Un ejemplo en Matlab
Clase 5B: M´ etodos de soluci´ on de modelos DSGE
Macrodin´amica I
Hamilton Galindo
Junio - Agosto 2015
Un ejemplo en Matlab
Contenido
1 M´etodos para obtener soluciones num´ericas de los modelos DSGE
2 El m´etodo de Blanchard y Khan (1980)
3 Un ejemplo
4 Un ejemplo en Matlab
Un ejemplo en Matlab
Fundamentos I
1 M´etodos para obtener soluciones num´ericas de los modelos DSGE
2 Estos m´etodos son usados para obtener soluciones estables para cual- quier sistema de ecuaciones en diferencia estoc´astica no lineal.
3 En la soluci´on del modelo nos tenemos que asegurar que la soluci´on sea estable; es decir, una soluci´on en la cual las variables per c´apita no explote r´apidamente. Para ello hay que imponer condiciones de estabilidadsobre la soluci´on.
4 Soluci´on num´erica: es un conjunto de series de tiempo, una para ca- da variable relevante en el modelo econ´omico, que en cada periodo satisface todas las condiciones en el modelo.
5 Simulaci´on: es un procedimiento por el cual una soluci´on num´erica es encontrada para cada realizaci´on del vector estoc´astico del choque ex´ogeno que afecta a la econom´ıa.
6 Tres m´etodos para resolver el sistema log-lineal (encontrar la soluci´on num´erica):
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Fundamentos II
Coeficientes indeterminados (Uhlig, xxx) Blanchar y Kahn ()
M´etodo de descomposici´on eigenvalore-eigenvectores (C.A. Sims, xxxx)
Nota: estos m´etodos son para sistemas lineales (o log-lineales). Los m´etodos para sistemas no lineales son dos: [1] M´etodo de expectativas parametrizadas (den Hann-Marcet): usan las condiciones de primer or- den, pero apr´oxima las expectativas condicionales (que aparecen en la condiciones de primer orden) por polinomios exponeniales y [2] Clase de n´etodos de proyecci´on: que parametrizan las reglas de decisi´on o las ecuaciones de control como funciones polinomiales de las variables de estado.
7 La principal diferencia de estos m´etodos es el camino por el cual las condiciones de estabilidad son impuestas sobre la soluci´on num´erica.
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M´etodo de Blanchard y Khan (1980)
1 Este m´etodo est´a basado en la idea de resolver el sistema lineal por medio de encontrar la senda estable del sistema no lineal.
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Forma estado-espacio I
[1] Forma estado-espacio generalizado
La forma estado-espacio generalizada para sistemas de ecuaciones no li- neales, din´amicas y estoc´asticas con expectativas es:
A0EtXt+1= A1Xt+ B0vt+1 (1) En la literatura existe varios m´etodos para resolver este tipo de mo- delos (ver DeJong y Dave, XXXX):
El m´etodo de Blanchard y Kahn (1980) usa la descomposici´on de Jordan cuando la matriz A0es invertible. Cuando no es invertible usa la descomposici´on QZ.
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Forma estado-espacio II
[2] Forma estado-espacio alternativa
A0EtXt+1 = A1Xt+ B0vt+1
EtXt+1 = A−10 A1
| {z }
=A
Xt+ A−10 B0
| {z }
=B
vt+1
EtXt+1 = AXt+ Bvt+1 (2)
En la ecuaci´on [2] la variable vt+1 puede ser choques iid con: media igual a cero (E (vt) = 0) y autocorrelaci´on nula. Alternativamente, vt+1 puede comportarse como un proceso AR(1), la cual depende de choques ex´ogenos iid.
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Forma estado-espacio III
En este sistema de ecuaciones se puede definir dos tipos de variables:
[1] wt es el vector de variables backward looking (predeterminadas o variables de estado), y[2]yt es el vector de variables forward looking (variables de control):
Xt=wt yt
Introduciendo lo anterior en la ecuaci´on [2] se tiene:
wt+1 Etyt+1
= Awt yt
+ Bvt+1 (3)
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Transformando el sistema de ecuaciones I
[1] Descomposici´on de Jordan de A
wt+1 Etyt+1
= Awt yt
+ Bvt+1 (4)
La matriz A puede ser expresada (por la descomposici´on de Jordan) de la siguiente manera:
A = PΛP−1
Donde P son los eigenvectores y Λ es la matrix diagonal de eigenva- lores.
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Transformando el sistema de ecuaciones II
Al introducir la descomposici´on de A en la ecuaci´on [4] se tiene:
wt+1 Etyt+1
= PΛP−1wt yt
+ Bvt+1 (5)
Ordenando los t´erminos:
P−1 wt+1 Etyt+1
= ΛP−1wt yt
+ P−1Bvt+1 (6) Donde: P−1B = R
[2] Partici´on del modelo
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Transformando el sistema de ecuaciones III
La matriz Λ, que representa los valores propios, se puede expresar de la siguiente manera:
Λ =Λ1 Λ2
(7) En la cual Λ1es el eigenvalor estable y Λ2es el inestable.
En base a esta partici´on la matriz de eigevectores se particiona tambi´en:
P−1=P11 P12 P21 P22
Asimismo se hace con matrix R:
R =R1 R2
[3] Sistema de ecuaciones transformado
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Transformando el sistema de ecuaciones IV
Al introducir las particiones descritas en la ecuaci´on [6] se tiene:
P11 P12 P21 P22
wt+1 Etyt+1
=Λ1 Λ2
P11 P12 P21 P22
wt yt
+R1
R2
vt+1
(8) Se define dos nuevas variables:yet ywet
P11 P12
P21 P22
wt
Etyt
=
wet
yet
(9) Lo anterior implica que:
wet = P11wt+ P12yt (10) yet = P21wt+ P22yt (11)
Un ejemplo en Matlab
Transformando el sistema de ecuaciones V [4] Desacoplamiento de las ecuaciones
De la ecuaci´on [9] se podr´ıa obtener dos ecuaciones; es decir, el sistema se puede desacoplar:
P11 P12 P21 P22
wt Etyt
=
wet
yet
(12) Esta ecuaci´on implica dos ecuaciones:
Ecuaci´on estable
wet+1 = Λ1wet+ R1vt+1 (13) Ecuaci´on inestable
yet+1 = Λ2wet+ R2vt+1 (14) La ventaja de este desacoplamiento es que cada ecuaci´on puede ser
Un ejemplo en Matlab
Soluci´on I
[1] Estrategia de soluci´on
Resolver la ecuaci´on inestable transformada.
Resolver la ecuaci´on estable transformada.
Trasladar la soluci´on anterior al problema original.
[2] Soluci´on de la ecuaci´on inestable
La ecuaci´on inestable es:
yet+1= Λ2wet+ R2vt+1 (15) Resolviendo esta ecuaci´on hacia adelante (t + j ):
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Soluci´on II
Como kΛ2k > 1, la ´unica soluci´on estable esyet = 0, ∀t. Entonces se tiene que:
eyt= P21wt+ P22yt= 0 y por tanto:
yt = −P22−1P21wt (17) Esta ecuaci´on expresa las variables de control (forward looking) en funci´on de las variables de estado (predeterminadas). Por tanto, esta ecuaci´on representa lafunci´on de pol´ıtica.
[3] Soluci´on de la ecuaci´on estable La ecuaci´on estable es:
wet+1= Λ1wet+ R1vt+1 (18)
Un ejemplo en Matlab
Soluci´on III
Resolviendo esta ecuaci´on hacia adelante (t + j ):
Etwet+j = (Λ1)jwet (19) Como kΛ1k < 1, no hay problemas de inestabilidad. Entonces al resolver simultaneamente la ecuaci´on [17] que se obtiene del componente inestable (yt = −P22−1P21wt) y la definici´on dewet
(wet = P11wt+ P12yt) se tiene que:
wet = (P11− P12P22−1P21)wt (20) Reemplazando esta ´ultima expresi´on en la ecuaci´on estable [17]:
wet+1= Λ1wet+ R1vt+1
Considerando
Un ejemplo en Matlab
Soluci´on IV
Se tiene que:
wt+1 = (P11− P12P22−1P21)−1Λ1(P11− P12P22−1P21)wt (21) +(P11− P12P22−1P21)−1R1vt+1
Esta ecuaci´on expresa ladin´amica de las variables de estado.
[4] Soluci´on total
La soluci´on total del sistema est´a descrito por la ecuaci´on [21] y [17]:
yt = −P22−1P21wt
wt+1 = (P11− P12P22−1P21)−1Λ1(P11− P12P22−1P21)wt +(P11− P12P22−1P21)−1R1vt+1
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Soluci´on V
Todas las variables est´an en funci´on de las variables de estado (predetermi- nadas). Cabe mencionar que este sistema tiene unaestructura recursiva.
[5] Formulaci´on recursiva
Para el c´alculo de IRF y momentos se sigue los siguientes pasos:
1 Empezar del valor de estado estacionario: w0= 0 (recordar que las variables son log-lineales).
2 Simular choques {vt} de la distribuci´on normal.
3 Simular {wt} de {vt} recursivamente usando la ecuaci´on de la din´amica de las variables de estado:
wt+1 = (P11− P12P22−1P21)−1Λ1(P11− P12P22−1P21)wt
+(P11− P12P22−1P21)−1R1vt+1
Un ejemplo en Matlab
Soluci´on VI
4 Calcular {yt} de {wt} usando lafunci´on de pol´ıtica:
yt = −P22−1P21wt
5 Finalmente, calcular IRF y momentos.
Un ejemplo en Matlab
Un ejemplo I
Modelo de Brock y Mirmam (xxxx)
el modelo est´a en la pag 203 [1] Condiciones de primer orden
[2] Sistema log-lineal
pag 210
[3] Soluci´on del sistema: m´etodo de BK pag 212
Un ejemplo en Matlab
Un ejemplo en Matlab
Modelo de Brock y Mirmam (xxxx)
ver el programa Blanchard Kahn.m
Un ejemplo en Matlab
Qu´e m´etodo usa Dynare
El m´etodo de perturbaci´on