∫∫∫ −− xsenxa)dxb)dxc)dxxcosxxx 111

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO

TIPO “C”

04 de Diciembre de 2009 Semestre 2010-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Calcular el valor medio de la función

( )

¹

f x = +cos x⎛⎜⎝ −

π

2 ⎞⎟⎠en el intervalo 2 2,

⎡−

π π

⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, y obtener el o los valor de

c_{∈ −⎡}

π π

2 2, _⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦tal que se cumple con el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

20 puntos

2. Calcular

2 x

dy

dx ₌ de x

( )

²

x

y=loge x

16 puntos

3. Efectuar

4 2 2 3 7

1

1 1

x sen x

a ) dx b ) dx c ) dx

x − x −x cos x

∫ ∫ ∫

24 puntos

1EF10-1C

4. Calcular la longitud de arco de la gráfica de la función

^{f x} ( ) ^{= 2 x}

³ , desde el origen hasta el punto de ordenada 2

15 puntos

5. Determinar si existe el límite

3 3

2 2

1 1 x y

x y

lim^→_→ x y

−

−

10 puntos

6. Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación

( )

^{4 2}

f x, y = − y en el punto

(

^{1 1, , 3}

)

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Final Tipo “C”

Semestre 2010 – 1

1.

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

1 2 2

2 2

2 0 2 2 2 1

1

x sen x

cos x dx

f c

sen sen

f c

Re spuesta f c

π π

π π

π π

π π π

π π π π π π

π π π

− −

⎛ + ⎛⎜ − ⎞⎟⎞ − ⎛⎜ − ⎞⎟

⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞

− −⎜⎝ ⎟⎠

⎡ ⎤

− − −⎢⎣ − ⎥⎦ +

= = = =

=

∫

( ) ( )

( )

1 1

2

1 1 0

2 2

2 0 2 2

0

S i f c y f c c o s c

c o s c c o s c

c a n g c o s c

R e s p u e s t a c

π

π π

π π π

⎛ ⎞

= = + ⎜⎝ − ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ = + ⎜⎝ − ⎟⎠ ⇒ ⎜⎝ − ⎟⎠ =

⇒ − = ⇒ − =

=

20 puntos

2.

( )

( )

^{( )}

2

2

2 2

2

2 1 1

2 2

1 2

x

x

x

x

ln x x ln x

S ea y ln x

ln e x

d y d y d y

d x x d x x d x

R e su lta d o d y

d x

=

=

= = =

⇒ = ⇒ = ⇒ =

=

16 puntos

b) Por

3. a) Po

(

4

1 4 x x

x x Si x

A ento I

−

−

⇒

=

=

=

I

I I

=

=

=

sustitución

2

2 2

1 x sen

x dx cos

x sen

θ

θ θ

=

− =

=

=

or fraccion

(

)( ) (

(

( )

1 2

1 1

1 1

4 1

1 4

1

4 1

x x x x A x

Si A

B onces

x

− = −

− +

= +

=

−

=

∫

−

4

4 2

4 2

1

1 1 ln x

ln x ln x

− +

− +

− −

n trigonom

cos d

θ θ θ

θ

nes parciale

)( )

( )

) ( )

(

2

2 2

1 1

1

1 1

1 4 1 4

4 x

x

x x x i x

B

dx x

+ + =

+ +

= −

= −

=

+

∫

4

4 2

1 1 1 2 2 ln x

ln x + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− +

métrica

es

( )(

( ) (

)

1

1 1

0 1 1 0 4 4

0

1 1

x

A B

x x

B x Si x

D

x dx

= −

− + +

+ −

=

= −

=

+ +

2

1 1 2 2

2 1 1

x dx x

C R I

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟ +

⎠ +

∫

) (

( ) ⁽

(

2

2

2

2

1

1 1

1

1 4

2 1

x

x x

C x D x x

S D

x x

+ +

+ + + + +

−

−

∫

+

2

4 2

2 4

2

2 1 x dx x

x ln x

Re sultado I ln x

x +

=

=

∫

)

)(

)

1

2 2 1 3 5

4 1 2

1 D

C x D x Si x

C

dx +

+

=

= +

= − i i

(

1 1 4

1 1 x

ln

C

− −

− + +

S1E

)(

( )

1 1

1 1 5 2 4

x− x +

+ +

(

^{x2 +1}

)

^{+ C}

EF10-1C

) ( )

1

2C 1 3

C

S1EF10-1C

2

2 2

2

2

1

1

1 c o s

I d d c s c d

s e n c o s s e n

I c o t C x C

x

R e su lta d o

I x C

x

θ θ θ θ θ

θ θ θ

θ

= = =

= − + = − − +

= − − +

∫ ∫ ∫

c) Por identidades trigonométricas

1 1

3 3 1

3

7 1 6

3

3 3

43

2

3 4

3 4

1

3

4 4

3

3 4

sen x sen x

I dx dx tan x sec x dx

cos x

cos x cos x

tan x

I C tan x C

Re sultado

I tan x C

= = =

= + = +

= +

∫ ∫

ⁱ

∫

24 puntos

4.

( ) ( )

( )

( )

1 2

3 2

1 2

0

3 1

3

0

3

2 3 9 1 9

2 2

2 2 1

2 2 2

1 9 1 0

3 3 3

2 1 0 1

3

f ' x x f ' x x S x d x

S i y

x x

S x

R e s u lta d o

S u

= ⇒ ⎡⎣ ⎤⎦ = ⇒ = +

=

⇒ = ⇒ =

= + = −

= −

∫

i

10 puntos

S1EF10-1C 5.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3 3 2

2 2 2 2

1 1 1 1

3 3 3 2

2 2 2 2

1 1 1 1

2

3 6

2 4

1

1 1

1 3

1 1 1 2

1 1

1 3

1 1 1 2

x y x x

y x y y

x

x x x

x y x

lim lim lim lim

x y x x x

y y y

x y y

lim lim lim lim

x y y y y

s e a la tr a y e c to r ia d e e c u a c ió n y x

x x

lim x x

→ → → →

→ → → →

→

− + +

⎡ − ⎤ = ⎡ − ⎤ = =

⎢ − ⎥ ⎢ − ⎥ − +

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− + +

⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤

= = =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − − +

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

⎡ −

⇒ ⎢⎣ −

( )

( ) ^{( )} ( )

( )( )

3 3 2

2 2

1 1

1 1 1 3

1 1 2

1

3 2

x x

x x x x x x

lim lim

x x

x x

P o r lo q u e e l lím ite e x is te y e s

→ →

− − + +

⎤ = = =

⎥ − − +

⎦

15 puntos

6. La ecuación del plano tangente es

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

0 0 0

0

0

0

2 2

0 1

1 3

4 0

0 2 2

0 2 2 3

0 1 2 1 2 3 3 0

2 2 2 3 6 0

2 2 3 8 0

P P P

a x x b y y c z z d o n d e

x

F F F

y y a b c

x y z

z

S i F x , y , z y z s i z

F F F

y z

x y z

F , ,

x y z

y z

R e s u l t a d o

y z

− + − + − =

=

∂ ∂ ∂

= = = =

∂ ∂ ∂

=

= − − ≥

∂ ∂ ∂

⇒ = = − = −

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤

⇒ ∇ = ⎣ − − ⎦

⇒ − − − − − =

− + − + =

+ − =