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Mínimo Común Múltiple
Definición de múltiplo mínimo común En primer lugar, pensemos en lo que es un múltiplo.
Un múltiplo es un número que se puede dividir por otro número sin resto.
También se puede pensar en el resultado de un producto entre dos números.
En otras palabras, cualquier número que pertenezca a cualquier tabla de multiplicar es un múltiplo de esa tabla de multiplicar.
• 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... son todos múltiplos de 3 porque están en la tabla de multiplicar del 3
• 10, 20, 30, 40, 50, ... son todos múltiplos de 10 porque están todos en la tabla de multiplicar del 10.
• 3 x 4 = 12, por lo que 12 es un múltiplo de 3 y 4.
• 5 x 5 = 25, por lo que 25 es múltiplo de 5
• 12 x 5, por lo que 60 es un múltiplo de 5 y 12.
Un múltiplo común es un múltiplo que tienen en común varios números.
• 12, 24, 36 y 48 son todos múltiplos comunes de 3 y 4 porque los números son tanto un múltiplo de 3 como un múltiplo de 4.
Y el mínimo común múltiplo entre dos números es el número más pequeño que es un múltiplo de ambos números.
Y el mínimo común múltiplo entre varios números, es el mínimo múltiplo que todos los números tienen en común.
El mínimo común a menudo se abrevia como MCM.
Siempre puede encontrar un múltiplo común de dos números multiplicándolos, pero es posible que este no siempre sea el mínimo común múltiplo (ya que puede haber un múltiplo común más pequeño).
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Definición de múltiplo mínimo común (o MCM): ¡cómo encontrarlo!
Entonces, ahora que tenemos la definición de múltiplo menos común, ¿cómo la encontramos?
Hay varias formas de hacer esto, pero le mostraremos dos de las más fáciles:
• enumerar todos los múltiplos
• usar el método de factorización prima
Hallar el mínimo común múltiplo (o MCM): enumerando los múltiplos La definición de múltiplo común mínimo es el número más bajo que es un múltiplo de ambos (o de todos) números.
Entonces, la forma obvia de encontrar el MCM de dos números es simplemente escribir listas de múltiplos de todos los números hasta que encuentre el mismo número en ambas listas.
Este método es la forma más sencilla de encontrar el MCM de cualquier conjunto de números.
El único problema con este método es que puede llevar bastante tiempo hacerlo, especialmente si los números son grandes y no tienen factores comunes.
Recuerde, si solo hay dos números, solo necesita escribir sus múltiplos hasta el valor del otro número.
Ejemplo: si está buscando el mínimo común múltiplo de 5 y 8, solo necesita subir al octavo múltiplo de 5, o al quinto múltiplo de 8 (que es 40).
Esto es porque sabemos que a x b siempre será un múltiplo común de a y b, aunque puede que no siempre sea el mínimo común múltiplo.
Ejemplos
Ejemplo 1) Encuentra el mínimo común múltiplo de 5 y 3.
Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...
Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Entonces, hemos encontrado dos múltiplos comunes
que ocurren en ambas listas: 15 y 30. Ten en cuenta que realmente solo necesitamos subir al tercer múltiplo de 5, o al quinto múltiplo de 3 para encontrar nuestra respuesta.
El mínimo común múltiplo es 15 (que es 3 x 5).
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Ejemplo 2) Encuentra el mínimo común múltiplo de 5 y 11.
Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 Los múltiplos de 11 son: 11, 22, 33, 44, 55, 66, ...
El número más pequeño en ambas listas es 55 (que es 5 x 11).
El mínimo común múltiplo es 55.
Ejemplo 3) Encuentra el mínimo común múltiplo de 6 y 15.
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 55, 60 Los múltiplos de 15 son: 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
Hemos encontrado dos múltiplos comunes: 30 y 60.
El número más pequeño en ambas listas es 30 (tenga en cuenta que este es un valor menor que 6 x 15).
El mínimo común múltiplo es 30.
Ejemplo 4) Encuentra el mínimo común múltiplo de 4 y 6 y 10.
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 42, 48, 52, 56, 60, 64 Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66 ...
Los múltiplos de 10 son: 10, 20, 30, 40, 50, 60, ...
El número más pequeño de todas las listas es 60.
El mínimo común múltiplo es 60.
Calculadora de múltiplos mínimos comunes: El método de los factores primos Este método funciona bien para números más grandes en los que llevaría mucho tiempo usar el método de múltiplos, ¡pero es más complicado de usar!
Debes escribir cada número como una lista de productos de factores primos.
Ahora escribe cada una de estas listas en forma exponencial.
Ahora combine sus listas juntas comenzando el factor más pequeño y el exponente más alto de cada factor primero.
Ahora mire sus listas de factores primos y para cada factor repetido, solo necesita usar el factor con el mayor exponente (o solo uno de los factores si los exponentes son los mismos).
Multiplica los factores primos restantes en la lista para encontrar el MCM.
Esto suena complicado, pero si miras los ejemplos a continuación, ¡Verás que tiene sentido!
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Ejemplo 1) Encuentra el mínimo común múltiplo de 14 y 20.
Como producto de factores primos:
• 14 = 2 x 7
• 20 = 2 x 2 x 5 = 22 x 5
Luego combine los factores y ordene esta lista por orden de número y exponente:
22, 2, 5, 7
Ahora elimina los exponentes más bajos del mismo número de la lista.
El factor 2 se repite, por lo que solo necesitamos usar el exponente más alto, que es 22.
Nuestra nueva lista es:
22, 5, 7.
Ahora multiplicamos los factores de la lista juntos.
Esto nos da: 22 x 5 x 7 = 2 x 2 x 5 x 7 = 140 El mínimo común múltiplo es 140.
Ejemplo 2) Encuentra el mínimo común múltiplo de 144 y 78.
Como producto de factores primos:
• 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 24 x 32
• 78 = 2 x 3 x 13
Luego combine los factores y ordene esta lista por orden de número y exponente: 24 x 2 x 32 x 3 x 13
Ahora elimina de la lista cualquier exponente menor del mismo número.
El factor 2 se repite, por lo que solo necesitamos usar el exponente más alto que es 24.
El factor 3 se repite, por lo que solo necesitamos usar el exponente más alto, que es 32.
Esto nos da una lista final de: 24, 32, 13.
Ahora necesitamos multiplicar los factores primos para encontrar el MCM.
Esto nos da: 24 x 32 x 13 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 1872
Como probablemente pueda ver, ¡esto tomaría un tiempo para funcionar usando el método de múltiplos!
El mínimo común múltiplo (MCM) es 1872.
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Ejemplo 3) Encuentra el mínimo común múltiplo de 14, 31 y 12.
Como producto de factores primos:
• 14 = 2 x 7
• 31 = 31 (ya es primo)
• 12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3
A continuación, combine los factores y ordene esta lista por orden de número y exponente:
22, 2, 3, 7, 31
El factor 2 se repite y solo necesitamos usar el exponente más alto que es 22.
Esto nos da una lista final de:
22, 3, 7, 31
Ahora necesitamos multiplicar los factores primos para encontrar el MCM.
Esto nos da: 22 x 3 x 7 x 31 = 2 x 2 x 3 x 7 x 31 = 2604 El mínimo común múltiplo (LMC) es 2604.
Ejemplo 4) Encuentra el mínimo común múltiplo de 129 y 321.
Como producto de factores primos:
• ● 129 = 3 x 43
• ● 321 = 3 x 107
A continuación, combine los factores y ordene esta lista por orden de número y exponente:
3, 3, 43, 107
El factor 3 ocurre en ambos números y el exponente es el mismo, por lo que solo necesitamos incluirlo una vez.
Esto nos da una lista final de:
3, 43, 107
Ahora necesitamos multiplicar los factores primos para encontrar el MCM.
Esto nos da: 3 x 43 x 107 = 13803
El mínimo común múltiplo (MCM) es 13803.
