Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 7: Valores y vectores propios

Tema 7: Valores y vectores propios

Francisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Abril 2009, Versión 1.7

Contenido

1. Definiciones y propiedades.

2. Método de la potencia.

3. Método de la potencia inversa.

4. Método de la potencia inversa desplazada.

1 Definiciones y propiedades

Notaciones

• A matriz cuadrada n × n.

• v vector de dimensión n.

• λ escalar.

Objetivo

Buscar escalares λ y vectores no nulos v tales que A v= λv =⇒

½ λ valor propio de A.

vvector propio asociado a λ.

Polinomio característico

p(λ) = det (A − λI) .

Los valores propios de A son las raíces del polinomio característico λ valor propio ⇐⇒ p(λ) = 0.

Cálculo de vectores propios 1

Para cada valor propio λ resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones li- neales

(A − λI) v = 0, que debe ser un sistema compatible indeterminado.

Espectro. Radio espectral

El espectro de una matriz es el conjunto de sus valores propios, lo represen- tamos por σ(A).

σ(A) = {λ : λ es valor propio de A}.

El radio espectral de la matriz es el módulo máximo de sus valores propios, lo representamos por ρ(A).

ρ(A) = max{|λ| : λ es valor propio de A}.

Diagonalización Sea A una matriz n × n.

Si A tiene n valores propios distintos λ1, . . . , λn y v1, . . . , vn son vectores propios asociados, entonces

D= V⁻¹AV.

• D es matriz diagonal

⎛

⎜⎜

⎜⎝

λ1 0 · · · 0 0 λ₂ · · · 0 ... ... . .. ...

0 0 · · · λn

⎞

⎟⎟

⎟⎠.

• V = (v1|v2| · · · |vn) tiene en columnas los vectores propios de A.

Ejemplo 1.1 Dada la matriz

A=

⎛

⎝ 3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠ ,

calcula:

(a) Valores propios. Radio espectral.

(b) Vectores propios asociados.

(d) Diagonaliza la matriz A.

(a)Cálculo de los valores propios.

Empezamos por calcular el polinomio característico

p(λ) = |A − λI| =

¯¯

¯¯

¯¯

3 − λ −1 0

−1 2 − λ −1

0 −1 3 − λ

¯¯

¯¯

¯¯

p(λ) = (3 − λ)²(2 − λ) − (3 − λ) − (3 − λ)

= (3 − λ) [(3 − λ)(2 − λ) − 2]

= (3 − λ) (λ| ²− 5λ + 4){z }

factorizamos

Factorizamos el polinomio característico.

λ²− 5λ + 4 = 0 ⇒ λ = 5 ±√

25 − 16

2 =

( ₅₊₃

2 = 4,

5−32 = 1.

p(λ) = (λ − 1)(3 − λ)(λ − 4).

Los valores propios son las soluciones de la ecuación característica p(λ) = 0.

λ₁ = 1, λ₂= 3, λ₃ = 4.

El espectro de A es

σ(A) = {1, 3, 4}.

El radio espectral de A es

ρ(A) = 4.

(b)Cálculo de vectores propios.

Para cada valor propio λ, tenemos que resolver el sistema (A − λI) v = 0.

Vectores propios asociados a λ = 1.

(A − I) v = 0,

⎛

⎝

2 −1 0

−1 1 −1

0 −1 2

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ ,

⎧⎨

⎩

2x − y = 0,

−x + y − z = 0,

−y + 2z = 0.

Resolvemos el sistema por reducción.

(1^a+ 2 · 2^a) → 1^a

⎧⎨

⎩

y − 2z = 0,

−x + y − z = 0,

−y + 2z = 0.

Eliminamos la tercera ecuación y resolvemos paramétricamente

½ y − 2z = 0,

−x + y − z = 0, ⇒

⎧⎨

⎩ x = t, y = 2t,

z = t, t ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ = 1 son de la forma

v= tv₁ , con v₁=

⎛

⎝ 1 2 1

⎞

⎠ .

Vectores propios asociados a λ = 3. Tenemos el sistema (A − 3I) v = 0,

⎛

⎝

0 −1 0

−1 −1 −1

0 −1 0

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ ,

½ −x − y − z = 0,

−y = 0. ⇒

⎧⎨

⎩

x = t, t ∈ R.

y = 0, z = −t.

Los vectores propios asociados a λ = 3 son de la forma

v= tv₂, con v₂=

⎛

⎝ 1 0

−1

⎞

⎠ .

Vectores propios asociados a λ = 4. Resolvemos (A − 4I) v = 0,

⎛

⎝ −1 −1 0

−1 −2 −1 0 −1 −1

⎞

⎠

⎛

⎝ x y z

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 0 0 0

⎞

⎠ .

⎧⎨

⎩

−x − y = 0,

−x − 2y − z = 0,

−y − z = 0.

⇒ (2^a− 1^a) → (2^a)

⎧⎨

⎩

−x − y = 0,

−y − z = 0,

−y − z = 0.

½ x + y = 0, y + z = 0. ⇒

⎧⎨

⎩

x = t, t ∈ R.

y = −t, z = t.

Vectores propios asociados a λ = 4

v= t v3, con v3 =

⎛

⎝ 1

−1 1

⎞

⎠ .

(c)Diagonalización

Formamos la base de vectores propios

B= (v₁, v₂, v₃) .

La matriz de cambio tiene en columnas los vectores propios

V=

⎛

⎝

1 1 1

2 0 −1

1 −1 1

⎞

⎠ .

Diagonalización. Se cumple

D= V⁻¹AV donde D es una matriz diagonal

D=

⎛

⎝

1 0 0 0 3 0 0 0 4

⎞

⎠ .

Verificamos la diagonalización

V⁻¹=

⎛

⎝

1/6 1/3 1/6

1/2 0 −1/2

1/3 −1/3 1/3

⎞

⎠ = 1 6

⎛

⎝

1 2 1

3 0 −3

2 −2 2

⎞

⎠ ,

V⁻¹AV= 1 6

⎛

⎝

1 2 1

3 0 −3

2 −2 2

⎞

⎠

⎛

⎝

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠

⎛

⎝

1 1 1

2 0 −1

1 −1 1

⎞

⎠

= 1 6

⎛

⎝ 1 2 1

3 0 −3

2 −2 2

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 3 4

2 0 −4

1 −3 4

⎞

⎠ = 1 6

⎛

⎝ 6 0 0

0 18 0 0 0 24

⎞

⎠

V⁻¹AV=

⎛

⎝

1 0 0 0 3 0 0 0 4

⎞

⎠ . ¤

Ejemplo 1.2 Cálculo de V⁻¹ por Gauss-Jordan.

Partimos de (V|I3) y operamos por filas hasta obtener (I3|V⁻¹).

⎛

⎝

1 1 1

2 0 −1

1 −1 1

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎞

⎠ ,

(2^a− 2 × 1^a) → (2^a) (3^a− 1^a) → (3^a)

⎛

⎝

1 1 1

0 −2 −3 0 −2 0

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0

−2 1 0

−1 0 1

⎞

⎠ ,

(−3^a) → (2^a) (2^a) → (3^a)

⎛

⎝

1 1 1

0 2 0

0 −2 −3

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0

1 0 −1

−2 1 0

⎞

⎠ ,

(3^a+ 2^a) → (3^a)

⎛

⎝

1 1 1 0 2 0 0 0 −3

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0

1 0 −1

−1 1 −1

⎞

⎠ ,

¡₁

2 × 2^a¢

→ (2^a)

¡−¹₃ × 3^a¢

→ (3^a)

⎛

⎝ 1 1 1 0 1 0 0 0 1

¯¯

¯¯

¯¯

1 0 0

1/2 0 −1/2

1/3 −1/3 1/3

⎞

⎠ ,

(1^a− 2^a− 3^a) → (1^a)

⎛

⎝

1 0 0 0 1 0 0 0 1

¯¯

¯¯

¯¯

1/6 1/3 1/6

1/2 0 −1/2

1/3 −1/3 1/3

⎞

⎠ ,

Resulta

V⁻¹ =

⎛

⎝

1/6 1/3 1/6

1/2 0 −1/2

1/3 −1/3 1/3

⎞

⎠ . ¤

2 Método de la potencia

2.1 Definiciones Valor propio dominante Es el de mayor módulo. Si

|λ¹| > |λ²| > · · · > |λⁿ| , entonces λ₁ es el valor propio dominante.

Vector normalizado Dado un vector

v=

⎛

⎜⎜

⎜⎝ v₁ v₂ ... vn

⎞

⎟⎟

⎟⎠,

decimos que la componente v_j es una componente dominante si

|vj| = kvk_∞= max

j |vj| .

Observa que un vector puede tener más de una componente dominante, pero todas las componentes dominantes deben tener el mismo valor absoluto.

Un vector está normalizado si sus componentes dominantes valen ±1. Si v_dom es una componente dominante de v, podemos obtener un vector nor- malizado ˆven la dirección de v

ˆ v= 1

v_dom · v.

Ejemplo 2.1 Dado el vector

v=

⎛

⎜⎜

⎝ 1

−2

−4 1

⎞

⎟⎟

⎠

determina las componente dominantes y calcula un vector normalizado.

La componente dominante es

v_dom = v₃= −4, vemos que

|v3| = kvk_∞. Vector normalizado

ˆ v= 1

v_domv= 1

−4

⎛

⎜⎜

⎝ 1

−2

−4 1

⎞

⎟⎟

⎠ =

⎛

⎜⎜

⎝

−1/4 1/2

1

−1/4

⎞

⎟⎟

⎠ .

Observamos que la componente dominante el vector normalizado vale 1. ¤ 2.2 Método de la potencia

Dada una matriz A matriz de dimensión n × n, el objetivo es calcular el valor propio dominante y un vector propio asociado.

Supondremos que la matriz A tiene valores propios distintos

|λ¹| > |λ²| > · · · > |λⁿ| ,

con vectores propios asociados v1, v2, · · · , vⁿ. También suponemos que te- nemos un vector inicial x⁽⁰⁾ que se puede escribir

x⁽⁰⁾ = α1v1+ · · · + αⁿvn con α1 6= 0.

Método

⎧⎪

⎨

⎪⎩

y^(j+1)= Ax^(j),

cj+1= componente dominante de y^(j+1), x^(j+1)= _c¹

j+1y^(j+1) ¡

Normalizado de y^(j+1)¢ . Si las hipótesis citadas son ciertas, entonces se cumple:

• La sucesión de escalares (cj) tiende al valor propio dominante λ₁ c1, c2, · · · , c^j, · · ·^j→∞→ λ¹.

• La sucesión de vectores ¡ x^(j)¢

tiende a un vector propio normalizado aso- ciado a λ1 .

x⁽¹⁾, x⁽²⁾, · · · , x^(j) · · ·^j→∞→ ˆv1.

Ejemplo 2.2 Aproxima el valor propio dominante y un vector propio aso- ciado de la matriz

A=

⎛

⎝

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠ .

Inicia las iteraciones con

x⁽⁰⁾=

⎛

⎝ 1 1 1

⎞

⎠ .

Fase 1.

y⁽¹⁾ = Ax⁽⁰⁾ =

⎛

⎝

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 1 1

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 2 0 2

⎞

⎠ ,

c1= 2 (componente dominante de y⁽⁰⁾), x⁽¹⁾ = 1

2y⁽¹⁾ = 1 2

⎛

⎝ 2 0 2

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 1 0 1

⎞

⎠ .

Fase 2.

y⁽²⁾= Ax⁽¹⁾=

⎛

⎝

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠

⎛

⎝ 1 0 1

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 3

−2 3

⎞

⎠ ,

c₂ = 3, x⁽²⁾= 1

3

⎛

⎝ 3

−2 3

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 1

−2/3 1

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 1.0

−0. 6667 1.0

⎞

⎠ .

Fase 3.

y⁽³⁾= Ax⁽²⁾=

⎛

⎝

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠

⎛

⎝ 1.0

−0. 6667 1.0

⎞

⎠ =

⎛

⎝

3.6667

−3.3333 3.6667

⎞

⎠ ,

c₃= 3.6667, x⁽³⁾=

⎛

⎝ 1

−0.9091 1

⎞

⎠ .

Fase 4.

y⁽⁴⁾ = Ax⁽³⁾ =

⎛

⎝

3.9091

−3.8181 3.9091

⎞

⎠ ,

c₄= 3.9091, x⁽⁴⁾ = 1

c₄y⁽⁴⁾ =

⎛

⎝ 1

−0.9767 1

⎞

⎠ .

Fase 5.

y⁽⁵⁾ = Ax⁽⁴⁾ =

⎛

⎝ 3.9767

−3.9534 3.9767

⎞

⎠ ,

c₅= 3.9767, x⁽⁵⁾ = 1

c₅y⁽⁵⁾ =

⎛

⎝ 1

−0.9942 1

⎞

⎠ .

Fase 6.

y⁽⁶⁾ = Ax⁽⁵⁾ =

⎛

⎝

3.9942

−3.9883 3.9942

⎞

⎠ ,

c₆= 3.9942, x⁽⁶⁾ = 1

c₆y⁽⁶⁾ =

⎛

⎝ 1

−0.9985 1

⎞

⎠ .

Fase 7.

y⁽⁷⁾ = Ax⁽⁶⁾ =

⎛

⎝

3.9985

−3.9970 3.9985

⎞

⎠ .

c7= 3.9985.

x⁽⁷⁾ = 1 c₇y⁽⁷⁾ =

⎛

⎝ 1

−0.9996 1

⎞

⎠ . Fase 8.

y⁽⁸⁾ = Ax⁽⁷⁾ =

⎛

⎝

3.9996

−3.9993 3.9996

⎞

⎠ , c₈= 3.9996,

x⁽⁸⁾ = 1 c8

y⁽⁸⁾ =

⎛

⎝ 1

−0.9999 1

⎞

⎠ . Fase 9.

y⁽⁹⁾ = Ax⁽⁸⁾ =

⎛

⎝

3.9999

−3.9998 3.9999

⎞

⎠ ,

c9= 3.9999, x⁽⁹⁾ = 1

c₉y⁽⁹⁾=

⎛

⎝ 1

−1 1

⎞

⎠ .

• Fase 10.

y⁽¹⁰⁾=

⎛

⎝ 4

−4 4

⎞

⎠ ,

C10= 4, x⁽¹⁰⁾=

⎛

⎝ 1

−1 1

⎞

⎠ = x⁽⁹⁾. El valor propio dominante es

λ = lim

j c_j = 4, y un vector propio asociado es

v= lim

j x^(j)=

⎛

⎝ 1

−1 1

⎞

⎠ .

En el Ejemplo 1.1, hemos visto que A tiene valores propios λ1 = 4, λ2= 3, λ3 = 1,

y que los vectores propios asociados a λ₁ son de la forma v= t

⎛

⎝ 1

−1 1

⎞

⎠ = tv1

v1 está normalizado. ¤

3 Método de la potencia inversa

Objetivo. Calcular el valor propio de módulo mínimo y un vector propio asociado. Es decir si los valores propios de A, que cumplen

|λ¹| > |λ²| > · · · > |λⁿ| > 0, queremos calcular λ_n.

Valores propios de la matriz inversa Sean

• (λ, v) par valor-vector propio de A.

• A invertible.

Entonces

• ¡₁

λ, v¢

es un par valor-vector propio de A⁻¹. Demostración.

Sabemos que se cumple

Av= λv, premultiplicamos por la matriz inversa

A⁻¹(Av) = A⁻¹(λv) , I_nv= λ¡

A⁻¹¢ v, v= λ¡

A⁻¹¢ v.

Si una matriz es invertible, sus valores propios no pueden ser nulos (¿por qué?), por lo tanto podemos multiplicar la útima igualdad por 1/λ y resulta

¡A⁻¹¢ v= 1

λv.

Es decir, μ = 1/λ es un valor propio de A⁻¹ con vector propio asociado v.

¤

Método

Sea A matriz n × n invertible con valores propios

|λ¹| > |λ²| > · · · > |λⁿ| > 0 y vectores propios asociados v₁, . . . , v_n.

Según hemos visto, la matriz B = A⁻¹ tiene valores propios μ_j = 1

λ_j.

Como se cumple ¯¯¯¯ 1 λ1

¯¯

¯¯ <

¯¯

¯¯ 1 λ2

¯¯

¯¯ < · · · <

¯¯

¯¯ 1 λn

¯¯

¯¯ , resulta

|μ1| < |μ2| < · · · < |μn| Además vj es un vector propio asociado a μ_j.

1. Calculamos B = A⁻¹

2. Aplicamos el método de la potencia a B y obtenemos el par

¡ μ_max, v ¢

→

½ μ_maxvalor propio dominante de B = A⁻¹, vvector propio asociado a μ_max.

3. Entonces

⎧⎨

⎩

λ_min= 1

μ_max es el valor propio de módulo mínimo de A ves un vector propio asociado a λ_max.

Ejemplo 3.1 Dada la matriz A=

µ −18 40

−12 26

¶ .

(a) Calcula el valor propio de módulo mínimo y un vector propio asociado.

Toma como vector inicial

x⁽⁰⁾= µ 1

1

¶ .

(b) Verifica el resultado.

(a) Empezamos calculando la inversa de A.

|A| =

¯¯

¯¯ −18 40

−12 26

¯¯

¯¯ = −468 + 480 = 12

A⁻¹ = 1 12

µ 26 −40 12 −18

¶

=

µ 13/6 −10/3 1 −3/2

¶

B= A⁻¹ =

µ 2.1667 −3.3333

1 −1.5

¶

Fase 0.

x⁽⁰⁾ = µ 1

1

¶ .

Fase 1.

y⁽¹⁾ = Bx⁽⁰⁾ =

µ 2.1667 −3.3333

1 −1.5

¶ µ 1 1

¶

=

µ −1. 1666

−0. 5

¶ , c₁ = −1.1666,

x⁽¹⁾ = 1 c₁y⁽¹⁾=

µ 1

0.4286

¶ . Fase 2.

y⁽²⁾= Bx⁽¹⁾=

µ 2.1667 −3.3333

1 −1.5

¶ µ 1 0.4286

¶

=

µ 0. 7381 0. 3571

¶ , c₂= 0.7381,

x⁽²⁾ =

µ 1

0.4839

¶ . Fase 3.

y⁽³⁾ = Bx⁽²⁾ =

µ 0. 5538 0. 2742

¶ , c3= 0.5538,

x⁽³⁾ = 1 c3

y⁽³⁾=

µ 1.00 0.4951

¶ . Fase 4.

y⁽⁴⁾ = Bx⁽³⁾ =

µ 0. 5162 0. 2574

¶ , c4= 0.5162,

x⁽⁴⁾ = 1 c4

y⁽⁴⁾=

µ 1

0.4984

¶ . Fase 5.

y⁽⁵⁾ = Bx⁽⁴⁾ =

µ 0. 5052 0. 2524

¶ , c₄= 0.5054,

x⁽⁵⁾ = 1 c₅y⁽⁵⁾=

µ 1

0.4995

¶ . Fase 6

y⁽⁶⁾ = Bx⁽⁵⁾ =

µ 0. 5018 0. 2508

¶ , c₆= 0.5018,

x⁽⁶⁾ = 1 c₆y⁽⁶⁾=

µ 1

0.4998

¶ .

Fase 7.

y⁽⁷⁾ = Bx⁽⁶⁾ =

µ 0. 5006 0. 2503

¶ , c7= 0.5006,

x⁽⁷⁾ = 1 c₇y⁽⁷⁾=

µ 1.

0.4999

¶ . Fase 8.

y⁽⁸⁾ = Bx⁽⁷⁾ =

µ 0. 5002 0. 2501

¶ , c₈= 0.5002,

x⁽⁸⁾ = 1 c₈y⁽⁸⁾ =

µ 1.

0.5

¶ . Fase 9.

y⁽⁹⁾ = Bx⁽⁸⁾ =

µ 0. 5001 0. 2501

¶ , c₉= 0.5001,

x⁽⁹⁾ = 1 c₉y⁽⁹⁾ =

µ 1.

0.5

¶ .

Podemos tomar como valor propio de módulo máximo de A⁻¹ μ_max = 0.500,

vector propio asociado de μ_max v=

µ 1 0.5

¶ .

Entonces, el valor propio de módulo mínimo de A será λmin = 1

μ_max = 1 0.5 = 2, con vector propio asociado

v= µ 1

0.5

¶ .

(b) Para verificar el resultado, calculamos los valores y vectores propios de A.

A=

µ −18 40

−12 26

¶ .

Polinomio característico

p (λ) = |A−λI| =

¯¯

¯¯ −18 − λ 40

−12 26 − λ

¯¯

¯¯

= (−18 − λ)(26 − λ) + 480

= λ²− 8λ + 12.

Valores propios

p(λ) = 0 ⇒ λ²− 8x + 12 = 0, λ = 8 ±√

64 − 48

2 = 8 ±√

16

2 =

( ₈₊₄

2 = 6,

8−42 = 2.

λ₁= 6, λ₂= 2.

El vector propio de módulo mínimo es λ₂= 2.

Calculamos los vectores propios asociado al valor propio de módulo mínimo.

(A − 2I) v = 0, µ −20 40

−12 24

¶ µ x y

¶

= µ 0

0

¶ ,

½ −20x + 40y = 0,

−12x + 24y = 0. ⇐⇒

½ −x + 2y = 0,

−x + 2y = 0.

½ x = 2t,

y = t, t ∈ R.

Los vectores propios asociados a λ = 2 son de la forma v= tv1, con v1 =

µ 2 1

¶ .

Un vector propio normalizado es ˆ v1 =

µ 1 1/2

¶ . ¤

4 Método de la potencia inversa desplazada

ObjetivoAproximar un valor propio λ y un vector propio asociado a partir de una estimación ¯λw λ.

Valores propios de C= (A−αI) . Sea

• (λ, v) par de valor-vector propio de A

Entonces

• (λ − α, v) es par valor-vector propio de C = (A − αI).

Demostración

Av = λv

Av− αv = λv − αv (A − αI) v = (λ − α) v ¤ Fundamento del método

Si ¯λ está próximo al valor propio λ de A entonces C = A − ¯λI tiene un valor propio δ = λ − ¯λ con |δ| pequeño y podemos aplicar el método de la potencia inversa a C para determinar δ = λ − ¯λ.

Partimos de una matriz A de orden n × n con valores propios

|λ¹| > |λ²| > · · · > |λ^j| > · · · > |λⁿ| ,

y vectores propios asociados v1, v2, . . . , vn. Disponemos además de una es- timación inicial ¯λ w λj. El objetivo es aproximar el valor de λ_j y obtener un vector propio asociado.

1. Calculamos C = A − ¯λI que tiene un valor propio de módulo mínimo δ_min = λ_j − ¯λ.

2. Calculamos B = C⁻¹ que tiene un valor propio dominante μ_max= 1

δmin

= 1

λ_j − ¯λ ,

y aplicamos el método de la potencia a B para obtener μ_max y un vector propio asociado v.

3. Entonces

μ_max= 1

λj − ¯λ ⇒ λ^j = 1 μ_max + ¯λ.

Ejemplo 4.1 Sabemos que la matriz

A=

⎛

⎝ 3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠ ,

tiene un valor propio λ ∼= 2.8. Calcula el valor de λ y determina un vector propio asociado. Empieza las iteraciones con el vector

x⁽⁰⁾=

⎛

⎝ 5 1 1

⎞

⎠ .

Tenemos la aproximación ¯λ = 2.8. Calculamos C = A − ¯λI

C= A−¯λI =

⎛

⎝

3 −1 0

−1 2 −1

0 −1 3

⎞

⎠−

⎛

⎝

2.8 0 0 0 2.8 0

0 0 2.8

⎞

⎠ =

⎛

⎝

0.2 −1 0

−1 −0.8 −1 0 −1 0.2

⎞

⎠ .

Vamos a calcular el valor propio de módulo mínimo de C aplicando el método de la potencia inversa. Calculamos B = C⁻¹.

B=

⎛

⎝

2. 6852 −. 46296 −2. 3148

−. 46296 −9. 2593 × 10⁻² −. 46296

−2. 3148 −. 46296 2. 6852

⎞

⎠ .

Aplicamos el método de la potencia a B y determinamos μ_max. Fase 0.

x⁽⁰⁾=

⎛

⎝ 5 1 1

⎞

⎠ ,

Fase 1

y⁽¹⁾ = Bx⁽⁰⁾=

⎛

⎝

2. 6852 −. 46296 −2. 3148

−. 46296 −9. 2593 × 10⁻² −. 46296

−2. 3148 −. 46296 2. 6852

⎞

⎠

⎛

⎝ 5 1 1

⎞

⎠

=

⎛

⎝

10. 648

−2. 8704

−9. 3518

⎞

⎠ ,

c₁ = 10. 648,

x⁽¹⁾= 1 c1

y⁽¹⁾ = 1 10. 648

⎛

⎝

10. 648

−2. 8704

−9. 3518

⎞

⎠ =

⎛

⎝ 1.0

−. 26957

−. 87827

⎞

⎠ .

Fase 2.

y⁽²⁾ = Bx⁽¹⁾=

⎛

⎝

2. 6852 −. 46296 −2. 3148

−. 46296 −9. 2593 × 10⁻² −. 46296

−2. 3148 −. 46296 2. 6852

⎞

⎠

⎛

⎝ 1.0

−. 26957

−. 87827

⎞

⎠

=

⎛

⎝

4. 843

−3. 1396 × 10⁻²

−4. 5483

⎞

⎠ ,

c₂= 4. 843,

x⁽²⁾= 1 4. 843

⎛

⎝

4. 843

−3. 1396 × 10⁻²

−4. 5483

⎞

⎠ =

⎛

⎝

1.0

−6. 4828 × 10⁻³

−. 93915

⎞

⎠ .

Fase 3.

y⁽³⁾= Bx⁽²⁾=

⎛

⎝

4. 8621

−2. 7571 × 10⁻²

−4. 8336

⎞

⎠ ,

c3 = 4. 8621, x⁽³⁾ = 1

c3

y⁽³⁾ =

⎛

⎝

1.0

−5. 6706 × 10⁻³

−. 99414

⎞

⎠ .

Fase 4.

y⁽⁴⁾= Bx⁽³⁾=

⎛

⎝ 4. 9891

−2. 1879 × 10⁻³

−4. 9816

⎞

⎠ ,

c4 = 4. 9891, x⁽⁴⁾ = 1

c4

y⁽⁴⁾ =

⎛

⎝

1.0

−4. 3854 × 10⁻⁴

−. 9985

⎞

⎠ .

Fase 5.

y⁽⁵⁾= Bx⁽⁴⁾=

⎛

⎝

4. 9967

−6. 5383 × 10⁻⁴

−4. 9958

⎞

⎠ ,

c4 = 4. 9967, x⁽⁵⁾ = 1

c₅y⁽⁵⁾ =

⎛

⎝

1.0

−1. 3085 × 10⁻⁴

−. 99982

⎞

⎠ .

Fase 6.

y⁽⁶⁾= Bx⁽⁵⁾=

⎛

⎝

4. 9996

−7. 1217 × 10⁻⁵

−4. 9995

⎞

⎠ ,

c₆ = 4. 9996, x⁽⁶⁾ = 1

c₆y⁽⁶⁾ =

⎛

⎝ 1.0

−1. 4245 × 10⁻⁵

−. 99998

⎞

⎠ .

Fase 7.

y⁽⁷⁾=¡ B⁻¹¢

x⁽⁶⁾ =

⎛

⎝

5.0

−7. 9402 × 10⁻⁶

−4. 9999

⎞

⎠ ,

c₇ = 5, x⁽⁷⁾= 1

c₇y⁽⁷⁾ =

⎛

⎝

1.0

−1. 588 × 10⁻⁶

−. 99998

⎞

⎠ .

Fase 8.

y⁽⁸⁾= Bx⁽⁷⁾=

⎛

⎝

5.0

−9. 1122 × 10⁻⁶

−4. 9999

⎞

⎠ ,

c₈ = 5, x⁽⁸⁾ = 1

c₈y⁽⁸⁾ =

⎛

⎝

1.0

−1. 8224 × 10⁻⁶

−. 99998

⎞

⎠ .

Podemos tomar como valor propio de módulo máximo de B = C⁻¹ μ_max = 5,

El vector propio asociado de μ_max, con 4 decimales es

v=

⎛

⎝ 1 0

−1

⎞

⎠ .

El valor propio de A próximo a ¯λ = 2.8 es λ = 1

μ_max + ¯λ = 1

5 + 2.8 = 3.0 y el vector propio asociado es

v=

⎛

⎝ 1 0

−1

⎞

⎠ . ¤