Plan de clase N 5 Matemática

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Plan de clase N°5 Matemática

OA14 - OAl

1º Medio

Unidad de Currículum y Evaluación

Febrero 2021

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UCE – MINEDUC

Febrero 2021 2

¿Qué aprenderán?

OA 14. Desarrollar las reglas de las probabilidades, la regla aditiva, la regla multiplicativa y la combinación de ambas, de manera concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo, en el contexto de la resolución de problemas.

OA l. Elegir o elaborar representaciones de acuerdo a las necesidades de la actividad, identificando sus limitaciones y validez de estas.

Actitud: Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor en la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas reales.

Evaluación

Se sugiere evaluar los siguientes temas:

• Aplicación directa del modelo de Laplace.

• Elaboración de árboles de probabilidades.

• Utilización de proposiciones lógicas y, o.

• Identificación de eventos independientes y dependientes.

• Aplicación de la regla multiplicativa.

• Aplicación de la regla aditiva.

• Elaboración de tablas de contingencia.

• Resolver problemas que involucren la regla aditiva o multiplicativa para determinar probabilidades.

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Febrero 2021 3

ACTIVIDADES DE APOYO SOCIOEMOCIONAL

Se sugiere una lista de actividades socioemocionales para que las asignaturas incorporen en forma sistemática prácticas para favorecer un clima escolar positivo.

Estas actividades se presentan según los distintos momentos de la clase, facilitando así su aplicación. Se incluyen actividades para inicio de la clase, para el cierre, para iniciar trabajo grupal y para enfrentar conflictos.

La siguiente propuesta puede ser implementada flexiblemente ajustándose a los contextos y necesidades de los estudiantes, tanto en las experiencias remotas como presenciales de aprendizaje.

ACTIVIDADES PEDAGÓGICAS SUGERIDAS Actividades sugeridas para el inicio de clases

Actividades sugeridas para el cierre de clases

Actividades sugeridas para antes de un trabajo en grupo

Actividades sugeridas para enfrentar conflictos

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Febrero 2021 4

RUTA DE APRENDIZAJE

Para responder la pregunta:

Clase 1 Compara diferentes modelos

de la misma situación probable para relevar el

modelo de Laplace.

¿Cómo representamos y calculamos las probabilidades?

Clase 2 Resuelve problemas de

probabilidades aplicando la regla de Laplace.

Clase 3 Identifica eventos compuestos utilizando las proposiciones lógicas 𝑦 y 𝑜.

Clase 4

Identifica eventos probables dependientes e independientes para

determinar sus probabilidades con el

modelo de Laplace.

Clase 5

Desarrolla la regla aditiva determinando probabilidades con el

modelo de Laplace.

Clase 6 Desarrolla la regla

multiplicativa de probabilidades

determinando probabilidades con el

modelo de Laplace.

Clase 7 Elabora árboles de probabilidades para aplicar

la regla multiplicativa y la regla aditiva.

Clase 8 Elabora tablas de contingencia para determinar probabilidades.

Clase 9

Resuelve problemas que involucren la regla aditiva y

la regla multiplicativa de probabilidades.

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Febrero 2021 5

¿Qué se espera lograr?

Se espera lograr que los estudiantes comparen diferentes modelos de la misma situación probable para relevar el modelo de Laplace.

Clase 1 Enmarcar

Motivar la comparación de los diferentes modelos por medio de una situación cercana a los estudiantes y a partir de ésta, relevar la utilidad y aplicación del modelo de Laplace para los cálculos de la probabilidad. Por ejemplo, relacionar la probabilidad de elección de poleras de dos colores con la probabilidad de sacar bolitas de dos colores y modelar la situación por medio de la cantidad, la proporción y el modelo de Laplace.

Algunas de las preguntas que pueden motivar esta comparación son:

• ¿Cuántas poleras se ven en la imagen?

• Si estas con los ojos vendados ¿Qué tan probable es sacar una polera negra?

• ¿Cómo puedes explicar que un color tenga mayor probabilidad que otro?

• ¿De qué manera te ayudan las razones o el porcentaje para explicar la probabilidad?

Ampliar el conocimiento

Transferir la situación de la elección de una polera con ojos vendados a un caso similar de bolitas, fichas o papeles de dos colores. Explicar la probabilidad de sacar una ficha blanca en los casos que sea menor, mayor o igual que sacar una ficha negra, utilizando la noción de cantidad.

¿Qué modelo sencillo permite explicar que un color sea más probable que otro?

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Febrero 2021 6

Relevar la cantidad y la comparación entre ambas como un modelo que permite decidir sobre la probabilidad de un color y del otro.

El modelo de cantidad para la probabilidad se basa en cuál tipo de las bolitas blancas (𝑏) o negras (𝑛) está en la minoría, mayoría o igualdad.

• 𝑏 − 𝑛 < 0 La probabilidad de sacar una bolita blanca es menor que sacar una bolita negra.

• 𝑏 − 𝑛 = 0 La probabilidad de sacar una bolita blanca es igual que sacar una bolita negra.

• 𝑏 − 𝑛 > 0 La probabilidad de sacar una bolita blanca es mayor que sacar una bolita negra.

Según este modelo y la situación de las poleras, fichas, bolitas o papel de colores, la probabilidad de sacar una ficha blanca es menor que sacar una bolita negra porque 3 − 6 = −3 < 0.

Explicar la necesidad de recurrir a otros modelos, ya que, al reducir a la mitad, al doblar o triplicar la cantidad de fichas, este modelo de cantidad no responde al mismo cambio en la probabilidad.

¿La probabilidad de sacar al azar una ficha negra es el triple de la probabilidad de sacar una ficha blanca?

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Febrero 2021 7

Explicar un nuevo modelo para responder a la pregunta utilizando las proporciones entre la cantidad de cada color.

El modelo de cantidad para la probabilidad se basa en mantener la proporción de bolitas blancas (𝑏) y negras (𝑛) y su probabilidad.

• ^𝑏_𝑛<¹₃ La probabilidad de sacar una bolita blanca es menor que el tercio de sacar una bolita negra.

• ^𝑏_𝑛=¹₃ La probabilidad de sacar una bolita blanca es el tercio de sacar una bolita negra.

• ^𝑏_𝑛>¹₃ La probabilidad de sacar una bolita blanca es mayor que el tercio de sacar una bolita negra.

Según este modelo y la situación de las poleras, fichas, bolitas o papeles de dos colores, la probabilidad de sacar una bolita blanca es igual a un tercio de la probabilidad de sacar una bolita negra porque ²

6=¹₃.

Este modelo, no responde a otras situaciones con otras proporciones, es particular de este caso, por lo tanto, el modelo se debe ampliar para incluir a todas las situaciones y generalizar al caso del modelo de Laplace.

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Introducir o recordar el modelo de Laplace para el cálculo de probabilidades, considerando ahora una probabilidad de un medio.

¿Qué situación considera que la probabilidad de ocurrencia podría ser de un medio?

Explicar la respuesta, indicando que las situaciones que tienen la probabilidad de un suceso igual a un medio pueden ser infinitas, en particular, se tienen aquellas en que se lanza una moneda, de respuestas de sí o no y en general aquellas que tienen la razón un medio y todas sus equivalencias.

1 2=2

4=3 6=4

8= 5 10= ⋯

Generalizar la regla para determinar la probabilidad como los casos probables divido por los casos totales.

¿Cuál es la probabilidad de las bolitas blancas?

El modelo para determinar la probabilidad sería:

𝑝 = 𝑏

𝑛 + 𝑏→ 𝑝 =2 8=1

4 En general:

𝑝 =𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 Práctica guiada

Transferir a otras situaciones por medio del desarrollo de problemas similares.

1. La rifa.

Se quiere organizar una rifa de 1 200 números y se quiere tener una probabilidad de ¹

3 de obtener un número ganador.

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Febrero 2021 9

Determinar el cociente entre la cantidad posible y el total.

𝑝 = 𝑏 𝑛 + 𝑏→1

3= 𝑏

1 200= 1 200 = 3𝑏 𝑏 = 400

O bien

1

3· 1 200 = 400 Los números perdedores son 800

1 200 − 400 = 800

Se deben poner 400 números ganadores y 800 números perdedores.

2. La rueda de la fortuna.

Determinar la probabilidad de que la rueda se pare en el área azul aplicando el modelo de Laplace, relevando las partes del círculo para utilizar un modelo no continuo de área. El área azul es ¹

4 del área total de la rueda de la fortuna y la probabilidad 𝑝 de obtener el resultado azul es 𝑝 =¹

4. También se puede relacionar con porcentajes directamente.

Práctica independiente

Proponer actividades en las cuales se releva el uso del modelo de Laplace para el cálculo de probabilidades. Se sugiere realizar las actividades, 1, 2 y 3 de la página 244.

Ticket de salida

Proponer una actividad para relevar la aplicación del modelo de Laplace.

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En una rifa la cantidad de números ganadores es cuatro veces la cantidad de números perdedores.

¿Cuál es la probabilidad de ganar?

Relevar las respuestas que dan un caso particular y aquellas que tratan la situación de forma general, al considerar 𝑘 números ganadores con 4𝑘 números perdedores y utilizan el modelo de Laplace de la probabilidad

𝑝 = 𝑘

𝑘 + 4𝑘= 𝑘 5𝑘=1

5= 20%

Se espera lograr que los estudiantes resuelven problemas de probabilidades aplicando el modelo de Laplace.

Motivar a los estudiantes a resolver problemas asociados a la probabilidad aplicando la regla de Laplace en situaciones de comparación. Se sugiere utilizar las ruedas de la fortuna y aplicar directamente Laplace para determinar que sería lo más conveniente de elegir.

¿Será más conveniente apostar al color morado o al 0?

Aplicar en las diferentes situaciones la regla de Laplace para hacer las comparaciones y explicar cuál sería una buena elección en el sentido de tener mayor probabilidad de ganar en el caso de estar en una ramada.

Rueda de colores Rueda en blanco y negro

Elegir el color verde. Elegir el número 1.

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Febrero 2021 11

Probabilidad según Laplace 1

10

La probabilidad es de 10%

5

Elegir el color morado.

10

Elegir el 0.

5

Elegir el color celeste.

10 La probabilidad es de 40%

Elegir el número 9.

Elegir el color amarillo.

10

La probabilidad es de

aproximadamente un 33%

Elegir el número 2.

Variar algunas de las condiciones en la aplicación de Laplace para ampliar el ámbito de la resolución de problemas, por ejemplo, situaciones en las cuales hay dos dados.

Pamela está inventando una variación del cacho y necesita ver cuáles serían las formas de ganar o perder cuando se tienen dos dados y se suman los números que aparecen.

• ¿Cuántas sumas posibles hay?

Explicar las sumas posibles que se tienen al lanzar dos dados, indicando que cuando sale el dos y el uno es lo mismo que el uno y el dos dado que la adición es conmutativa y se deben considerar pares no ordenados, por ejemplo (1, 2) no se distingue de (2,1).

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Febrero 2021 12

2 → (1, 1) 3 → (1, 2) 4 → (1, 3), (2,2) 5 → (1, 4), (2,3) 6 → (1, 5), (2,4), (3,3) 7 → (1,6), (2,5), (3,4) 8 → (2,6), (3,5), (4,4) 9 → (3,6), (4,5) 10 → (4,6), (5,5) 11 → (5, 6) 12 → (6, 6)

En total se tienen 11 sumas diferentes y 21 pares.

• ¿Cómo se calcula la probabilidad?

Explicar con un ejemplo, la probabilidad de obtener la suma 6 es:

𝑝 = 3 21=1

7

Según Laplace la probabilidad se determina como los casos posibles sobre los totales, en este caso hay 3 pares posibles de un total de 21 que suman 6.

La probabilidad para cada suma es:

2 → (1, 1) → 𝑝 = 1

21→ 𝑝 ≈ 4,8%

3 → (1, 2) → 𝑝 = 1

21→ 𝑝 ≈ 4,8%

4 → (1, 2), (2,2) → 𝑝 = 2

21→ 𝑝 ≈ 9,5%

5 → (1, 4), (2,3) → 𝑝 = 2

21→ 𝑝 ≈ 9,5%

6 → (1, 5), (2,4), (3,3) → 𝑝 = 3

21→ 𝑝 ≈ 14,3%

7 → (1,6), (2,5), (3,4) → 𝑝 = 3

21→ 𝑝 ≈ 14,3%

8 → (2,6), (3,5), (4,4) → 𝑝 = 3

21→ 𝑝 ≈ 14,3%

9 → (3,6), (4,5) → 𝑝 = 2

21→ 𝑝 ≈ 9,5%

10 → (4,6), (5,5) → 𝑝 = 2

21→ 𝑝 ≈ 9,5%

11 → (5, 6) → 𝑝 = 1

21→ 𝑝 ≈ 4,8%

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Febrero 2021 13

12 → (6, 6) → 𝑝 = 1

21→ 𝑝 ≈ 4,8%

Explicar el aporte de esta información para el juego que se podría inventar Pamela, donde deberían estar las reglas que son fáciles o difíciles de obtener.

Práctica guiada

Se sugiere promover el trabajo experimental del lanzamiento de diferentes tipos de dados, tanto para diferenciar entre la probabilidad en un experimento como la probabilidad de Laplace.

Pamela piensa hacer reglas para otros juegos, por ejemplo, para el doble lanzamiento de un dado de la forma de un tetraedro y que está numerado de 1 a 4.

¿Qué probabilidad hay de ganar al elegir el producto 4?

• 1 −> (1, 1)

• 2 −> (1, 2)

• 3 −> (1, 3)

• 4 −> (1, 4), (2, 2)

• 6 −> (2, 3)

• 8 −> (2, 4)

• 9−> (3, 3)

• 12 −> (3, 4)

• 16 −> (4, 4)

Son 10 pares que llevan a un producto posible entre los números que salen. Hay dos posibilidades de obtener el producto 4. La probabilidad es 𝑝 = ²

10 . Explicar las posibilidades que se tienen para las reglas de un juego utilizando el producto y este tipo de dados, indicando que, si se dejara fuera el 4, las probabilidades se comportarían similares al lanzamiento de un dado de 6 caras.

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Febrero 2021 14

Proponer actividades en las cuales se resuelven problemas y se proponen reglas sencillas de juegos basadas en el cálculo de Laplace. Se sugiere realizar las actividades de la hoja de trabajo de la clase 2.

Se sugiere una actividad de comparación entre dos tipos de situaciones de probabilidades. Por ejemplo, comparar dos rifas, una con 100 números ganadores entre 1 000 números y otra con 1 000 números ganadores entre 100 000 números y preguntar ¿Qué rifa es más favorable para un participante? Relevando aquellas que indican que la primera rifa es más favorable para un participante y justifican con el modelo de Laplace, en la primera rifa la probabilidad de ganar es 𝑝 = ¹⁰⁰

1 000= 10% y en la segunda rifa la probabilidad de ganar es 𝑝 = ^{1 000}

100 000= 1%.

Se espera que los estudiantes identifiquen eventos compuestos utilizando las proposiciones lógicas 𝑦 y 𝑜.

Motivar la distinción entre las proposiciones por medio del uso coloquial de las conjunciones copulativas, como la 𝑦, y las conjunciones disyuntivas, como la 𝑢, o, en situaciones de ofrecimiento de alguna posibilidad, de ambas o de algunas de ellas.

Por ejemplo, en situaciones de comidas y acompañamientos.

Algunas de las preguntas que pueden motivar este uso y relacionarlo con las preposiciones lógicas son:

• ¿Qué significado tiene la preposición 𝑜 en el primer caso?

• ¿Qué significado tiene la preposición 𝑦 en el segundo caso?

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Febrero 2021 15

• ¿Qué significado tiene la escritura de 𝑦/𝑜 en el tercer caso?

• ¿Qué preposiciones se relacionan con la unión y la intersección?

• ¿Cómo afectan a las probabilidades cuando ocurren dos cosas a la vez?

Relacionar la unión con el uso de la 𝑜 inclusiva, en el ejemplo, 𝑦/𝑜. Además, se sugiere presentar otros ejemplos de uso común para reforzar la idea, estudias o trabajas y para diferenciar, tales como te levantas o te acuestas. Relacionar la intersección con el uso de la conjunción copulativa con el ejemplo del arroz con huevo frito y ensalada de tomate, relevando la noción básica de juntar eventos para comprender el concepto de eventos compuestos.

Ejemplificar el conteo de posibilidades en el caso de la intersección y de la unión, utilizando un diagrama de árbol y las expresiones ambos sucesos a la vez y alguno de ellos podría suceder, para indicar la intersección y la unión.

En un restaurant se ofrece un menú del día en dos variantes para la entrada, el fondo y el postre.

En el transcurso de la hora del almuerzo se agotaron las empanadas.

¿Cuáles son todas las posibilidades de seguir con un menú?

Elaborar un diagrama de árbol con ramificaciones para ver en los caminos las diferentes posibilidades.

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Febrero 2021 16

Relevar la noción de camino o ramificación del árbol, describiendo las cuatro posibilidades e indicando como se leen las 4 soluciones en términos del uso de la y:

Sopa y carne y fruta Sopa y carne y helado Sopa y pescado y fruta Sopa y pescado y helado

¿Cuáles son las posibilidades de terminar con helado como postre?

Las 2 posibilidades se pueden ver como caminos en verde en el árbol o leyendo directamente de las 4 posibilidades y utilizando la conjunción o.

Sopa y carne y helado o Sopa y pescado y helado

Transferir el conteo de posibilidades de eventos compuestos con el uso de las conjunciones y, o, a un contexto más abstracto, como la extracción de bolitas.

1. En una urna hay bolitas azules, bolitas amarillas y bolitas rojas, se sacan al azar dos bolitas.

¿Cuáles son todas las posibilidades?

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Febrero 2021 17

Elaborar un diagrama de árbol para determinar el total de posibilidades de la extracción de dos bolitas, sin considerar una cantidad inicial para cada color. Relevar el conteo de las 9 bolitas, indicando cada camino y utilizando la conjunción y.

Describir cada camino:

Azul y azul Azul y amarillo

Azul y rojo Amarillo y azul Amarillo y amarillo

Amarillo y rojo Rojo y azul Rojo y amarillo

Rojo y rojo

¿Cuántas posibilidades hay de obtener rojo?

Azul o rojo Amarillo o rojo

Rojo o azul Rojo o amarillo

Rojo o rojo

Relevar el sentido de unión de todas las posibilidades, interpretando el sentido de la conjunción o como los casos en los que puede ocurrir un evento o el otro dentro de todas las posibilidades.

¿Cuántas posibilidades hay de obtener rojo y azul?

Azul y rojo Rojo o azul

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Febrero 2021 18

2. Se lanza una sola vez un dado regular.

¿Cuántas posibilidades hay de qué al lanzar resulte un número impar y primo?

Contar todos los números impares del 1 al 6:

1, 3 y 5 Contar todos los números primos de 1 a 6:

2, 3 y 5

Contar los números que tienen la condición de ser número impar y a la vez número primo:

3 y 5

Hay dos números que cumplen con ser número impar y primo.

¿Cuántas posibilidades hay de qué al lanzar resulte un número par o primo?

Contar todos los números pares del 1 al 6:

2, 4 y 6 Contar todos los números primos de 1 a 6:

2, 3 y 5

Contar los números que tienen la condición de ser número par o número primo:

2, 3, 4, 5 y 6

Hay 5 números que cumplen con ser número par o primo.

Proponer actividades en las cuales se utilicen las proposiciones y, o para seleccionar eventos de un conjunto unión o de un conjunto intersección. Se sugiere realizar la actividad 1 de la página 250 del texto del estudiante.

Proponer una actividad para determinar subconjuntos según corresponda el uso de y, o en las instrucciones. Por ejemplo, dado el conjunto de números {7, 8, 9, 10}, determinar el subconjunto de números que cumpla con impar o primo, y el subconjunto de números que cumpla con ser impar y primo.

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Se espera lograr que los estudiantes identifiquen eventos probables dependientes e independientes para determinar sus probabilidades con el modelo de Laplace.

Clase 4 Ampliar el conocimiento

Explicar los eventos independientes por medio de un ejemplo, se lanza 7 veces una moneda honesta, es decir, es una moneda que al lanzarla y obtener cara es igual de probable que obtener sello, y las 7 veces el resultado ha sido cara.

¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento se obtenga otra vez cara?

Relevar las respuestas que indican que la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga otra vez cara es de un 50%, es otra vez ¹

2, porque los lanzamientos anteriores no influyen en el siguiente lanzamiento. Indicar el nombre de estos sucesos como sucesos independientes, ya que el anterior no influye en el siguiente, es decir la probabilidad se calcula como un evento simple cada vez que ocurre.

Ejemplificar la diferencia entre evento independiente y dependiente, considerando dos variantes en la extracción de bolitas de una urna con cuatro bolitas, dos

amarillas y dos azules.

Variante uno: Se saca una bolita y se devuelve.

Variante dos: Se saca una bolita y no se devuelve.

Conjeturar sobre en cuál de las dos variantes las probabilidades no se calculan como eventos simples, cuando se deben sacar dos bolitas, indicando el caso de ser independientes y dependientes.

Relevar la acción de devolver la bolita como el caso de eventos independientes, ya que la urna vuelve a ser como era antes, en el caso de no devolver la bolita, se trata de un caso dependiente y por lo tanto la probabilidad ya no se calcula como evento

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UCE – MINEDUC

Febrero 2021 20

simple, ya que disminuye la cantidad de bolitas en la urna y la probabilidad dependerá del color extraído.

Determinar las probabilidades en ambas variantes, elaborando un árbol de probabilidades y fijando un suceso, por ejemplo, determinar la probabilidad de sacar bolita amarilla cuando ya se ha extraído una bolita amarilla en la primera extracción.

Variante uno Variante dos

La probabilidad se mantiene.

En la segunda extracción la

probabilidad de obtener otra vez una bolita amarilla es ¹

2 .

La probabilidad cambia.

La probabilidad de extraer una bolita amarilla en la segunda extracción es ¹

3.

¿Cambian también las probabilidades para extraer una bolita azul en la segunda extracción?

Explicar cómo se determina la probabilidad para el caso de bolitas numeradas y con condiciones, por ejemplo, una urna con cuatro bolitas numeradas de 1 al 4, se extraen dos bolitas sacando de a una, con y sin devolución de la primera, se suman los números de las bolitas extraídas y se quiere determinar la probabilidad de que la suma sea menor que 7.

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UCE – MINEDUC

Febrero 2021 21

La primera bolita ha salido 3

Con devolución Sin devolución

Se pueden generar las sumas 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5, 3 + 3 = 6, 3 + 4 = 7.

Hay tres sumas que cumplen con la

condición.

La probabilidad según Laplace es ³

4.

Se pueden generar las sumas 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5, 3 + 4 = 7.

Hay dos sumas que cumplen con la

condición.

La probabilidad según Laplace es ²

3. La primera bolita ha salido 1

Con devolución Sin devolución

Se pueden generar las sumas 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5.

Hay cuatro sumas que cumplen con la condición.

La probabilidad según Laplace es ⁴

4= 1.

Se pueden generar las sumas 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5.

Hay tres sumas que cumplen con la

condición.

La probabilidad según Laplace es ³

3= 1.

¿Hay un caso en qué la probabilidad sea cero?

Relevar las respuestas que cambian la condición inicial sobre la suma, indicando que, si la suma es menor que 2, entonces la probabilidad es cero independiente de la bolita que se saque, ahora si se saca 4 al inicio, entonces la condición menor que 5 tiene probabilidad cero. Motivar a los estudiantes a elaborar sus propias condiciones de juego, trabajando en pares y encontrando las mejores reglas para ganar según la primera extracción. Se sugiere trabajar con el árbol de probabilidades para ver todos los casos de una sola vez y con este ver inmediatamente las probabilidades de los diferentes casos. Indicar sobre el árbol si se refiere a una extracción con o sin devolución.

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Febrero 2021 22

Proponer actividades en las cuales se determine la probabilidad de eventos dependientes e independientes por medio del modelo de Laplace. Se sugiere realizar la actividad 1 a y b de la página 250 del texto del estudiante.

Integración

Conversar sobre el juego internacional piedra, papel o tijera, llamado en Chile Cachipun, mencionando las reglas y relacionando con la probabilidad dependiente o independiente.

Jugar varias veces a Cachipun y compartir las estrategias o pensamientos utilizados para ganar. Comparar con uno de los descubrimientos que se han hecho en investigaciones con un gran número de participantes, donde se indica que el ganador tiende a mantener su elección anterior, mientras que el perdedor tiende a cambiar su elección. Algunas preguntas que pueden orientar esta reflexión son: ¿Cuál es la probabilidad de ganar para cualquier opción sin considerar la tendencia? ¿Cuál será la elección aconsejable si ganaste recién con piedra contra tijera? Si el otro jugador no conoce el patrón ¿Cuál será la elección aconsejable si perdiste recién con papel contra tijera?

Notar que la probabilidad es ¹

3 porque se gana con una sola elección de las tres elecciones posibles y que las elecciones de las opciones son independientes, aunque como ganador es aconsejable elegir la opción que tomó el otro jugador anteriormente y no seguir repitiendo, esto significa que para ganar hay casos que son más probables que otros, entonces dependerá de lo que ha elegido el otro jugador la elección personal. Si el jugador perdió con tijera contra piedra y piensa que tú mantendrás tu elección, entonces él tiende a elegir papel y por lo tanto tu podrías ganar con tijera, lo cual cambia la probabilidad de ganar. Ahora, si vas perdiendo es aconsejable elegir la opción con la que gano el otro jugador anteriormente, ya que

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UCE – MINEDUC

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él tiende a mantener su opción ganadora que en este caso era tijera. Así, conviene elegir piedra para ganar.

Se espera que los estudiantes desarrollen la regla aditiva de probabilidades determinando probabilidades con el modelo de Laplace.

Clase 5 Ampliar el conocimiento

Variar condiciones de los objetos para que tengan la misma probabilidad, comparando y determinando similitudes y diferencias. Por ejemplo, considerar un dado de tres colores en vez de números, donde las caras opuestas tienen el mismo color y una rueda de la fortuna con tres colores.

Determinar en qué coinciden los resultados posibles de ambos juegos al azar y en qué difieren, relevando aquellas respuestas que indican que ambos juegos al azar coinciden en la cantidad de resultados posibles, son 6 en total y que difieren en las probabilidades. En el dado los resultados son equiprobables y en la rueda de fortuna no. Variar las condiciones para que coincidan las probabilidades, por ejemplo, pintando un sector de color amarillo en color azul en la rueda de la fortuna.

Construir la regla aditiva a partir del árbol de probabilidades y una situación de experimento. Por ejemplo, lanzar dos veces el dado de los tres colores registrando los colores, elaborando el árbol con todas las posibilidades y determinando las probabilidades de que se obtenga diferentes colores al lanzar dos veces el dado, el color rojo al lanzar dos veces el dado y que salga dos veces el mismo color.

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Febrero 2021 24

Describir el árbol y el significado de cada camino, leyendo al final del árbol los 9 resultados posibles al lanzar dos veces el dado de tres colores:

Verde y verde Verde y rojo Verde y azul

Rojo y verde Rojo y rojo Rojo y azul

Azul y verde Azul y rojo Azul y azul

• Cada una de estas posibilidades tiene la probabilidad de ¹

9 de obtenerse.

• Hay 6 caminos donde se obtienen resultados de diferentes colores en dos lanzamientos y la probabilidad de obtener alguno de ellos es de ⁶

9=²₃. También se puede obtener sumando las 6 probabilidades de cada caso

1 9+1

9+1 9+1

9=6 9

Marcar con colores cada camino y leer cada uno de los casos con una o entremedio, así se relaciona la suma con la regla aditiva y con la unión de los casos:

Verde y verde Verde y rojo o Verde y azul o

Rojo y verde o Rojo y rojo Rojo y azul o

Azul y verde o Azul y rojo Azul y azul

• Hay 3 caminos que tienen el color rojo y la probabilidad de que al lanzar dos veces el dado se obtenga el color rojo es de ³

9=¹

3. También se puede obtener sumando los casos particulares

1 9+1

9+1 9=3

9=1 3

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UCE – MINEDUC

Febrero 2021 25

• Hay 3 caminos que tienen el mismo color y la probabilidad es de ³

9=¹

3. También se puede obtener como una suma de cada caso:

1 9+1

9+1 9=3

9=1 3

Nominar la regla que se ha construido por medio de ejemplos, indicando que la segunda forma de obtener los resultados mediante una suma de los casos particulares, se denomina la regla aditiva de probabilidades.

Ejemplificar la regla aditiva para un experimento aleatorio de casos independientes, por ejemplo, lanzar un dado regular de 4 caras en forma de tetraedro y luego un dado de tres colores.

¿Cuántas posibilidades de pares ordenados de número y color hay en este experimento?

Explicar la multiplicación 12 = 4 · 3 para dar respuesta a la cantidad de eventos totales del experimento. También se puede apoyar con la elaboración de un diagrama de árbol.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor a 4 con verde?

Aplicar la regla aditiva, presentando primero cada uno de los eventos (1, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒), (2, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) y (3, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒) y su probabilidad de ¹

12 . La suma o regla aditiva resulta 1

12+ 1 12+ 1

12= 3 12=1

4

La probabilidad de obtener en los lanzamientos de un tetraedro y un dado de colores un número menor a 4 y el color verde es de 25%.

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UCE – MINEDUC

Febrero 2021 26

Proponer actividades en las cuales se utilicen las proposiciones y, o para seleccionar eventos de un conjunto unión o de un conjunto intersección. Se sugiere realizar la actividad 1 c, d, e, f, g, h de la página 250 del texto del estudiante.

Proponer una actividad de aplicación directa de la regla aditiva, por ejemplo, cambiando el orden en el experimento anterior, primero se lanza el dado de colores y luego el dado en forma de tetraedro y preguntando ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor a 4 con verde? ¿Qué cambia en los resultados y qué se mantiene en relación con el experimento anterior? Relevando aquellas respuestas que calculan aplicando la regla aditiva y aquellas que indican que solo cambia el orden dentro de los pares, pero que las probabilidades de los eventos compuestos de dos lanzamientos se mantienen.

Se espera que los estudiantes desarrollen la regla multiplicativa de probabilidades determinando probabilidades con el modelo de Laplace.

Motivar el desarrollo de la regla multiplicativa determinando probabilidades por medio del modelo de Laplace y relacionándolas con los casos particulares por medio de la multiplicación. Se sugiere comenzar con datos de una situación real o experimental y desarrollar la regla multiplicativa por medio de preguntas.

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Febrero 2021 27

Si se considera el descubrimiento de cometas como una situación azarosa e independiente el de encontrar cometas rocosos o bolas de nieve, se dice que hay un 2,89% de probabilidad de descubrir un cometa rocoso y que el segundo que se descubre sea también rocoso.

• ¿Qué información nos entrega el primer porcentaje?

• ¿Cómo se llega al segundo porcentaje?

• ¿Qué relación hay entre el primer y el segundo porcentaje?

Construir la regla multiplicativa a partir de un diagrama de árbol y las probabilidades que hay en situaciones reales. Por ejemplo, en un campeonato de tenis a nivel escolar, se gana si en el transcurso del partido la jugadora tiene dos sets ganados de tres.

¿Cuáles son todas las rutas de la ganadora en un diagrama de árbol?

¿Cómo se lee cada camino de juego?

Considerar situaciones especiales de las jugadoras para rotular el árbol con las probabilidades considerando que las jugadoras se defieren en sus rendimientos con un 60% a 40% respectivo a la trayectoria de los partidos entre ellas.

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Febrero 2021 28

Recordar la elaboración del árbol de probabilidades, indicando que el 60%

corresponde al número decimal 0,6 y el 40% al 0,4 en el árbol. Organizar cada camino y presentar cada cálculo desde la regla multiplicativa.

• Para la jugadora 𝐴, la probabilidad de ganar en dos mangas corridas es de 0,6 · 0,6 = 0,36

La jugadora 𝐴 tiene un 36% de ganar la primera y la segunda manga y así ganar el partido.

• Para la jugadora 𝐴, la probabilidad de ganar la primera manga, perder la segunda manga y ganar finalmente la tercera manga es de

0,6 · 0,4 · 0,6 = 0,144

La jugadora 𝐴 tiene un 14,4% de ganar la primera y la última manga y así ganar el partido.

• Para la jugadora 𝐴, la probabilidad de ganar la primera manga, perder la segunda manga y la tercera manga es de

0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,096

La jugadora 𝐴 tiene un 9,6% de ganar la primera y perder la segunda y tercer manga y así perder el partido (Gana la jugadora 𝐵).

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Febrero 2021 29

• Para la jugadora 𝐵, la probabilidad de ganar la primera manga, perder la segunda manga y ganar finalmente la tercera manga es de

0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,096

La jugadora 𝐵 tiene un 9,6% de ganar la primera, perder la segunda y ganar la tercera manga y así ganar el partido.

• Para la jugadora 𝐵, la probabilidad de ganar la primera manga, perder la segunda y la tercera manga es de

0,4 · 0,6 · 0,6 = 0,144

La jugadora 𝐵 tiene un 14,4% de ganar la primera y perder la segunda y tercer manga y así perder el partido (Gana la jugadora 𝐴).

• Para la jugadora 𝐵, la probabilidad de ganar en dos mangas corridas es de 0,4 · 0,4 = 0,16

La jugadora 𝐵 tiene un 16% de ganar la primera y la segunda manga y así ganar el partido.

Se sugieren las siguientes preguntas para dar sentido a los resultados:

• ¿Qué resulta más conveniente para cada jugadora?

• ¿Qué partido resulta más difícil para cada jugadora?

• ¿Cómo se justifican los resultados con el rendimiento?

• ¿Conoces a jugadores de tenis con estos rendimientos?

• ¿Qué aconsejarías a la jugadora 𝐵 si fueras el entrenador?

Transferir la regla multiplicativa a otros contextos, aplicándola en situaciones del tránsito. Por ejemplo:

Se estima que, en Chile, el porcentaje de los autos con matrícula de dos letras y cuatro dígitos es de 35%. En una autopista se registra por medio de un sensor electrónico en el parabrisa la patente de los autos que están pasando por debajo del

sensor.

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Febrero 2021 30

Si se considera que el paso de los autos por debajo de un sensor como una situación azarosa, determinar las siguientes probabilidades aplicando la regla multiplicativa:

• Paso consecutivo de tres autos con patente de cuatro letras y dos dígitos.

𝑝 = 0,65 · 0,65 · 0,65 ≈ 0,2746 ≈ 27,5%

• Paso consecutivo de tres autos con patente de cuatro dígitos y dos letras.

𝑝 = 0,35 · 0,35 · 0,35 ≈ 0,0429 ≈ 4,3%

• Paso de un auto con patente de cuatro letras y los dos siguientes autos con patentes de cuatro dígitos.

𝑝 = 0,65 · 0,35 · 0,35 ≈ 0,0796 ≈ 8,0%

Proponer actividades en las cuales apliquen directamente la regla multiplicativa. Se sugiere realizar la actividad 1 a, b y c de la página 262 del texto del estudiante.

Proponer una actividad de aplicación de la regla multiplicativa, utilizando el mismo contexto de pasar debajo del sensor, por ejemplo, indicando que el al año 2016 el 6,9%

del parque automotriz corresponde a motocicletas y preguntando sobre la probabilidad de que pasen dos veces una motocicleta.

Se espera lograr que los estudiantes elaboren árboles de probabilidades para aplicar la regla multiplicativa y la regla aditiva.

Motivar la elaboracion de diagrama de árboles, para determinar las probabilidades aplicando la regla multiplicativa o aditiva, en situaciones cercanas y de elección azarosa de objetos. Por ejemplo, por medio de la probabilidad de elección de sacar de un estuche con tres lápices el color rojo y luego el verde. Relevando que la tercera posibilidad tiene probabilidad 1, ya que es la única opcion de salir. Destacar en la lectura del árbol las frases que usan las conjunciones y, o, junto con su relación con la regla multiplicativa y aditiva.

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Describir el árbol de probabilidad en términos de las acciones que se hacen con los lápices, algunas de las preguntas que pueden motivar a esta descripción son:

• ¿Se sacan los lápices con o sin devolución al estuche?

• ¿Cuál es el máximo de extracciones de lápices?

• ¿Qué regla se puede tener para terminar de sacar lápices?

Relevando aquellas respuestas que indican la probabilidad de sacar alguno de los tres lápices es ¹

3 , que explican que los lápices no se devuelven al estuche ya que la probabilidad aumenta a ¹

2 , solo van quedando dos lápices en el estuche y que si se ha extraído un lápiz rojo y un lápiz negro la probabilidad para la tercera extracción sube a 1. La regla que se muestra en el árbol de probabilidades es que el juego termina cuando se ha extraído el lápiz verde.

Completar el árbol de probabilidades con las probabilidades finales de la segunda y tercera extracción para determinar la probabilidad de obtener la bolita verde en la segunda extracción y la probabilidad de obtener la bolita verde en la tercera extracción.

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Febrero 2021 32

Segunda extracción:

• Aplicando la regla multiplicativa se obtiene que la probabilidad de sacar negro y verde es

1 3·1

2=1 6

• Aplicando la regla multiplicativa se obtiene que la probabilidad de sacar rojo y verde es

1 3·1

2=1 6

• Aplicar la regla aditiva para determinar la probabilidad de sacar verde en dos pasos:

1 6+1

6=1 3 Tercera extracción:

• Aplicando la regla multiplicativa se obtiene que la probabilidad de sacar negro, rojo y verde es

1 3·1

2· 1 =1 6

• Aplicando la regla multiplicativa se obtiene que la probabilidad de sacar rojo, negro y verde es igualmente

1 3·1

2· 1 =1 6

• Aplicando la regla aditiva se determina la probabilidad de sacar verde en tres pasos

1 6+1

6=1 3 Práctica guiada

Transferir la interpretación de un árbol de probabilidades a otro contexto, por ejemplo, al doble lanzamiento de un dado honesto, completando con las probabilidades de los eventos simples y aplicando según cada caso las reglas multiplicativa y aditiva.

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Interpretar el dado azul como todas las otras posibilidades de número, menos el 6 para completar el árbol de probabilidades.

¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos un 6 al lanzar dos veces el dado?

𝑝 = 1 36+ 5

36+ 5 36=11

36

Determinar con la regla multiplicativa y la regla aditiva la probabilidad de obtener un solo 6, relevando aquellas respuestas directas:

𝑝 = 5 36+ 5

36=10 36

¿Cuál es la probabilidad de obtener solo 6 o ningún 6?

𝑝 = 1 36+25

36=26 36 Ticket de salida

Proponer una actividad para completar un árbol de probabilidades, recordando que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1. Se sugiere además proponer una pregunta para aplicar la regla aditiva dando un contexto de partido de tenis y el rendimiento de dos jugadores.

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Febrero 2021 34

Se espera que los estudiantes elaboren tablas de contingencia para determinar probabilidades.

Introducir las tablas de contingencia leyendo y completando la información que contiene una tabla sin un contexto. Se sugiere comparar con un árbol de probabilidades con similares características y hacer transferencias entre uno y otro.

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Algunas de las preguntas que pueden orientar la lectura y completación de la tabla de contingencia son:

• ¿Cómo se lee el primer casillero?

• ¿Cómo se transfiere a lenguaje de probabilidades?

• ¿Qué nos indica la segunda fila?

• ¿Qué información nos entrega el total?

• ¿Cómo se puede comparar con un árbol de probabilidades?

Contextualizar la tabla de contingencia dando significado a los símbolos 𝐵̅ y 𝑀̅. Por ejemplo, en el juego de tenis están los participantes en los diferentes niveles y que han tenido práctica reforzada y aquellos que no tienen práctica reforzada. 𝑀 se refiere al porcentaje de los participantes en el reforzamiento y el símbolo 𝑀̅ es el porcentaje de no participantes en el reforzamiento. El símbolo 𝐵 se refiere al porcentaje de participantes que pasaron al próximo nivel y el símbolo 𝐵̅ significa no haber pasado al próximo nivel.

Leer en conjunto las diferentes casillas de la tabla, en cada caso para determinar los porcentajes de los tenistas que:

• Hicieron reforzamiento y pasaron al próximo nivel (30%).

• Hicieron reforzamiento y no pasaron al próximo nivel (20%).

• No hicieron reforzamiento y pasaron al próximo nivel (10%).

• No hicieron reforzamiento y no pasaron al próximo nivel (40%).

Elaborar y relacionar los resultados de la tabla con un árbol de probabilidades.

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Febrero 2021 36

Explicar la elaboración indicando que el árbol se ha construido con el inicio sobre el criterio de 𝑀 y 𝑀̅ con las especificaciones de 𝐵 y 𝐵̅. Las probabilidades finales en las ramificaciones son las probabilidades de los eventos 𝑀 y B, 𝑀 y 𝐵̅, 𝑀̅ y 𝐵, 𝑀̅ y 𝐵̅.

Transferir a otros contextos aleatorios, por ejemplo, el lanzamiento de una moneda y la gira de una rueda de fortuna.

En ambos experimentos hay solamente dos eventos que son cara y sello, rojo y azul. Se considera el experimento combinado en el cual se lanza primero la moneda y después se gira la rueda de fortuna. Elaborar una tabla de contingencia que representa el experimento combinado y aplicar la regla multiplicativa y la regla aditiva.

Rojo Azul Total

Cara 1

2·1 3=1

6

1 2·2

3=2 6

1 2 Sello 1

2·1 3=1

6

1 2·1

3=2 6

1 2

Total 1

3

2 3

1

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Febrero 2021 37

Explicar la tabla considerando que, en las celdas interiores de la tabla de contingencia, se encuentran las probabilidades de los eventos compuestos de cara y rojo, cara y azul, sello y rojo, sello y azul. Se determinan estas probabilidades aplicando la regla multiplicativa. En las celdas marginales se suman las probabilidades aplicando la regla aditiva.

Explicar la elaboración de los árboles, el árbol izquierdo empieza con la distinción entre cara y sello, mientras que el árbol derecho empieza con la distinción entre los colores rojo y azul.

Especificar en qué momento se aplica la regla multiplicativa, indicando que se aplica en la determinación de las probabilidades que aparecen al final de las ramificaciones, es la probabilidad de un camino y que la regla aditiva se aplica en la suma de las probabilidades finales, es la suma de las probabilidades de dos o más caminos o ramas.

Se cumple que la suma de todos los caminos es 1 como resultado.

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Febrero 2021 38

Se sugiere una actividad para relacionar una tabla de contingencia con un árbol de probabilidades generalizado. Por ejemplo, elaborando el árbol de probabilidades a partir de la tabla de contingencia que se inicia con el criterio de 𝑅 y 𝑅̅

Se espera lograr que los estudiantes resuelven problemas que involucren la regla aditiva y la regla multiplicativa de probabilidades.

Clase 9 Práctica guiada

Resolver problemas para determinar las probabilidades.

1. Se considera el menú sin entradas y con la información que entrega el siguiente diagrama de árbol.

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Febrero 2021 39

Relevar que este diagrama de árbol no es un diagrama de probabilidades ya que muestra la frecuencia absoluta en la cantidad de platos disponibles.

¿Cuál es la probabilidad de tener un menú de carne y fruta?

Explicar la transferencia del diagrama de árbol a una tabla de frecuencia y a una tabla de contingencia en porcentajes o fracciones para determinar la probabilidad solicitada.

Fruta Helado Total

Carne 5 12 17

Pescado 15 8 23

Total 20 20 40

Fruta Helado Total

Carne 12,5% 30% 42,5%

Pescado 37,5% 20% 57,5%

Total 50% 50% 10%

Relevar las respuestas que leen directamente desde la tabla el porcentaje 12,5% como la probabilidad de obtener como menú la carne y la fruta.

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Febrero 2021 40

2. En una revista computacional se ofrece un programa antispam que promete reconocer con eficiencia de 95% los mails que tienen spam y de los mails que

no tienen spam se elimina erróneamente un 1%.

Una empresa quiere adquirir el programa. De larga experiencia se estima que se recibe 90% mails correctos sin spam.

Elaborar un árbol de probabilidades con los porcentajes representados en números decimales.

El símbolo 𝑆 significa mail con spam.

El símbolo 𝑆̅ significa mail sin spam.

El símbolo 𝐸 significa eliminado.

El símbolo 𝐸̅ significa no eliminado.

¿Con que probabilidad se elimina un mail?

𝑃(𝐸) = 0,90 · 0,95 + 0.10 · 0,01 = 0,856

Determinar la probabilidad con la cual no se elimina un mail.

𝑃(𝐸) = 1 − 0,856 = 0,144

¿Con qué probabilidad no se elimina un mail que no es de spam?

𝑃(𝐸) = 0,10 · 0,99 = 0,099

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Febrero 2021 41

Proponer una actividad de transferencia de información escrita a una tabla y de completar la información. Por ejemplo, extrayendo la información desde el enunciado para responder a la pregunta:

Una farmacia ofrece dos tipos de jarabe contra la tos 𝐴 y 𝐵. De un total de 500 personas 400 compran el tipo 𝐴 y 100 el tipo 𝐵.

De las personas que compraron el tipo 𝐴, 280 sintieron una mejora de los síntomas y de las personas que compraron el tipo 𝐵, 30 no sintieron una mejora de los síntomas.

¿cuál es la probabilidad de mejora tomando el remedio A o B?

Relevar las respuestas que comienzan con la tabla de contingencia y que leen directamente la respuesta (80%) desde la primera columna.

Mejora M No Mejora 𝑀̅ Total Jarabe A 280

500= 0,56 70

500= 0,14 0,70 Jarabe B 120

500= 0,24 30

500= 0,06 0,30

Total 0,80 0,20 1