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Clase 5B: Métodos de solución de modelos DSGE

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Academic year: 2022

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(1)

Un ejemplo en Matlab

Clase 5B: M´ etodos de soluci´ on de modelos DSGE

Macrodin´amica I

Hamilton Galindo

Junio - Agosto 2015

(2)

Un ejemplo en Matlab

Contenido

1 M´etodos para obtener soluciones num´ericas de los modelos DSGE

2 El m´etodo de Blanchard y Khan (1980)

3 Un ejemplo

4 Un ejemplo en Matlab

(3)

Un ejemplo en Matlab

Fundamentos I

1 M´etodos para obtener soluciones num´ericas de los modelos DSGE

2 Estos m´etodos son usados para obtener soluciones estables para cual- quier sistema de ecuaciones en diferencia estoc´astica no lineal.

3 En la soluci´on del modelo nos tenemos que asegurar que la soluci´on sea estable; es decir, una soluci´on en la cual las variables per c´apita no explote r´apidamente. Para ello hay que imponer condiciones de estabilidadsobre la soluci´on.

4 Soluci´on num´erica: es un conjunto de series de tiempo, una para ca- da variable relevante en el modelo econ´omico, que en cada periodo satisface todas las condiciones en el modelo.

5 Simulaci´on: es un procedimiento por el cual una soluci´on num´erica es encontrada para cada realizaci´on del vector estoc´astico del choque ex´ogeno que afecta a la econom´ıa.

6 Tres m´etodos para resolver el sistema log-lineal (encontrar la soluci´on num´erica):

(4)

Un ejemplo en Matlab

Fundamentos II

Coeficientes indeterminados (Uhlig, xxx) Blanchar y Kahn ()

M´etodo de descomposici´on eigenvalore-eigenvectores (C.A. Sims, xxxx)

Nota: estos m´etodos son para sistemas lineales (o log-lineales). Los m´etodos para sistemas no lineales son dos: [1] M´etodo de expectativas parametrizadas (den Hann-Marcet): usan las condiciones de primer or- den, pero apr´oxima las expectativas condicionales (que aparecen en la condiciones de primer orden) por polinomios exponeniales y [2] Clase de n´etodos de proyecci´on: que parametrizan las reglas de decisi´on o las ecuaciones de control como funciones polinomiales de las variables de estado.

7 La principal diferencia de estos m´etodos es el camino por el cual las condiciones de estabilidad son impuestas sobre la soluci´on num´erica.

8

(5)

Un ejemplo en Matlab

M´etodo de Blanchard y Khan (1980)

1 Este m´etodo est´a basado en la idea de resolver el sistema lineal por medio de encontrar la senda estable del sistema no lineal.

2

(6)

Un ejemplo en Matlab

Forma estado-espacio I

[1] Forma estado-espacio generalizado

La forma estado-espacio generalizada para sistemas de ecuaciones no li- neales, din´amicas y estoc´asticas con expectativas es:

A0EtXt+1= A1Xt+ B0vt+1 (1) En la literatura existe varios m´etodos para resolver este tipo de mo- delos (ver DeJong y Dave, XXXX):

El m´etodo de Blanchard y Kahn (1980) usa la descomposici´on de Jordan cuando la matriz A0es invertible. Cuando no es invertible usa la descomposici´on QZ.

(7)

Un ejemplo en Matlab

Forma estado-espacio II

[2] Forma estado-espacio alternativa

A0EtXt+1 = A1Xt+ B0vt+1

EtXt+1 = A−10 A1

| {z }

=A

Xt+ A−10 B0

| {z }

=B

vt+1

EtXt+1 = AXt+ Bvt+1 (2)

En la ecuaci´on [2] la variable vt+1 puede ser choques iid con: media igual a cero (E (vt) = 0) y autocorrelaci´on nula. Alternativamente, vt+1 puede comportarse como un proceso AR(1), la cual depende de choques ex´ogenos iid.

(8)

Un ejemplo en Matlab

Forma estado-espacio III

En este sistema de ecuaciones se puede definir dos tipos de variables:

[1] wt es el vector de variables backward looking (predeterminadas o variables de estado), y[2]yt es el vector de variables forward looking (variables de control):

Xt=wt yt



Introduciendo lo anterior en la ecuaci´on [2] se tiene:

 wt+1 Etyt+1



= Awt yt



+ Bvt+1 (3)

(9)

Un ejemplo en Matlab

Transformando el sistema de ecuaciones I

[1] Descomposici´on de Jordan de A

 wt+1 Etyt+1



= Awt yt



+ Bvt+1 (4)

La matriz A puede ser expresada (por la descomposici´on de Jordan) de la siguiente manera:

A = PΛP−1

Donde P son los eigenvectores y Λ es la matrix diagonal de eigenva- lores.

(10)

Un ejemplo en Matlab

Transformando el sistema de ecuaciones II

Al introducir la descomposici´on de A en la ecuaci´on [4] se tiene:

 wt+1 Etyt+1



= PΛP−1wt yt



+ Bvt+1 (5)

Ordenando los t´erminos:

P−1 wt+1 Etyt+1



= ΛP−1wt yt



+ P−1Bvt+1 (6) Donde: P−1B = R

[2] Partici´on del modelo

(11)

Un ejemplo en Matlab

Transformando el sistema de ecuaciones III

La matriz Λ, que representa los valores propios, se puede expresar de la siguiente manera:

Λ =Λ1 Λ2



(7) En la cual Λ1es el eigenvalor estable y Λ2es el inestable.

En base a esta partici´on la matriz de eigevectores se particiona tambi´en:

P−1=P11 P12 P21 P22



Asimismo se hace con matrix R:

R =R1 R2



[3] Sistema de ecuaciones transformado

(12)

Un ejemplo en Matlab

Transformando el sistema de ecuaciones IV

Al introducir las particiones descritas en la ecuaci´on [6] se tiene:

P11 P12 P21 P22

  wt+1 Etyt+1



=Λ1 Λ2

 P11 P12 P21 P22

 wt yt

 +R1

R2

 vt+1

(8) Se define dos nuevas variables:yet ywet

P11 P12

P21 P22

  wt

Etyt



=

 wet

yet



(9) Lo anterior implica que:

wet = P11wt+ P12yt (10) yet = P21wt+ P22yt (11)

(13)

Un ejemplo en Matlab

Transformando el sistema de ecuaciones V [4] Desacoplamiento de las ecuaciones

De la ecuaci´on [9] se podr´ıa obtener dos ecuaciones; es decir, el sistema se puede desacoplar:

P11 P12 P21 P22

  wt Etyt



=

 wet

yet



(12) Esta ecuaci´on implica dos ecuaciones:

Ecuaci´on estable

wet+1 = Λ1wet+ R1vt+1 (13) Ecuaci´on inestable

yet+1 = Λ2wet+ R2vt+1 (14) La ventaja de este desacoplamiento es que cada ecuaci´on puede ser

(14)

Un ejemplo en Matlab

Soluci´on I

[1] Estrategia de soluci´on

Resolver la ecuaci´on inestable transformada.

Resolver la ecuaci´on estable transformada.

Trasladar la soluci´on anterior al problema original.

[2] Soluci´on de la ecuaci´on inestable

La ecuaci´on inestable es:

yet+1= Λ2wet+ R2vt+1 (15) Resolviendo esta ecuaci´on hacia adelante (t + j ):

(15)

Un ejemplo en Matlab

Soluci´on II

Como kΛ2k > 1, la ´unica soluci´on estable esyet = 0, ∀t. Entonces se tiene que:

eyt= P21wt+ P22yt= 0 y por tanto:

yt = −P22−1P21wt (17) Esta ecuaci´on expresa las variables de control (forward looking) en funci´on de las variables de estado (predeterminadas). Por tanto, esta ecuaci´on representa lafunci´on de pol´ıtica.

[3] Soluci´on de la ecuaci´on estable La ecuaci´on estable es:

wet+1= Λ1wet+ R1vt+1 (18)

(16)

Un ejemplo en Matlab

Soluci´on III

Resolviendo esta ecuaci´on hacia adelante (t + j ):

Etwet+j = (Λ1)jwet (19) Como kΛ1k < 1, no hay problemas de inestabilidad. Entonces al resolver simultaneamente la ecuaci´on [17] que se obtiene del componente inestable (yt = −P22−1P21wt) y la definici´on dewet

(wet = P11wt+ P12yt) se tiene que:

wet = (P11− P12P22−1P21)wt (20) Reemplazando esta ´ultima expresi´on en la ecuaci´on estable [17]:

wet+1= Λ1wet+ R1vt+1

Considerando

(17)

Un ejemplo en Matlab

Soluci´on IV

Se tiene que:

wt+1 = (P11− P12P22−1P21)−1Λ1(P11− P12P22−1P21)wt (21) +(P11− P12P22−1P21)−1R1vt+1

Esta ecuaci´on expresa ladin´amica de las variables de estado.

[4] Soluci´on total

La soluci´on total del sistema est´a descrito por la ecuaci´on [21] y [17]:

yt = −P22−1P21wt

wt+1 = (P11− P12P22−1P21)−1Λ1(P11− P12P22−1P21)wt +(P11− P12P22−1P21)−1R1vt+1

(18)

Un ejemplo en Matlab

Soluci´on V

Todas las variables est´an en funci´on de las variables de estado (predetermi- nadas). Cabe mencionar que este sistema tiene unaestructura recursiva.

[5] Formulaci´on recursiva

Para el c´alculo de IRF y momentos se sigue los siguientes pasos:

1 Empezar del valor de estado estacionario: w0= 0 (recordar que las variables son log-lineales).

2 Simular choques {vt} de la distribuci´on normal.

3 Simular {wt} de {vt} recursivamente usando la ecuaci´on de la din´amica de las variables de estado:

wt+1 = (P11− P12P22−1P21)−1Λ1(P11− P12P22−1P21)wt

+(P11− P12P22−1P21)−1R1vt+1

(19)

Un ejemplo en Matlab

Soluci´on VI

4 Calcular {yt} de {wt} usando lafunci´on de pol´ıtica:

yt = −P22−1P21wt

5 Finalmente, calcular IRF y momentos.

(20)

Un ejemplo en Matlab

Un ejemplo I

Modelo de Brock y Mirmam (xxxx)

el modelo est´a en la pag 203 [1] Condiciones de primer orden

[2] Sistema log-lineal

pag 210

[3] Soluci´on del sistema: m´etodo de BK pag 212

(21)

Un ejemplo en Matlab

Un ejemplo en Matlab

Modelo de Brock y Mirmam (xxxx)

ver el programa Blanchard Kahn.m

(22)

Un ejemplo en Matlab

Qu´e m´etodo usa Dynare

El m´etodo de perturbaci´on

Referencias

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