RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS

A continuación encontrará el desarrollo de los ejercicios que resolvió en la semana.

Contraste las respuestas entregadas por el docente con las desarrolladas por usted. En caso que no coincidan, y persistan dudas, le invitamos a repasar los contenidos y/ o consultar con su profesor.

RESPUESTAS ESPERADAS

Ejercicio Nº 1

En primer lugar, se desarrollará un diagrama del tiempo, a fin de ubicar espacialmente lo que se busca lograr con los datos entregados.

Luego de ubicar el depósito en el tiempo, se deberá transformar el monto depositado en pesos a UF.

Al día 31 de octubre de 2005, la UF es de 17.859,16. Entonces, la equivalencia en UF del monto depositado en pesos es el siguiente:

UF

VP 78,39

16 , 859 . 17

004 . 400 .

1 

Luego, el monto depositado en UF deberá capitalizarse, es decir, llevarse a valor futuro; para ello se deberá utilizar la siguiente expresión:

i

n

VP

VF   1

Por lo tanto, en valor real el monto capitalizado corresponde al siguiente:

 

UF VF

UF VF

66 . 84

08 . 0 1 39

,

78 1

En valor nominal, el monto capitalizado sería el siguiente:

 

004 . 512 . 1

$

08 . 0 1 004 . 400 .

1 1

VF VF

31 / 10 / 2005

VF = ¿?

31 / 10 / 2006

VP = $ 1.400.004

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Ejercicio Nº 2

En primer lugar, se desarrollará un diagrama del tiempo, a fin de ubicar espacialmente lo que se busca lograr con los datos entregados.

Como se puede observar, lo que se debe realizar es traer a valor presente el monto total de la deuda al finalizar el período de seis meses a una tasa de interés de 8%. Entonces,

889 . 388 . 08 1

. 1

000 . 500 .

1 

VP

Ejercicio Nº 3

En primer lugar, se desarrollará un diagrama del tiempo, a fin de ubicar espacialmente lo que se busca lograr con los datos entregados.

Para determinar la tasa de interés, se deberá utilizar la expresión de valor presente; y posteriormente, se tendrá que despejar la variable deseada, es decir, la tasa de interés.

i

n

VP VF

  1

Reemplazado los datos y despejando, se obtiene lo siguiente:

1

1

000 . 000 185

.

150  i

1

185.000

000 .

150 i

000 . 185 000

. 150 000 .

150  i

000 . 35 000 .

150 i

000 . 150

000 .

 35 i

0 1

VF = 1.500.000 VP = ¿?

El período de seis meses corresponde a un período de evaluación.

0 1

VF = 185.000 VP = 150.000 Tasa de interés = ¿?

(3)

% 33 .

 23 i

Por lo tanto, la tasa de interés cobrada por la venta a crédito en una cuota durante el período de 90 días es de 23.33%.

Ejercicio Nº 4

En primer lugar, se desarrollará un diagrama del tiempo, a fin de ubicar espacialmente lo que se busca lograr con los datos entregados.

Por lo tanto, en primer lugar, se deberá llevar a valor presente (del año 2), el monto acumulado al séptimo año, en cuyo caso se utiliza una tasa de interés simple; y posteriormente, dicho monto se deberá llevar al momento cero, en cuyo caso se utiliza una tasa de interés compuesto.

Se debe tener presente que el tratamiento que tienen las tasas de interés difieren al ser compuestos y simples. De acuerdo a lo anterior, cuando se está evaluando un proyecto que tiene un único período, ambas tasas arrojarán resultados semejantes. Sin embargo, cuando existe más de un período, los resultados serán diferentes.

El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. En este caso, el interés que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo “n”, y a la tasa de interés i; es decir: I = C · i · n

El interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital

anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho período; es decir:

Cn = C (1 + i)n.

Siguiendo con el problema, el monto acumulado al séptimo año ($ 220.000) se deberá llevar al segundo período, a un interés simple; véalo en el siguiente esquema:

0 1

VF = 220.000

VP = ¿? X

4 3

2 5 6 7

4% interés simple 8% interés compuesto

0 1

VF = 220.000

VP = ¿? X

4 3

2 5 6 7

4%

8% interés compuesto

4%

4%

4% 4%

Interés simple

(4)

Entonces, el valor presente, representado por la “x”, al año dos, será:

 

1.2 183.333,33

000 . 220 5

04 . 0 1

000 . 220

2 1  

 

 

n i VPAño VF

Luego, este valor deberá ser llevado al momento cero:

  

1 0.08

1831..33308 ,33 157.178,78

000 . 220

1 2 2

0  

 

  n

Año i

VP VF

Ejercicio Nº 5 Se sabe que:

compuesto erés

int semestral

% 12 i

¿?

VP  4 n

Como se puede observar, la tasa de interés es semestral, por lo tanto, dicha tasa deberá ser considerada dos veces en el período de un año. Entonces, al calcular el valor presente, se deberá utilizar la expresión del valor presente:

1 i

n

VP VF

 

Luego, se deberá realizar el siguiente procedimiento:

Año

22

1 Añoi

44

VF i

1 VP VF

 

 

  

1.12

1.719,25

200 . 1 12

. 1

200 .

VP  1 24

0 1

1.200 VP = ¿?

1.200

2

12%

12% 12% 12%

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Ejercicio Nº 6

Como se puede observar, en este problema la tasa de interés es diferente en cada período;

por lo tanto, se deberá multiplicar cada una de ellas a fin de obtener el valor presente de cada período.

Para clarificar lo anterior, vea el siguiente diagrama:

Luego, se deberá llevar a valor presente cada uno de los flujos de caja; para ello se utilizará la expresión de valor presente.

    

1.12 1.1 1.11

2.963.759,2

000 . 500 . 1 1

. 1 12 . 1

000 . 200 . 1 12

. 1

000 . 000 .

VP 1 

 

 

Ejercicio Nº 7

Verdadero, ya que un proyecto que presente un VAN negativo puede tener utilidades en todos o algunos de los flujos del proyecto (períodos), sin embargo, el monto de las utilidades obtenidas pueden no ser suficientes como para contrarrestar el monto del capital invertido en el proyecto, provocando que el proyecto en sí tenga pérdidas. Por otro lado, aquellos proyectos que presenten VAN positivos, pueden tener pérdidas en algunos de los flujos del proyecto y en otros flujos tener utilidades, siendo estas últimas suficientes para cubrir los desembolsos realizados en el proyecto y generar ganancias.

Ejercicio Nº 8

Para poder resolver el problema, se deberán determinara cada uno de los ingresos, costos e inversiones que se deben realizar en el proyecto. A continuación, se calcularán cada uno de ellos.

Inversión Inicial

Maquinaria y equipos : $ 22.000.000 Puesta en marcha : $ 3.000.000 Inversión inicial total : $ 25.000.000 Ingresos por Venta

Los niveles de venta se encuentran en valor nominal, por lo tanto, se deberá llevar a valor real. Para ello se tendrá que utilizar la inflación del 12% para cada período.

10%

0 1

1.500.000 1.000.000

2

11%

12%

3

1.200.000 VP = ¿?

(6)

Período 1 2 3 4 5 6 Ingreso

nominal

20 35 50 Crec. 6% real Crec. 6% real Crec. 6% real Ingreso

real

143 . 857 . 17

12 . 1

20

786 . 901 . 27

12 . 1

35

2

012 . 589 . 35

12 . 1

50

3 37.724.353 06 . 1 012 . 589 .

35

814 . 987 . 39

06 . 1 353 . 724 .

37

083 . 387 . 42

06 . 1 814 . 987 .

39

Costos de Producción

Los niveles de producción se encuentran en valor nominal, por lo tanto, se deberá llevar a valor real. Para ello se tendrá que utilizar la inflación del 12% para cada período.

Período 1 2 3 4 5 6

Costos operación nominal

15 23 30 Crec. 4% real Crec. 4% real Crec. 4% real

Costos operación

real 13.392.857 12 . 1

15

459 . 335 . 18

12 . 1

23

2

407 . 353 . 21

12 . 1

30

3 22.207.544 04 . 1 407 . 353 .

21

845 . 095 . 23

04 . 1 544 . 207 .

22

679 . 019 . 24

04 . 1 845 . 095 .

23

Ingreso por Venta de Planta 5.000.000 (sexto año).

Capital de Trabajo

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6 Ventas 17.857.143 27.901.786 35.589.012 37.724.353 39.987.814 42.387.083 C. trab. 3.571.429 6.975.447 8.897.253 9.431.088 9.996.954 10.596.771 10.596.771

- 3.571.429 - 6.975.447 - 8.897.253 - 9.431.088 - 9.996.954 3.404.018 1.921.806 533.835 565.866 599.817

17.857.143 x 20%

El capital de trabajo se calcula multiplicando el 25% sobre el nivel de ventas del período siguiente.

39.987.814 x 25% = 9.996.954 El capital de trabajo calculado para el

período cero, debe descontarse al del período siguiente, obteniéndose el capital de trabajo del período correspondiente.

En el último período el capital de trabajo es positivo, ya que representa la recuperación de éste, dado que no se requerirá para la producción de un próximo período.

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Depreciación

Se sabe que el tipo de depreciación permitido es el lineal.

La vida útil que presenta el activo fijo es de 10 años y el valor residual al décimo año es de

$ 1.000.000.

El valor de adquisición del activo fijo (maquinarias y equipos) es de $ 22.000.000.

Entonces, la depreciación es la siguiente:

000 . 100 . 10 2

000 . 000 . 1 000 . 000 . 22 n

VR

DepVA

Como el proyecto dura seis años, la maquinaria y el equipo se utilizarán un menor período de tiempo con respecto a la vida útil real del activo; por lo tanto, se deberá calcular si existe una utilidad o pérdida contable. Para ello, se deberá determinar el valor libros del activo y la depreciación acumulada.

Se sabe que: Valor LibrosValor AdquisiciónDep.Acumulada

Anteriormente ya se calculó la depreciación, por lo tanto, la depreciación acumulada correspondiente a la suma de la depreciación del período uno al seis:

Depreciación acumulada: 12.600.000 Luego, el valor libros es:

000 . 400 . 8 000 . 600 . 12 000 . 000 . 21 Libros

Valor   

Por lo tanto, al final del sexto año la máquina y el equipo vale $ 8.400.000 y se vende en

$ 5.000.000; por lo que existe una pérdida contable de $ 3.400.000. De acuerdo a lo anterior, no existen impuestos por ingresos no operacionales.

Una vez que se han identificado todos los ingresos y desembolsos, se podrá construir el flujo de caja proyectado.

Al valor de adquisición se le debe restar el valor residual.

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Ítem Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6

Ventas 17.857.143 27.901.786 35.589.012 37.724.353 39.987.814 42.387.083

Costos de producción

- 13.392.857 - 18.335.459 - 21.353.407 - 22.207.544 - 23.095.845 - 24.019.679 Depreciación - 2.100.000 - 2.100.000 - 2.100.000 - 2.100.000 - 2.100.000 - 2.100.000 Ut. antes de

impuesto

2.364.286 7.466.327 12.135.605 13.416.809 14.791.969 16.267.404 Impuesto (10%) - 236.429 - 746.633 - 1.213.561 - 1.341.681 - 1.479.197 - 1.626.740 Ut. después de

impuesto

2.127.857 6.719.694 10.922.044 12.075.128 13.312.772 14.640.664

Depreciación 2.100.000 2.100.000 2.100.000 2.100.000 2.100.000 2.100.000

Capital trabajo - 3.571.429 - 3.404.018 - 1.921.806 - 533.835 - 565.866 - 599.817 10.596.771 Ingresos no

operacionales

- - - - - 5.000.000

Inversión -25.000.000 - - - - - -

Flujo de caja -28.571.429 823.839 6.897.888 12.488.209 13.609.262 14.812.955 32.337.435

Luego de definido los flujos de caja del proyecto, se podrá determinar, por el criterio del valor actual neto, la conveniencia del proyecto, el cual será evaluado a una tasa de interés del 15%.

 

2 3 4 5 6

15 . 1

435 . 337 . 32 15

. 1

955 . 812 . 14 15

. 1

262 . 609 . 13 15

. 1

209 . 488 . 12 15

. 1

888 . 897 . 6 15 . 1

839 . 429 823

. 571 . 28

VAN      

109 . 698 . 14 VAN

Por lo tanto, según el criterio del VAN el proyecto conviene, ya que aumenta la riqueza del inversionista en $ 14.698.109.

Ejercicio Nº 9

En primer lugar se identificarán los datos que presenta el problema y luego, se graficará un diagrama del tiempo, a fin de visualizar claramente cuáles son los valores que se deben llevar a valor presente.

Compra de nuevo camión = $ 4.500.000 (inversión-egreso) Ahorro en costos = $ 650.000 anual (ingreso) Venta de camión antiguo = $ 850.000

Vida útil camión nuevo = 15 años

Valor venta camión nuevo = $ 500.000 (año 15)

650 650

0 1

500 650

2

650 650

3

650 650

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

650 650 650 650 650 650 650

850 (4.500)

(9)

Por lo tanto, en primer lugar, deberán llevarse a valor presente las anualidades generadas por el ahorro de costos, a una tasa de descuento del 15%. Para ello se deberá utilizar la siguiente expresión:

 



 

n

i i i

A

VP 1

1 1

Se debe tener en cuenta que el año 15 no presenta un ahorro en costos, dado que en dicho período se produce la venta del camión. Por lo tanto el número de períodos es de 14.

 



 

14

15 . 1 15 . 0

1 15

. 0 000 1 . 650 VP

909 . 720 . 3

VP 

Además, se deberá descontar el flujo del año 15, que corresponde al ingreso por la venta del camión:

  

1.15

61.447

000 . 500 i

1

VP VF n15

 

Finalmente, se deberán sumar algebraicamente todos los valores, ya que cada uno de ellos se encuentra expresado en moneda del año cero, lo cual representará el valor actual neto del proyecto.

356 . 132 VAN

000 . 850 447

. 61 909 . 720 . 3 ) 000 . 500 . 4 ( VAN

Por lo tanto, al ser el VAN > 0, la compra del nuevo camión es conveniente realizarla.

Ejercicio Nº 10

Verdadero, la tasa interna de retorno corresponde a aquella tasa en donde los flujos del proyecto se igualan a cero, por lo tanto, es el costo máximo permitido por el proyecto para hacer rentable la iniciativa de inversión.

De este modo, tasas de descuento superiores a la TIR provocarán que el proyecto tenga un rendimiento negativo, lo cual no lo hará rentable para el inversionista.

(10)

Ejercicio Nº 11

Falso, cuando existen restricciones de capital, el método de evaluación más confiable es el valor actual neto (VAN); por medio de éste se deberá realizar el ranking de proyectos, a fin de identificar y situar por orden de prioridad aquellos proyectos más rentables; sin embargo, si existiesen dos proyectos que arrojasen valores actuales netos iguales, será la tasa interna de retorno la que defina la decisión.

Ejercicio Nº 12

Para calcular el valor de desecho del proyecto, se utilizará el criterio del valor actual de los beneficios netos futuros; para ello se deberá utilizar la siguiente expresión:

i

Neto Beneficio VABNF

Entonces, se sabe que el beneficio neto corresponde a la utilidad después de impuesto, por lo tanto, en este caso, correspondería a $ 11.560. Si la tasa de descuento relevante es de 10%, entonces el valor de desecho es:

600 . 1 115 . 0

560 .

VABNF11

Luego de calcular el valor de desecho del proyecto, se deberá introducir en el flujo de caja, a fin de evaluar la conveniencia de su ejecución. Dicho flujo quedaría de la siguiente forma:

Ítem Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4

Ventas 25.000 27.000 35.000 37.700

Costos de producción - 15.000 - 15.000 - 20.000 - 22.000

Depreciación - 2.100 - 2.100 - 2.100 - 2.100

Ut. antes de impuesto 7.900 9.900 12.900 13.600

Impuesto (15%) - 1.185 - 1.485 - 1.935 - 2.040

Ut. después de impuesto 6.715 8.415 10.965 11.560

Depreciación 2.100 2.100 2.100 2.100

Capital trabajo - 3.500 - 3.400 - 1.900 - 5.000 13.800

Valor de desecho - - - 115.600

Inversión -15.800 - - - -

Flujo de caja - 19.300 5.415 8.615 8.065 143.060

Luego de construido el flujo de caja, se deberá evaluar el proyecto por medio del criterio del VAN y la TIR.

(11)

 

2 3 4

%

12 1.1

060 . 143 1

. 1

065 . 8 1 . 1

615 . 8 1 . 1

415 . 300 5 . 19

VAN     

514 . 96 VAN

El criterio del VAN indica que el inversionista aumentará su riqueza en $ 96.514 si lleva a cabo el proyecto. Por lo tanto, es conveniente su ejecución.

La TIR del proyecto es de 83.9%, por lo tanto, este criterio también indica que es conveniente llevarlo a cabo, puesto que es superior a la tasa de costo de capital que exige el inversionista por el capital invertido en el proyecto.

Ejercicio Nº 13

De acuerdo a los datos del ejercicio Nº 23, la tasa interna de retorno que presenta el proyecto es de 26.86% (utilizar calculadora). Por lo tanto, la tasa de descuento relevante (15%) es menor que la tasa de rendimiento del proyecto (26.86%), por lo que por medio de este criterio el proyecto es conveniente.

Para calcular el período de recuperación del capital (PRC) se debe llevar a valor presente cada uno de los flujos:

Período Flujo anual Flujo actualizado Flujo acumulado

1 823.839 716.382 716.382

2 6.897.888 5.215.794 5.932.176

3 12.488.209 8.211.200 14.143.376

4 13.609.262 7.781.140 21.924.516

5 14.812.955 7.364.657 29.289.173

6 32.337.435 13.980.366 43.269.539

Ejercicio Nº 14

En primer lugar, se debe tener en consideración que cada período del flujo de caja se encuentra en valor nominal, es decir, se debe llevar a valor real; para ello se utiliza la tasa de inflación (10%), debiendo descontar los flujos a dicha tasa. Cabe destacar que el flujo del período cero se mantiene constante, ya que se encuentra en valor real (valor en moneda de hoy).

Período 1 2 3 4 5 6

Flujo de caja nominal 20 15 25 25 15 10

Flujo de caja real

818 . 181 . 18

1 . 1

20

694 . 396 . 12

1 . 1

15

2

870 . 782 . 18

1 . 1

25

3

336 . 075 . 17

1 . 1

25

4

820 . 313 . 9

1 . 1

15

5

739 . 644 . 5

1 . 1

10

6

El proyecto recupera la inversión inicial ($28.571.429), en un plazo cercano a los cinco años.

(12)

Luego de conocer los flujos reales de cada período, se podrá determinar el valor actual neto del proyecto.

6 5

4 3

2 1.12

739 . 644 . 5 12

. 1

820 . 313 . 9 12

. 1

336 . 075 . 17 12

. 1

870 . 782 . 18 12

. 1

694 . 396 . 12 12

. 1

818 . 181 . ) 18 000 . 000 . 40 (

VAN      

007 . 482 . 18 VAN

La tasa de rendimiento del proyecto es la siguiente:

% 38 . 29

TIR (Utilice calculadora)

Para calcular el período de recuperación del capital (PRC) se debe llevar a valor presente cada uno de los flujos:

Período Flujo anual Flujo actualizado Flujo acumulado

1 18.181.818 16.233.766 16.233.766

2 12.396.694 9.882.569 26.116.335

3 18.782.870 13.369.276 39.485.611

4 17.075.336 10.851.685 50.337.296

5 9.313.820 5.284.912 55.622.208

6 5.644.739 2.859.800 58.482.008

Como se puede observar, el VAN que presenta el proyecto es mayor a cero; por lo tanto, el proyecto aumenta la riqueza del inversionista en un monto de $ 18.482.004. La tasa interna de retorno es superior a la tasa de costo del capital, lo cual hace aceptable el proyecto.

Finalmente, el período de recuperación de la inversión apropiada para la gerencia de la empresa es de cuatro años; por lo tanto, el PRC calculado por el proyecto se encuentra dentro del rango estimado por la dirección.

De acuerdo a lo anterior, es conveniente llevar a cabo el proyecto en evaluación.

Ejercicio Nº 15

Como se puede observar, ambos proyectos presentan distinta vida útil, por lo que se deberá utilizar el criterio del costo anual equivalente, es decir, se deberá calcular el costo anual que tendrá cada proyecto, de modo de poder compararlos.

Para identificar el proyecto más conveniente en términos de costos, en primer lugar se deberá calcular el costo actual neto de cada uno de ellos.

Proyecto A: vida útil de 10 años.

1 2 3 4 5 6

0 7 8 9 10

El proyecto recupera la inversión inicial en un plazo cercano a los cuatro años.

(13)

Como se puede observar, el proyecto A presenta un valor presente de 500 UF, correspondiente al valor de adquisición de la casa; por lo tanto, será este valor el que representará el costo actual neto.

Luego de conocer el CAN, se deberá utilizar el criterio del costo anual equivalente, para ello se deberá utilizar la siguiente expresión:

   

1446 81 .

6 500

1 . 1 1 . 0

1 1

. 0

1

500

i 1 i

1 i

1 CAE CAN

1 0 n



 

 



 

 

Proyecto B: vida útil de 20 años.

Para el proyecto B se deberá calcular el costo actual neto que presenta; para ello deberá llevar a valor presente cada una de las anualidades.

i

II

i i A

CAN n 

 

 

 1

1 1

 

1.1 500 1

. 0

1 1

. 0

20 1 20 

 

 

CAN

670 500

170 

CAN

Luego, se deberá calcular el costo anual equivalente.

   

5136 79 .

8 670

1 . 1 1 . 0

1 1

. 0

1

670

1 1 1

2 0



 

 



 

 

i n

i i CAE CAN

Por lo tanto, el proyecto que es más conveniente es el B, ya que presenta un costo anual menor.

500

1 2 3 4 5 6

0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

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