaciones de dos maneras distintas.
a) (3 · 8 · 5)4 c) (6 : 2)4 b) (2 · 3 · (–3))3 d) ((–15) : 3)3 a) (3 · 8 · 5)4 = 1204 = 207 360 000
(3 · 8 · 5)4 = 34 · 84 · 54 = 81 · 4096 · 625 = 207 360 000 b) (2 · 3 · (–3))3 = –183 = –5832
(2 · 3 · (–3))3 = 23 · 33 · (–3)3 = 8 · 27 · (–27) = –5832 c) (6 : 2)4 = 34 = 81
(6 : 2)4 = 64 : 24 = 1296 : 16 = 81 d) ((–15) : 3)3 = (–5)3 = –125
((–15) : 3)3 = (–15)3 : 33 = –3375 : 27 = –125 Potencia Base Exponente Valor
7 343
105
(–6)3 –6 3 –216
–3 4
–4 16
3 –1000
Potencia Base Exponente Valor
73 7 3 343
105 10 5 100 000
(–6)3 –6 3 –216
(–3)4 –3 4 81
(–4)2 –4 2 16
(–10)3 –10 3 –1000
3.12. Reduce a una sola potencia y calcula.
a) (10 · 9)3 : 153 c) (36 · 2)2 : (6 · 3)2 b) (5 · 4)4 · 54 d) (120 : 4)5 : (5 · 3)5 a) (10 · 9)3 : 153 = 903 : 153 = (90 : 15)3 = 63 = 216
b) (5 · 4)4 · 54 = 204 · 54 = (20 · 5)4 = 1004 = 100 000 000 c) (36 · 2)2 : (6 · 3)2 = 722 : 182 = (72 : 18)2 = 42 = 16
d) (120 : 4)5 : (5 · 3)5 = 305 : 155 = (30 : 15)5 = 25 = 32
3.13. Copia en tu cuaderno estas igualdades y completa los huecos con los números que
correspondan en cada caso.
a) (3 · 2)4 =
□
4 · 24 =□
· 16 =□
b) ((–2) ·
□
)3 = (–2)3 · 53 = (–8) ·□
=□
c) (
□
: 3)3 = (–2)3 =□
d) ((–6) :
□
)4 = (–6) : 2 =□
:□
=□
a) (3 · 2)4 = 34 · 24 = 81 · 16 = 1296 b) ((–2) · 5)3 = (–2)3 · 53 = (–8) · 125 = –1000 c) ((–6) : 3)3 = (–2)3 = –8
d) ((–6) : 2)4 = (–6)4 : 24 = 1296 : 16 = 81
3.14. Expresa en forma de potencia y calcula su valor.
a) (154 · (–34)) : (184 · 24) b) (–1003 : 253) · (363 : 123) c) (805 : (–16)5) · ((–20)5 : 105)
a) (154 · (–34)) : (184 · 24) = (–454) : 364 = –(45 : 36)4 = –1,254 = –2,44140625 b) (–1003 : 253) · (363 : 123) = (–4)3 · 33 = (–4 · 3)3 = (–12)3 = –1728
c) (805 : (–16)5) · ((–20)5 : 105) = (–5)5 · (–2)5 = ((–5) · (–2))5 = 105 = 100 000
3.15. Actividad interactiva.
3.16. Actividad resuelta.
3.17. Escribe los siguientes productos en forma de potencia y determina su valor.
a) 33· 32 · 3 b) 23 · 2 · 26
a) 33· 32 · 3 = 36 = 729 b) 23 · 2 · 26 = 210 = 1024
3.18. Copia las siguientes igualdades en tu cuaderno y complétalas con los números que
faltan.
a) 33 · 32 = 27 ·
□
=□
c) (–2)2 · (–2)3 = (–2) =□
b) (–5)2 · (–5)· (–5)2 = 25 ·
□
·□
=□
d) 34 · 33 · 32 = 3 =□
a) 33 · 32 = 27 · 9 = 243
b) (–5)2 · (–5) · (–5)2 = 25 · (–5) · 25 = – 3125 c) (–2)2 · (–2)3 = (–2)5 = – 32
d) 34 · 33 · 32 = 39 = 19 683
3.19. Calcula el resultado de estas multiplicaciones.
a) (–2)4 · (–2) c) 105 · 10 · 105 b) (–2)4 · (–2)3 d) 6 · 62 · 6
a) (–2)4 · (–2) = (–2)5 = –32 c) 105 · 10 · 105 = 1011 = 100 000 000 000 b) (–2)4 · (–2)3 = (–2)7 = –128 d) 6 · 62 · 6 = 64 = 1296
3.20. Expresa estas multiplicaciones en forma de una potencia única.
a) 9 · (–3)3 · (–3) e) (5 – 7)2 · (–2)3 b) (–5)2 · 125 f) 27 · 9 c) (2 + 3)3 · 52 g) (9 + 2) · (–11)2 d) 64 · 23 · 4 h) 16 · 4 · 2 a) 9 · (–3)3 · (–3) = (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6
b) (–5)2 · 125 = 52 · 53 = 55 c) (2 + 3)3 · 52 = 53 · 52 = 55 d) 64 · 23 · 4 = 26 · 23 · 22 = 211
e) (5 – 7)2 · (–2)3 = (–2)2 · (–2)3 = (–2)5
f) 27 · 9 = 33 · 32 = 35
g) (9 + 2) · (–11)2 = 11 · 112 = 113 h) 16 · 4 · 2 = 24 · 22 · 2 = 27
3.21. Escribe el producto (– 4)2 · 4 · 43 como potencia de base 4 y de base 2.
(–4)2 · 4 · 43 = 42 · 4 · 43 = 46 = (22)6 = 212
3.22. Se sabe que 1 gigabyte (GB) equivale a 210 megabytes (MB). El pendrive de Silvia tiene 8 GB, y el de María, 211 MB. ¿Qué pendrive tiene más capacidad, el de María o el de Silvia?
8 GB = 8 · 210 = 23 · 210 = 213 MB tiene el pendrive de Silvia.
Como 213 > 211, entonces el pendrive de Silvia tiene más capacidad.
3.23. Escribe en forma de potencia los siguientes cocientes y determina su valor.
a) 35 : 32 c) (– 3)3 : (– 3)3 b) 26 : 22 d) (– 8)7 : (– 8)2
a) 35 : 32 = 33 = 27 c) (–3)3 : (–3)3 = (–3)0 = 1 b) 26 : 22 = 24 = 16 d) (–8)7 : (–8)2 = (–8)5 = –32 768
3.24. Calcula el resultado de estas divisiones.
a) 74 : 72 d) (– 15)4 : 153 b) (– 3)5 : (– 3)3 e) (– 6)5 : 63 c) 46 : (– 4)2 f) 87 : (– 8)4
a) 74 : 72 = 72 = 49
b) (–3)5 : (–3)3 = (–3)2 = 9 c) 46 : (– 4)2 = 46 : 42 = 44 = 256 d) (–15)4 : 153 = 154 : 153 = 151 = 15 e) (–6)5 : 63 = –65 : 63 = –62 = –36 f) 87 : (–8)4 = 87 : 84 = 83 = 512
3.25. Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades con los números que correspondan.
a) 25 : 23 = 2 =
□
b) (–5)3 : (–5)2 = (–5) =□
c) (–3)12 : (–3) = (–3)3 =
□
d) 7
□
: 75 = 78 =
□
e) 4 :
□
6 =□
3 = 64a) 25 : 23 = 22 = 4
b) (–5)3 : (–5)2 = (–5)1 = –5
c) (–3)12 : (–3)9 = (–3)3 = –27 d) 713 : 75 = 78 = 5 764 801 e) 49 : 46 = 43 = 64
3.26. Expresa en potencias de la misma base y calcula las siguientes divisiones.
a) 54 : 25 e) 125 : 53 b) (–81) : (–3)3 f) 64 : 42 c) (–343) : 49 g) –(–32) : (–2)3 d) (1 + 4)5 : 55 h) (3 – 6)3 : 9
a) 54 : 25 = 54 : 52 = 52 = 25 e) 125 : 53 = 53 : 53 = 50 = 1 b) (–81) : (–3)3 = –(–34) : (–3)3 = –(–3)1 = 3 f) 64 : 42 = 43 : 42 = 41 = 4
c) (–343) : 49 = –73 : 72 = (–7)1 g) –(–32) : (–2)3 = –(–2)5 : (–2)3 = –(22) = –4 d) (1 + 4)5 : 55 = 55 : 55 = 50 = 1 h) (3 – 6)3 : 9 = (–3)3 : 32 = (–3)3 : (–3)2 = (–3)1 = –3
3.27. Reduce a una sola potencia.
a) a8 · a · a2 e) (a7 · a4) : a3 b) a2 · a3 : a4 f) a9 : (a7 : a6)
c) a6 : (a · a3) g) (a5 · a) : (a2 · a4) d) (a6 : a) · a3 h) (a4 : a) · (a2 : a2) a) a8 · a · a2 = a11 e) (a7 · a4) : a3 = a11 : a3 = a8 b) a2 · a3 : a4 = a1 f) a9 : (a7 : a6) = a9 : a = a8
c) a6 : (a · a3) = a6 : a4 = a2 g) (a5 · a) : (a2 · a4) = a6 : a6 = a0 = 1 d) (a6 : a) · a3 = a5 · a3 = a8 h) (a4 : a) · (a2 : a2) = a3 · a0 = a3
3.28. Expresa como una sola potencia y calcula:
a) (23 · 53) · 102 c) (182 : 92) · (123 : 63) e) 252 · (46 : 44)
b) 64 : (22 · 32) d) (84 : 44)· 23 f) (81: 27)4 : (27 : 9)3 a) (23 · 53) · 102 = 103 · 102 = 105 = 100 000
b) 64 : (22 · 32) = 64 : 62 = 62 = 36 c) (182 : 92) · (123 : 63) = 22 · 23 = 25 = 32
d) (84 : 44) · 23 = 24 · 23 = 27 = 128
e) 252 · (46 : 44) = 252 · 42 = 1002 = 10 000 f) (81 : 27)4 : (27 : 9)3 = 34 : 33 = 3
3.29. Un centro escolar tiene dos salas cuadradas, una de 6 metros de lado y otra de 8 metros de lado, y quiere sustituirlas por una sola, cuya área sea la suma de las anteriores. ¿El área de la nueva sala es igual a la de una sala cuadrada de lado 14?
A = 62 = 36 m2 de la primera sala y A = 82 = 64 m2 de la segunda.
La nueva sala tendrá 36 + 64 = 100 m2; por tanto, el lado de esta sala será de 10 m.
3.30. Actividad resuelta.
3.31. Actividad resuelta.
3.32. Calcula las siguientes potencias.
a) (34)2 c) (((–1)2)5)7 e) (((–1)1)0)1 b) ((–3)2)3 d) (((–10)2)2)2 f) ((–5)2)3
a) (34)2 = 38 = 6561 d) (((–10)2)2)2 = (–10)8 = 100 000 000 b) ((–3)2)3 = (–3)6 = 729 e) (((–1)1)0)1 = (–1)0 = 1
c) (((–1)2)5)7 = (–1)70 = 1 f) ((–5)2)3 = (–5)6 = 15 625
3.33. Copia estas expresiones en tu cuaderno y completa los espacios con los números que
faltan.
a) 312= (34) b) 524 = (5 ) c) (–3)8 = ((–3) ) d) 1 = (237) a) 312 = (34)3 b) 524 = (54)6 c) (–3)8 = ((–3)2)4 d) 1 = (237)0
3.34. Reduce a una sola potencia.
a) (23)0 · 24 c) ((–2)2)3 : (12 : (–6))4 b) (33)6 · (29)2 d) (34 · (32)3) : (32)4
a) (23)0 · 24 = 20 · 24 = 24 c) ((–2)2)3 : (12 : (–6))4 = (–2)6 : (–2)4 = (–2)2 b) (33)6 · (29)2 = 318 · 218 = (3 · 2)18 = 618 d) (34 · (32)3) : (32)4 = (34 · 36) : 38 = 310 : 38 = 32
3.35. Copia en tu cuaderno y completa esta tabla:
Potencia de
potencia Base Exponente Potencia Signo ((–7)4)2 –7 8 (–7)8 + ((–13)15)5
–10 2 · 3 · 5
(–5)36
Potencia de
potencia Base Exponente Potencia Signo ((–7)4)2 –7 8 (–7)8 + ((–13)15)5 –13 75 (–13)75 – (((–10)2)3)5 –10 2 · 3 · 5 (–10)30 + ((–5)6)6 –5 6 · 6 (–5)36 +
3.36. Expresa las siguientes potencias como potencias de potencias:
a) 42 b) 92 c) 163 d) (–25)4
a) 42 = (22)2 b) 92 = (32)2 c) 163 = (42)3 d) (–25)4 = 254 = (52)4
3.37. Reduce a una sola potencia y calcula:
a) (32)4 · (36 : 32) : (35)2 c) (32 + 42)2 : 125 b) (52 · 102) : (52)2 d) (82 : 4)3 : 43
a) (32)4 · (36 : 32) : (35)2 = (38 · 34) : 310 = 32 = 9 b) (52 · 102) : (52)2 = 502 : 252 = 22 = 4
c) (32 + 42)2 : 125 = (9 + 16)2 : 53 = 252 : 53 = (52)2 : 53 = 54 : 53 = 5
d) (82 : 4)3 : 43 = ((23)2 : 22)3 : (22)3 = (26 : 22)3 : 26 = (24)3 : 26 = 212 : 26 = 26 = 64
3.38. Actividad interactiva.
3.39. Actividad resuelta.
3.40. Haz una tabla de cuadrados perfectos comprendidos entre 100 y 300.
3.41. Calcula las raíces cuadradas exactas de los siguientes números.
a) 54 b) 34 c) 28 d) 210 e) 54 f) 34 a) 52, pues (52)2 = 54 c) 24, pues (24)2 = 28 e) 52, pues (52)2 = 54 b) 32, pues (32)2 = 34 d) 25, pues (25)2 = 210 f) 32, pues (32)2 = 34
3.42. Averigua si estos números son cuadrados perfectos y, en el caso de que lo sean, halla su raíz cuadrada exacta.
a) 121 c) 444
b) 256 d) 1600 a) 121 = 112. Luego 121 es cuadrado perfecto.
b) 256 = 162. Luego 256 es cuadrado perfecto.
c) 212 = 441 y 222 = 484 → 212 < 444 < 222. Luego 444 no es cuadrado perfecto.
d) 1600 = 402. Luego 1600 es cuadrado perfecto.
3.43. El patio de un colegio es cuadrado. Si su área mide 961 metros cuadrados, ¿cuánto mide cada lado?
961 = l2. Luego el lado del cuadrado es 961. Por tanto, el lado del patio mide 31 m.
3.44. Actividad interactiva.
3.45. Actividad resuelta.
Números 10 11
Cuadrados perfectos
Números 10 11 12 13 14 15 16 17
Cuadrados perfectos 100 121 144 169 196 225 256 289
3.46. Copia estos cálculos en tu cuaderno y complétalos con los números que correspondan.
a) 112 < 130 < 122 b)
□
2 < 375 <□
2La raíz entera de 130 es
□
. La raíz entera de 375 es□
. Resto: 130 – 112 =□
Resto: 375 –□
2 =□
a) La raíz entera de 130 es 11. Resto: 130 – 112 = 130 – 121 = 9
b) 192 < 375 < 202. La raíz entera de 375 es 19. Resto: 375 – 192 = 375 – 361 = 14
3.47. Indica el valor de la raíz cuadrada entera y el resto de cada número.
a) 18 c) 75 e) 150
b) 21 d) 140 f) 1 003
a) 16 < 18 < 25 → 42 < 18 < 52 → 18 = 4. Resto: 18 – 16 = 2 b) 16 < 21 < 25 → 42 < 21 < 52 → 21 = 4. Resto: 21 – 16 = 5 c) 64 < 75 < 81 → 82 < 75 < 92 → 75= 8. Resto: 75 – 64 = 11
d) 121 < 140 < 144 → 112 < 140 < 122 → 140 = 11. Resto: 140 – 121 = 19 e) 144 < 150 < 169 → 122 < 150 < 132 → 150 = 12. Resto: 150 – 144 = 6 f) 961 < 1003 < 1024 → 312 < 1024 < 322 → 1003= 31. Resto: 1003 – 961 = 42
3.48. Se quieren plantar 147 árboles de forma que llenen un área cuadrada. ¿Cuántas filas de árboles tendrá la plantación? ¿Sobra algún árbol?
144 < 147 < 169 → 122 < 147 < 132 → 147= 12. Resto: 147 – 144 = 3. Por tanto, sobran 3.
3.49. La raíz cuadrada entera de un número es 13 y el resto de la raíz es 5. ¿Cuál es el
número?
132 + 5 = 169 + 5 = 174. Por tanto, el número es 174.
3.50. La raíz cuadrada entera de un número es igual a 32. ¿Cuántos números pueden ser?
¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el resto?
322 ≤ n < 332 → 1024 ≤ n < 1089. Por tanto, puede ser cualquier número mayor o igual que 1024 y menor que 1089.
Entre 1024 y 1089, sin contar el 1089 hay 1089 – 1024 = 65 números.
3.51. Actividad interactiva.
EJERCICIOS Potencias de exponente natural
3.52. Expresa estas multiplicaciones en forma de potencia.
a) 5 · 5 · 5 c) 9 · 9 · 9 e) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 b) 8 · 8 d) 3 · 3 · 3 · 3 f) 15 · 15 · 15 · 15
a) 5 · 5 · 5 = 53 c) 9 · 9 · 9 = 93 e) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 b) 8 · 8 = 82 d) 3 · 3 · 3 · 3 = 34 f) 15 · 15 · 15 · 15 = 154
3.53. Escribe las siguientes potencias en forma de producto y halla su valor.
a) 24 c) 81 e) 106
b) (–2)5 d) (–7)3 f) (–25)4
a) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 b) (–2)5 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = –32 c) 81 = 8
d) (–7)3 = (–7) · (–7) · (–7) = –343
e) 10 6 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000 f) (–25)4 = (–25) · (–25) · (–25) · (–25) = 390 625
3.54. Calcula el resultado de estas potencias.
a) 34 c) 25 e) 96
b) 53 d) 101 f) 73
a) 34 = 81 c) 25 = 32 e) 96 = 531 441 b) 53 = 125 d) 101 = 10 f) 73 = 343
3.55. Copia en tu cuaderno y completa la tabla.
3.56. Calcula la base de estas potencias.
a)
□
2 = 36 e)□
3 = 27b)
□
3 = 8 f)□
5 = 32c)
□
5 = 32 g)□
3 = –64d)
□
2 = 100 h)□
2 = 625a) 62 = 36 e) 33 = 27
b) 23 = 8 f) 25 = 32
c) 25 = 32 g) (–4)3 = –64
d) 102 = 100 h) 252 = 625
Potencia Base Exponente Valor 32 3 2 9 (–4)6
84 (–2)2
270 (–10)3
Potencia Base Exponente Valor 32 3 2 9 (–4)6 –4 6 4096
84 8 4 4096
(–2)2 –2 2 4
270 27 0 1
(–10)3 –10 3 –1000
3.57. Determina el exponente de estas potencias.
a) 3 = 9 d) 4 = 64
b) (–5) = –125 e) 2 = 16
c) 10 = 1 000 f) (–6) = –216
a) 32 = 9 d) 43 = 64
b) (–5)3 = –125 e) 24 = 16
c) 103 = 1000 f) (–6)3 = –216
Operaciones con potencias
3.58. Calcula las siguientes potencias.
a) (2 · 4)3 e) (32 : 4)3
b) (7 · 6)6 f) (8 : 2)4
c) (2 · 5 · 8)2 g) (–12 : 3)5 d) [(–5) · (–3) · 6]3 h) (–48 : 6)3
a) (2 · 4) 3 = 83 = 512 e) (32 : 4)3 = 83 = 512 b) (7 · 6)6 = 426 = 5 489 031 744 f) (8 : 2)4 = 44 = 256
c) (2 · 5 · 8)2 = 802 = 6400 g) (–12 : 3)5 = (–4)5 = 1024 d) [(–5) · (–3) · 6]3 = 903 = 279 000 h) (–48 : 6)3 = (–8)3 = –512
3.59. Escribe en una sola potencia.
a) 73 · 72 d) (23 : 23) · 22
b) 23 · 2 · 24 e) (35 · 3) : 32 c) 64 : 62 f) (54 · 53) : (5 · 52)
a) 73 · 72 = 75 d) (23 : 23) · 22 = 20 · 22 = 22
b) 23 · 2 · 24 = 28 e) (35 · 3) : 32 = 36 : 32 = 34 c) 64 : 62 = 62 f) (54 · 53) : (5 · 52) = 57 : 53 = 54
3.60. Calcula el valor de estas potencias.
a) ((3)2)2 d) ((2)2)5
b) ((–1)3)3 e) (((–2)2)2)2
c) ((–1)3)4 f) (((–10)3)2)2
a) ((3)2)2 = 34 = 81 d) ((2)2)5 = 210 = 1024 b) ((–1)3)3 = (–1)9 = –1 e) (((–2)2)2)2 = (–2)8 = 256
c) ((–1)3)4 = (–1)12 = 1 f) (((–10)3)2)2 = (–10)12 = 1 000 000 000 000
3.61. Halla estas potencias.
a) (1 + 3)2 c) (3 + 4)3
b) (3 – 5)2 d) (1 – 5)3
a) (1 + 3)2 = 42 = 16 c) (3 + 4)3 = 73 = 343 b) (3 – 5)2 = (–2)2 = 4 d) (1 – 5)3 = (–4)3 = –64
3.62. Expresa como una sola potencia y calcula el resultado.
a) 56 · 26 e) 46 : 26
b) 202 · 52 f) 100010 : 50010
c) 44 · 54 g) 10003 : 2003
d) 53 · 33 h) 525 : 135
a) 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1 000 000
b) 202 · 52 = (20 · 5)2 = 1002 = 10 000 c) 44 · 54 = (4 · 5)4 = 204 = 160 000 d) 53 · 33 = (5 · 3)3 = 153 = 3375 e) 46 : 26 = (4 : 2)6 = 26 = 64
f) 100010 : 50010 = (1000 : 500)10 = 210 = 1024 g) 10003 : 2003 = (1000 : 200)3 = 53 = 125 h) 525 : 135 = (52 : 13)5 = 45 = 1024
3.63. Calcula las siguientes operaciones.
a) 12 + 22 + 32
b) 50 – 52 + (–5)3 – (–5)2 c) (–2)3 – (–2)2 + (–2)4 + (–2)5 d) 33 – 20 + 71 – (–3)2
e) (–1)0 – (–1)1 + (–1)2 + (–1)3 a) 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14
b) 50 – 52 + (–5)3 – (–5)2 = 1 – 25 + (–125) – 25 = 1 – 25 – 125 – 25 = –174 c) (–2)3 – (–2)2 + (–2)4 + (–2)5 = –8 – 4 + 16 + (–32) = –8 – 4 + 16 – 32 = –28 d) 33 – 20 + 71 – (–3)2 = 27 – 1 + 7 – 9 = 24
e) (–1)0 – (–1)1 + (–1)2 + (–1)3 = 1 – (–1) + 1 + (–1) = 1 + 1 + 1 – 1 = 2
3.64. Halla las siguientes potencias.
a) (3 – 2)52 c) (4 – 3)53
b) (1 – 2)101 d) (4 – 5)2002
a) (3 – 2)52 = 152 = 1 c) (4 – 3)53 = 153 = 1 b) (1 – 2)101 = (–1)101 = –1 d) (4 – 5)2002 = (–1)2002 = 1
3.65. Calcula las siguientes operaciones.
a) 42 – 53 : 52 + 62 d) 64 : 63 + 44 : 42
b) 62 – 62 : 6 +63 e) 25 : 22 – 37 : 33
c) 54 + 53 – 52 – 5 f) 72 – 71 · 72 + 72 · 70 a) 42 – 53 : 52 + 62 = 42 – 5 + 62 = 16 – 5 + 36 = 47
b) 62 – 62 : 6 + 63 = 62 – 6 + 63 = 36 – 6 + 216 = 246 c) 54 + 53 – 52 – 5 = 625 + 125 – 25 – 5 = 720
d) 64 : 63 + 44 : 42 = 6 + 42 = 6 + 16 = 22 e) 25 : 22 – 37 : 33 = 23 – 34 = 8 – 81 = –73
f) 72 – 71 · 72 + 72 · 70 = 72 – 73 + 72 = 49 – 343 + 49 = –245
3.66. Expresa como una sola potencia.
a) (27 : 9) · 93 f) (2 + 5)3 · 72 b) ((23)2 · 8) : 4 g) (8 – 3)2 : 5 c) (63 · 62)4 : 362 h) ((22)3 · 42) : 2 d) (54 · 25 · 55) : 5 i) (81 : 34)· 3 e) (27 · 32) : 34 j) ((–3)2)6 : (35 : 27) a) (27 : 9) · 93 = (33 : 32) · (32)3 = 3 · 36 = 37
b) ((23)2 · 8) : 4 = (26 · 23) : 22 = 29 : 22 = 27 c) (63 · 62)4 : 362 = (65)4 : (62)2 = 620 : 64 = 616
d) (54 · 25 · 55) : 5 = (54 · 52 · 55) : 5 = 511 : 5 = 510 e) (27 · 32) : 34 = (33 · 32) : 34 = 35 : 34 = 3
f) (2 + 5)3 · 72 = 73 · 72 = 75 g) (8 – 3)2 : 5 = 52 : 5 = 5
h) ((22)3 · 42) : 2 = (26 · (22)2) : 2 = 210 : 2 = 29
i) (81 : 34) · 3 = (34 : 34) · 3 = 30 · 3 = 3 j) ((– 3)2)6 : (35 : 27) = 312 : (35 : 33) = 310
3.67. Calcula las siguientes expresiones y escribe el resultado como una sola potencia.
a) (15 : 5)20 · 814 b) (2 · 3)2 · (5 + 1)2 c) (18 : 9)5 : (12 : 6)3 d) (12 · 9)4 : (6 · 3)4 e) (43 · 53)2 · 202
f) ((– 25) : 5)3 · (23)3
a) (15 : 5)20 : 814 = 320 : (34)4 = 320 : 316 = 34 b) (2 · 3)2 · (5 + 1)2 = 62 · 62 = 64 c) (18 : 9)5 : (12 : 6)3 = 25 : 23 = 22
d) (12 · 9)4 : (6 · 3)4 = 1084 : 184 = (108 : 18)4 = 64 e) (43 · 53)2 · 202 = (203)2 · 202 = 206 · 202 = 208 f) ((–25) : 5)3 · (23)3 = (–5)3 · 83 = (–40)3 = –403
3.68. Escribe como una sola potencia y después calcula el resultado.
a) (102 : 52) · (183 : 93) b) (72 · 73)3 : (49 · 712) c) (33 · 310) : 313 d) (32 · 22) : 16 e) (84 : 4) : 32
a) (102 : 52) · (183 : 93) = 22 · 23 = 25
b) (72 · 73)3 : (49 · 712) = (75)3 : (72 · 712) = 715 : 714 = 7 c) (33 · 310) : 313 = 313 : 313 = 30 = 1
d) (32 · 22) : 16 = (25 · 22) : 24 = 27 : 24 = 23
e) (84 : 4) : 32 = ((23)4 : 22) : 25 = (212 : 22) : 25 = 210 : 25 = 25
Raíz cuadrada exacta
3.69. Copia en tu cuaderno la tabla y complétala.
3.70. Calcula la raíz cuadrada exacta de los siguientes números.
a) 8100 e) 62 500
b) 900 f) 2500
c) 1024 g) 2 890 000
d) 160 000 h) 361
a) 902 = 8100 → 8100= 90 e) 2502 = 62 500 → 62 500= 250 b) 302 = 900 → 900= 30 f) 502 = 2500 → 2500= 50
c) 322 = 1024 → 1024= 32 g) 17002 = 2 890 000 → 2 890 000 = 1700 d) 4002 = 160 000 → 160 000= 400 h) 192 = 361 → 361= 19
3.71. Las fichas de la figura forman un cuadrado perfecto.
a) ¿Cuál es la raíz?
b) ¿Cuántas fichas hay que añadir al cuadrado para que la raíz cuadrada exacta sea una unidad mayor que la anterior?
a) Hay 9 fichas. Por tanto, la raíz es 3.
b) La nueva raíz es 4. Como 42 = 16, hay que añadir 16 – 9 = 7 fichas.
Cuadrados perfectos
3.72. Indica cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos.
a) 8 c) 120 e) 1 000 b) 81 d) 3 600 f) 432
a) 8 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 8.
b) 81 es cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 9, cuyo cuadrado es 81.
c) 120 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 120.
d) 3600 es cuadrado perfecto porque existe un número entero, el 60, cuyo cuadrado es 3600.
e) 1000 no es cuadrado perfecto porque no existe un número entero cuyo cuadrado sea 1000.
f) 432 está escrito en forma de cuadrado.
Cuadrados perfectos 16 4489 1 849 Raíz cuadrada exacta 4 15
Cuadrados perfectos 16 225 4489 1849 Raíz cuadrada exacta 4 15 67 43
