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ESCUELA RURAL ALMAFUERTE

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Academic year: 2022

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ESCUELA RURAL ALMAFUERTE Materia: Matemática

Año: 6to Humanidades y 6° Técnico Agropecuario Profesor: Ariel Heredia

Fecha de entrega: 12/06

Correo de contacto: ari72heredia@gmail.com

OBJETIVOS GENERALES (Expectativas de logro)

• Desarrollar gusto por la ciencia matemática.

• Manipular los números en diferentes contextos.

 Análisis y uso reflexivo de series y sucesiones numéricas en la resolución de problemas.

CONTENIDOS

Eje: El conocimiento de los números y la formación de un pensamiento acorde a los desafíos de esta época

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

 Correcta aplicación de los reglas de operación aritmética

 Poder transmitir las metodologías trabajadas personalmente al conjunto de compañeros y el profesor.

DESARROLLO TEÓRICO:

En la clase anterior hicimos una introducción a una de las herramientas más poderosas de la matemática esta son las Sucesiones y Series, también vimos una de las historias más bonitas de la relación entre arte naturaleza y matemática.

Presentamos a uno de los más famosos matemáticos como fue Fibonacci y su aporte a la matemática con su famosa sucesión.

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En esta clase intentaremos desarrollar un poco más las ideas comenzadas y daremos un poco más de trabajo de producción por parte de uds.

Bueno como primera acción definamos lo que se llama término general de una sucesión

Recordemos una sucesión es un conjunto ordenado de números generalmente de manera creciente

Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 …

La sucesión anterior es la formada por los números pares, o también la de los números múltiplo de dos De ambas maneras serían los mismos números.

Ahora bien, esa sucesión está desarrollada hasta el elemento séptimo, el 14 y luego continúa con puntos suspensivos y eso quiere decir que continua hacia el infinito quiere decir que hay infinitos elementos de la sucesión, hay infinitos números pares, hay infinitos múltiplos de dos (2).

Entonces tenemos dos clases de series

La cuestión es que esa sucesión infinita (a) de los números pares la podemos escribir de la siguiente forma:

De la sucesión podríamos escribir de manera individual cada término nos quedaría:

Que como dijimos en la clase anterior se deben leer: a sub 1 igual a 2, a sub 2 igual a 4, a sub 3 igual a 6, a sub 4 igual 8, a sub 5 igual a 10, a sub 6 igual a 12, y por último a sub 7 igual a 14.

a

1

=2 a

2

=4 a

3

=6 a

4

=8 a

5

=10 a

6

=12 a

7

=14 a =2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …

Sucesiones finitas: están compuesta por una cantidad finita de términos.

Sucesiones infinitas: están compuesta por infinitos términos y como no se pueden escribir todos se pone punto suspensivos al final.

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Nos dice lo que tenemos y podemos ver, entonces podríamos pensar en que hay un comportamiento el cual nos permite calcular el valor de cualquier término de la sucesión por ejemplo, si quiero saber por la posición 11, a11, o la 15 es decir la posición a15

Una forma sería, completar la sucesión hasta la posición que quiero saber, es decir hasta 11, para a11 y hasta 15 para a15.

Hasta acá se entiende que es bastante sencillo ya que conocemos la manera de ir construyendo la sucesión hasta el lugar que necesitamos. Pero el problema se plantea si yo quiero una posición mucho más lejana como la a57 o la a237 es decir que sería muy engorroso seguir construyendo hasta ese valor.

Entonces, como uno de los preceptos de la matemática es simplificar las cosas, cuando se puede y en este caso se puede, debemos hacer que el proceso no gaste toda nuestra hoja y toda nuestra tinta de la lapicera.

Para ello aprovechamos lo que denominaremos término general.

Entonces por lo visto cada uno de los términos de la sucesión que venimos trabajando se obtiene multiplicando la posición por el número 2, entonces nuestro término general será (2.n) donde n es el número que indica la posición.

De manera más simple la sucesión se puede escribir como:

a=2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 …

a

11

=22 a

15

=30

a =2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … (2.n) …

a

n

= 2.n

El término general es la regla algebraica que permite calcular el valor de cualquier término.

Este término muchas veces permite escribir una sucesión simplemente escribiendo el término general.

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Entonces si quiero los términos a57 y a237

Los valores serán el 114 para la posición 57 y el 474 la posición 237.

Lo importante: saber que una sucesión es un conjunto de números ordenados, que hay dos clases de sucesiones infinitas y finitas, que para las sucesiones infinitas se puede utilizar el término general para calcular cualquier término de la sucesión.

Algunas sucesiones se pueden definir a de manera recursiva como por ejemplo se da el valor de a1

y después se indica cómo se relaciona cada término subsiguiente con el que le precede en la sucesión.

Por ejemplo

a

1

= 1 y a

n+1

= 3.a

n

- 1

Hallar los cinco primeros términos

La sucesión sería hasta su quinto elemento a= 1, 2, 5, 14, 41, …

Acividades:

1. En cada uno de los siguientes ejemplos se proporciona el término generasl de una sucesión. Encuentra los primeros tres términos y el décimo termino y el decimoquinto:

a. a

n

= 2

n

– 1 b. a

n

= (-1)

n

. n

2

2. Encuentra los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones definidas recursivamente.

a. a

1

= 0 a

n+1

= a

n

+ 4 b. a

1

= 4 a

n+1

= a

n

-2

Determinación del término general

Cuando una sucesión tenemos varios de los primeros términos, pero desconocemos su término general podemos seguir el patrón que cumplen los números para buscar el término general.

Ejemplo.

a

57

= 2.57= 114 a

237

= 2.237= 474

a

1

= 1 a

2

= 3.a

1

– 1

a

2

= 3.1 – 1 a

2

= 2

a

3

= 3.a

2

– 1 a

3

= 3.2 – 1 a

3

= 5

a

4

= 3.a

3

– 1 a

4

= 3.5 – 1 a

4

= 14

a

5

= 3.a

4

– 1

a

5

= 3.14 – 1

a

5

= 41

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Sea una sucesión de los cinco primeros términos.

a= 1, 4, 9, 16, 25, …

Al ver los números podemos ver que son todos cuadrados perfectos por lo que su termino general será el cuadrado de la posición.

Nuestra sucesión será an= n2

Sea una sucesión de los cinco primeros términos.

A= -1, 2, -4, 8, -16 …

Si en primera instancia ignoramos los signos negativos, vemos que los números son las potencias de la base 2, pero necesitamos que el término 1 sea cero por lo que será 2n-1 la potencia. Para poder obtener los signos negativos utilizamos la potencia de (-1)n Este factor me asegura ser (-1) para los impares y (+1) para los pares. De este modo

Nuestra sucesión será

a

n

= (-1)

n

. 2

n-1

ACTIVIDAD:

1-Para cada una de las siguientes sucesiones encuentra el término general.

a. 2, 4, 6, 8, 10, … b. -1, 2, -3, 4, -5, 6, … c. 1, 8, 27, 64, 125, … d. 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

2- Para culminar te invito a seguir leyendo un capítulo más de “El Hombre que calculaba”, el cual, te quiero contar que es un texto literario que podría encuadrarse como de divulgación de temas matemáticos. Simplemente trabaja el gusto por leer y la ingeniosa posibilidad de entender que la lógica y la matemática van como trabajo del intelecto. Se los comparto para que puedan ir haciendo esta lectura, pero también para que cuando volvamos, podamos interactuar en cuanto a lo que la misma los interpeló y, dejó pensando. Un abrazo.

CAPITULO V

De los prodigiosos cálculos efectuados por Beremiz Samir, camino de la hostería “El Anade Dorado”, para determinar el número exacto de palabras pronunciadas en el transcurso de

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nuestro viaje y cuál el promedio de las pronunciadas por minuto. Donde el Hombre que Calculaba resuelve un problema y queda establecida la deuda de un joyero.

Luego de dejar la compañía del jeque Nassair y del visir Maluf, nos encaminamos a una pequeña hostería, denominada “El Anade Dorado”, en la vecindad de la mezquita de Solimán. Allí nuestros camellos fueron vendidos a un chamir de mi confianza, que vivía cerca.

De camino le dije a Beremiz:

- Ya ves, amigo mío, que yo tenía razón cuando dije que un hábil calculador puede encontrar con facilidad un buen empleo en Bagdad. En cuanto llegaste ya te pidieron que aceptaras el cargo de secretario de un visir. No tendrás que volver a la aldea de Khol, peñascosa y triste.

- Aunque aquí prospere y me enriquezca, me respondió el calculador, quiero volver más tarde a Persia, para ver de nuevo mi terruño, ingrato es quien se olvida de la patria y de los amigos de la infancia cuando halla la felicidad y se asienta en el oasis de la prosperidad y la fortuna.

Y añadió tomándome del brazo:

- Hemos viajado juntos durante ocho días exactamente. Durante este tiempo, para aclarar dudas e indagar sobre las cosas que me interesaban, pronuncié exactamente 414.720 palabras. Como en ocho días hay 11.520 minutos puede deducirse que durante la jornada pronuncié una media de 36 palabras por minuto, esto es 2.160 por hora. Esos números demuestran que hablé poco, fui discreto y no te hice perder tiempo oyendo discursos estériles. El hombre taciturno, excesivamente callado, se convierte en un ser desagradable; pero los que hablan sin parar irritan y aburren a sus oyentes. Tenemos, pues, que evitar las palabras inútiles, pero sin caer en el laconismo exagerado, incompatible con la delicadeza. Y a tal respecto podré narrar un caso muy curioso.

Y tras una breve pausa, el calculador me contó lo siguiente:

- Había en Teherán, en Persia, un viejo mercader que tenía tres hijos. Un día el mercader llamó a los jóvenes y les dijo: “El que sea capaz de pasar el día sin pronunciar una palabra inútil recibirá de mí un premio de veintitrés timunes”.

Al caer de la noche los tres hijos fueron a presentarse ante el anciano. Dijo el primero:

- Evité hoy ¡Oh, padre mío! Toda palabra inútil. Espero, pues, haber merecido, según tu promesa, el premio ofrecido. El premio, como recordarás sin duda, asciende a veintitrés timunes.

El segundo se acercó al viejo, le besó las manos, y se limitó a decir:

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- ¡Buenas noches, padre!

El más joven no dijo una palabra. Se acercó al viejo y le tendió la mano para recibir el premio. El mercader, al observar la actitud de los tres muchachos, habló así:

- El primero, al presentarse ante mí, fatigó mi intención con varias palabras inútiles; el tercero se mostró exageradamente lacónico. El premio corresponde, pues, al segundo, que fue discreto sin verbosidad, y sencillo sin afectación.

Y Beremiz, al concluir, me preguntó:

- ¿No crees que el viejo mercader obró con justicia al juzgar a los tres hijos?

Nada respondí. Crei mejor no discutir el caso de los veintitrés timunes con aquel hombre prodigioso que todo lo reducía a números, calculaba promedios y resolvía problemas.

Momentos después, llegamos al albergue del “Anade Dorado”.

El dueño de la hostería se llamaba Salim y había sido empleado de mi padre. Al verme gritó risueño:

- ¡Allah sobre ti!, pequeño. Espero tus órdenes ahora y siempre.

Le dije que necesitaba un cuarto para mí y para mi amigo Beremiz Samir, el calculador secretario del visir Maluf.

- ¿Este hombre es calculador?, preguntó el viejo Salim. Pues llega en el momento justo para sacarme de un apuro. Acabo de tener una discusión con un vendedor de joyas. Discutimos largo tiempo y de nuestra discusión resultó al fin un problema que no sabemos resolver.

Informadas de que había llegado a la hostería un gran calculador, varias personas se acercaron curiosas. El vendedor de joyas fue llamado y declaró hallarse interesadísimo en la resolución de tal problema.

- ¿Cuál es finalmente el origen de la duda? Preguntó Beremiz.

El viejo Salim contestó:

- Ese hombre -y señaló al joyero- vino de Siria para vender joyas en Bagdad. Me prometió que pagaría por el hospedaje 20 dinanes si vendía todas las joyas por 100 dinares, y 35 dinares si las vendía por 200.

Al cabo de varios días, tras andar de acá para allá, acabó vendiéndolas todas por 140 dinares.

¿cuánto debe pagar de acuerdo con nuestro trato por el hospedaje?

- ¡Veinticuatro dinares y medio! ¡Es lógico!, replicó el sirio. Si vendiéndolas en 200 tenía que pagar 35, al venderlas en 140 he de pagar 24 y medio… y quiero demostrártelo:

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Si al venderlas en 200 dinares debía pagarte 35, de haberlas vendido en 20, -diez veces menos- lógico es que solo te hubiera pagado 3 dinares y medio.

Mas, como bien sabes, las he vendido por 140 dinares. Veamos cuántas veces 140 contiene a 20.

Creo que siete, si es cierto mi cálculo. Luego, si vendiendo las joyas en 20 debía pagarte tres dinares y medio, al haberlas vendido en 140, he de pagarte un importe equivalente a siete veces tres dinares y medio, o sea, 24 dinares y medio.

Proporción establecida por el joyero 200: 35:: 140: x

- Estás equivocado, le contradijo irritado el viejo Salim; según mis cuentas son veintiocho. Fíjate: si por 100 tenía que recibir 20, por 140 he de recibir 28. ¡Está muy claro! Y te lo demostraré.

Y el viejo Salim razonó del siguiente modo:

- Si por 100 iba a recibir 20, por 10 -que es la décima parte de 100- me correspondería la décima parte de 20. ¿Cuál es la décima parte de 20? La décima parte de 20 es 2. Luego, por 10 tendría que recibir 2. ¿Cuántos 10 contiene 140) el 140 contiene 14 veces 10. Luego para 140 debo recibir 14 veces 2, que es igual a 28 como ya dije anteriormente.

Proporción establecida por el viejo Salim 100: 20:: 140: x

Y el viejo Salim, después de todos aquellos cálculos exclamó enérgico:

- ¡He de recibir 28! ¡Esta es la cuenta correcta!

- Calma, amigos míos, interrumpió el calculador; hay que aclarar las dudas con serenidad y mansedumbre. La precipitación lleva al error y a la discordia. Los resultados que indicáis están equivocados, como probaré a continuación.

Y expuso el siguiente razonamiento:

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- De acuerdo con el pacto que habéis hecho, tú, dijo dirigiéndose al sirio, tenías que pagar 20 dinares por el hospedaje si hubieras vendido las joyas por 100 dinares, mas si hubieras percibido 200 dinares, debías abonar 35.

Así, pues, tenemos:

Precio de venta…Coste del hospedaje 200………. 35

100………. 20 100………. 15

Fijaos en que una diferencia de 100 en el precio de venta corresponde a una diferencia de 15 en el precio del hospedaje. ¿Está claro?

- ¡Claro como la leche de camella!, asintieron ambos litigantes.

- Entonces, prosiguió el calculador, si el aumento de 100 en la venta supone un aumento de 15 en el hospedaje, yo pregunto: ¿cuál será el aumento del hospedaje cuando la venta aumenta en 40?

Si la diferencia fuera 20 -que es un quinto de 100- el aumento del hospedaje sería 3 -pues 3 es un quinto de 15-. Para la diferencia de 40 -que es el doble de 20- el aumento de hospedaje habrá de ser 6. El pago que corresponde a 140 es, en consecuencia, 25 dinares.

Amigos míos, los números, en la simplicidad con que se presentan, deslumbran incluso a los más avisados.

Proporción establecida por el Beremiz 100: 15::140: x

Las proporciones que nos parecen perfectas están a veces falseadas por el error. De la incertidumbre de los cálculos resulta el indiscutible prestigio de la Matemática. Según los términos del acuerdo, el señor habrá de pagarte 26 dinares y no 24 y medio como creía al principio. Hay aún en la solución final de este problema, una pequeña diferencia que no debe ser apurada y cuya magnitud no puedo expresar numéricamente.

- Tiene el señor toda la razón, asintió el joyero; reconozco que mi cálculo estaba equivocado.

Y sin vacilar sacó de la bolsa 26 dinares y se los entregó al viejo Salim, ofreciendo como regalo al agudo Beremiz un bello anillo de oro con dos piedras oscuras, y añadiendo a la dádiva las más afectuosas expresiones.

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Todos los que se hallaban en la hostería se admiraron de la sagacidad del calculador, cuya fama crecía de hora en hora y se acercaba a grandes pasos al alminar del triunfo.

Referencias

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