C ´ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN R

Ignacio Gracia Rivas

Narciso Rom´ an-Roy

Narciso Urbizu Monta˜ n´ es

Departamento de de Matem´ atica Aplicada IV C/ Jordi Girona 1; Edificio C-3, Campus Norte UPC

E-08034 Barcelona

18 de febrero de 2004

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Estos Apuntes de An´alisis Vectorial constituyen una gu´ıa personal a la asignatura de An´alisis Vectorial que se imparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingenier´ıa de Telecomunicaci´on (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ning´un momento pretenden ser una gu´ıa oficial, ni tan siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura.

Est´an basados (aunque no integramente) en los apuntes que, sobre diversas partes del programa, hab´ıan preparado principalmente los profesores M.C. Mu˜noz Lecanda y P. Morillo Bosch. Debemos agradecer tambi´en la colaboraci´on de otros muchos compa˜neros que han impartido esta asignatura y que, adem´as de hacernos valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque somos consciente de que todav´ıa pueden quedar otros muchos por detectar). Entre estos profesores hemos de citar, adem´as de los anteriores, a E. Garriga Valle, X. Gr`acia Sabat´e, P. Mart´ın de la Torre y G. S´aez Moreno.

i

1 Topolog´ıa de Rⁿ. Sucesiones 2

1.1 Introducci´on . . . 2

1.2 Nociones de Topolog´ıa de Rⁿ . . . 2

1.2.1 Norma y distancia . . . 2

1.2.2 Bolas y rect´angulos abiertos y cerrados . . . 4

1.2.3 Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera . . . 5

1.2.4 Abiertos y cerrados . . . 6

1.3 Sucesiones en Rⁿ . . . 9

1.3.1 Sucesiones de vectores en Rⁿ . . . 9

1.3.2 Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . 10

1.3.3 Sucesiones, puntos interiores y puntos frontera . . . 11

1.3.4 Conjuntos compactos y sucesiones . . . 11

2 L´ımites y continuidad de funciones en Rⁿ 13 2.1 Introducci´on . . . 13

2.2 Funciones de varias variables . . . 13

2.2.1 Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel . . . 13

2.3 L´ımites de funciones . . . 15

2.3.1 L´ımite de una funci´on en un punto y en el infinito . . . 15

2.3.2 L´ımites direccionales. L´ımites reiterados . . . 16

2.4 Continuidad . . . 18

2.4.1 Continuidad. Propiedades de las funciones continuas . . . 18

2.4.2 Propiedades topol´ogicas. Teorema de Weierstrass. Consecuencias . . . 19

2.4.3 Continuidad uniforme . . . 20

3 C´alculo Diferencial en Rⁿ 21 3.1 Introducci´on . . . 21

3.2 Diferenciabilidad de funciones en Rⁿ . . . 21

ii

3.2.1 Diferenciabilidad de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica . . . 21

3.2.2 Derivadas direccionales. Derivadas parciales. Matriz jacobiana . . . 24

3.2.3 Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales. Aproximaci´on lineal . . . 26

3.2.4 Caracterizaci´on de funciones diferenciables . . . 27

3.3 Propiedades de las funciones diferenciables . . . 29

3.3.1 Propiedades elementales (linealidad y otras) . . . 29

3.3.2 Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz . . . 29

3.3.3 Regla de la cadena. Aplicaciones . . . 31

3.3.4 Teorema de la funci´on impl´ıcita . . . 33

3.3.5 Teorema de la funci´on inversa . . . 35

3.4 Operadores diferenciales . . . 37

3.4.1 Gradiente de un campo escalar. Campos conservativos . . . 37

3.4.2 Rotacional de un campo vectorial. Campos irrotacionales . . . 39

3.4.3 Divergencia de un campo vectorial. Campos solenoidales . . . 41

3.4.4 Laplaciana de funciones escalares y vectoriales. Funciones arm´onicas . . . 42

3.4.5 Expresi´on de los operadores diferenciales en otras coordenadas . . . 43

3.4.6 Otras propiedades de los operadores diferenciales . . . 43

3.4.7 Determinaci´on de funciones potenciales escalares y vectoriales . . . 44

4 Curvas y superficies 46 4.1 Introducci´on . . . 46

4.2 Curvas . . . 46

4.2.1 Curvas en Rⁿ . . . 46

4.2.2 Curvas regulares . . . 48

4.2.3 Recta tangente y plano normal a una curva. Aplicaciones . . . 50

4.2.4 Orientaci´on . . . 51

4.3 Superficies . . . 51

4.3.1 Superficies en R³ . . . 51

4.3.2 Superficies regulares . . . 53

4.3.3 Plano tangente y recta normal a una superficie . . . 55

4.3.4 Superficies orientadas . . . 56

4.4 Borde de un conjunto. Conectividad . . . 57

4.4.1 Frontera geom´etrica o borde de un conjunto . . . 57

4.4.2 Deformaciones de curvas y superficies. Conjuntos conexos . . . 58

5 Estudio local de funciones en Rⁿ 61

5.1 Introducci´on . . . 61

5.2 F´ormula de Taylor . . . 61

5.2.1 F´ormula de Taylor. Expresi´on del resto. . . 61

5.3 C´alculo de extremos . . . 62

5.3.1 Formas cuadr´aticas . . . 62

5.3.2 Extremos libres. Puntos cr´ıticos. Condici´on necesaria de extremo . . . 64

5.3.3 Condici´on suficiente de extremo . . . 65

5.3.4 Extremos condicionados . . . 67

5.3.5 M´etodo de los multiplicadores de Lagrange . . . 67

5.3.6 Extremos absolutos de una funci´on continua en un compacto . . . 69

6 Integraci´on de funciones escalares en Rⁿ 71 6.1 Introducci´on . . . 71

6.2 Concepto de integral m´ultiple . . . 71

6.2.1 Integral m´ultiple en un rect´angulo . . . 71

6.2.2 Medida y contenido cero . . . 73

6.2.3 Funciones integrables en un rect´angulo . . . 75

6.2.4 Integral m´ultiple en una regi´on m´as general . . . 75

6.3 Propiedades de la integral m´ultiple . . . 76

6.3.1 Primeras propiedades . . . 76

6.3.2 Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivaci´on bajo el signo integral) . . . 77

6.3.3 C´alculo de integrales m´ultiples por iteraci´on: Teorema de Fubini . . . 79

6.3.4 Cambio de variable . . . 81

6.4 Integrales impropias . . . 82

6.4.1 Funci´on no acotada en el entorno de un punto . . . 82

6.4.2 Regi´on de integraci´on no acotada . . . 83

7 Integrales de l´ınea y de superficie 84 7.1 Introducci´on . . . 84

7.2 Integrales de l´ınea de campos escalares y vectoriales . . . 84

7.2.1 Longitud de un arco de curva . . . 84

7.2.2 Integral de l´ınea de un campo escalar. Propiedades . . . 85

7.2.3 Integral de l´ınea de un campo vectorial. Propiedades . . . 87

7.3 Integrales de l´ınea de campos conservativos . . . 89

7.3.1 Independencia del camino en una integral de l´ınea . . . 89

7.3.2 Caracterizaci´on de campos conservativos mediante integrales de l´ınea . . . 90

7.3.3 Determinaci´on de funciones potenciales escalares mediante integrales de l´ınea . . . 91

7.4 Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales . . . 91

7.4.1 Area de una superficie . . . .´ 91

7.4.2 Integral de superficie de un campo escalar. Propiedades . . . 93

7.4.3 Integral de superficie de un campo vectorial. Propiedades . . . 94

8 Teoremas del An´alisis Vectorial 97 8.1 Introducci´on . . . 97

8.2 Teorema de Stokes . . . 97

8.2.1 Teorema de Stokes en R³. Aplicaciones . . . 97

8.2.2 Teorema de Stokes en casos especiales . . . 98

8.2.3 Teorema de Green. Aplicaciones . . . 100

8.2.4 Caracterizaci´on de campos conservativos por medio del teorema de Stokes . . . 101

8.2.5 Aplicaci´on: Resoluci´on de ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante . . . 101

8.3 Teorema de la divergencia . . . 103

8.3.1 Teorema de Gauss-Ostrogadski en R³. Aplicaciones . . . 103

8.3.2 Teorema de Gauss-Ostrogadski en R². Aplicaciones . . . 104

8.3.3 Caracterizaci´on de los campos solenoidales . . . 105

8.4 Otras aplicaciones . . . 107

8.4.1 Definici´on intr´ınseca de los operadores diferenciales . . . 107

A lo largo del curso se va a trabajar en el conjunto Rⁿ:=

n

z }| {

R × . . . × R, que es un espacio af´ın n-dimensional.

Esto significa que, una vez fijado un origen, Rⁿ se identifica con un espacio vectorial, el cual se supondr´a dotado con la m´etrica eucl´ıdea (con lo que Rⁿ es un espacio vectorial eucl´ıdeo). Salvo indicaci´on contraria, se tomar´a la base can´onica usual referida a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales; es decir, la que est´a formada por vectores ortonormales que denotaremos {ei}i=1...n ≡ (e1, . . . , en). Los elementos x ∈ Rⁿ presentan, por consiguiente, una naturaleza dual, por cuanto se pueden considerar indistintamente como puntos, que vendr´an especificados por medio de sus coordenadas x ≡ (x1, . . . , xn), o como vectores, que ser´ıan los vectores de posici´on de dichos puntos, en cuyo caso los valores de las coordenadas del punto son las componentes escalares del vector de posici´on, esto es, x = x1e1+ . . . + xnen ≡

n

X

i=1

xiei. Finalmente,

el producto escalar de dos vectores x, x⁰∈ Rⁿ se especificar´a poniendo hx, x⁰i ≡

n

X

i=1

xix⁰_i.

Eventualmente, tambi´en se manejaran otros sistemas de coordenadas en R²y R³; en particular:

• Coordenadas polares en R².

Se designan por (r, φ); con r ∈ (0, ∞), θ ∈ [0, 2π). La relaci´on con las coordenadas cartesianas (x, y) en R²es

x = r cos φ , y = r sin φ

• Coordenadas cil´ındricas en R³.

Se designan por (r, φ, z); con r ∈ (0, ∞), φ ∈ [0, 2π), z ∈ (−∞, ∞). La relaci´on con las coordenadas cartesianas (x, y, z) en R³ es

x = r cos φ , y = r sin φ , z = z

• Coordenadas esf´ericas en R³.

Se designan por (r, φ, θ); con r ∈ (0, ∞), φ ∈ [0, 2π), θ ∈ [0, π). La relaci´on con las coordenadas cartesianas (x, y, z) en R³ es

x = r sin θ cos φ , y = r sin θ cos φ , z = r cos θ

1

Topolog´ıa de R ⁿ . Sucesiones

1.1 Introducci´ on

Antes de comenzar el estudio de las funciones reales de varias variables, es preciso hacer algunas consid- eraciones sobre el espacio en que se definen, esto es, Rⁿ. En t´erminos m´as precisos, lo primero que se va a hacer en este cap´ıtulo preliminar es una somera introducci´on a ciertas nociones topol´ogicas¹ sobre Rⁿ. Concretamente, se presentar´an las definiciones que generalizan algunos conceptos b´asicos bien conocidos en la recta real R, como son las nociones de distancia entre puntos o de intervalo, entre otras. La exposici´on concluir´a analizando otras caracter´ısticas de Rⁿ relacionadas con las sucesiones, que est´an en ´ıntima relaci´on con sus propiedades topol´ogicas como, p. ej., la completitud.

1.2 Nociones de Topolog´ıa de

1.2.1 Norma y distancia

Los dos primeros conceptos que se van a definir generalizan en Rⁿ las nociones de valor absoluto y distancia en R.

Definici´on 1 Para todo vector x ∈ Rⁿ, se denomina norma o m´odulo de x al valor

kxk ≡ hx, xi^1/2≡ v u u t

n

X

i=1

x²_i

Comentario:

• Obs´ervese que cuando n = 1 esta es precisamente la definici´on de valor absoluto, (luego es una buena generalizaci´on de este concepto).

Algunas propiedades de la norma son las siguientes:

Proposici´on 1 ∀x, y ∈ Rⁿ, ∀λ ∈ R.

1. kxk ≥ 0, y kxk = 0 ⇐⇒ x = 0

1La Topolog´ıa es la parte de las matem´aticas que estudia las propiedades de los espacios que son invariantes por transfor- maciones que los “deforman” (sin “romperlos”) y, por tanto, independientes de los sistemas coordenados elegidos.

2

2. kλxk = |λ|kxk; y como consecuencia kx − yk = ky − xk.

3. |hx, yi| ≤ kxk kyk (desigualdad de Schwarz).

4. kx + yk ≤ kxk + kyk.

5. kx − yk ≥ kxk − kyk.

6. Si x ≡ (xi), entonces |xi| ≤ kxk ≤Pn i=1|xi|.

( Dem. ) Se basan en las propiedades del producto escalar. Se demostrar´an ´unicamente 3 y 4.

3. Se tiene que demostrar que:

(

n

X

i=1

x_iy_i)²≤ (

n

X

i=1

x_i)²(

n

X

i=1

y_i)².

En efecto, se observa que (Pn

i=1xiz + yi)² ≥ 0, ∀z ∈ R. Haciendo A =

n

X

i=1

x²_i, B =

n

X

i=1

xiyi y C =

n

X

i=1

y²_i se tiene Az²+ 2Bz + C ≥ 0 y por tanto la ecuaci´on de 2^o grado Az²+ 2Bz + C, o tiene una soluci´on real doble, o no tiene ninguna, lo que implica B²− AC ≤ 0 que es la desigualdad buscada.

Se ha supuesto que A 6= 0. Si A = 0 la demostraci´on es trivial pues todos los x_i son nulos.

5. Teniendo en cuenta la propiedad anterior, se tiene que

kx+yk²=

n

X

i=1

(x_i+y_i)²=

n

X

i=1

(x²_i+y_i²+2x_iy_i) = kxk²+2x·y +kyk²≤ kxk²+2 kxk kyk+kyk²= ( kxk+kyk )²

Se dice que (Rⁿ, k k ) es un espacio normado.

Definici´on 2 Dados dos puntos x, y ∈ Rⁿ, con x ≡ (x1, . . . , xn), y ≡ (y1, . . . , yn), se denomina distancia entre x e y a la norma del vector x − y; es decir,

d(x, y) ≡ kx − yk ≡ hx − y, x − yi^1/2≡ v u u t

n

X

i=1

(xi− yi)²

Las propiedades de la distancia se obtienen a partir de las de la norma y algunas de ellas son las siguientes:

Proposici´on 2 ∀x, y, z ∈ Rⁿ. 1. d(x, y) = d(y, x).

2. d(x, y) = 0 ⇔ y = x.

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular).

( Dem. ) Inmediatas.

Se dice que (Rⁿ, d) es un espacio m´etrico. Con estas definiciones, siguiendo la terminolog´ıa del ´Algebra Lineal, Rⁿ es un espacio vectorial eucl´ıdeo.

1.2.2 Bolas y rect´ angulos abiertos y cerrados

Los siguientes conceptos generalizan en Rⁿ las nociones de intervalos (abiertos y cerrados) en R.

Definici´on 3 Sea un punto p ∈ Rⁿ y un escalar r ∈ R⁺.

1. Se denomina esfera con centro en p y radio r al conjunto

S(p, r) = S_r(p) ≡ {x ∈ Rⁿ | d(x, p) = r}

2. Se denomina bola abierta con centro en p y radio r al conjunto

B(p, r) = Br(p) ≡ {x ∈ Rⁿ | d(x, p) < r}

3. Se denomina bola cerrada con centro en p y radio r al conjunto

B(p, r) = ¯¯ Br(p) ≡ Br(p) ∪ Sr(p) ≡ {x ∈ Rⁿ | d(x, p) ≤ r}

(Tambi´en se utiliza la bola perforada B_r^∗(a) = Br(a) − {a}).

Definici´on 4 En Rⁿse denomina rect´angulo abierto H (respectivamente rect´angulo cerrado ¯H) al producto cartesiano de n intervalos abiertos (resp. cerrados) de R:

H ≡ (a₁, b₁) × . . . (a_n, b_n) ≡

n

Y

i=1

(a_i, b_i)

H ≡ [a¯ 1, b1] × . . . [an, bn] ≡

n

Y

i=1

[ai, bi]

En ambos casos, se denomina centro del rect´angulo al punto de Rⁿ cuyas coordenadas son las de los puntos medios de los correspondientes intervalos; es decir,

c ≡ a₁+ b₁

2 , . . . ,a_n+ b_n 2



Comentario:

• Existen rect´angulos que no son ni abiertos ni cerrados: son aquellos formados a partir de productos cartesianos de intervalos abiertos, cerrados y/o semiabiertos indistintamente.

Una relaci´on entre bolas y rect´angulos est´a dada por la siguiente propiedad:

Proposici´on 3 1. Toda bola contiene un rect´angulo y, a su vez, est´a contenida en un rect´angulo, todos con el mismo centro.

2. Todo rect´angulo contiene una bola y, a su vez, est´a contenido en una bola, todos con el mismo centro.

( Dem. ) Evidente.

Comentarios:

• Como consecuencia de esta propiedad, a partir de un punto se puede construir una secuencia infinita alternada de bolas y rect´angulos, cada uno incluyendo al precedente, que tienen como centro dicho punto.

• Realmente, las nociones de bola y rect´angulo son topol´ogicamente equivalentes puesto que el paso de una a otra se lleva a cabo por una mera “deformaci´on” del espacio Rⁿ, esto es, matem´aticamente hablando, por medio de un cambio de coordenadas (p. ej., de cartesianas a esf´ericas).

• Obs´ervese que cuando n = 1 de ambas definiciones se recupera la noci´on de intervalo.

Definici´on 5 Un conjunto A ⊂ Rⁿ se dice que est´a acotado si existe alguna bola o rect´angulo que lo contenga.

Definici´on 6 Se denomina entorno de un punto p ∈ Rⁿ a todo conjunto E(p) (acotado) que contenga una bola o rect´angulo con centro en p.

1.2.3 Puntos interiores, adherentes, exteriores y frontera

A fin de poder hacer consideraciones de tipo topol´ogico sobre conjuntos que no sean ni bolas ni rect´angulos, es necesario introducir nuevos conceptos.

Definici´on 7 Sea un conjunto A ⊂ Rⁿ y un punto x ∈ Rⁿ.

1. Se dice que x es un punto interior de A si ∃B_r(x) contenida en A (lo que implica que x ∈ A).

Se denomina interior de A, y se designa por ˚A o bien Int A, al conjunto formado por todos sus puntos interiores.

2. Se dice que x es un punto adherente de A si ∀Br(x) contiene puntos de A En particular, los puntos adherentes pueden ser de dos tipos:

(a) Se dice que x es un punto de acumulaci´on de A si ∀Br(x) contiene alg´un punto de A, distinto de x (lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A).

Se denomina acumulaci´on de A, y se designa por A⁰, al conjunto formado por todos sus puntos de acumulaci´on.

(b) Se dice que x es un punto aislado de A si es adherente pero no es de acumulaci´on; esto es, ∃Br(x) Tal que A ∩ Br(x) = {x} (lo que implica que x ∈ A).

Se denomina adherencia (tambi´en clausura o cierre) de A, y se designa por ¯A, al conjunto formado por todos sus puntos adherentes.

3. Se dice que x es un punto exterior de A si no es adherente; esto es, ∃B_r(x) que no contiene ning´un punto de A (lo que implica que x 6∈ A).

Se denomina exterior de A, y se designa por Ext A, al conjunto formado por todos sus puntos exteriores.

4. Se dice que x es un punto frontera de A si ∀Br(x) contiene puntos de A y puntos que no son de A (lo que no implica nada sobre la pertenencia de x al conjunto A).

Se denomina frontera (topol´ogica) de A, y se designa por Fr A, al conjunto formado por todos sus puntos frontera.

Comentarios:

• Todo punto interior, por su propia definici´on, es de acumulaci´on, luego es adherente; esto es, ˚A ⊂ ¯A.

Pero no todo punto de acumulaci´on ha de ser interior necesariamente.

• Un punto aislado no es interior ni exterior: es un punto frontera.

• Un punto frontera puede ser de acumulaci´on (p. ej., los puntos frontera de un intervalo) o no, ya que un punto aislado de un conjunto siempre es punto frontera. Por tanto, todo punto frontera es adherente, pero no es interior (ni, por supuesto, exterior).

• Todo punto exterior no es de acumulaci´on y todo punto de acumulaci´on no es exterior.

• La adherencia de A se obtiene a˜nadiendo a A todos los puntos frontera que no le pertenecen; es decir, A ≡ A ∪ Fr A.¯

Ejemplos:

• La frontera de una bola es la esfera con el mismo centro y de igual radio. Si la bola es abierta, sus puntos frontera no le pertenecen, si es cerrada s´ı.

• Si A es un conjunto finito de puntos aislados se tiene que

Int A = Ø Ext A = Rⁿ− A Fr A = A

Proposici´on 4 Si x es un punto de acumulaci´on de A, entonces toda bola B_r(x) contiene infinitos puntos de A.

( Dem. ) (Reducci´on al absurdo). Supongamos que exista alguna bola Br(x) que contiene s´olamente n puntos de A, a1, a2, ... , an. Sea r = min{kx − a1k, ... , kx − ank}, entonces B_r/2(x) no contiene ning´un punto de A y, por tanto, x no es punto de acumulaci´on de A.

Comentarios:

• Como consecuencia inmediata de este resultado se tiene que los conjuntos finitos no tienen puntos de acumulaci´on.

• No obstante, un conjunto infinito puede tener puntos de acumulaci´on (p. ej.; si A = {1/n, n ∈ R}, entonces 0 es punto de acumulaci´on de A), o no tenerlos (como el conjunto B = {1, ... , n, ...}).

Adem´as, en un conjunto infinito de puntos aislados todos sus elementos son puntos frontera, pero puede haber m´as de ´estos que no son del conjunto, ya que si hay puntos de acumulaci´on de A que no pertenecen a A, ´estos son tambi´en puntos frontera. (Como ejemplo, el l´ımite de una sucesi´on en R estrictamente creciente (o decreciente) convergente es un punto frontera de la sucesi´on pero no es un elemento de la misma (adem´as es el ´unico punto de acumulaci´on del conjunto)).

Teorema 1 (Bolzano-Weierstrass). Sea A ⊂ Rⁿ un conjunto acotado con infinitos puntos, entonces existe al menos un punto de Rⁿ que es punto de acumulaci´on de A.

En relaci´on con estas definiciones se establece la siguiente propiedad:

Proposici´on 5 ∀A ⊂ Rⁿ, Int A, Ext A y Fr A establecen una partici´on de Rⁿ; esto es, todo punto de Rⁿ pertenece a uno, y s´olo uno, de estos tres conjuntos; es decir,

1. Int A ∪ Ext A ∪ Fr A = Rⁿ.

2. Int A ∩ Ext A = Ø, Ext A ∩ Fr A = Ø, Int A ∩ Fr A = Ø,

( Dem. ) Inmediato a partir de las definiciones (se deja como ejercicio).

1.2.4 Abiertos y cerrados

Se acaba de comentar y ver que los puntos frontera de un conjunto pueden pertenecerle o no. Bas´andonos en esta observaci´on vamos a introducir una nueva caracterizaci´on de los conjuntos de Rⁿ.

Definici´on 8 Sea un conjunto A ⊂ Rⁿ. Se denomina complementario de A al conjunto Rⁿ− A ≡ {x ∈ Rⁿ | x 6∈ A}

A partir de ´esta y de la anterior definici´on se comprueba de inmediato que:

Proposici´on 6 ∀A ⊂ Rⁿ. 1. Fr A = Fr(Rⁿ− A).

2. Int A = Ext(Rⁿ− A) y Ext A = Int(Rⁿ− A).

Teniendo ´esto en cuenta se define:

Definici´on 9 Sea un conjunto A ⊂ Rⁿ.

1. A es abierto si coincide con su interior: A = Int A.

2. A es cerrado si su complementario es un abierto.

Los conjuntos cerrados se caracterizan por las siguientes propiedades equivalentes:

Proposici´on 7 Sea A ⊂ Rⁿ. Son equivalentes:

1. A es cerrado.

2. A = ¯A.

3. Fr A ⊆ A.

4. A⁰ ⊆ A.

( Dem. ) La demostraci´on se basa en la observaci´on de que A es cerrado si Rⁿ− A es abierto ⇔ ∀x 6∈ A, x ∈ Int (Rⁿ− A) = Ext A.

Ejemplos:

• Las bolas y rect´angulos abiertos (resp cerrados) son abiertos (resp. cerrados).

• Un conjunto finito de puntos aislados es cerrado.

• Un conjunto infinito de puntos aislados no necesariamente es cerrado, depende de si tiene o no puntos de acumulaci´on: p. ej., sobre la recta los puntos de la sucesi´on A =



1 + 1 n

n .

• En R, N y Z son cerrados. Q no es ni abierto ni cerrado, ya que Fr Q = R.

Comentarios:

• Un conjunto no puede ser abierto y cerrado simultaneamente, salvo el vac´ıo Ø y el total Rⁿ que, por definici´on, son abiertos y cerrados a la vez.

• Obviamente, hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (p. ej., un rect´angulo formado por el producto cartesiano de intervalos semiabiertos).

Finalmente se tiene la siguiente propiedad sobre la uni´on y la intersecci´on de abiertos y cerrados:

Proposici´on 8 1. La uni´on de abiertos es un abierto.

2. La intersecci´on finita de abiertos es un abierto.

3. La intersecci´on de cerrados es un cerrado.

4. La uni´on finita de cerrados es un cerrado.

( Dem. )

1. Sea F una colecci´on arbitraria de abiertos y sea S = [

A∈F

A. ∀x ∈ S existe A ∈ F tal que x ∈ A, y como es abierto existe B_r(x) ⊂ A ⊂ S, por tanto x ∈ Int S luego S es un abierto.

2. (Se hace para dos abiertos. La generalizaci´on es inmediata).

Sea S = A₁∩ A₂. Para todo x ∈ S existen B_r1(x) ⊂ A₁ y B_r2(x) ⊂ A₂. Sea r = min(r₁, r₂), entonces Br(x) ⊂ S y, por tanto, todo punto de S es interior luego S es abierto.

3. La intersecci´on de cerrados es el complementario de la uni´on de los complementarios, que son abiertos, y por lo anterior es un abierto y su complementario cerrado.

4. Se razona como en la anterior.

Contraejemplos:

• La intersecci´on infinita de abiertos puede ser un cerrado:

\

n∈N



−1 − 1 n, 1 + 1

n



= [−1, 1]

• La uni´on infinita de cerrados puede ser un abierto:

[

n∈N



−1 + 1 n, 1 −1

n



= (−1, 1)

Relacionado con los anteriores conceptos introduciremos, finalmente, la siguiente definici´on:

Como consecuencia inmediata de la proposici´on 7 se tiene que:

Proposici´on 9 ∀A ⊂ Rⁿ, ¯A es cerrado, y es el menor cerrado que contiene a A.

Para acabar, se demuestra la siguiente propiedad:

Proposici´on 10 Si B ⊂ Rⁿ es cerrado y A ⊂ B, entonces ¯A ⊆ B.

( Dem. ) A es cerrado, luego ∀x ∈ ¯¯ A se tiene que, o bien x ∈ Fr A, o bien x ∈ Int A.

Obviamente Int A ⊂ A ⊂ B.

Por otra parte, si x ∈ Fr A entonces ∀Br(x) contiene puntos de A y, por lo tanto, de B (dado que A ⊂ B, luego x 6∈ Ext B y, como B es cerrado, eso implica que x ∈ B. De ah´ı Fr A ⊂ B.

Por consiguiente Int A ∪ Fr A ≡ ¯A ⊂ B.

1.3 Sucesiones en

1.3.1 Sucesiones de vectores en

El concepto de sucesi´on de n´umeros reales se generaliza en Rⁿ de la siguiente manera:

Definici´on 10 Se denomina sucesi´on (de vectores) en Rⁿ a toda aplicaci´on N → Rⁿ.

Comentarios:

• Se usa la misma terminolog´ıa y notaci´on que para sucesiones num´ericas. As´ı, las im´agenes de la aplicaci´on se denominan t´erminos o elementos de la sucesi´on. El t´ermino general de una sucesi´on vectorial se designa por {x^m}.

• Obs´ervese que si x^m ≡ (x^m₁ , . . . , x^m_n), entonces una sucesi´on de vectores en Rⁿ induce n sucesiones num´ericas, que son las de las coordenadas: {x^m} ≡ ({x^m₁ }, . . . , {x^m_n}).

Definici´on 11 Sea {x^m} una sucesi´on de vectores. Un punto a ∈ Rⁿ es el l´ımite de la sucesi´on si, ∀ε ≥ 0,

∃ν ∈ N tal que si µ ≥ ν, entonces kx^µ − ak < ε. Se usar´a la notaci´on lim

m→∞{x^m} = a , o tambien {x^m}^m→∞−→ a².

Si una sucesi´on tiene l´ımite se dice que es convergente, si no lo tiene es no convergente o divergente.

Comentario:

• N´otese que la definici´on de l´ımite significa que, a partir del t´ermino ν-´esimo todos los t´erminos est´an contenidos en una bola abierta de centro en a y radio ε.

Las propiedades de las sucesiones de vectores son an´alogas a las de las sucesiones num´ericas:

Proposici´on 11 Sean {x^m} y {y^m} sucesiones en Rⁿ y λ ∈ R.

1. lim

m→∞{x^m} = a si, y s´olo si lim

m→∞{x^m− a} = 0 (vector nulo).

2. lim

m→∞{x^m} = a si, y s´olo si lim

m→∞{x^m_i } = ai (i = 1, . . . , n), (las sucesiones de la coordenadas convergen a las coordenadas de a).

3. Si {x^m} es convergente entonces est´a acotada.

4. Si {x^m} tiene l´ımite entonces ´este es ´unico.

5. Si lim

m→∞{x^m} = a y lim

m→∞{y^m} = b , entonces lim

m→∞{x^m± y^m} = a ± b . 6. Si lim

m→∞{x^m} = a entonces lim

m→∞{λx^m} = λa . 7. Si lim

m→∞{x^m} = a y lim

m→∞{y^m} = b entonces para la sucesi´on de los productos escalares se tiene que

m→∞lim {hx^m, y^mi} = ha, bi . 8. Si lim

m→∞{x^m} = 0 y {y^m} es otra sucesi´on tal que {kymk} acotada entonces lim

m→∞{hx^m, y^mi} = 0 ( Dem. )

1. Como en R.

2Esta es la misma definici´on que para sucesiones num´ericas cambiando el valor absoluto por la norma.

2. Inmediata observando que, de acuerdo con el apartado 5 de la proposici´on 3,

|x^m_i − ai| ≤ kx^m− ak ≤

n

X

i=1

|x^m_i − ai|

3. Como en R.

4. Es una consecuencia de 2 y de la unicidad del l´ımite de las sucesiones num´ericas.

5. Inmediata observando que, de acuerdo con la desigualdad triangular, kx^m+ y^m− a − bk ≤ kx^m− ak + ky^m− b|

6. Inmediata.

7. Obs´ervese que

hx^m, y^mi − ha, bi = hx^m− a, y^mi + ha, y^mi − ha, bi

= hx^m− a, y^mi + ha, y^m− bi y ambas sucesiones tienen l´ımite igual a 0.

8. Usando la desigualdad de Schwarz se tiene que

|hx^m, y^mi| ≤ kx^mk ky^mk^m→∞−→ 0

Comentario:

• Teniendo en cuenta la segunda propiedad, el c´alculo de l´ımites de sucesiones de vectores se reduce al c´alculo de l´ımites de sucesiones num´ericas (las sucesiones de las cooordenadas).

1.3.2 Sucesiones de Cauchy. Completitud

Igual que se hizo con las sucesiones num´ericas, se define el siguiente concepto:

Definici´on 12 Sea {x^m} una sucesi´on de vectores. {x^m} es una sucesi´on de Cauchy si ∀ε ≥ 0, ∃ν ∈ N tal que si µ, ρ ≥ ν, entonces kx^µ− x^ρk < ε.

Comentario:

• N´otese que esta definici´on significa que, a partir del t´ermino ν-´esimo todos los t´erminos de la sucesi´on est´an contenidos en una bola abierta de di´ametro ε.

Teniendo en cuenta los comentarios hechos en el apartado anterior, es evidente que:

Proposici´on 12 {x^m} es una sucesi´on de Cauchy si, y s´olo si, lo son las n sucesiones num´ericas compo- nentes {x^m_i }.

( Dem. ) Inmediata observando que, de acuerdo de nuevo con el apartado 5 de la proposici´on 3,

|x^µ_i − x^ρ_i| ≤ kx^µ− x^ρk ≤

n

X

i=1

|x^µ_i − x^ρ_i|

Con todos estos conceptos ya estamos en condiciones de explorar las relaciones entre las sucesiones (convergentes) de vectores y las propiedades topol´ogicas de Rⁿ. De este modo, es posible establecer en Rⁿ propiedades an´alogas a las que ya se verificaban para la recta real R, como son el teorema de Bolzano- Weierstrass³y, en particular:

Teorema 2 (de completitud de Rⁿ): La c.n.s. para que una sucesi´on {x^m} sea convergente en Rⁿ es que sea una sucesi´on de Cauchy.

( Dem. ) Basta usar las sucesiones de las coordenadas y el teorema de completitud de R.

1.3.3 Sucesiones, puntos interiores y puntos frontera

Siguiendo con las relaciones entre las sucesiones de vectores y la topolog´ıa de Rⁿ, analizaremos, a contin- uaci´on, las dos siguientes propiedades:

Proposici´on 13 Sea A ⊂ Rⁿ. ∀x 6∈ Ext A existe una sucesi´on {x^m} de puntos de A cuyo l´ımite es x.

( Dem. ) Si x 6∈ Ext A entonces x ∈ Int A o x ∈ Fr A. En cualquier caso se puede construir una sucesi´on de bolas B(x, 1

m) cada una de las cuales contiene puntos de A (por definici´on de punto interior o frontera), entonces basta tomar uno de ellos en cada bola x^m ∈ B(x, 1

m) y se tiene una sucesi´on {x^m} ⊂ A que obviamente tiene como l´ımite x.

Proposici´on 14 A ⊂ Rⁿ es cerrado si, y s´olo si, ∀{x^m} sucesi´on de puntos de A convergente, su l´ımite es un punto x ∈ A.

( Dem. ) (=⇒) Si A es cerrado y {x^m} → x, con {x^m} ⊂ A, entonces en todo entorno de x hay puntos de {x^m} (por definici´on de l´ımite), esto es puntos de A, luego x 6∈ Ext A y, por tanto, x ∈ A.

(⇐=) ∀x ∈ Fr A, de acuerdo con la proposici´on anterior, ∃{x^m} ⊂ A con {x^m} → x. Pero, por hip´otesis, toda sucesi´on de puntos de A convergente lo es a un punto de A, luego x ∈ A. Por consiguiente Fr A ∈ A, luego A es cerrado.

1.3.4 Conjuntos compactos y sucesiones

Para concluir este cap´ıtulo preliminar, se va a introducir una ´ultima noci´on de topolog´ıa tendr´a el mismo papel en las propiedades de las funciones de varias variables que los intervalos cerrados de R en ciertos teoremas relativos a funciones de una variable.

Definici´on 13 Sea K ⊂ Rⁿ. K es un conjunto compacto si es cerrado y est´a acotado.

La propiedad que relaciona los conjuntos compactos con las sucesiones es la siguiente:

Proposici´on 15 K ⊂ Rⁿ es compacto si, y s´olo si, de toda sucesi´on de puntos de {x^m} ⊂ K se puede obtener una subsucesi´on convergente a un punto x ∈ K.

( Dem. ) (=⇒) Sea K compacto y {x^k} ⊂ K. Suponiendo que la sucesi´on {x^k} tiene infinitos t´erminos (en caso contrario es facil extraer subsucesiones convergentes), por el teorema 1, tiene un punto de acumulaci´on b, lo que implica que toda bola centrada en b contiene infinitos puntos de la sucesi´on.

3Que enuncia que toda sucesi´on acotada tiene alguna subsucesi´on convergente.

Para la bola B₁(b) elegimos un punto x^h1∈ {x^k}.

Para la bola B_1/2(b) elegimos un punto x^h2 ∈ {x^k}, con h2> h1.

Para la bola B1/3(b) elegimos un punto x^h3 ∈ {x^k}, con h3> h2, y as´ı sucesivamente.

Obtenemos de esta forma una subsucesi´on {x^hj}_j∈

N, en K, que tiene como l´ımite b y como K es cerrado entonces b ∈ K.

(⇐=) (Reducci´on al absurdo):

1. Si K no es cerrado ⇒ ∃x ∈ Fr K con x 6∈ K. Sea {x^m} ⊂ K tal que {x^m} → x, entonces cualquier subsucesi´on de ´esta converge a x 6∈ K, contra la hip´otesis.

2. Si K no est´a acotado entonces, ∀M ∈ R⁺, ∃x^m ∈ K con kx^mk > M , luego se puede formar una sucesi´on {x^m} divergente que, por tanto, no tiene subsucesiones convergentes, contra la hip´otesis.

Comentario:

• Aunque, como ya se ha se˜nalado, en algunos teoremas sobre funciones en Rⁿ los compactos tienen el mismo papel que los intervalos cerrados en R, ambos conceptos no son equivalentes en R. En efecto, en R todo intervalo cerrado es un compacto, pero no todo compacto es semejante a uno o varios intervalos cerrados. La diferencia est´a en que en los intervalos cerrados todos sus puntos son de acumulaci´on, en los compactos no necesariamente (p. ej., un conjunto finito de puntos aislados es un compacto).

L´ımites y continuidad de funciones en R ⁿ

2.1 Introducci´ on

En el curso de C´alculo Infinitesimal se analizaron ´unicamente las funciones (reales) de una variable. Sin embargo, en la naturaleza hay fen´omenos para cuya descripci´on matem´atica se requieren funciones que dependen de m´as de una variable y que, en F´ısica, suelen denominarse campos. As´ı, p. ej.,

• La temperatura de una regi´on del espacio (a lo largo del tiempo):

T (x, y, z, t): R⁴−→ R

• La velocidad de las part´ıculas de un fluido en movimiento v(x, y, z): R³−→ R³

• La fuerza gravitatoria en el entorno de una distribuci´on de masa F (x, y, z): R³−→ R³

En este cap´ıtulo se va a hacer una presentaci´on de este tipo de funciones, comenzando ya a estudiar los conceptos anal´ıticos con ellas relacionados, tal como se hizo en su momento con las funciones de una variable. Concretamente, se empezar´a introduciendo las nociones de l´ımite y continuidad y, en los siguientes cap´ıtulos, se abordar´an las cuestiones relativas a la diferenciabilidad e integrabilidad de estas funciones.

(A partir de ahora, siempre que no se diga expl´ıcitamente lo contrario, se toman los dominios de las funciones abiertos a fin de evitar problemas de aproximaci´on a los puntos frontera).

2.2 Funciones de varias variables

2.2.1 Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel

Definici´on 14 Se denomina campo o funci´on (real) de varias variables a toda aplicaci´on f : A ⊆ Rⁿ −→ R^m (n > 1, m ≥ 1)

La regi´on A ⊆ Rⁿ donde est´a definida la aplicaci´on recibe el nombre de dominio de la funci´on¹, y se indica como Dom f .

1El dominio de una funci´on de varias variables suele estar dado por una o varias expresiones anal´ıticas del tipo h(x1, . . . , xn) ≤ 0.

13

Igualmente, se denomina imagen de f al conjunto de puntos que son imagen de alg´un punto del dominio, Im f = {y ∈ R^m| f (x) = y, x ∈ A}.

1. Si m = 1 entonces se dice que f es un campo o funci´on escalar.

2. Si m > 1 entonces se dice que f es un campo o funci´on vectorial. En este caso se tiene

f : A ⊆ Rⁿ −→ R^m

x ≡ (x1, . . . , xn) 7→ (f1(x), . . . , fm(x))

donde f_j: A ⊆ Rⁿ→ R (j = 1, . . . , m) son funciones escalares que se denominan funciones componentes de f ².

Ejemplos:

• Funciones escalares: temperatura, presi´on, densidad,...

• Funciones vectoriales: campos gravitatorio, electrost´atico, electromagn´etico...

Comentarios:

• Es evidente, a partir de lo expuesto en la definici´on, que el estudio de una funci´on vectorial se reduce al de sus funciones componentes. Por ese motivo, en adelante se prestar´a atenci´on preferente al an´alisis de las funciones escalares.

• Para una funci´on vectorial con funciones componentes f = {fi}, se tiene que Dom f = ∩^m_i=1Dom fi.

Definici´on 15 1. Sea f : A ⊆ Rⁿ → R^m, con f = (f1, . . . , fm). Se denomina gr´afica de la funci´on al conjunto graf f ⊂ R^n+m dado por

graf f := {(p; q) | p ∈ A, q = f (p)}

≡ {(x1, . . . , x_n; y₁, . . . , y_m) | (x₁, . . . , x_n) ∈ A, y₁= f₁(x₁, . . . , x_n), . . . , y_m= f_m(x₁, . . . , x_n)}

2. Sea f : A ⊆ Rⁿ→ R. Se denomina conjunto de nivel k o equiescalar al conjunto de puntos del dominio donde la funci´on tiene el mismo valor k, es decir,

Φk:= {p ≡ (x1, . . . , xn) ∈ A | f (p) = c (ctn.)}

3. Sea f : A ⊆ Rⁿ → R. Se denomina secci´on de la gr´afica de f a la intersecci´on de graf f con planos de Rⁿ⁺¹. (Es habitual considerar los planos coordenados o planos paralelos a ´estos).

Comentarios:

• Un campo escalar f : A ⊆ R → R tiene como grafica, en general, una curva en R² cuya ecuaci´on es y = f (x); lo que se denomina expresi´on expl´ıcita de la curva. Igualmente, si f : A ⊆ R²→ R, la grafica de f est´a en R³ y es, generalmente, una superficie cuya expresi´on expl´ıcita es z = f (x, y).

• Si se trata de una funci´on de dos variables, un conjunto de nivel es, en general, una curva cuya ecuaci´on es F (x, y) = cte. Se dice que es una curva dada en forma ´ımplicita. En el caso de funciones de tres variables, un conjunto de nivel es, en general, una superficie que, en forma ´ımplicita, se expresa como F (x, y, z) = cte.

• Obs´ervese que, en particular, para funciones de dos variables f ≡ f (x, y), las secciones obtenidas al intersectar la gr´afica de f con los planos paralelos al plano coordenado XY proyectan sobre las curvas de nivel de la funci´on (y an´alogamente sucede para funciones de m´as variables).

2Los valores que toman estas funciones componentes en cada punto del dominio de f son, obviamente, las componentes de un vector deR^m(de ah´ı el nombre de funciones vectoriales).

• El estudio de las secciones y superficies de nivel es ´util con vistas a tener una idea aproximada de c´omo es la gr´afica de la funci´on.

Finalmente, dadas f , g: Rⁿ → R^m, se definen las funciones f + g, λf , fg: Rⁿ → R^m como la suma o producto componente a componente; es decir,

(f , g)(x) = ((f1+ g1)(x), . . . , (fm+ gm)(x)) (λf )(x) = (λf₁(x), . . . , λf_m(x))

fg(x) = (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)) An´alogamente la funci´on producto escalar hf , gi: Rⁿ→ R est´a dada por

hf , gi(x) = f1(x)g₁(x) + . . . + f_m(x)g_m(x)

Por otra parte, si f : A ⊂ Rⁿ→ R^my g : B ⊂ R^m→ R^l, se define la funci´on compuesta g ◦ f : C ⊂ Rⁿ → R^l por

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) Notar que C = Dom (g ◦ f ) = A ∩ f⁻¹(B).

2.3 L´ımites de funciones

2.3.1 L´ımite de una funci´ on en un punto y en el infinito

Comenzaremos el an´alisis de las funciones de varias variables propiamente dicho estudiando el compor- tamiento de una funci´on en el entorno de un punto. La primera noci´on sobre este particular es la de l´ımite:

Definici´on 16 Sea f : A ⊆ Rⁿ→ R^muna funci´on, a ∈ Rⁿ un punto de acumulaci´on de A y p ∈ R^m. p es el l´ımite de f en a si, ∀ε ≥ 0, ∃δ > 0 tal que si kx − ak < δ entonces kf (x) − pk < ε. Se escribir´a lim

x→af (x) = p, o bien f (x)^x→a−→ p ³.

Una definici´on alternativa de ´este concepto viene dada por la siguiente propiedad:

Proposici´on 16 Sea f : A ⊆ Rⁿ→ R^muna funci´on, a ∈ Rⁿ un punto de acumulaci´on de A y p ∈ R^m. p es el l´ımite de f en a si, y s´olo si, ∀{x^l} ⊂ A, sucesi´on de puntos en A con lim

l→∞{x^l} = a , se tiene que para la sucesi´on de las im´agenes, lim

l→∞{f (x^l)} = p . ( Dem. ) Como en el caso de una variable.

Las propiedades de los l´ımites de funciones de varias variables son an´alogas a las de las del caso de una variable:

Proposici´on 17 Sean f, g: A ⊆ Rⁿ→ R^m funciones, a ∈ Rⁿ un punto de acumulaci´on de A y p, q ∈ R^m. 1. Si lim

x→af (x) = p entonces p es ´unico.

2. lim

x→af (x) = p si, y s´olo si, lim

x→af_j(x) = p_j (j = 1, . . . , m) ⁴. 3. Si lim

x→af (x) = p y lim

x→ag(x) = q , entonces lim

x→a(f (x) ± g(x)) = p ± q .

3Esta es la misma definici´on que para funciones de una variable cambiando el valor absoluto por la norma.

4As´ı, el c´alculo de l´ımites de funciones vectoriales se reduce al c´alculo de l´ımites de sus funciones componentes.

4. Si lim

x→af (x) = p y λ ∈ R, entonces lim_x→aλf (x) = λp . 5. Si m = 1, lim

x→af (x) = p 6= 0 y f (x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces 1

f (x) est´a bien definida en A y lim

x→a

1 f (x) = 1

p 6. Si m = 1, f tiene l´ımite en a y este es positivo (resp. negativo), entonces existe alguna bola perforada

con centro en a sobre la que f toma valores positivos (resp. negativos).

7. Si m = 1 y f ≤ h ≤ g en un entorno perforado de a, y lim

x→af (x) = lim

x→ag(x) = b, entonces lim

x→ah(x) = b.

8. Si lim

x→af (x) = p y lim

x→ag(x) = q , entonces lim

x→af (x)g(x) = (p₁q₁, . . . , p_mq_m)⁵. 9. Si lim

x→af (x) = p y lim

x→ag(x) = q , entonces lim

x→ahf (x), g(x)i = hp, qi.

10. Si lim

x→af (x) = p, entonces lim

x→akf (x)k = kpk

11. Si f tiene l´ımite en a, entonces esta acotada sobre alguna bola de centro a.

12. Sean f : A ⊆ Rⁿ → R^m y g: B ⊆ R^m → R^l, con f (A) ⊂ B, y tales que a es punto de acumulaci´on de A, b = lim

x→af (x) es un punto de acumulaci´on de B y lim

y→bg(y) = c, entonces lim

x→a(g ◦ f )(x) = c, siempre que b 6∈ B ´o g es continua en b⁶.

( Dem. ) Se demuestran f´acilmente a partir de las definiciones y propiedades dadas.

Finalmente, introduciremos los conceptos de l´ımites infinitos y en el infinito.

Definici´on 17 Sea f : A ⊂ Rⁿ → R^m, y a ∈ Rⁿ.

1. f tiene l´ımite infinito en a si, ∀L > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A − {a} que cumpla kx − ak < δ se tiene kf (x)k > L. Se expresa lim

x→af = ∞.

2. Si A es no acotado, f tiene l´ımite en el infinito si, ∀ > 0, ∃M > 0 tal que , ∀x ∈ A que cumpla kxk > M , se tiene kf (x) − bk < . Se expresa lim

x→∞f = b.

3. Si A es no acotado, f tiene l´ımite infinito en el infinito si, ∀L > 0, ∃M > 0 tal que, ∀x ∈ A que cumpla kxk > M , se tiene kf (x)k > L. Se expres lim

x→∞f = ∞

2.3.2 L´ımites direccionales. L´ımites reiterados

En el c´alculo de l´ımites de funciones de varias variables no se dispone de t´ecnicas an´alogas a las del caso de una variable⁷. Ello obliga a desarrollar otros m´etodos de c´alculo nuevos basados en los conceptos que se van a exponer en este apartado. Dado que, seg´un se ha visto en el primer punto de la proposici´on 17, el l´ımite de una funci´on vectorial se obtiene calculando el de sus funciones componentes, s´olo vamos a considerar, en adelante, el caso de funciones escalares.

En el apartado anterior hemos podido observar (proposici´on 16) que el l´ımite de una funci´on en un punto puede alcanzarse tomando una sucesi´on en el dominio que tenga como l´ımite ese punto, y analizando el comportamiento de la sucesi´on de las im´agenes. Es en este hecho en el que se va a basar la t´ecnica que va a ser desarrollada. As´ı, estudiaremos el comportamiento de la funci´on en un punto acerc´andonos al mismo por medio de una sucesi´on de puntos que est´en sobre una l´ınea. Esta es la idea que subyace en la siguiente definici´on:

Definici´on 18 Sea f : A ⊆ Rⁿ → R y a ∈ A un punto de acumulaci´on de A.

5Donde f (x)g(x) ≡ (f1(x)g1(x), . . . , fm(x)gm(x)).

6Ver secci´on siguiente.

7P. ej., no existe nada semejante a la regla de L’Hˆopital.

1. Si c: I ⊂ R → A es una curva parametrizada ⁸que pasa por a (esto es, c(t₀) = a), se denomina l´ımite de f en a seg´un la curva c(t) al valor lim

t→t₀f (c(t)) (si existe)⁹.

2. En particular, se denomina l´ımite direccional de f en a al l´ımite seg´un la recta c(t) := a + tv; esto es, al valor lim

t→0f (a + tv) (si existe).

Como caso particular, en el caso de funciones de dos variables, y con curvas (rectas) dadas en forma expl´ıcita se tiene que, si f : A ⊆ R²→ R y a ≡ (x0, y0) ∈ A un punto de acumulaci´on de A,

1. El l´ımite de f en a seg´un la curva y = g(x) (que pasa por a) es el valor lim

x→x0

f (x, g(x)) (si existe) 2. En particular, el l´ımite direccional de f en a es el l´ımite seg´un la recta y = mx + b (que pasa por a);

esto es, el valor lim

x→x₀f (x, mx + b) (si existe).

Comentarios:

• Los l´ımites seg´un curvas son la generalizaci´on al caso de varias variables, de la noci´on de l´ımite lateral del caso de una variable.

A este respecto, podr´ıa enunciarse un resultado an´alogo al correspondiente a l´ımites laterales en los siguientes t´erminos:

Proposici´on 18 lim

x→af (x) = p si, y s´olo si, los l´ımites seg´un todas las posibles curvas que pasen por a existen y son iguales a p.

Y un obvio corolario de este resultado, referido a los l´ımites direccionales es:

Corolario 1 Si lim

x→af (x) = p entonces los l´ımites direccionales seg´un cualquier recta que pase por a existen y son iguales a p.

• Teniendo ´esto en cuenta, se puede asegurar que el l´ımite de una funci´on en un punto no existe si se da alguno de los siguientes casos:

1. Si el l´ımite seg´un una curva depende de la curva elegida. En particular, si al hacer l´ımites direccionales, no existe el l´ımite para alguna recta o su valor depende de m (esto es, de la recta que se toma).

2. Si existiendo y siendo iguales todos los l´ımites direccionales, no existe o es diferente de los ante- riores el l´ımite seg´un alguna otra curva.

• Una manera de indagar si existe el valor del l´ımite en un punto para funciones de dos o de tres variables consiste en hacer un cambio de coordenadas a polares (en R²) o a esf´ericas (en R³) y hacer r → 0 ( si el l´ımite es en el origen¹⁰).

Para concluir esta secci´on, hay que se˜nalar que existen tambi´en los denominados l´ımites reiterados que, para una funci´on de dos variables, son los del tipo

x→xlim0

y→ylim0

f (x, y) , lim

y→y0

x→xlim0

f (x, y) cuyo valor, en caso de existir y ser el mismo, no tiene por qu´e coincidir con lim

(x,y)→(x₀,y₀)f (x, y). En particular, se tiene que:

8Ver cap´ıtulo 4.

9Obs´ervese que se trata de un l´ımite de una funci´on de una variable.

10Si no, hay que hacer previamente otro cambio de coordenadas que lleve el punto en cuesti´on al origen.

• Si lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) = p, y existen lim

x→a₁f (x, y) y lim

y→a₂f (x, y), entonces existen los l´ımites reiterados de f y valen p.

• Puede ocurrir que exista lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y) y no existir alguno de los reiterados.

• Si existen el l´ımite de la funci´on y los reiterados en un mismo punto, ´estos han de coincidir.

2.4 Continuidad

2.4.1 Continuidad. Propiedades de las funciones continuas

En la secci´on anterior se ha tratado del concepto de l´ımite de una funci´on en un punto, pero en ning´un momento se ha considerado la cuesti´on de si la funci´on estaba o no definida en dicho punto. Esto da origen al siguiente concepto:

Definici´on 19 Sea f : A ⊆ Rⁿ → R^my a ∈ Rⁿ un punto de acumulaci´on de A¹¹. 1. f es continua en a si

(a) a ∈ A; es decir, ∃f (a), y (b) lim

x→af (x) = f (a)¹².

2. f es continua en un conjunto B ⊆ A si lo es ∀x ∈ B.

Las propiedades de las funciones continuas se basan en las del l´ımite:

Proposici´on 19 Sean f , g: A ⊆ Rⁿ→ R^m funciones y a ∈ A.

1. f es continua en a si, y s´olo si, lo son todas y cada una de sus funciones componentes.

2. Si f y g son continuas en a, tambi´en lo es f ± g.

3. Sea λ ∈ R. Si f es continua en a, tambi´en lo es λf . 4. Si m = 1 y f (x) 6= 0, ∀x ∈ A, entonces 1

f (x) est´a bien definida en A y si f es continua en a, tambi´en lo es 1

f (x) .

5. Si f y g son continuas en a, tambi´en lo es hf , gi.

6. Si f y g son continuas en a, tambi´en lo es fg.

7. Si m = 1, f (x) 6= 0 y f es continua en a, entonces f no cambia de signo en alg´un entorno de a.

8. Si f es continua en a, entonces f est´a acotada en alg´un entorno de a.

9. Si g: B ⊆ R^m→ R^l, b = f (a) ∈ B y f y g son continuas en a y b respectivamente, entonces g ◦ f es continua en a.

Finalmente, se tiene tambi´en la siguiente caracterizaci´on de los conjuntos abiertos y cerrados:

Teorema 3 Sea f : A ⊆ Rⁿ→ R^m. Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes.

11Si a es un punto aislado de A entonces basta con asegurar la primera condici´on.

12Es la misma definici´on que para funciones de una variable.

1. f es continua.

2. Para todo abierto V ⊂ R^m, f⁻¹(V ) = A ∩ U , donde U es un abierto de Rⁿ 3. Para todo cerrado T ⊂ R^m, f⁻¹(T ) = A ∩ S, donde S es un cerrado de Rⁿ

( Dem. ) (1 ⇒ 2) Sea V un abierto de R^my a un punto de f⁻¹(V ). Se ha de probar que a ∈ U ∩ A, con U abierto. Sea f (a) = b, como V es abiert, existe Bε(b) ⊂ V . Por ser f continua en A, existe Bδ_a(a) tal que f (Bδ_a(a) ∩ A) ⊂ Bε(b); de donde se deduce que

Bδa(a) ∩ A ⊂ f⁻¹(f (Bδa(a) ∩ A)) ⊂ f⁻¹(Bε(b)) ⊂ f⁻¹(V ) y esto implica que

f⁻¹(V ) = ∪_a∈f−1(V )[B_δa(a) ∩ A] = [∪_a∈f−1(V )B_δa(a)] ∩ A = U ∩ A, con U abierto donde se ha tenido en cuenta que la uni´on de abiertos es un abierto.

(2 ⇒ 1) Sea a ∈ A y f (a) = b. Veamos que f es continua en a. Sean ε > 0 y Bε(b) la bola abierta en R^m. Por hip´otesis f⁻¹(Bε(b)) = U ∩ A, con U abierto en Rⁿ. Como a ∈ U ∩ A y U es abierto, existe un δ > 0 tal que

Bδ(a) ∩ A ⊂ U ∩ A ⊂ f⁻¹(Bε(b)) luego f (Bδ(a) ∩ A) ⊂ Bε(b), lo que implica que f es continua en a.

(2 ⇒ 3) T cerrado implica que R^m− T es un abierto. Luego, por 2, f⁻¹(R^m− T ) = U ∩ A, donde U es un abierto de Rⁿ. Por tanto f⁻¹(T ) = (Rⁿ− U ) ∩ A y Rⁿ− U es un cerrado de Rⁿ.

(3 ⇒ 2) An´alogo al caso anterior.

Ejemplo:

• Sea f : (0, ∞) ⊂ R → R dada por f(x) = 1

x , y V = [1, ∞) (que es cerrado en R). Se tiene que f⁻¹(V ) = (0, 1] = [0, 1] ∩ (0, ∞), donde U ≡ [0, 1] es cerrado.

2.4.2 Propiedades topol´ ogicas. Teorema de Weierstrass. Consecuencias

A continuaci´on vamos a rese˜nar algunas propiedades de las funciones continuas, que son generalizaciones de otras bien conocidas en el c´alculo de una variable.

Teorema 4 (de Weierstrass): Sea K ⊂ Rⁿ un compacto y f : K → R^m una funci´on continua. Entonces f (K) es compacto.

( Dem. ) Se ha de demostrar que f (K) es cerrado y est´a acotado.

1. f (K) es cerrado: Hemos de probar que Fr (f (K)) ⊂ f (K) Sea y ∈ Fr (f (K)), sabemos que existe una sucesi´on {y^h} ⊂ f (K) tal que lim

h→∞y^h = y. Sea {x^h} la sucesi´on en K tal que f (x^h) = y^h. Por ser K compacto, existe una subsucesi´on {x^hi} convergente en K, esto es, existe lim

i→∞x^hi que vale a ∈ K.

Por ser f continua, la sucesi´on {f (x^hi)} converge a f (a) en R^m. Ahora bien, f (x^hi) = y^hi y la sucesi´on {y^hi} es subsucesi´on de {y^h}, que tiene l´ımite y, por tanto, ambas han de tener el mismo l´ımite. Luego y = f (a) ∈ f (K), lo que implica Fr (f (K)) ⊂ f (K), y f (K) es un conjunto cerrado.

2. f (K) est´a acotado: Si no lo estuviera, ∀h ∈ N, ∃x^h∈ K tal que kf (x^h)k > h, y tendr´ıamos la sucesi´on {x^h} en K que, como es un compacto, ha de tener alguna subsucesi´on convergente. Sea ´esta {x^hl} y a ∈ K su l´ımite. Por tanto, puesto que f es continua, {f (x^hl)} → f (a), lo cual es absurdo dado que la sucesi´on no est´a acotada. Luego f (K) tiene que estar acotado.

Son consecuencias de este teorema:

Proposici´on 20 Sea K ⊂ Rⁿ compacto y f : K → R una funci´on continua. Entonces f toma en K valores extremos.

( Dem. ) Por el teorema anterior f (K) es un compacto, o sea cerrado y acotado. Sea h = inf f (K), entonces h es un punto adherente de f (K), que es un cerrado, lo que implica h ∈ f (K) ⊂ f (K). Por tanto, existe un x ∈ k tal que f (x) = h, luego f alcanza el ´ınfimo. Igualmente se demostrar´ıa la existencia del supremo.

Corolario 2 Sea K ⊂ Rⁿ compacto y f : K → R^m una funci´on continua. Entonces:

1. Cada componente de f toma en K valores extremos.

2. kf k toma en K valores extremos.

( Dem. ) Basta considerar la proposici´on anterior y, en el segundo apartado, que f continua ⇒ kf k continua.

2.4.3 Continuidad uniforme

Definici´on 20 Sea f : A ⊆ Rⁿ → R^m. f es uniformemente continua en A si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que, si x, y ∈ A con kx − yk < δ, entonces kf (x) − f (y)k < ε¹³.

Las propiedades de las funciones uniformemente continuas son las mismas que en el caso de una variable.

Proposici´on 21 Sea f : A ⊆ Rⁿ→ R^m una funci´on uniformemente continua en A. Entonces:

1. f es continua en A.

2. Si {x^m} es una sucesi´on de Cauchy, tambi´en lo es {f (x^m)}.

( Dem. ) Inmediatas ambas.

Finalmente, enunciamos (sin demostrar) que:

Teorema 5 (de Cauchy): Si K ⊂ Rⁿ es un compacto y f : K → R^mes una funci´on continua en K, entonces es uniformemente continua en K.

13Es la misma definici´on que para funciones de una variable, sustituyendo valor absoluto por norma y tiene, por tanto, la misma interpretaci´on geom´etrica.

C´ alculo Diferencial en R ⁿ

3.1 Introducci´ on

En este cap´ıtulo se trata esencialmente de introducir la noci´on de derivada o, m´as exactamente, de diferencial de una funci´on de varias variables y sus propiedades. Como ya es costumbre, se busca generalizar el concepto ya existente en el caso de una variable. Por ello conviene recordar que, en ese caso, hay dos maneras de entender esta cuesti´on, que corresponden a otras tantas maneras de interpretar el concepto de derivada:

• la interpretaci´on anal´ıtica de la derivada como l´ımite del cociente incremental, y

• la interpretaci´on geom´etrica de la derivada como aplicaci´on lineal que permite definir la recta tangente a la gr´afica de la funci´on. En esta interpretaci´on se apoya precisamente la aplicaci´on de la aproximaci´on lineal de funciones.

Adem´as de ello, se han de tener presente las propiedades anal´ıticas de la derivada que la hacen tan ´util (reglas algebraicas, regla de la cadena, etc.).

Si para generalizar este concepto al caso de varias variables se sigue el primer m´etodo se llega a la noci´on de derivada parcial o, m´as gen´ericamente, al de derivada direccional. Sin embargo, el resultado obtenido es insatisfactorio por cuanto sus propiedades distan mucho de ser las esperadas (no se satisface la regla de la funci´on compuesta ni es adecuado para obtener aproximaciones lineales, como ya veremos). Sin embargo, siguiendo el segundo m´etodo se llega tambi´en a las nociones anteriores y se obtiene un concepto plenamente satisfactorio en lo referente a sus propiedades anal´ıtico-geom´etricas. ´Este ser´a, por tanto, el camino que seguiremos en la exposici´on.

Finalmente, tambi´en se van a introducir los diversos operadores diferenciales: gradiente, rotacional, divergencia y laplaciana, conceptos relacionados como son las nociones de campo conservativo, irrotacional y solenoidal, y las propiedades m´as relevantes de estos operadores.

3.2 Diferenciabilidad de funciones en

3.2.1 Diferenciabilidad de una funci´ on en un punto. Interpretaci´ on geom´ etrica

Recordemos que, en el caso de una variable, dada una funci´on f : A ⊆ R → R y a ∈ A, se pod´ıa interpretar la derivada de f en a como una aplicaci´on lineal

f_a⁰ : R −→ R h 7−→ αh

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