LA TASA DE INTERÉS COMO VARIABLE ALEATORIA EN EL CONTEXTO ACTUARIAL

UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA

Facultad de Ciencias Económicas y de Administración

LA TASA DE INTERÉS COMO VARIABLE ALEATORIA EN EL CONTEXTO ACTUARIAL

Montevideo, Julio 2014.

Prof. Titular Sergio Barszcz

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

Distintos métodos para calcular el costo puro de un seguro vinculado a la vida:

PRIMERO:

Una primera forma de cálculo del costo puro de un seguro vinculado a la vida, consiste en utilizar el método euleriano. Se trata de un esquema determinístico, para lo cual consideraremos dos funciones biométricas(l_x y d_x) y el concepto de para lo cual consideraremos dos funciones biométricas(l_x y d_x) y el concepto de equivalencia financiera.

Ejemplo 1: Una persona de exactamente x años de edad celebra un contrato por el cual el asegurador se compromete a abonar al o a los beneficiarios $1 en el aniversario del contrato inmediato posterior al fallecimiento, cualquiera sea el momento en que esto ocurra.

Denotaremos $ CPSM_x al costo puro de ese seguro de muerte vida entera para una persona de edad x, de capital $1 y supondremos que l_x contratan el seguro y cada uno paga $ CPSM _x .Por otra parte, el asegurador deberá abonar d_x dentro de un año, d_x+1 dentro de dos y así sucesivamente.

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

Entonces tendremos para el ejemplo 1

2

1 1

1

1 0

. 1 . . 1 . . ... 1 .d .

1 .

w x

x x x x w

w x

k

x x k

x k

l C P S M d v d v v

C P S M d v

l

−

+ −

− − +

+

=

= + + + ⇒

=

∑

• Ejemplo 2: Una persona de exactamente x años de edad celebra un contrato por el cual el asegurador se compromete a abonar al asegurado $1 al comienzo de cada año, mientras el asegurado esté con vida.

• Denotaremos $ CPRVA_x al costo puro de esa renta de vida anual, adelantada, inmediata de cuotas de $1 para una persona de edad x, y supondremos que l_x contratan la renta y cada uno paga $ CPRVA_x. Por otra parte, el asegurador deberá abonar l_x de inmediato, l_x+1 dentro de un año, l_x+2 dentro de dos años y así sucesivamente mientras que haya una persona con vida del grupo.

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

y para el ejemplo 2

1

1 1

1

. P 1. 1. . ... 1. .

1 .

w x

x x x x w

w x

k

l C RVA l l v l v

CPRVA l v

− −

+ −

− −

= + + + ⇒

= ∑

0

.

x x k

x k

CPRVA l v

l

= ∑

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

SEGUNDO:

Una segunda forma de calcular el costo puro de un seguro vinculado a la vida, consiste en ponderar cada uno de los pagos que deberá efectuar el asegurador al asegurado por la probabilidad de tener que hacer ese pago y hacer la actualización financiera correspondiente. La suma de tales importes ponderados es el costo puro del seguro.

Si se parte de los ejemplos vistos en el punto anterior, se llegan a los mismos resultados.

resultados.

---

TERCERO:

Se definen valores de conmutación, en particular:

1 1

1

0 0

. , , . ,

k w x k w x

x x

x x x x k x x x x k

k k

D l v N D C d v M C

= − − = − −

+

+ +

= =

= = ∑ = = ∑

ALGUNAS

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS CONSIDERACIONES PREVIAS

Se puede ver muy fácilmente que:

---

x

;

x x

x x

M N

CPSM CPRVA

D D

= =

---

CUARTO:

En este esquema se produce un salto de calidad en la naturaleza de los planteos, efectivamente: mientras antes solo podíamos calcular el costo puro de las operaciones de seguro, ahora podremos obtener además otros conceptos en base a la definición de tres variables aleatorias: X (edad de muerte de un recién nacido), T(x) (tiempo de sobrevida de una persona de edad x) y K(x) (tiempo de sobrevida medida en años enteros de una persona de edad x).

Las dos primeras son variables aleatorias absolutamente continuas (y por ende tienen una función de densidad y una función de distribución)mientras que la última es una variable aleatoria discreta (con función de cuantía y de distribución). Así tendremos:

La función de densidad y de distribución de T(x) son respectivamente:

Por su parte, la función de densidad y de distribución de X son respectivamente:

Y finalmente la función de cuantía y de distribución de K(x)

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

( ) _{t x} . _{x t} ; ( ) _{t x} g t = p µ ₊ G t = q

0 0

( )

.

; ( )

f x = p µ F x = q

( ( ) ) . ; ( ( ) )

P K x = = k p q P K x ≤ = k q

vT^T

v^T v

Con estas variables aleatorias, es posible modelizar el valor presente de las operaciones de seguros vinculados a la vida.

Así pues, en el caso del seguro de muerte que estamos analizando, tendremos que el valor presente del pago de indemnización a efectuar por el asegurador es V^K+1, mientras que, en el caso de la renta de vida que estamos analizando, el valor

presente de los pagos a efectuar por el asegurador es V(1,K+1,i)

( ( ) )

.

; ( ( ) )

P K x = = k p q

P K x ≤ = k

q

Como se determinan los costos puros en estas situaciones?

Calculando los valores presentes esperados (valores presentes actuariales ,vpa) en cada una de las situaciones.

Así, por ejemplo, tendremos:

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

(

); [ (1, 1, )]

x x

CPSM = E v

CPRVA = E V K + i

En que aspectos esta forma de encarar el tema presenta ventajas?

• en la posibilidad de calcular distintos momentos (por ejemplo, la varianza) de las variables aleatorias valor presente

• en la posibilidad de determinar la distribución de las variables aleatorias valor presente y con ello los percentiles que interesen.

• facilita el cálculo actuarial de seguros sobre varias vidas (noción de estado)

• facilita el trabajo con los modelos de decremento múltiple

Que otros aspectos se desarrollaron simultaneamente con este enfoque?

• construir tablas de mortalidad con procedimientos técnicamente superiores

• construir tablas de mortalidad específicas para ciertas poblaciones

• construir la función de cuantía de K(x) en función de los datos de una tabla de mortalidad

• construir modelos para T(x) en base a la K(x) y los supuestos sobre edades fraccionarias en cada año de edad.

--- QUINTO:

ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS

Un aspecto que si bien ha sido planteado en trabajos académicos (algunos hace ya varias décadas) ha tenido una difusión más acotada, es el tema de un adecuado tratamiento de la tasa de interés. Efectivamente, es habitual que en textos y trabajos sobre matemática actuarial relativamente recientes se suponga que la tasa de interés de largo plazo es no sólo deterministica sino constante. En la práctica, desde una perspectiva “comercial” se han diseñado productos “flexibles” para atenuar el impacto de esta situación.

No obstante, el problema conceptual subsiste. El supuesto de tasa de interés determínistica (e incluso constante), a menos situaciones relativamente excepcionales, dista mucho de verificarse en la práctica. Para ello basta observar cualquiera de las series de tasas de largo plazo de diversos instrumentos financieros.

Un primer método que puede ser utilizado para reconocer la variabilidad de la tasa de interés consiste en construir un conjunto de escenarios pre-establecidos. Este enfoque se encuentra todavía dentro del campo deterministico.

Los escenarios se construyen con secuencias de tasas de interés futuras, indexadas por el tiempo, que serán utilizados con otros supuestos y el principio de equivalencia para determinar el premio y efectuar el cálculo de reservas. En modelos más completos, cada escenario puede especificar otras variables tales como gastos y tasas de rescisión unilateral de la póliza por parte del asegurado de forma de ser consistente con las tasas de interés utilizadas. Más aún, en estos últimos modelos, las

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

consistente con las tasas de interés utilizadas. Más aún, en estos últimos modelos, las tasas de interés en si mismas tal como las tasas de interés entre escenarios, pueden ser construidas para satisfacer ciertas necesidades económicas.

Los escenarios pueden ser especificados sin modelizar datos pasados, simplemente para medir la adecuación de las primas y las reservas en diferentes esquemas de condiciones económicas futuras plausibles.

De esta forma, un escenario de tasas de interés se plantea como una secuencia de tasas de interés de un único período (i₁, i₂, i₃,DD.) que ha sido determinado por el actuario para su uso en un cálculo actuarial. Los elementos de la secuencia se seleccionan sobre la base de que representan tasas prospectivas futuras plausibles de acuerdo a la visión del actuario.

Un único escenario puede ser suficiente si el actuario está seguro de los retornos de futuras inversiones como resultado de colocaciones pasadas o algún conocimiento especial. Alternativamente, varios escenarios pueden ser especificados de manera que la sensibilidad de los valores presentes actuariales a cambios del contexto económico puedan ser estudiados.

Si se usan varios escenarios, a efectos de analizar la situación, podemos indexar los escenarios por j = 1,2, D., m donde m es el número de escenarios y (_ji₁, _ji_{2, j}i₃D..) denota el escenario j-ésimo de tasas de interés. En este contexto denotaremos,

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

1

k n−

Π ∑

y usando la notación que venimos utilizando:

Nota: V(t,n,i) indica el valor presente en el momento t de una renta cierta de $1 ,con n pagos, a una tasa de interés efectiva del periodo (intervalo de tiempo entre dos pagos o cobros consecutivos).Cuando en este trabajo el parámetro i se sustituye por v* ello indica la presencia de una secuencia de tasas de interés.

1 1

0

1 0

1, (1 ) y (1, , * )

k n

j j k j r j j k

r k

v v i V n v v

− −

= =

= =

Π

∑

[

] [ (1, 1, *)]

x j j x j

C PSM = E v

y C PRVA = E V K + v

Al construir un modelo de tasas de interés asuma que el actuario ha formulado m escenarios plausibles de tasa de interés. Como paso siguiente, se puede especificar distribuciones de probabilidad usando métodos para explicitar probabilidades asignadas de acuerdo a la definición de la probabilidad subjetiva.El símbolo p(j) denota la probabilidad del escenario j.

Las asignaciones de probabilidad deberían reflejar el punto de vista del actuario sobre los rendimientos de las futuras inversiones. El proceso de explicitación de las probabilidades de los escenarios es similar al proceso de explicitación de las funciones

ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS

probabilidades de los escenarios es similar al proceso de explicitación de las funciones de utilidad.

Los valores presentes actuariales son definidos usando la distribución conjunta del tiempo de sobrevida medido en años enteros (K) y el escenario de tasa de interés (J).

Asumiremos que K y J son variables aleatorias independientes. El presubíndice asterisco ha sido agregado para reflejar que los valores presentes actuariales han sido tomados en relación a K y J.

ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS ESCENARIOS ALEATORIOS CON TASAS DETERMINISTICAS

1

* /

1

[ ] [ ] . ( )

m K

x J K J J J j x j x

j

CPSM E E v

E CPSM CPSM p j

=

= = = ∑

*

P

[ (1, 1, ]

. ( )

x J K J J

m

C RVA E E V K v

CPRVA p j

= + =

= ∑

ɶ

1

. ( )

j x

j

CPRVA p j

=

= ∑

En el desarrollo precedente escenarios aleatorios de tasas de interés deterministicas fueron presentados. La asignación de probabilidad fue realizada usando el conocimiento económico del actuario. Consideremos un modelo estadístico para las tasas de interés en el cual la selección del modelo y las estimaciones del parámetro dependen de los datos.

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

log(1 + I _k ) = + δ ε _k k=1,2,3,...

Suponga que el actuario ha decidido modelizar las fuerzas del interés y ha adoptado el siguiente modelo: donde δ es una constante no negativa y ε_k son variables aleatorias i.i.d. con distribuciones N(0,σ²).Este modelo puede ser visto como una fuerza del interés media de largo plazo, sujeta a shocks randómicos. Dado el supuesto hecho sobre la distribución de los shocks, fuerzas negativas de interés son posibles.

Algunos actuarios ven esta posibilidad como invalidante del modelo. Otros actuarios adoptan el modelo porque parece natural modelizar la fuerza del interés y en las operaciones de inversión a veces se dan valores negativos. Por lo tanto las variables aleatorias log(1+I_K) tienen idénticas distribuciones N(δ,σ²) y las variables aleatorias (1+I_K) tienen distribuciones log normales

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

• De esta forma,

• El logaritmo de la variable aleatoria correspondiente a la versión deterministica de la función de acumulación (1+i)ⁿ es la variable aleatoria:

( ¹ ) ^exp

¹

K

2

E + I = ^  δ + σ ^  ≥

 

1 1

log (1 ) log(1 )

n n

k k

k k

I I

= =

+ = ∑ +

∏

• Considerando la fórmula de la transparencia anterior,esta variable aleatoria tiene una distribución N(nδ,nσ²). Como consecuencia, la función de acumulación de intereses tiene una distribución lognormal con:

• Es instructivo observar que si σ²=0, la acumulación de intereses esperada es e^nδ

( 2/ 2 ) 1

n

n k

k

E I e

=

 

  =

 ∏ 

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

•El logaritmo del factor de descuento:

•tiene una distribución normal N(-δ,σ²) y (1+I_K)^-1 tiene una distribución lognormal con

( )

( )( )

1 ( 2/ 2 )

1 _k 0

E  + I ⁻  = e ^{− δ σ−} > y

log[(1 + I

) ]

= − log(1 + I

) = − − δ ε

•Definimos la función de descuento, como la variable aleatoria

(

)

(

)(

)

V a r I ⁻ e^σ e^{− δ σ+}

 

 +  = − ≥

 

1

1 0

( 1 )

1

n

n k

k

v I y

v

−

=

= +

=

∏

ɶ ɶ

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

•La elección del símbolo ṽ_n se fundamenta en el uso de la expresión v_n en el campo determínistico. Entonces

tiene una distribución N(-nδ,nσ²) y ṽ_n tiene una distribución lognormal con

( )

( ) ( )( )

2

2 2

( / 2 )

( 2 )

1

n n

n n

E v e y

V a r v e e

δ σ

σ δ σ

− −

− +

=

 

 

= −

 

 

ɶ ɶ

( )

1

l o g l o g (1 )

n

n k

k

v I

=

= −

∑

ɶ

•Nuevamente, si σ²=0, volvemos a la situación determinística

•Asumiremos que I_k, k =1,2,3, DD., K (tiempo de sobrevida en años enteros) son mutuamente independientes. Consideremos en este contexto algunas operaciones de seguros:

( )

( ¹ )( )

V a r   v ɶ   = e − e

2

* 1 / 1 1

0

( / 2 ) ( 1 ) 0

( ) ( ) ( . . )

. .

x K v K v K v k k x x k

k

k

k x x k

k

A E v E E v E v p q

e ^{δ σ} p q

∞

+ + + +

=

∞ − − +

+

=

= = =

∑

∑

ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

•Para medir el riesgo, determinamos la varianza (y haciendo cuentas) se llega a :

•Las fórmulas para el valor presente actuarial de una renta, suponiendo que I_k, k=1,2,D..,K son mutuamente independientes, requieren definir primero

( )

(

) ( )

1 2 2 1

0

(

)

.

k

Var v e

p q A

∞ − +  − 

+ +

=

= ∑ −

ɶ

1

( 1 , , )

K

V K v v

=

∑

ɶ ɶ

•Entonces

•Y

0

( 1 , , ) _s

s

V K v v

=

=

∑

ɶ ɶ

( 2/ 2 ) 2

/

0

[ (1, 1, )] (1, 1, / 2 )

s K s v K

s

E V K v ⁼ e ^{− +δ σ} V K δ σ

=

+ =

∑

ɶ ɶ

2

*

a ɺɺ

= E V [ (1, K + 1, ) v ɶ = E E

[ (1, V K + 1, )] v ɶ = E V

[ (1, K + 1, δ σ − / 2)]

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS INDEPENDIENTES

•Entonces:

•Si quisiéramos calcular Var[(1,K+1,ṽ)] deberíamos hacer un desarrollo que excede el alcance de este trabajo. El resultado final que se obtiene es:

2

*

0

[ (1, 1, / 2)]. .

x k x x k

k

a

V K δ σ p q

=

= ∑ + −

ɺɺ

* 2

( ( 1 , 1 , ) 2 a ^x a ^x ( )

V a r V K v a a

α − α

+ = + ɺɺ ɺɺ −

ɶ ɺɺ 2 ɺɺ

* 2

[ ( 3 / 2 ) ] *

2

( ( 1 , 1 , ) 2 ( )

1

e s e v a l u a d a a l a f u e r z a d e l i n t e r é s 2 ( - )

x x

x x

x

a a

V a r V K v a a

e d o n d e a

α

δ σ

α δ σ

− −

+ = + − −

−

ɺɺ ɺɺ

ɶ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES

•En el campo de la economía financiera ha habido una discusión continua sobre si las tasas de interés efectivas para varias clases de inversiones pueden ser modelizadas como v.a. i.i.d.

•El actuario puede alterar estos métodos.Por ejemplo, la distribución de los shocks aleatorios ε_kpuede suponerse distinta a la N(0,σ²)

•Si el actuario rechaza la hipótesis de que las tasas efectivas son v.a.

i.i.d. entonces puede utilizar, por ejemplo, como modelo el que desarrollaremos a continuación:

•MODELO DE MEDIAS MOVILES

•MODELO DE MEDIAS MOVILES

•Desarrollaremos a continuación únicamente el siguiente modelo:

•donde δ > 0, y ε_k, k=1,2,3,D.. son v.a. mutuamente independientes, cada una con distribución N(0,σ²). Adicionalmente supondremos que el valor absoluto de θ≤1 y ε₀ es conocido. Este modelo se llama modelo de medias móviles de orden 1 y se denota MA(1)

log(1 + I

) = + δ ε

− θε

k=1,2,3,...

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES

•La idea del modelo es que la fuerza del interés tiene una media de largo plazo denotada por δ, pero que shocks económicos randómicos crean desviaciones respecto a la media. El shock para el período k, ε_k, tiene un impacto moderado y retardado sobre la fuerza del interés en el período k+1 de tamaño –θε_k.

•Denotando ṽ_n

1 1

( )

(1 )

k n

k k

k

k n

n k

v I e

δ ε θ ε

=

−

=

= − + −

−

∑

= ∏ + =

ɶ

•Entonces

1

(1 )

n k

k

v I e

=

= ∏ + =

ɶ

( )

1 0

1

1

1 0

1 1

(1 )

log (1 ) y

( ) ( )

n

n k

k

n n

n k k n k

k k

n n

v n

E v E e

δ ε θε θ ε

δ ε θε δ ε θε θ ε

−

=

−

−

= =

 

− + − + − 

 

 

= − + − = − + − + −

= ∑

∑ ∑

ɶ

ɶ

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES

•Se había supuesto que los términos de shock ε_k eran mutuamente independientes y cada uno tenía una distribución N(0,σ²). La correspondiente función generatriz de momentos es:

•Este resultado nos permite escribir:

2 2/2

(

)

( ) E e

= e

= M t

0 1

[ ]

( 1) ( 1)

1, 2, 3 E v e

M e M

C e

n

θε

θ

− − −

= − − = =

′ ɶ

•Con estos resultados preliminares calcularemos valores presentes actuariales:

0 1

1

( 1) ( 1) y log ( 1)

donde C = M − e

M θ −

δ ^′ = − δ M θ −

( 1)

* 1 / 1 1 1

0 0

[ ] [ ]

x K v K v K v k k x x k k x x k

k K

A E v E E v E v p q C e

p q

∞ ∞

− + ′

+ + + + +

= =

 

= = =   =

 ∑  ∑

ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ

TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES TASAS DE INTERÉS ALEATORIAS DEPENDIENTES

•Similarmente ,

( )

( )

* /

0 1

1 1

0 1 0

[ (1, 1, )] [ (1, 1, )] 1

1 1 0, ,

k

x v K v v s k x x k

k s

k

s

k x x k k x x k

k s k

a E V K v E E V K v E v p q

C e ^δ p q C V k

δ

∞

+

= =

∞ ∞

− ′

+ +

= = =

   

= + = + =   +   =

 

 

  ′

=  +  = +

 

∑ ∑

∑ ∑ ∑

ɶ ɶ ɶ

ɺɺ ɶ ɶ ɶ

•El calculo de la varianza excede el alcance del trabajo

IMPLEMENTACIÓN

•Se pueden definir otros modelos estadísticos para calcular los momentos de los valores presentes actuariales incorporando las tasas de interés como variables aleatorias.

•Otros modelos estadísticos para X_k=log(1+l_k) (ejemplos)

•A)Autorregresivo de orden 1 (AR1):

( X

− =Φ δ ) ( X

− + δ ε )

•. B)AR(1) y MA(1)

1 1

( X _k − −Φ δ ) ( X _{k −} − = − δ ε θε ) _{k k −}

IMPLEMENTACIÓN IMPLEMENTACIÓN

• c. AR(1) en primeras diferencias

•pueden ser objeto de similares desarrollos.

•Cuando las únicas variables aleatorias son las de tiempo futuro de sobrevida, y se asume que son mutuamente independientes, se pueden desarrollar aproximaciones para un portafolio de pólizas que se basan en un tipo de teorema central del límite que se usa para justificar una aproximación normal.

•Cuando uno de los componentes de las variables aleatorias valor presente es función

1 1 2

( X

− X

) = Φ ( X

− X

) = ε

•Cuando uno de los componentes de las variables aleatorias valor presente es función del propio proceso aleatorio las variables aleatorias valor presente ya no son mas independientes .

•Consecuentemente la distribución de las pérdidas totales de un portafolio de variables aleatorioas valor presente ya no se pueden aproximar usanado simplemente una distribución normal cuando las tasas de interés son tambien variables aleatorias.

IMPLEMENTACIÓN IMPLEMENTACIÓN

Hay enfoques basados en la simulación para estimar los momentos de las variables aleatorias valor presente o para aproximar la función de distribución o de densidad de tales variables aleatorias.

• Si { I_K } _, denota la secuencia de tasas de interés efectivas aleatorias futuras y K los años de vida completados se asumen independientes, una función de distribución empírica podría usarse como aproximación de la función de distribución de la variable aleatoria perdida individual , de una manera rutinaria.

•Para ilustrar suponga 100 secuencias de tasas de interés futuras generadas usando el modelo MA(1) visto antes . Para cada una de estas secuencias una observación de las v.a.K (años de vida completados) podría ser determinada usando la función de modelo MA(1) visto antes . Para cada una de estas secuencias una observación de las v.a.K (años de vida completados) podría ser determinada usando la función de supervivencia que ha sido asumida.Estos resultados pueden ser utilizados para obtener 100 valores muestrales de ṽ_k+1. Estos valores pueden ser tratados como una muestra derivada de la distribucion conjunta de { I_K} y K y la media y la varianza de estas 100 simulaciones serian la estimacion de la media y varianza de la distribucion de ṽ_k+1.La funcion de distribucion empírica estimaria la funcion de distribucion de ṽ_k+1.

•El proceso de simulación puede ser usado para aproximar la función de distribución del valor presente las perdidas totales de un portafolio con n riesgo individuales. En este caso hay un set de variables aleatorias de años completados de vida K_i, I=1,2,D,n .Si estas v.a se asumen independientes un conjunto de observaciones para cada v.a K_i, podia ser combinado con un escenario de intereses generados aleatoriamente para producir una muestra de los resultados del valor presente de las perdidas .

IMPLEMENTACIÓN IMPLEMENTACIÓN

•Debería quedar claro porque la simulación usando observaciones generadas por el computador de variables aleatorias valor presente que pueden ser función de varias variables aleatorias ha sido ampliamente utilizado para construir funciones de distribución empíricas. Estas aplicaciones han hecho de la simulación una importante herramienta en la ciencia actuarial

Si hay evidencias de que las v.a. tiempo hasta el decremento y causa de decremento no son independientes de {i_k },entonces la generación de v.a. valor presente se torna más complicada. Por ejemplo acto y tiempo de retiro de un seguro de vida o de un plan de pensiones pueden no ser independientes de {I_k}.

•MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•En los modelos desarrollados antes se podía seleccionar uno y estimar los parámetros usando datos de operaciones de inversión del sistema financiero que está siendo modelizado. Las críticas a este procedimiento afirman que ignoran importante información disponible en los mercados de capital en ese momento.

•Para ilustrar la variabilidad en el tiempo de los rendimientos al vencimiento de un tipo de acciones, se puede considerar la serie que muestra dichos datos para un instrumento cualquiera .Los cambios en el precio de los bonos y en los rendimientos reflejan las variaciones en la evolución del mercado.

•Hay por supuesto muchas otras inversiones que pueden haber tenido diferentes esquemas de rendimiento en un mismo periodo. Las noticias económicas no afectan los rendimientos de las acciones de la misma forma . Mas aún los bonos del gobierno con vencimientos diferentes pueden exhibir evoluciones distintas de los rendimientos en diversos momentos del tiempo .

MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•Informacion de precios y vencimientos

•Para extraer la información acerca de la relación del interés y los vencimientos, sin considerar factores tales como default (imposibilidad de pago ) y call (vencimiento anticipado como opción del que recibió el préstamo),es usual analizar acciones emitidas por gobiernos centrales. En EEUU se llaman obligaciones del tesoro. Los otros bonos son analizados comparándolos con los bonos del tesoro.

•Para ilustrar los métodos usados para resumir las relaciones entre las tasas de interés y las fechas de vencimiento se requiere hacer una revisión de las ideas básicas de las matemáticas de las finanzas . Consideremos en primer lugar los bonos de descuento puro que pagan uno al vencimiento y son negociados en el mercado sin costo de transacción. Estos bonos no pueden vencimiento y son negociados en el mercado sin costo de transacción. Estos bonos no pueden caer en default. El numero s denota el tiempo actual y hay disponibles bonos de descuento con vencimientos en los momentos s, s+1DD Los precios de un bono en el tiempo s que vence t periodos en un futuro se denotan como P(s,s+t) . Asumiremos que :

•

•

( , ) 1 ,

( , ) 0

P s s

l í m P s t

t

=

=

→ + ∞

MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

El tercer supuesto equivale a asignarle un mayor valor a cobrar el mismo importe antes. La tasa de rendimiento para t periodos se denota como i(s,s+t) que se define como :

, ( , ) ( , )

y si u > t P s t > P s u

( , ) [1 ( , ) ] ^t

P s s + t = + i s s + t ⁻

El numero i(s,s+t) se llama tasa de posición en el tiempo s de un bono de periodo t. El nombre deriva del hecho que las tasas pueden ser determinadas en base a la situación del mercado y se relacionan con un único pago en una fecha futura . Las tasas de posición i(s,s+t) vistas como una función de t se llama estructura temporal de las tasas de interés en el tiempo s.

`

Las tasas a futuro son una forma alternativa de estudiar la relación entre vencimientos y tasas de interés. Como el nombre lo sugiere las tasas a futuro son las tasas de interés que serian utilizadas para contratos que concluyen en ese periodo futuro. Se requiere que esas tasas sean consistentes con un conjunto de tasas de posición que se observan en el mercado en ese momento .

( , ) [1 ( , ) ]

P s s + t = + i s s + t

MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•La consistencia que se requiere es la no existencia de oportunidades de arbitraje. Una oportunidad de arbitraje existe en un mercado de capitales si hay dos estrategias disponibles para el mismo periodo de inversión de forma que una estrategia resulte en condiciones de certidumbre en una mayor riqueza al final del periodo que la estrategia alternativa.

Para ilustrar el requerimiento de no arbitraje suponga que un inversor paga uno por un bono que vence en el momento s+u por un monto [1+i(s,s+u)]^u . Alternativamente el inversor puede comprar un bono de periodo t, t<u, y en el tiempo s+t invertir el valor nominal de la primera inversión en un segundo bono que vencerá en el momento s+u nominal de la primera inversión en un segundo bono que vencerá en el momento s+u por un importe :

•Donde j (s,s+t,s+u) es la tasa a futuro del tiempo s para un futura transacción con flujos de fondos en s +t y en s+u . Si no existe oportunidad de arbitraje los dos montos finales de riqueza deben ser iguales :

( ) ( )

1 + i s s t , + ^t 1 + j s s t s u , + , + ^{u t −}

   

   

( ) ( ) ( )

1 + i s s u , +

= + 1 i s s t , +

1 + j s s t s u , + , +

     

     

MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•En el caso especial en que u=t+1

( ) ( )

( )

1 ,

1 , , 0

1 ,

u u t

t

i s s u

j s s t s u t u

i s s t

−

  + +  

+ + + = ≤ ≤

 

 

 + + 

 

( ) ¹ ( ^{, 1} )

1 , , 1 0

i s s t

j s s t s t t u

+ + +

 

 

+ + + + = ≤ ≤

 

•Y si t=0

( ) ( )

( )

1 , 1

1 , , 1 0

1 ,

i s s t

j s s t s t t u

i s s t

+ + +

 

 

+ + + + = ≤ ≤

 

 

+ +

 

 

( ^{, , 1} ) ( ^{, 1} )

j s s s + = i s s +

MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•Aplicaciones repetidas de la relación anterior, empezando con t=0, da por resultado:

•El precio actual de un bono que paga cupones de importe c al final de cada uno de los n períodos y que luego paga un valor al vencimiento de F puede ser expresado de forma consistente usando tasas de descuento de bonos, tasas de posición o tasas futuras como se muestra a continuación:

[ ^{1 ( , )} ] ^{[1 ( , , 1)].[1 ( , 1, 2)]....}

[1+j(s,s+t-1,s+t)]

i s s t

j s s s j s s s

+ + = + + + + +

futuras como se muestra a continuación:

•Usando tasas de descuento de bonos,

•Usando tasas de posición

1

( , ) . ( , )

n

k

c P s s k F P s s n

=

+ + +

∑

1

[1 ( , ) ] [ (1 ( , ) ]

n

k n

k

c i s s k ⁻ F i s s n ⁻

=

+ + + + +

∑

MODELOS ECONÓMICOS FINANCIEROS

•Usando tasas a futuro:

•La igualdad de estas tres fórmulas para el precio de un bono descansa en el supuesto de inexistencia de arbitraje.

1 1

1 1

1 0 0

[1 ( , , 1)] [1 ( , , 1)]

k n

n

k w w

c j s s w s w F j s s w s w

− −

− −

= = =

+ + + + + + + + +

∑ ∏ ∏

MANEJO DEL RIESGO DE LA TASA DE INTERES MANEJO DEL RIESGO DE LA TASA DE INTERES

•Es acertado construir modelos actuariales para contar con sistemas de seguridad financiera para evaluar las promesas hechas, para reportar el status financiero del sistema y para manejar los riesgos inherentes de los sistemas de este tipo.

•En una primera aproximación (inmunización) presentaremos un conjunto de reglas simples para manejar el riesgo de la tasa de interés desde una perspectiva deterministica. Luego un conjunto de condiciones más generales referidas al tiempo e importe del flujo de caja para minimizar el riesgo de la tasa de interés se desarrolla en un modelo estocástico.

••INMUNIZACIÓNINMUNIZACIÓN..

••INMUNIZACIÓNINMUNIZACIÓN..

•Nuestro modelo plantea:

0

R e s e r v a s o P a s i v o s = L ( i ) = n ( A )

A c t i v o = A ( i ) = ( )

S u p e r á v i t = S ( i ) = A ( i ) - L ( i )

x t x x t

j j

P a v a j

+ +

∞

=

−

∑

ɺɺ

INMUNIZACIÓN INMUNIZACIÓN

•Donde:

•n = número de pólizas vida entera idénticas contempladas en el modelo.

•t = número de años desde que las pólizas supervivientes fueran emitidas. Los activos, pasivos y superavits son medidos en ese momento.

•P_X= prima pura al momento de emisión de las pólizas, pero no necesariamente apro- piada en el momento t para cubrir los pasivos. Esta prima se usa en el cálculo de los flujos de caja bajo el supuesto simplificador de que la carga de gastos es

suficiente para atenderlos.

•{a(j)} = una secuencia de flujos de caja, cupones, dividendos y valores al vencimiento

•{a(j)} = una secuencia de flujos de caja, cupones, dividendos y valores al vencimiento provenientes de activos existentes, pagaderos al final de los años futuros de las pólizas. En este contexto simplificado se asume que son deterministicos.

•i= tasa de valoración en el tiempo t . Se asume , de forma poco realista que i no

depende del cronograma de flujos de caja futuros y que cualquier cambio inmediato en i no cambiara la curva implícita de rendimiento nivelado , considerada en

nuestros supuestos acerca de i .

INMUNIZACIÓN INMUNIZACIÓN

•Claramente este modelo simplificado de decremento único ignora los beneficios garantizados , los gastos y su incidencia en las primas fijadas en el contrato. Se asume que los flujos de caja de entrada y salida son conocidos e independientes de la tasa de interés . Algunas de las características poco realistas pueden ser cambiadas en un modelo más amplio. Otros ajustes tales como hacer que los flujos de entrada y salida de caja dependan de situaciones más realistas para el calculo de la tasa de interés de valuación, son más complejos.

•En nuestro modelo simple podemos elegir pensar que la secuencia de flujos futuros de caja {a(j)} sea una variable de control. La administración puede elegir entrar en mercados de capitales que le permitan obtener {a(j)} tal que :

•Estas dos condiciones nos dan un valor mínimo de S(i) .Si una secuencia de flujo de caja {a(j)} puede ser encontrada para que satisfaga las dos relaciones ,cualquier cambio en la tasa de interés de valuación generaría un superavit incrementado

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

0 y

0

d S i d

A i L i

d i d i

d S i d

A i L i

d i d i

=  −  =

=  −  >

INMUNIZACIÓN INMUNIZACIÓN

•Las reglas de selección implícitas en las dos relaciones de la transparencia anterior han sido llamadas reglas de inmunización porque su implementación inmunizaría o protegería al valor de S(i) de cambios en i .

MODELO

MODELO ESTOCASTICOESTOCASTICO GENERALGENERAL

•Extenderemos las ideas y los símbolos usados en la sección anterior para introducir elementos estocásticos . Tendremos

( ) ^{ɶ ɶ = ( ) ɶ −} ( ) ^{ɶ ɶ}

• donde ṽ es una secuencia {ṽ_j} de factores de descuentos aleatorios y

es un vector de n variables aleatorias independientes tiempo de sobrevida en años enteros

Se continuará suponiendo que la secuencia de flujos de caja {a_j} es deterministico.

( ) ^{, ( )} ( ) ^,

S v K ɶ ɶ = A v ɶ − L v K ɶ ɶ

(

^,

^,

^{. . . . ,}

)

K ɶ = K K K K

MODELO ESTOCASTICO GENERAL MODELO ESTOCASTICO GENERAL

•La inmunización implica minimizar lo que se logra si

( ) ( ^, ) ^{| 0}

V a r

  A ɶ v ɶ − E   L v ɶ K ɶ v ɶ     =

( ( , ))

Var S v Kɶ ɶ