Vector (física)

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Vector (física)

Para otros usos de este término véase Vector.

En física, un vector es un ente determinado por dos características: una magnitud (también denominada módulo o intensidad) y una dirección. Se representa como . Es útil para describir magnitudes tales como posición, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momento lineal, etc., que no pueden ser descritas tan solo por un número real.

Definición

Como segmento orientado

En el mundo físico se encuentran, frecuentemente, magnitudes que por su propia naturaleza no pueden ser medidas tan solo como un número real. Es decir, no pueden ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los números reales, como sí es posible hacerlo con las magnitudes escalares (como la temperatura o el tiempo).

Por ejemplo: la distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio, y que viajan a determinadas velocidades según las indican sus velocímetros, no queda determinada unívocamente por las mismas. Si ambos parten con velocidades constantes de 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podrá ser, entre otras posibilidades:

De 10 km, si los dos coches llevan la misma dirección y mismo sentido.

De 70 km, si salen en la misma dirección y sentidos contrarios.

De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.

Como se puede ver, la distancia recorrida depende también de otras cualidades, además de la mera rapidez de los coches. Si se quiere que esta distancia dependa únicamente de la velocidad, debe admitirse que la misma depende también de estas cualidades, no siendo determinable solamente por un número real, sino por la dirección y sentido de los coches. Es, por lo tanto, un ente más amplio que una magnitud escalar, cuyo valor numérico, que es la rapidez indicada por el

velocímetro, es tan solo una de sus características. A este ente se lo denomina

"vector".

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Un vector puede concebirse como un segmento orientado, cuya longitud dependa de su intensidad, y su dirección y sentido sean los mismos del vector. Entonces, se define una "magnitud vectorial" como aquella cuyos posibles valores puedan

ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los segmentos orientados.

Representación

Los vectores admiten una representación gráfica, que hace el entendimiento de sus propiedades más intuitivo. Un vector se representa por un segmento orientado (con forma de flecha), del cual su longitud denota la intensidad del vector, la recta donde está incluido indica la dirección ("línea de acción"), la punta de la flecha indica el sentido, y el punto del cual parte determina el punto de aplicación.

En cuanto a la notación matemática los vectores que aparecen en mecánica

newtoniana y otras las aplicaciones físicas se suelen representar con flechas sobre el nombre del vector o con negrita:

En cambio en teoría de la relatividad los vectores suelen ser denotados en la notación abstracta de índice y los anteriores vectores se representarían mediante:

Tipos de vectores

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Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Los vectores son "vectores libres" si se consideran iguales si y solo si sus módulos, direcciones y sentidos son iguales. Estos vectores también se denominan "vectores equipolentes". Estos son los vectores más frecuentemente considerados, ya que solo representan a la fuerza, velocidad, etc. en sí misma, sin importar su ubicación en el espacio.

Se denominan "vectores deslizantes" los vectores que se consideran iguales si, además de tener sus módulos, direcciones y sentidos iguales, tienen la misma línea de acción (recta sobre la cual actúan). Una fuerza actuando sobre un cuerpo y desplazándolo en línea recta es un claro ejemplo de vector deslizante.

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Por último, pueden considerarse los "vectores fijos" que se consideran iguales al tener el mismo módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Estos están

"fijados" a un punto en el espacio, y estando en cualquier otro lugar no serían el mismo vector. Son de utilidad al considerar un campo vectorial en todos los puntos de un espacio, dónde el vector que corresponde a un punto solo tiene sentido considerado en dicho punto.

Además, se dice que dos vectores son concurrentes cuando tienen el mismo punto de aplicación, y son equipolentes cuando comparten módulo, dirección y sentido.

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a es .

Descomposición según un sistema de coordenadas

Cualquier vector que consideremos es siempre una combinación lineal de un número n de vectores unitarios perpendiculares entre sí, que forman la base del espacio vectorial en cuestión.

Estos vectores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por , , , si bien es también usual representarlos como ,

, , siendo el vector unitario según el eje de la x, el vector unitario en el eje de las y, y en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se toman dos de estos versores, que corresponden a los ejes de coordenadas adoptados.

Convenio de representación

Por convenio representaremos las variables escalares con una letra: a, x, p, etc., y los vectores con una flecha encima: , , , representándose también frecuentemente como letras en negrita:

v, p, etc.

Las coordenadas del vector en un sistema de referencia pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

, o .

Si se desea expresar al vector como combinación de los vectores, se representará como:

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Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores x, y, z, son las coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como números reales.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Suma de vectores

Gráficamente, se pueden sumar vectores por dos métodos: el del paralelogramo y el del polígono. El del paralelogramo básicamente consiste en reproducir los dos vectores, contrariamente, es decir, si hay un vector llamado "a" y otro llamado "b", en el método del paralelogramo, la reproducción de "b" estaría al finalizar "a" y viceversa, formando un paralelogramo. El resultado se sacaría uniendo del punto central hacia donde se juntan las reproducciones de "a" y "b" El método del triángulo se parece al método del polígono, a diferencia de que el método del triangulo solo se admiten 2 vectores y en el del polígono son más de dos El método del triángulo consiste en hacer una continuación a partir de otro, es decir, tenemos vector "a" y vector "b" donde termina vector v se inicia el vector z y para la resultante solo se une de un punto de inicio hacia donde termina.

Partiendo de la representación gráfica de dos vectores, la suma de ambos se consigue colocando el punto de aplicación del segundo vector, a continuación de la flecha del primero, el vector resultante es el que parte del punto de aplicación del primero hasta el final de la flecha del segundo.

Analíticamente, partiendo de las coordenadas de los dos vectores:

El vector suma será:

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Agrupando:

Representando los vectores como combinación lineal de vectores tenemos:

El resultado de la suma es:

Ordenando los componentes:

Pongamos un ejemplo numérico:

El resultado:

Agrupando términos:

esto es:

Resta de vectores

La resta de dos vectores es la suma del primero con el opuesto del segundo.

Para hacer la diferencia de dos vectores, basta con aplicar A - B = A + (-B), esto es, sumar el vector opuesto.

Producto por un escalar

Producto por un escalar

Multiplicar un vector por un escalar es tomar el

vector tantas veces como indique el escalar, esto es valido también en los casos en los que el escalar es fraccionario o negativo.

Si partimos de la representación gráfica del vector, y sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como marque el escalar, el

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resultado es el producto del vector por este escalar, si el signo del escalar es negativo, es sentido del vector será el opuesto al original.

Partiendo de un escalar y de un vector , el producto de por es , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:

si lo multiplicamos por el escalar n: sesentando el vector como combinación lineal de los versores: y multiplicándolo por un escalar n: esto es:

Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos del vector:

y multiplicamos el vector por 2,5:

esto es:

haciendo las operaciones:

Producto escalar

Producto escalar

Producto vectorial

Producto vectorial

Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

Podemos calcular la derivada de a respecto de t, para cada una de sus

componentes, como si de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas:

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.

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Para calcular esta derivación hay que tener en cuenta que los versores son

constantes en módulo, dirección, y sentido. Cuando se deriva sobre un sistema de referencia en movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que ésta es la trayectoria de una partícula y la función determina el vector de posición en función del tiempo. Si derivamos, tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada de la posición respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos decir:

Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partícula es un vector paralelo a este, en el punto donde se encuentra la partícula en ese mismo momento. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración, como era fácil de suponer.

Otras operaciones

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Módulo resultante

Dados dos vectores y , de módulos conocidos y que forman el ángulo θ entre sí, se puede obtener el módulo con la siguiente fórmula:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

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Ángulo entre dos vectores

Angulo entre 2 vectores en un plano

Para calcular el ángulo entre dos vectores se usa la siguiente fórmula:

El cual se puede generalizar a cualquier dimensión con exepcion de los casos superiores A y B:

Cuando se trata algebraicamente en un espacio vectorial el ángulo entre dos vectores está dado por

Siendo el producto interno definido dentro de dicho espacio vectorial

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las

componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas. En mecánica newtoniana generalmente se usan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de

mangitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en su definición usan el producto vectorial son en realidad pseudovectores. En teoría especial de la relatividad, por ejemplo, sólo los vectores cuatridimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constiutyen auténticas magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales

medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

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Donde son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz.

Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino

tensoriales.

Véase también

Espacio vectorial

Enlaces externos

Juega con vectores

Demostración gráfica de operaciones básicas con Vectores

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