LOGICA MATEMÁTICA
A Propósito del Silogismo …
01. Silogismos
Cuando razonamos en Matemática, cuando justificamos un determinado resultado o probamos un teorema, empleamos generalmente una estructura lógica de clara definición. Se trata del silogismo, argumentación constituida por tres enunciados tales que uno de ellos, la conclusión, se obtiene lógicamente de las otras dos, las premisas.
La cuestión que nos planteamos es cómo estructurar estos enunciados o proposiciones. Vamos a intentar hacer un análisis descriptivo de los modos que pueden adoptar los silogismos.
02. Las formas posibles de los enunciados
Cada enunciado o proposición, tanto la conclusión como las premisas, es una oración gramatical con un sujeto A y un predicado B, de forma que el sujeto o término secundario puede establecerse de forma universal o de forma existencial, y, asimismo, la oración puede afirmar o negar el predicado o término primario B.
Esto nos permite establecer cuatro formas de enunciado, que reconoceremos en lo que sigue como formas a, e, i, o.
Forma a: Todo A es B (sujeto universal afirmando el predicado) En notación conjuntista sería:
( ∀ x )( x ∈ A → x ∈ B )
Forma e: Todo A es no B (sujeto universal negando el predicado) En notación conjuntista sería:
( ∀ x )( x ∈ A → x ∉ B )
Forma i: Algún A es B (sujeto existencial afirmando el predicado) En notación conjuntista sería:
( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∈ B )
Forma o: Algún A es no B (sujeto existencial negando el predicado) En notación conjuntista sería:
( ∃ x )( x ∈ A ∧ x ∉ B )
Esta es la forma de clasificación clásica, con la referida denominación mediante las letras a, e, i, o, para cada enunciado del silogismo, utilizando una secuencia de tres de estas letras, repetidas o no, para indicar un determinado modo de silogismo (una para cada uno de los tres enunciados constituyentes).
En definitiva, cada enunciado es de la forma
) ( _ ) ( A ϕ B Ψ
donde:
)
Ψ (A
indica si se trata de una cuantificación universal (formas a y e) o existencial (formas i y o).)
ϕ (B
indica si se trata de una afirmación del predicado (formas a y i) o una negación del mismo (formas e y o).03. Los términos constituyentes de los enunciados
En la proposición que constituye la conclusión del silogismo hay un sujeto S, o término menor, y un predicado P, o término mayor:
) ( _ ) ( S ϕ P ψ
y en cada una de las proposiciones que constituyen las premisas hay, además, un término medio, M, que es sujeto o es predicado en cada una de ellas. En una de ellas interviene el término menor S y se llama premisa menor, y en la otra interviene el término mayor P y se denomina premisa mayor. Ambas premisas, mayor y menor, puede adoptar, pues, cualquiera de las expresiones siguientes:
Premisa menor:
ψ ( S ) _ ϕ ( M )
(el término medio, M, es el predicado)ψ ( M ) _ ϕ ( S )
(el término medio, M, es el sujeto) Premisa mayor:
ψ ( P ) _ ϕ ( M )
(el término medio, M, es el predicado)ψ ( M ) _ ϕ ( P )
(el término medio, M, es el sujeto)04. Figuras posibles para los tres términos del silogismo
Según que en las premisas figure el término medio como sujeto, o como predicado, se obtienen cuatro figuras posibles para los silogismos:
Figura 1: El término medio M es sujeto en la premisa mayor y predicado en la premisa menor:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
M S
P
M ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
Figura 2: El término medio M es predicado tanto en la premisa mayor como en la premisa menor:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
M S
M
P ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
Figura 3: El término medio M es sujeto tanto en la premisa mayor como en la premisa menor:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
S M
P
M ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
Figura 4: El término medio M es predicado en la premisa mayor y sujeto en la premisa menor:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
S M
M
P ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
05. Los modos de silogismo. Modos válidos
Puesto que cada enunciado del silogismo admite cuatro formas diferentes, que hemos representado mediante las letras a, e, i, o, y estando cada figura formada por los tres enunciados, las dos premisas y la conclusión, aparecerán un total de 64 modos de silogismo en cada figura: 4x4x4=64.
El total de modos de silogismos posibles, teniendo en cuenta las cuatro figuras, será de 64x4=256.
De todos estos 256 modos de silogismo, solamente son válidos aquellos que sean lógicamente correctos, que, en total resultan ser quince. Vamos a estudiar los modos válidos en cada una de las cuatro figuras. Llamaremos para ello A, B y C a los tres términos de cada figura, siendo A el término menor o sujeto de la conclusión, B el término medio y C el término mayor o predicado de la conclusión.
Puesto que cada forma de un enunciado queda definida, como ya hemos visto antes en el apartado 02, por una de las cuatro letras, a, e, i, o, y teniendo en cuenta que cada modo de silogismo tiene tres enunciados, identificaremos cada uno de los modos por tres de estas letras, que pueden, obviamente, estar repetidas, o bien por una palabra que las contenga y que nos pueda servir de regla nmemotécnica.
Hay algunas palabras que son corrientes en los escritos de diversos autores y que sirven para identificar los modos válidos.
Veamos los quince modos de silogismo válidos, figura por figura.
05.1. Modos de silogismo válidos para la primera figura:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
M S
P
M ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
que, usando las letras A, B y C con el significado referido más arriba tendría una notación
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( A C
B A
C
B ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
son los cuatro modos siguientes, que identificamos con las palabras barbara, celarent, dorii y ferio. Añadimos también, en cada modo, la notación conjuntista.
05.1.1. Modo aaa (palabra: barbara)
C es A B Todo
es A Todo
C es B
Todo ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
C x B x
x ⇒ ∀ ∈ → ∈
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
05.1.2. Modo eae (palabra: celarent)
C no es A B Todo
es A Todo
C no es B
Todo ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
C x B x
x ⇒ ∀ ∈ → ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
05.1.3. Modo aii (palabra: darii)
C es A ún B A
es A ún A
C es B
Todo lg
lg ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
∧
∈
∃
∈
→
∈
∀
05.1.4. Modo eio (palabra: ferio)
C no es A ún B A
es A ún A
C no es B
Todo lg
lg ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
∧
∈
∃
∉
→
∈
∀
05.2. Modos de silogismo válidos para la segunda figura:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
M S
M
P ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
que, usando las letras A, B y C con el significado indicado antes:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( A C
B A
B
C ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
son los cuatro modos siguientes, que identificamos con las palabras cesare, camestres, festino y baroco. Se incluye también la notación de conjuntos.
05.2.1. El modo eae (palabra: cesare)
C no es A B Todo
es A Todo
B no es C
Todo ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
B x C x
x ⇒ ∀ ∈ → ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
05.2.2. El modo aee (palabra: camestres)
C no es A B Todo
no es A Todo
B es C
Todo ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
B x C x
x ⇒ ∀ ∈ → ∉
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
05.2.3. El modo eio (palabra: festino)
C no es A ún B A
es A ún A
B no es C
Todo lg
lg ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
∧
∈
∃
∉
→
∈
∀
05.2.4. El modo aoo (palabra: baroco)
C no es A ún B A
no es A ún A
B es C
Todo lg
lg ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∉
→
∧
∈
∃
∈
→
∈
∀
05.3. Modos de silogismo válidos para la tercera figura:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
S M
P
M ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
con las letras A, B y C se tiene:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( A C
A B
C
B ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
son los cuatro modos siguientes, que identificamos con las palabras datisi, feriso, disamis y bocardo. Va también la notación de álgebra de conjuntos.
05.3.1. Modo aii (palabra: datisi)
C es A ún A A
es B ún A
C es B
Todo lg
lg ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
∧
∈
∃
∈
→
∈
∀
05.3.2. Modo eio (palabra: feriso)
C no es A ún A A
es B ún A
C no es B
Todo lg
lg ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
∧
∈
∃
∉
→
∈
∀
05.3.3. Modo iai (palabra: disamis)
C es A ún A A
es B Todo
C es B ún
A lg lg
⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
→
∈
∀
∈
∧
∈
∃
05.3.4. Modo oao (palabra: bocardo)
C no es A ún A A
es B Todo
C no es B ún
A lg lg
⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
∧
∈
∃
05.4. Modos de silogismo válidos para la cuarta figura:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( S P
S M
M
P ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
o bien:
) ( _ ) ) (
( _ ) (
) ( _ )
( A C
A B
B
C ψ ϕ
ϕ ψ
ϕ
ψ ⇒
son los tres modos siguientes, que identificamos con las palabras catemes, fresidon y dimatis. También usamos la notación de conjuntos.
05.4.1. Modo aee (palabra: catemes)
C no es A A Todo
no es B Todo
B es C
Todo ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
B x C x
x ⇒ ∀ ∈ → ∉
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
05.4.2. Modo eio (palabra: fresidon)
C no es A A Todo
no es B Todo
B es C
Todo ⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
B x C x
x ⇒ ∀ ∈ → ∉
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
05.4.3. Modo iai (palabra: dimatis)
C es A ún A A
es B Todo
B es C ún
A lg lg
⇒
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∈
∧
∈
∃
06. Los modos no válidos en los silogismos
Los modos no válidos son los restantes, esto es, un total de 241 de los 256 casos posibles.
Hemos de indicar que en la lógica clásica se consideraban válidos 24 de los 256 modos de silogismos posibles, seis en cada figura, entre los que se cuentan también los quince modos que hemos descrito como actualmente válidos.
Así, se consideraban válidos en cada figura los modos silogísticos que indicamos mediante las palabras que se tabulan a continuación.
1ª figura 2ª figura 3ª figura 4ª figura
barbara cesare datisi calemes celarent camestres feriso fresidon
darii festino disamis dimatis
ferio baroco bocardo bamalip
barbari cesaro darapti fesapo celaront camestros felapton calemos Con el descubrimiento del conjunto vacío, concepto que no se contemplaba en la lógica clásica, dejaron de tener valides los nueve modos silogísticos siguientes:
- barbari y celaront, en la primera figura - cesaro y camestros, en la segunda figura - darapti y felapton, en la tercera figura
- bamalip, fesapo y calemos, en la cuarta figura
07. Modos clásicos no validos:
Así, pues, la idea de conjunto vacío, concepto desconocido por los lógicos clásicos, nos obliga a invalidar a un total de nueve de los 24 modos clásicos de la tabla.
Veamos la descripción.
07.1. Modos de silogismo clásicos no válidos en la primera figura:
- barbari no se verifica:
C es A ún B A
es A Todo
C es B
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
Demostración:
Basta ver lo que ocurriría si el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y los enunciados son:
[ ] [ ] 1 , 2
1
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A
x φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 1 , 2 )
1 2 , 1
1 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que obviamente es incorrecto (antecedente verdadero y consecuente falso) Sin embargo, el modo barbari sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto A no es vacío, por ejemplo, añadiendo una premisa que lo indique:
( )( ∃ x x ∈ A )
. Los lógicos clásicos admitían tácitamente esto por desconocer la idea de conjunto vacío.Así, pues, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x x
B x A x x
C x B x x
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
ya que, aplicando el modo válido barbara, deducimos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( )
) ( )
(
) ( )
( )
(
C x A x x C
x A x A x x
A x x C x A x x
A x x C x B x x B x A x x
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
→
∈
∧
∈
∃
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
∧
∈
→
∈
∀
- celaront no se verifica:
C no es A ún B A
es A Todo
C no es B
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
Demostración:
Basta considerar aquí también el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y los enunciados:
[ ] [ ] 3
2 , 1
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A
x φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 3 )
2 , 1
3 2
,
1 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que es incorrecto (antecedente verdadero y consecuente falso) El modo celaront sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto A no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ A )
.Así, pues, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x x
B x A x x
C x B x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
ya que, aplicando el modo válido celarent, deducimos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
) ( )
(
) ( )
( )
(
C x A x x C
x A x A x x
A x x C x A x x
A x x C x B x x B x A x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∉
→
∈
∧
∈
∃
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∀
∧
∈
→
∈
∀
07.2. Modos de silogismo clásicos no válidos en la segunda figura:
- cesaro no se verifica:
C no es A ún B A
es A Todo
B no es C
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
Demostración:
Basta considerar aquí también el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y losenunciados:
[ ] [ ] 3
2 , 1
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A
x φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 3 )
2 , 1
2 , 1
3 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que muestra antecedente verdadero y consecuente falso.
El modo cesaro sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto A no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ A )
.Es decir, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x x
B x A x x
B x C x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
ya que, aplicando el modo válido cesare, deducimos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
) ( )
(
) ( )
( )
(
C x A x x C
x A x A x x
A x x C x A x x
A x x B x C x x B x A x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∉
→
∈
∧
∈
∃
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∀
∧
∈
→
∈
∀
- camestros no se verifica:
C no es A ún B A
no es A Todo
B es C
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x A x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
Demostración:
Consideremos también aquí el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y losenunciados:
[ ] [ ] 1
2 , 1
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A
x φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 1 )
2 , 1
2 , 1
1 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que nos muestra antecedente verdadero y consecuente falso.
El modo camestros sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto A no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ A )
.Es decir, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x x
B x A x x
B x C x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
ya que, aplicando el modo válido camestres, deducimos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
) ( )
(
) ( )
( )
(
C x A x x C
x A x A x x
A x x C x A x x
A x x B x C x x B x A x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∉
→
∈
∧
∈
∃
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
∧
∉
→
∈
∀
07.3. Modos de silogismo clásicos no válidos en la tercera figura:
- darapti no se verifica:
C es A ún A A
es B Todo
C es B
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
Demostración:
Consideremos también aquí el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y los enunciados:
[ ] [ ] 1
2
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A x
φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 2 [ ] 1 )
2
1 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que nos muestra antecedente verdadero y consecuente falso.
El modo darapti sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto B no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ B )
.Es decir, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x x
A x B x x
C x B x x
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
ya que se tendría:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
) ( )
(
) ( ))
( ) ((
) ( )
( )
(
C x A x x C
x A x B x x
B x x C x A x B x x
B x x C
x B x A x B x x
B x x A x B x x C
x B x x
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
∧
∈
∧
∈
∃
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
∧
∈
→
∈
∀
- felapton no se verifica:
C no es A ún A A
es B Todo
C no es B
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
C x B x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
Demostración:
Consideremos también aquí el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y los enunciados:
[ ] [ ] 1 , 2
1
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A x
φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 1 [ ] 1 , 2 )
1 2 ,
1 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que nos muestra antecedente verdadero y consecuente falso.
El modo felapton sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto B no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ B )
.Es decir, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x x
A x B x x
C x B x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
ya que se tendría:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
)) (
( ))
( (
) ( )
(
) ( ))
( ) ((
) ( )
( )
(
C x A x x
C x A x B x x C
x A x B x B x x
B x x C x A x B x x
B x x C
x B x A x B x x
B x x A x B x x C x B x x
∉
∧
∈
∃
⇒
⇒
∉
∧
∈
∧
∈
∃
⇒
∉
∧
∈
→
∈
∧
∈
∃
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
∧
∉
→
∈
∀
07.4. Modos de silogismo clásicos no válidos en la cuarta figura:
- bamalip no se verifica:
C es A ún A A
es B Todo
B es C
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
Demostración:
Consideremos también aquí el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y los enunciados:
[ ]
[ ]
φ
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A x
2 , 1
3 , 2 , 1
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] )
( ) ( [ ] φ [ ] ) ( ) ( [ ] φ )
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x 1 , 2 , 3
3 , 2 , 1 2
, 1
2 , 1
que nos muestra antecedente verdadero y consecuente falso.
El modo bamalip sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto C no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ C )
.Es decir, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
C x x
A x B x x
B x C x x
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∈
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
ya que se tendría:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( )
) ( )
(
) ( ))
( ) ((
) ( )
( )
(
C x A x x A
x C x C x x
C x x A x C x x
C x x A
x B x B x C x x
C x x A x B x x B x C x x
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
→
∈
∧
∈
∃
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
∧
∈
→
∈
∀
- fesapo no se verifica:
C no es A ún A A
es B Todo
B no es C
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
Demostración:
Consideremos el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y los enunciados:
[ ] [ ] 1 , 2
1
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A x
φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 1 [ ] 1 , 2 )
1 2 ,
1 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que nos muestra antecedente verdadero y consecuente falso.
El modo fesapo sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto B no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ B )
.Es decir, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
B x x
A x B x x
B x C x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∈
→
∈
∀
∉
→
∈
∀
ya que resultaría:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
) ( ))
( ) ((
) ( )
( )
(
C x A x x
B x x A
x B x C x B x x
B x x A x B x x B x C x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∧
∉
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∈
→
∈
∀
∧
∉
→
∈
∀
- calemos no se verifica:
C no es A ún A A
no es B Todo
B es C
Todo ⇒ lg
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x B x x
B x C x
x ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
Demostración:
Consideremos que el universo del discurso es
U = [ 1 , 2 , 3 ]
y los enunciados:
[ ] [ ] 1
2 , 1
∈
≡
∈
∈
≡
∈
∈
≡
∈ x C x
x B x
x A
x φ
entonces, la argumentación sería:
( ) ( [ ] [ ] )
( ) ( [ ] ) ( ) ( [ ] 1 )
2 , 1
2 , 1
1 ⇒ ∃ ∈ ∧ ∉
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀ x x x
x x
x
x x
x φ
φ
que nos muestra antecedente verdadero y consecuente falso.
El modo calemos sería correcto si introducimos la condición de que el conjunto A no es vacío:
( )( ∃ x x ∈ A )
.Es decir, sería correcto de esta forma:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( x x A x C )
A x x
A x B x x
B x C x x
∉
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∉
→
∈
∀
∈
→
∈
∀
ya que se tendría:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
)) (
( )
( )
(
) ( ))
( ) ((
) ( )
( )
(
C x A x x
C x A x A x x A
x x C x A x x
A x x A
x B x B x C x x
A x x A x B x x B x C x x
∉
∧
∈
∃
⇒
⇒
∉
→
∈
∧
∈
∃
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∧
∈
→
∈
∀
⇒
⇒
∈
∃
∧
∉
→
∈
∀
∧
∈
→
∈
∀
08. Bibliografía:
CUENA, j.; Lógica Matemática, 1985, Alianza Editorial, Barcelona.
GONZÁLEZ CARLOMAN, A.; Lógica Axiomática, 1975. Servicio de Publicaciones Universidad de Oviedo, Asturias.
MITCHELL, D.; Introducción a la Lógica, 1968, Editorial Labor, Barcelona.
