Propiedades de Tangentes

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Objetivos Matemáticos

 Los estudiantes definirán una tangente y reconocerán que una tangente es perpendicular al radio del círculo en el punto de tangencia.

 Los estudiantes entenderán y demostrarán que dos segmentos tangentes a una circunferencia, desde un punto común fuera del círculo, son congruentes

Expectativas e indicadores para Puerto Rico Décimo Grado

Expectativa 4: Aplica métodos matemáticos de prueba para desarrollar justificaciones para los teoremas básicos de la geometría euclidiana.

G.FG.9.4.1 Establece conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas, con y sin tecnología.

Expectativa 5: Identifica figuras congruentes y justifica estas congruencias estableciendo condiciones suficientes y hallando las transformaciones que preservan la congruencia entre las figuras. Resuelve problemas que involucran la congruencia en una variedad de contextos.

G.FG.9.5.3 Identifica, contrasta, diferencia y aplica las condiciones suficientes para la congruencia de triángulos (LLL, LAL, ALA, AAL, HL).

Expectativa 8: Justifica y aplica las fórmulas de medidas asociadas a figuras geométricas de dos y tres dimensiones para perímetro/circunferencia, área, volumen y aplica estas fórmulas y otras propiedades geométricas relacionadas con ángulos y medidas de arco para resolver problemas que involucran medidas de figuras bidimensionales y tridimensionales.

M.TM.9.8.8 Justifica y aplica enunciados sobre ángulos formados por cuerdas, tangentes y secantes en círculos y las medidas de los arcos que interceptan.

Vocabulario

Recta secante, recta tangente, punto de tangencia, segmentos, tangentes

Acerca de la Actividad

Esta actividad involucra a los estudiantes en la investigación de la recta tangente y sus propiedades. Como resultado los estudiantes podrán:

 Manipular un punto en una recta para visualizar cuando es una recta secante y cuando se convierte en una recta tangente al círculo.

 Describir la relación de una recta tangente a un radio del punto de tangencia.

 Descubrir y probar la relación de dos segmentos tangentes que tienen un punto común fuera del círculo.

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Materiales para la Lección:

Actividad del Estudiante:

Propiedades_de_Tangent es_Estudiante.PDF

Propiedades_de_Tangente s_Estudiante.DOC

Documento TI-Nspire:

Propiedades_de_Tangentes.

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Puntos de Discusión y Posibles Respuestas:

TI-N s pire P á gina 1.2

Consejo de Enseñanza: Si los estudiantes tienen dificultades al arrastrar un punto, asegúrate de que han movido la flecha hasta que se convierta en una mano (

÷

) indicando que está a punto de agarrar el punto. Además, asegúrate de que la palabra punto aparece. Luego oprime

/x

para agarrar el punto y cerrar la mano (

{

).

1. a. Mientras arrastras el punto C,

¿qué ocurre con ∡CBA?

b. Cuando los puntos P y B están muy cerca uno del otro, cual es la medida del ∡CBA? ¿Qué ocurre con el punto P?

c. Cuando el ∡CBA mide 0, donde está el punto P en la circunferencia en relación con B?

d. Cuando ∡CBA mide 90, ¿qué ha ocurrido con la recta secante?

Las medidas del ángulo aumentan y disminuyen

90°.

El punto P esta al final del radio AB. Aunque B y P son puntos distintos, el punto P está siendo escondido por el punto B.

P está ahora en lado opuesto de B. La recta secante pasa por el centro de la circunferencia y PB es el diámetro.

Está tocando la circunferencia solo en un punto, convirtiéndose en una recta tangente. Los estudiantes también pueden decir algo acerca del radio que es perpendicular a la recta tangente. Los puntos P y B siguen coincidiendo pero son distintos. Una tangente no pasa a través del interior de un círculo.

Consejo de Enseñanza:Es posible que desee revisar los ángulos inscritos. También puede discutir la definición de una recta tangente.

Consejo de Enseñanza: Los estudiantes también pueden arrastrar el punto B. Si lo hacen, a continuación pueden crear una recta tangente como previo a la siguiente página, puede ser difícil arrastrar el punto B a otro lugar del círculo. Tendrían que oprimir TAB para obtener el punto B

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2. Una recta tangente interseca la circunferencia en exactamente un punto, el cual se conoce como el punto de tangencia. ¿Cómo se relaciona una tangente con el radio en el punto de tangencia?

3. Arrastra el punto B y observa los segmentos tangentesAB^yBC^. a. ¿Qué puedes suponer de los segmentos tangentesAB y BC?

b. ¿Qué ocurre con las tangentes cuando B esta dentro del circulo?

¿Por qué?

Conforme la tangente es arrastrada alrededor del círculo, el radio esta rotando. La tangente continua haciendo intersección con la circunferencia en solo un punto. Una tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Los segmentos tangentes de un círculo desde un punto fuera del círculo son congruentes.

Los segmentos tangentes desaparecen porque las rectas ya no son tangentes

©2009 education.ti.com Consejo de Enseñanza: Esta conjetura tiene importantes aplicaciones que se relacionan con el movimiento circular. ¿Cómo se mantiene un satélite en órbita? El satélite es jalado por la gravedad en una dirección que es perpendicular a la dirección de la velocidad del satélite. La velocidad del satélite es tangente a su órbita circular. El vector velocidad es perpendicular a la fuerza de gravedad.

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c. Da clic en

£

para ver los radios y ver OB. Observa los triángulos formados por los segmentos. ¿Qué observas en los



AOB y



COB?

 Muévete a la página 3.1

4. Prueba que AB CB ^.

a. Da clic en £ para dibujar OA^y OC. Da clic en £ para mostrar el próximo paso. ¿Por qué OA OC ^? b. Da clic en

£

para ver el próximo paso. ¿Por qué OAAB^{? ¿Por} qué OCCB^?

c. Da clic en

£

para ver los próximos pasos. ¿Por qué AOB 

COB?

d. ¿Por qué se puede concluir que AB CB ^?

Consejo de Enseñanza: Discute con los estudiantes que segmentos tangentes son congruentes, no rectas tangentes.

Consejo de Enseñanza: ¿Qué ocurre si B esta en el circulo? Aunque es difícil arrastrar el punto B adentro del circulo, la herramienta Redefinir se puede usar para moverlo adentro del circulo. Si se hace esto, los 3 puntos coinciden.

Consejo de Enseñanza: Asegúrate que los estudiantes ejecuten todos los pasos, incluyendo la etapa anterior. En el último paso, tendrán que arrastrar el punto que transforma al

Δ

AOB en

Δ

COB. Los Consejo de Enseñanza: Esta puede ser una buena oportunidad para hablar acerca de la próxima prueba observando los 2 triángulos. Los estudiantes deben darse cuenta que estos triángulos son triángulos rectángulos por la relación tangente/radio establecida anteriormente. Se podría decir que pueden usar el teorema de Pitágoras para encontrar la medida de los segmentos tangentes. Entonces los triángulos serian congruentes por lado-lado-lado. Toma en cuenta el redondeo, si lo estudiantes usan el teorema de Pitágoras.

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Estos triángulos son triángulos rectángulos

OA^yOC son radios de un circulo y por lo tanto congruentes.

OA^⊥ AB^yOC^OC ^⊥ CB porque los radios y las tangentes son perpendiculares y forman ángulos de 90°.

OB es congruente consigo mismo, OA^≅OC^{. Por lo} tanto, ΔAOB ≅ ΔCOB por el teorema Cateto-Hipotenusa

Las partes correspondientes de los triángulos congruentes son congruentes.

Resumiendo:

Al término del debate, el profesor debe garantizar que los estudiantes sean capaces de entender:

 Las diferencias entre una recta secante y una recta tangente.

 Las rectas tangentes son perpendiculares a un radio en el punto de tangencia.

 Cuando las rectas tangentes intersecan un punto fuera del círculo, los segmentos tangentes son congruentes.

 La prueba usada para demostrar que los segmentos tangentes son congruentes.