UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS GEOMETRÍA 1

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GEOMETRÍA 1

DIMENSIÓN: CONOCIMIENTO MATEMÁTICO.

NÚCLEO TÉMATICO: GEOMETRÍA I.

MÓDULO: 4.

TEMA: DESIGUALDADES GEOMÉTRICAS.

Definición. Dado el , si D es un punto del ⃗⃗⃗⃗⃗ tal que C está entre A y D entonces BCD se llama ángulo externo al ABC.

Todo triángulo tiene 6 ángulos externos.

Definición. El A y el B del ABC, se llaman ángulos internos no con- tiguos del externo 1

Definición. si y sólo si

TEOREMA del ángulo externo. Un ángulo externo de un triángulo, es mayor que cada uno de los ángulos internos no contiguos.

Rescribimos el teorema:

Si en el ABC, C está entre A y D entonces DCB > B.

Demostración:

1) Sea E el punto medio de ̅̅̅̅ ………

2) Sea F un punto en el rayo opuesto a ⃗⃗⃗⃗⃗ tal que EF = EA ………

3) ………..

4) BEA  CEF ………

5) m B = m ECF ...

6) m BCD = m ECF + m FCD ...

7) m BCD = m B + m FCD ...

8) m BCD > m B ...

9) BCD > B ...

Corolario. Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros ángulos son agudos.

Demostración:

1. Sea recto en Dato Conocido.

2. es recto Suplemento de 3. Definición de ángulo recto 4. Teorema del ángulo externo.

5. Definición ángulo mayor que otro 6. Teorema del ángulo externo.

7. Definición ángulo mayor que otro.

8. Sustitución 3 en 5.

9. Sustitución 3 en 7.

ACTIVIDADES 6.

A C

B

E

F

==

==

X X

D

A D

B

C

1

.

(2)

TEOREMA. Toda correspondencia LAA entre triángulos, es una congruencia.

D

E

x F A

B

C

x

Reescrito el teorema es:

Dados ABC y DEF. Si A  D, B  E y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, entonces . Demostración:

Existen tres posibilidades respecto a AB y DE:

a) AB = DE b) AB < DE c) AB > DE

Si se cumple a), el teorema es cierto por ALA o por LAL. En consecuencia demostraremos que b) y c) no son posibles.

Supongamos que AB > DE es cierto.

Sea B’ un punto de ⃗⃗⃗⃗⃗

tal que AB’ = DE

AB’C  DEF (LAL)

AB’C  E (partes correspondientes en triángulos congruentes)

E  B (Hip.)

AB’C  B Transitividad.

Absurdo, porque el AB’C es externo al B’BC y sabemos que AB’C > B.

Similarmente puede demostrarse que AB < DE no es posible.

A

B

C B'

x

(3)

Definición. Un triángulo que tenga un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo.

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos, catetos.

TEOREMA de la hipotenusa y el cateto. Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia.

Reescrito, el teorema es:

Si en ABC y en DEF, mA = m D = 90, AB = DE y BC = EF entonces ABC  DEF.

Demostración:

1) Sea G un punto del rayo opuesto a

DF



tal que DG = AC.

2) DEG  ABC (LAL).

3) EG = BC (PCTC) 4)  G  C (PCTC) 5) BC = EF (HIP.)

6) EG = EF (Transit. 3) y 5)) 7) FEG es isósceles

8) F  G (Ángulos opuestos a lados congruentes) 9) DEG  DEF (LAA)

10) ABC  DEF transitividad 2) Y 9)

ACTIVIDADES 7.

HIPOTENUSA

CATETOS

D A

C F

E B

G

== ==

(4)

DESIGUALDADES EN UN TRIÁNGULO.

TEOREMA. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados no son congruentes y el ángulo mayor está opuesto al lado mayor.

Reescrito el teorema: Dado el , si entonces

Demostración:

1. Sea D un punto de ⃗⃗⃗⃗⃗ de modo que AD = AB Localización de puntos.

2. Teorema triángulo isósceles 3. Postulado adición ángulos 4. El todo es mayor que las partes 5. Definición ángulo mayor que otro.

6. Sustitución 2 en 5.

7. T. ángulo externo en 8. Transitividad 7 y 6.

9. Por lo tanto para el ,

TEOREMA. Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos no son congruentes y el lado mayor está opuesto al ángulo mayor.

Reescrito el teorema: Dado el , si entonces Demostración:

1. Dados los números AB y AC existen tres posibilidades, por la propiedad de tricotomía:

a. AB < AC b. AB = AC c. AB > AC

2. Si a. fuera verdadera, por el teorema anterior se tendría que , contrario a la hipótesis . 3. Si b. fuera cierta, por el teorema del triángulo isósceles se tendría que , contrario a la hipótesis.

4. Descartadas las dos primeras opciones, queda como única posibilidad verdadera la c.

ACTIVIDADES 8.

(5)

DISTANCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR HASTA UNA RECTA Y DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO.

TEOREMA. (Mínima distancia) El segmento más corto que une un punto que no está en una recta con ésta, es el perpendicular a ella.

Reescrito el teorema: Sea L una recta y P un punto fuera de ella. Si ̅̅̅̅

en Q y R es otro punto cualquiera de L entonces PQ < PR.

Demostración:

1. ̅̅̅̅ Dato conocido.

2. Perpendicularidad y ángulo recto.

3. es agudo Teorema: Si un triángulo tiene un ángulo recto, los otros son agudos.

4. Definición ángulo agudo.

5. Sustitución 2 en 4.

6. PQ < PR Teorema: El lado mayor está opuesto al ángulo mayor.

Definición. La distancia entre una recta y un punto fuera de ella, es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto hasta la recta. La distancia entre una recta y un punto en ella, es cero.

TEOREMA. (Desigualdad del triángulo) La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Reescrito el teorema: En un triángulo cualquiera , se cumple que AB + BC > AC Demostración:

1. Sea D un punto del rayo opuesto a ⃗⃗⃗⃗⃗ , tal que DB = AB Localización de puntos.

2. DC = DB + BC D – B – C

3. DC = AB + BC Sustitución de 1 en 2.

4. Postulado adición ángulos.

5. El todo es mayor que las partes.

(6)

6. Teorema triángulo isósceles.

7. Sustitución 6 en 5.

8. En : A mayor ángulo se opone mayor lado 9. Sustitución de 3 en 8.

ACTIVIDADES 9.

5. Dado el de la izquierda y el punto O en su interior. Demostrar que . Este resultado es conocido con el nombre de teorema de la envolvente.

6. Considera el del dibujo anterior a la derecha y el punto O en su interior. Demostrar que

Referencias:

1. Moise, Edwin y Floyd Downs Jr. Geometría. Editorial Norma, Cali, 1972.

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